黑马河观湖宾馆:数列求和的基本方法和技巧 心宽路就宽 - Qzone日志

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

 

一、利用常用求和公式求和

   利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、  等差数列求和公式：   

2、等比数列求和公式：

3、                   4、

5、 

[例1] 已知 ，求 的前n项和.

解：由

    由等比数列求和公式得                      （利用常用公式）

                               ＝ ＝ ＝1－

 

[例2] 设S_n＝1+2+3+…+n，n∈N^*,求 的最大值.

     解：由等差数列求和公式得 ，     （利用常用公式）

         ∴ ＝

                 ＝ ＝

       ∴ 当 ，即n＝8时，

 

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和： ………………………①

解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积

设 ………………………. ②    （设制错位）

①－②得     （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

                 ∴   

[例4] 求数列 前n项的和.

解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积

设 …………………………………①

………………………………②            （设制错位）

①－②得                   （错位相减）

               

        ∴  

 

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .

[例5] 求证：

证明： 设 ………………………….. ①

       把①式右边倒转过来得

                         （反序）

       又由 可得

       …………..…….. ②

   ①+②得         （反序相加）

        ∴  

[例6] 求 的值

解：设 …………. ①

将①式右边反序得

      …………..②         （反序）

     又因为

   ①+②得                                                              （反序相加）

＝89

∴  S＝44.5

 

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和： ，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

                     （分组）

当a＝1时， ＝                           （分组求和）

当 时， ＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设

    ∴  ＝

将其每一项拆开再重新组合得 

S_n＝                                         （分组）

＝        

           ＝                          （分组求和）

           ＝

 

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）        （2）

（3）    （4）

（5）

(6)

[例9]  求数列 的前n项和.

解：设                                         （裂项）

则                            （裂项求和）

          ＝

          ＝

[例10]  在数列{a_n}中， ，又 ，求数列{b_n}的前n项的和.

解： 　 ∵

    　         ∴                                       （裂项）

∴  数列{b_n}的前n项和

                   （裂项求和）

                ＝  ＝

[例11]  求证：

解：设

∵                                      （裂项）

   ∴                     （裂项求和）

       ＝

       ＝ ＝ ＝

      ∴　原等式成立

      

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S_n.

 [例12]  求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S_n＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵                                       （找特殊性质项）

∴S_n＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90°                                （合并求和）

              ＝ 0

[例13]  数列{a_n}： ，求S₂₀₀₂.

解：设S₂₀₀₂＝

由 可得

……

∵                   （找特殊性质项）

∴　S₂₀₀₂＝                                     （合并求和）

     ＝

＝

＝

＝5

[例14]  在各项均为正数的等比数列中，若 的值.

解：设

由等比数列的性质                       （找特殊性质项）

和对数的运算性质   得

     （合并求和）

   ＝

   ＝

   ＝10

 

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

 

[例15]  求 之和.

解：由于                           （找通项及特征）

∴

＝                   （分组求和）

＝

＝

＝

[例16]  已知数列{a_n}： 的值.

解：∵       （找通项及特征）

                       ＝                （设制分组）

                       ＝       （裂项）

∴    （分组、裂项求和）

                          ＝

                                 ＝

 

 

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

 

一、利用常用求和公式求和

   利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、  等差数列求和公式：   

2、等比数列求和公式：

3、                   4、

5、 

[例1] 已知 ，求 的前n项和.

解：由

    由等比数列求和公式得                      （利用常用公式）

                               ＝ ＝ ＝1－

 

[例2] 设S_n＝1+2+3+…+n，n∈N^*,求 的最大值.

     解：由等差数列求和公式得 ，     （利用常用公式）

         ∴ ＝

                 ＝ ＝

       ∴ 当 ，即n＝8时，

 

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和： ………………………①

解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积

设 ………………………. ②    （设制错位）

①－②得     （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

                 ∴   

[例4] 求数列 前n项的和.

解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积

设 …………………………………①

………………………………②            （设制错位）

①－②得                   （错位相减）

               

        ∴  

 

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .

[例5] 求证：

证明： 设 ………………………….. ①

       把①式右边倒转过来得

                         （反序）

       又由 可得

       …………..…….. ②

   ①+②得         （反序相加）

        ∴  

[例6] 求 的值

解：设 …………. ①

将①式右边反序得

      …………..②         （反序）

     又因为

   ①+②得                                                              （反序相加）

＝89

∴  S＝44.5

 

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和： ，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

                     （分组）

当a＝1时， ＝                           （分组求和）

当 时， ＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设

    ∴  ＝

将其每一项拆开再重新组合得 

S_n＝                                         （分组）

＝        

           ＝                          （分组求和）

           ＝

 

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）        （2）

（3）    （4）

（5）

(6)

[例9]  求数列 的前n项和.

解：设                                         （裂项）

则                            （裂项求和）

          ＝

          ＝

[例10]  在数列{a_n}中， ，又 ，求数列{b_n}的前n项的和.

解： 　 ∵

    　         ∴                                       （裂项）

∴  数列{b_n}的前n项和

                   （裂项求和）

                ＝  ＝

[例11]  求证：

解：设

∵                                      （裂项）

   ∴                     （裂项求和）

       ＝

       ＝ ＝ ＝

      ∴　原等式成立

      

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S_n.

 [例12]  求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S_n＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵                                       （找特殊性质项）

∴S_n＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90°                                （合并求和）

              ＝ 0

[例13]  数列{a_n}： ，求S₂₀₀₂.

解：设S₂₀₀₂＝

由 可得

……

∵                   （找特殊性质项）

∴　S₂₀₀₂＝                                     （合并求和）

     ＝

＝

＝

＝5

[例14]  在各项均为正数的等比数列中，若 的值.

解：设

由等比数列的性质                       （找特殊性质项）

和对数的运算性质   得

     （合并求和）

   ＝

   ＝

   ＝10

 

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

 

[例15]  求 之和.

解：由于                           （找通项及特征）

∴

＝                   （分组求和）

＝

＝

＝

[例16]  已知数列{a_n}： 的值.

解：∵       （找通项及特征）

                       ＝                （设制分组）

                       ＝       （裂项）

∴    （分组、裂项求和）

                          ＝

                                 ＝

 

 

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。

心宽路就宽 

        心宽一寸，受益三分
        心宽路就宽，心窄路就窄
        不争，自然能得到人们的尊崇
        能忍则忍，一忍百安
        爱你的敌人，最高贵的复仇是宽容
        学会适应他人，不要奢望他人适应自己
        不显山不露水，把聪明收藏起来
        对人友善，别人也能友善地对待你
        帮助他人的人，也会获得他人的相助
        采取“守拙”的方法保护自己
        和为贵，要善于团结周围的人
        该收敛时收敛，该隐忍时隐忍
        要有气度，生活不会亏待有雅量的入
        待人要厚道，让善念相伴一生
        径路窄处，留一步与人行
        成全他人，就是成全自己
        少生气．多争气

　命好不如心态好
　      要改变你的世界，先改变你的心态
　你能飞多高，全由你的心态制约
　命好不如心态好
　将自己置于幸运的基点上
　心态好，一切才会向好的方向转变
　调整心态，把痛苦转化为能量
　懂得平衡心态，烦恼就比别人少
　选择人生最积极的一面
　决定成败的关键是心态，而不是智商
　有怎样的心态，就有怎样的未来
　控制心态，别让心态控制你
　要想在事业上成功，85％靠的是态度
　乐观的心态最重要
　任何事情即使再坏，也有好的一面
生活在天堂还是地狱，取决于你的态度
无法改变过去，但可改变现在

　学会放松，人生轻松
好心情从自我放松开始
别让他人掌控自己的心灵
活的方法不同，活的心情就不同
处境可以不如意，但心灵不可以低下
把自己从坏心情中解脱出来
消气是获得好心情的法宝
好心情来自“一念之差”
好心情就像风景，要懂得去欣赏
努力摆脱自寻烦恼的困境
心胸开阔才能带来健康
学会放松，人生轻松
善待自己，就是对人生负责
勇敢地打破“心理牢笼”
　拥有从容的心境，心灵便会安怡
　心情好，人生就会变得美好起来
　体会到人生的乐趣，给心情放个假
　别杞人忧天，忧愁于事无补
　学会把苦恼化作欢乐
　输什么也不能输心情
　宽容自己，别和自己过不去

　控制情绪，就能掌控局势
坏情绪是幸福的“杀手”
学会操纵情绪的“转换器”
任何憎恨都是不值得的
别给自己的精神套上枷锁
有了好脾气，才会有好运气
学会控制自己的感情
不急不躁，随遇而安
浮躁心理不可有
　不要被内疚情绪包围
　找到移去痛苦的杠杆
　把自己从紧张中释放出来
　消除幻想，保持思维开阔
　走出悲伤和情绪低落的怪圈
　抑制愤怒，平衡情绪
　放宽心胸，不要没有根据地猜疑
　控制情绪，学会应变

　用平常心，面对平凡的生活
学会享受精彩的生活
每天都是好日子
多点生活的韵味，品尝生活的甘怡
静下心来感悟生活的美
过自己的生活，别太在意别人的意见
要忍耐生活中的痛苦
多一分爱好，多一分生活的情趣
欣赏音乐，会为你的生活增添色彩
珍惜生命，懂得生命的珍贵
单纯地生活，远离争斗与喧闹
为自己创造一种新生活
不在意年龄，兴致勃勃地活好每一天
充满激情地生活，从平凡中体会甘甜
正确地驾驭金钱，不要被金钱所驾驭
认识到工作的目的不仅仅是为了金钱
对自己的境遇保持平和的心态
习惯改变一小步，人生变化一大步

　创造快乐，把幸福抓在手中
好好活着就是幸福
抓在手里的幸福才是实在的
努力让自己先快乐起来
痛苦与快乐只有一墙之隔
学会为自己创造快乐
谁能抓住快乐，谁就能获得快乐
　选择幸福，你就幸福
　自给自足，是幸福最主要的因素
　幸福就在生活里的每一件小事中
　经常练习快乐，你就能快乐
　从平凡的生活中体会快乐
　没有人是完美的，别把缺陷当遗憾
　永远选择往前看

理智地选择，潇洒地放弃
做出正确的取舍，才能把握命运
学会理智地选择，潇洒地放弃
没有放弃就不会有新的收获
肯舍，才能获得更多
明智地放弃才是人生应取的态度
失之东隅，收之桑榆
懂得放下，不要不该要的
理智地放弃比愚昧地坚持更有价值
与其抱残守缺，不如断然放弃
不懂得割舍，就有可能失去更多
　有错误的选择，就会有错误的人生
　放弃空洞的目标，选择适合自己的
　不固执，选择善意的谎言
　踏实努力，放弃投机取巧的心态
　要明白鱼和熊掌不可兼得

　相信自己，自信的人生最美丽
信心是获取成功的核心力量
正确地评价自己，不自我贬低
要有永争第一的勇气和精神
相信自己，自信的人生最美丽
珍惜自己，不要在意他人的看法
先相信自己，然后别人才会相信你
克服自卑，培养自信
要有不断超越自我的信心
主宰自己，相信自己是最棒的
认识自我，了解自我
掌握建立自信的6个步骤
有信心的人不会消沉、沮丧
努力使自己成为人生的主角
人生没有“绝不可能”的事情

　藐视困难的入，才能战胜困难
人生没有真正的绝境
视挫折为财富，才会获得成功的桂冠
永远不向恶劣的环境低头
厄运来临时，要选择坚强面对
无论处境如何。都要学会负责
艰苦的环境，能锻造出坚毅的性格
解决困难最好的对策就是正视它
多想办法，不要在一棵树上吊死不为失败者找借口