青海湖环湖西路:123

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2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（人教版）(理工农林医类)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

正棱台、圆台的侧面积公式

其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示

斜高或母线长

台体的体积公式

其中R表示球的半径

三角函数的和差化积公式

一、选择题

1．设集合，，则集合中元素的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．函数的最小正周期是（）

A． B． C． D．

3．设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则（）

A． B． C． D．

4．圆在点处的切线方程为（）

A． B．

C． D．

5．函数的定义域为（）

A． B．

C． D．

6．设复数的辐角的主值为，虚部为，则 = （）

A． B． C． D．

7．设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（）

A． B． C． D．

8．不等式的解集为（）

A． B． C． D．

9．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）

A． B． C． D．

10．在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，则边AC上的高为（）

A． B． C． D．

11．设函数，则使得的自变量的取值范围为（）

A． B．

C． D．

12．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

13．用平面截半径为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .

14．函数在区间上的最小值为 .

15．已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则 .

16．设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .

三、解答题（6道题，共76分）

17．（本小题满分12分）已知为锐角，且，求的值.

18．（本小题满分12分）解方程 .

19．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1 宽的通道，沿前侧内墙保留3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

20．（本小题满分12分）三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，

（1）求证：AB ⊥ BC；

（2）设AB=BC= ，求AC与平面PBC所成角的大小.

21．（本小题满分12分）设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.

（1）求实数的取值范围；

（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，求直线的方程.

（Ⅱ）准线L的方程为设点Q的坐标为，则

22．（本小题满分14分）已知数列的前项和满足 .

（1）写出数列的前三项；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有 .

（Ⅰ）解：由

由

（Ⅱ）解：当时，有

……

所以

经验证a₁也满足上式，所以

（Ⅲ）证明：由通项公式得

当且n为奇数时，

当为偶数时，

当为奇数时，

所以对任意整数m>4，有

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学参考答案（人教版）(理)

1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B 11.A 12.C

13． 14．1 15．－2 16．

17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分.

解：原式因为

所以 . 因为为锐角，由

所以原式

18．本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.满分12分.

解：当时，原方程化为

解得无解.

由舍去.

当时，原方程化为

解得无解.

19．本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.满分12分.

解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800.

蔬菜的种植面积

所以

当

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m².

20．本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.

（Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.

因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，

所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，

可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.

（Ⅱ）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.

因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF.

因此，PB⊥平面AFC，

所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，

∠ACF为AC与平面PBC所成的角.

在Rt△ABC中，AB=BC=2 ，所以BD=

在Rt△PDC中，DC=

在Rt△PDB中，

在Rt△FDC中，所以∠ACF=30°.

即AC与平面PBC所成角为30°.

21．本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）由题设有设点P的坐标为由PF₁⊥PF₂，得

化简得 ①

将①与联立，解得

由所以m的取值范围是 .

（Ⅱ）准线L的方程为设点Q的坐标为，则

②

将代入②，化简得

由题设，得，无解.

将代入②，化简得

由题设，得 .

解得m=2. 从而，

得到PF₂的方程

22．本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

（Ⅰ）解：由

由

（Ⅱ）解：当时，有

……

所以

经验证a₁也满足上式，所以

（Ⅲ）证明：由通项公式得

当且n为奇数时，

当为偶数时，

当为奇数时，

所以对任意整数m>4，有

2004年高考试题全国卷1

理科数学（必修+选修Ⅱ）

(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

球的表面积公式

S=4

其中R表示球的半径，

球的体积公式

V= ，

其中R表示球的半径

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P_n(k)=C P^k(1－P)ⁿ^－k

一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60

1．(1－i)²·i= （）

A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2

2．已知函数（）

A．b B．－b C． D．－

3．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么| +3 |= （）

A． B． C． D．4

4．函数的反函数是（）

A．y=x²－2x+2(x<1) B．y=x²－2x+2(x≥1)

C．y=x²－2x (x<1) D．y=x²－2x (x≥1)

5．的展开式中常数项是（）

A．14 B．－14 C．42 D．－42

6．设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是（）

A．( A)∪B=I B．( A)∪( B)=I

C．A∩( B)= D．( A) ( B)= B

7．椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点

为P，则 = （）

A． B． C． D．4

8．设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l

的斜率的取值范围是（）

A．[－， ] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]

9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）

A． B． C． D．

11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）

A． B． C． D．

12．的最小值为（）

A．－ B．－ C．－－ D． +

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．不等式|x+2|≥|x|的解集是 .

14．由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .

15．已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+(n－1)a_n_－1(n≥2)，则{a_n}的通项

16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .

①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线

③同一条直线 ④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

求函数的最小正周期、最大值和最小值.

18．（本小题满分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

19．（本小题满分12分）

已知求函数的单调区间.

20．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离，

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.

22．（本小题满分14分）

已知数列，且a_2k=a_2k_－1+(－1)^k, a_2k+1=a_2k+3^k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a₃, a₅；

（II）求{ a_n}的通项公式.

2004年高考试题全国卷1

理科数学（必修+选修Ⅱ）

(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)

参考答案

一、选择题

DBCBABCCBADB

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．{x|x≥－1} 14．x²+y²=4 15． 16．①②④

三、解答题

17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.

解：

所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是 .

18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：P(ξ=0)=0.5²×0.6²=0.09.

P(ξ=1)= ×0.5²×0.6²+ ×0.5²×0.4×0.6=0.3

P(ξ=2)= ×0.5²×0.6²+ ×0.5²×0.4×0.6+ ×0.5²×0.4²=0.37.

P(ξ=3)= ×0.5²×0.4×0.6+ ×0.5²×0.4²=0.2

P(ξ=4)= 0.5²×0.4²=0.04

于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.

解：函数f(x)的导数：

（I）当a=0时，若x<0，则 <0，若x>0,则 >0.

所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（II）当

由

所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（III）当a<0时，由2x+ax²>0，解得0<x<－ ,

由2x+ax²<0，解得x<0或x>－ .

所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.

20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE·sin60°= ，

即点P到平面ABCD的距离为 .

（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

.连结AG.

又知由此得到：

所以

等于所求二面角的平面角，

于是

所以所求二面角的大小为 .

解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG= BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°= .

在Rt△PEG中，EG= AD=1.

于是tan∠GAE= = ,

又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小为π－arctan .

21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a²）x²+2a²x－2a²=0. ①

双曲线的离心率

（II）设

由于x₁+x₂都是方程①的根，且1－a²≠0，

22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.

解：（I）a₂=a₁+(－1)¹=0,

a₃=a₂+3¹=3.

a₄=a₃+(－1)²=4,

a₅=a₄+3²=13,

所以，a₃=3,a₅=13.

(II) a_2k+1=a_2k+3^k

= a_2k_－1+(－1)^k+3^k,

所以a_2k+1－a_2k_－1=3^k+(－1)^k,

同理a_2k_－1－a_2k_－3=3^k^－1+(－1)^k^－1,

……

a₃－a₁=3+(－1).

所以(a_2k+1－a_2k_－1)+(a_2k_－1－a_2k_－3)+…+(a₃－a₁)

=(3^k+3^k^－1+…+3)+[(－1)^k+(－1)^k^－1+…+(－1)],

由此得a_2k+1－a₁= (3^k－1)+ [(－1)^k－1],

于是a_2k+1=

a_2k= a_2k_－1+(－1)^k= (－1)^k^－1－1+(－1)^k= (－1)^k=1.

{a_n}的通项公式为：

当n为奇数时，a_n=

当n为偶数时，

2005年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国卷Ⅱ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式

如果事件A、相互独立，那么其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

一 选择题

（1）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是

(A). (B) （C）（D）2

(2) 正方体ABCD—A₁B₁C₁ D₁中，p、q、r、分别是AB、AD、B₁ C₁的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是

（A）三角形（B）四边形

（C）五边形（D）六边形

（3）函数y= -1（X≤0）的反函数是

（A）y= （x≥-1） (B)y= - （x≥-1）

(4)已知函数y=tan 在（- ，）内是减函数，则

（A）0 < ≤ 1 （B）-1 ≤ < 0 （C） ≥ 1 （D） ≤ -1

（5）设a、b、c、d ∈ R,若为实数，则

（A）bc+ad ≠ 0 (B)bc-ad ≠ 0

(6)已知双曲线 - = 1的焦点为F₁_、、F₂，点M在双曲线上且MF₁ ⊥ x轴，则F₁到直线F₂M的距离为

（A）（B）（C）（D）

（7）锐角三角形的内角A、B 满足tan A - = tan B,则有

（A）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0

(C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0

(8)已知点A（ ,1）,B(0,0),C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于

（A）2 （B）（C）-3 （D） -

（9）已知集合M={x∣ -3x -28 ≤0},N = {x| -x-6>0}，则M∩N 为

（A）{x|- 4≤x< -2或3

（C）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D）{x|x<- 2或x≥3}

（10）点P在平面上作匀数直线运动，速度向量 =（4，- 3）（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为| |个单位）.设开始时点P的坐标为（- 10，10），则5秒后点P的坐标为

（A）（- 2，4）（B）（- 30，25）（C）（10，- 5）（D）（5，- 10）

（11）如果 … , 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则

（A> > (B) <

(C> (D) =

(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

（A）（B）2+ （C）4+ （D）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

3．本卷共10小题，共90分。

题号

二

总分

分数

二，填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0 相切的圆的方程为________.

(14)设a为第四象限的角，若，则tan 2a =______________.

(15) 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有__________个。

(16)下面是关于三棱锥的四个命题：

①，底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

②，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。

③，底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。

④，侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

其中，真命题的编号是______________。（写出所有真命题的编号）

三，解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

得分

评卷人

（17）（本小题满分12分）

设函数∮(x) ,求使∮(x)≥的的x取值范围。

得分

评卷人

（18）（本小题满分12分）

已知{ }是各项均为正数等差数列，1g 、1g 、1g 成等差数列.又 = , n =1,2,3,…

(Ⅰ)证明｛｝为等比数列。

（Ⅱ）如果无穷等于比数列{ }各项的和s = , 求数列{ }的首项和公差 .

( 注：无穷数列各项的和即当 n 时数列前n项和的极限)

得分

评卷人

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概为0.6 .本场比赛采用五局三胜制.既先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数，求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）

得分

评卷人

（20）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD = PD，E、F 分别为CD、PB的中点。

（1）求证：EF⊥ 平面PAB；

（2）设AB = ，求AC与平面AEF 所成的角的大小。

得分

评卷人

（21）（本小题满分14分）

P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且 · = 0.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.

得分

评卷人

（22）（本小题12分）

已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ -2ax ）

（！）当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）

数学（理工农医类）

本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第ＩＩ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ｉ卷

注意事项：

１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

球的表面积公式

其中Ｒ表示球的半径

球的体积公式

其中Ｒ表示球的半径

３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式

如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么

如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么

如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么

次独立重复试验中恰好发生次的概率是

一．选择题

（1）已知集合，则 ( )

（A）　　　（B）（C）　　（D）

（2）函数的最小正周期是( )

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（3） ( )

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( )

（A）　　　　（B）6　　　　（C）　　　　（D）12

（6）函数的反函数为( )

（A）　　　　（B）

（C）　　　　（D）

（7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、则 ( )

（A）　（B）（C）　　（D）

（8）函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为( )

（A）　　　　（B）

（C）　　　　（D）

（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（10）若则 ( )

（A）　　B）（C）　　（D）

（11）设是等差数列的前项和，若则 ( )

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（12）函数的最小值为( )

（A）190　　　　（B）171　　　　（C）90　　　　（D）45

第II卷

二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。

（13）在的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）

（14）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且则边BC上的中线AD的长为＿＿＿＿＿＿＿。

（15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率

（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。

三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分１２分）

已知向量

（I）若求

（II）求的最大值。

（18）（本小题满分１２分）

某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

（I）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；

（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。

（19）（本小题满分１２分）

如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；

（II）设求二面角的大小。

（20）（本小题１２分）

设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。

（21）（本小题满分为１４分）

已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

（I）证明为定值；

（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

（22）（本小题满分１２分）

设数列的前项和为，且方程

有一根为

（I）求

（II）求的通项公式

2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）

理科数学试题（必修＋选修Ⅱ）参考答案和评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数—选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C

二、填空题

⒀45 ⒁ ⒂ ⒃25

三、解答题

17．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分

由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；………………4分

（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得

｜a＋b｜＝＝

＝，………………10分

当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．……12分

18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3．

P(ξ＝0)＝·＝＝

P(ξ＝1)＝·＋·＝

P(ξ＝2)＝·＋·＝

P(ξ＝3)＝·＝． ………………8分

ξ的分布列为

数学期望为Eξ＝1.2．

(Ⅱ)所求的概率为

p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝ ……………12分

19．解法一：

A₁

B₁

C₁

（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C₁C，又C₁C∥＝B₁B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BOì面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AC₁，ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线．……6分

（Ⅱ）连接A₁E，由AA₁＝AC＝AB可知，A₁ACC₁为正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和EDì平面ADC₁知平面

ADC₁⊥平面A₁ACC₁，∴A₁E⊥平面ADC₁．作EF⊥AD，垂足为F，连接A₁F，则A₁F⊥AD，∠A₁FE为二面角A₁－AD－C₁的平面角．

不妨设AA₁＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，

tan∠A₁FE＝，∴∠A₁FE＝60°．

所以二面角A₁－AD－C₁为60°． ………12分

解法二：

（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．

设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B₁(0，b，2c)．

则C(－a，0，0)，C₁(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分

A₁

B₁

C₁

＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．

·＝0，∴ED⊥BB₁．

又＝(－2a，0，2c)，

·＝0，∴ED⊥AC₁， ……6分

所以ED是异面直线BB₁与AC₁的公垂线．

（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A₁(1，0，2)，

＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，

·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁＝A，

∴BC⊥平面A₁AD．

又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，

＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，

·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，

∴　　EC⊥面C₁AD．　　……10分

cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．

所以二面角A₁－AD－C₁为60°． ………12分

20．解法一：

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e^a^－¹－1， ……5分

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax． ……9分

(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e^a^－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a^－1－1)是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x＜e^a^－1－1，都有g(x)＜g(0)，

即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分

解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　　……3分

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e^a^－1－1， ……6分

当x＞ e^a^－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

当－1＜x＜e^a^－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^a^－1－1≤0．

由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． ……12分

21．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

将①式两边平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　　y₁＝λ²y₂ ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x₁(x－x₁)＋y₁，y＝x₂(x－x₂)＋y₂，

即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分

所以·＝(，－2)·(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以·为定值，其值为0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝

＝＝＋．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y₁＋y₂＋2＝λ＋＋2＝(＋)²．

于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)³，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

22．解：(Ⅰ)当n＝1时，x²－a₁x－a₁＝0有一根为S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝．

当n＝2时，x²－a₂x－a₂＝0有一根为S₂－1＝a₂－，

于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₁＝．

(Ⅱ)由题设(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

即　　S_n²－2S_n＋1－a_nS_n＝0．

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n_－1，代入上式得

S_n_－1S_n－2S_n＋1＝0　　　①

由(Ⅰ)知S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝．

由①可得S₃＝．

由此猜想S_n＝，n＝1，2，3，…．　　　　　　……8分

下面用数学归纳法证明这个结论．

(i)n＝1时已知结论成立．

(ii)假设n＝k时结论成立，即S_k＝，

当n＝k＋1时，由①得S_k_＋1＝，即S_k_＋1＝，

故n＝k＋1时结论也成立．

综上，由(i)、(ii)可知S_n＝对所有正整数n都成立．　　……10分

于是当n≥2时，a_n＝S_n－S_n_－1＝－＝，

又n＝1时，a₁＝＝，所以

｛a_n｝的通项公式a_n＝，n＝1，2，3，…． ……12分

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)

理科数学（必修+选修Ⅱ）

注意事项：

1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．

3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚

5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．

6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径

一、选择题

1．（）

A． B． C． D．

2．函数的一个单调增区间是（）

A． B． C． D．

3．设复数满足，则（）

A． B． C． D．

4．下列四个数中最大的是（）

A． B． C． D．

5．在中，已知是边上一点，若，则（）

A． B． C． D．

6．不等式的解集是（）

A． B． C． D．

7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（）

A． B． C． D．

8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）

A．3 B．2 C．1 D．

9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（）

A． B． C． D．

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）

A．40种 B．60种 C．100种 D．120种

11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（）

A．9 B．6 C．4 D．3

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中常数项为．（用数字作答）

14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm ．

16．已知数列的通项，其前项和为，则．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在中，已知内角，边．设内角，周长为．

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

18．（本小题满分12分）

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，

侧棱底面分别为的中点．

（1）证明平面；

（2）设，求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．

21．（本小题满分12分）

设数列的首项．

（1）求的通项公式；

（2）设，证明，其中为正整数．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C

7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B

二、填空题

13． 14． 15． 16．

三、解答题

17．解：（1）的内角和，由得．

应用正弦定理，知

，

．

因为，

所以，

（2）因为

，

所以，当，即时，取得最大值．

18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则互斥，且，故

于是．

解得（舍去）．

（2）的可能取值为．

若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故

．

所以的分布列为

19．解法一：

（1）作交于点，则为的中点．

连结，又，

故为平行四边形．

，又平面平面．

所以平面．

（2）不妨设，则为等

腰直角三角形．

取中点，连结，则．

又平面，所以，而，

所以面．

取中点，连结，则．

连结，则．

故为二面角的平面角

．

所以二面角的大小为．

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．

设，则

，

．

取的中点，则．

平面平面，

所以平面．

（2）不妨设，则．

中点

又，，

所以向量和的夹角等于二面角的平面角．

．

所以二面角的大小为．

20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，

即．

得圆的方程为．

（2）不妨设．由即得

．

设，由成等比数列，得

，

即．

由于点在圆内，故

由此得．

所以的取值范围为．

21．解：（1）由

整理得．

又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

（2）方法一：

由（1）可知，故．

那么，

又由（1）知且，故，

因此为正整数．

方法二：

由（1）可知，

因为，

所以．

由可得，

即

两边开平方得．

即为正整数．

22．解：（1）求函数的导数；．

曲线在点处的切线方程为：

，

即．

（2）如果有一条切线过点，则存在，使

．

于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程

有三个相异的实数根．

记，

则

．

当变化时，变化情况如下表：

极大值

极小值

由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．

综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则

即．

2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修Ⅱ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径

一、选择题

1．设集合，（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】 ，，∴

【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别

2．设且，若复数是实数，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 ，因是实数且

，所以

【高考考点】复数的基本运算

3．函数的图像关于（）

A．轴对称 B．直线对称

C．坐标原点对称 D．直线对称

【答案】C

【解析】 是奇函数，所以图象关于原点对称

【高考考点】函数奇偶性的性质

4．若，则（）

A． < < B． < < C． < < D． < <

【答案】C

【解析】由，令且取知 < <

5．设变量满足约束条件：，则的最小值（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是、及。于是在点取得最小值，

即。

6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

7．的展开式中的系数是（）

A． B． C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【易错提醒】容易漏掉项或该项的负号

8．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】在同一坐标系中作出及在的图象，由图象知，当，即时，得，，∴

（方法二）： 。

【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离

【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题

9．设，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】 ，因为是减函数，所以当时

，所以，即（讨论的技巧性）。

【高考考点】解析几何与函数的交汇点

10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD。所以∠AEO为所求。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1，AO＝，AE= ，

（或在中，）于是。

11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）

A．3 B．2 C． D．

【答案】A

【解析】 ，，设底边为

由题意，到所成的角等于到所成的角于是有

再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A

【高考考点】两直线成角的概念及公式

【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。（人教版P49例7）

12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为AB，其中点为E，则为矩形，于是对角线 ,而，∴

【高考考点】空间想象能力。球的有关概念，两平面垂直的性质

2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修Ⅱ)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．设向量，若向量与向量共线，则．

【答案】 2

【解析】 则向量与向量共线

14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则．

【答案】 2

【解析】 ，∴切线的斜率，所以由得

15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于．

【答案】

【解析】设由，

，（）；

∴ 由抛物线的定义知。

【高考考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用

16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件① ；

充要条件② ．

（写出你认为正确的两个充要条件）

【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．

注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在中，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设的面积，求的长．

【解析】

（Ⅰ）由，得，

由，得．

所以．··········································· 5分

（Ⅱ）由得，

由（Ⅰ）知，

故，······································································································· 8分

又，

故，．

所以．····················································································· 10分

18．（本小题满分12分）

购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

【解析】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．

（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分

，

又，故．········································································ 5分

（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出，

盈利，

盈利的期望为，··················································· 9分

由知，，

．

（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．··································································· 12分

19．（本小题满分12分）

如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

【解析】

解法一：

依题设知，．

（Ⅰ）连结交于点，则．

由三垂线定理知，．···················································································· 3分

在平面内，连结交于点，

由于，

故，，

与互余．

于是．

与平面内两条相交直线都垂直，

所以平面．······························································································· 6分

（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，

故是二面角的平面角．································································· 8分

，

，．

又，．

．

所以二面角的大小为．·························································· 12分

解法二：

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．

依题设，．

，

．················································································ 3分

（Ⅰ）因为，，

故，．

又，

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．······························································ 9分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．························································· 12分

20．（本小题满分12分）

设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，求的取值范围．

【解析】

（Ⅰ）依题意，，即，

由此得．··················································································· 4分

因此，所求通项公式为

，．①········································································ 6分

（Ⅱ）由①知，，

于是，当时，

，

当时，

．

又．

综上，所求的的取值范围是．··································································· 12分

21．（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

【解析】

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．············································ 2分

如图，设，其中，

且满足方程，

故．．．．．．．．．．．．．．．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或．··································································································· 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．································································ 9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．····························· 12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

······················································································ 9分

，

当时，上式取等号．所以的最大值为．·············································· 12分

22．（本小题满分12分）

设函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．

【解析】

（Ⅰ）．·································· 2分

当（）时，，即；

当（）时，，即．

因此在每一个区间（）是增函数，

在每一个区间（）是减函数．································· 6分

（Ⅱ）令，则

．

故当时，．

又，所以当时，，即．···························· 9分

当时，令，则．

故当时，．因此在上单调增加．

故当时，，即．

于是，当时，．

当时，有．

因此，的取值范围是．·············································································· 12分

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码，

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其它答案标号，在试卷上答案无效。

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是 ,

那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

一、 选择题：

A. B. C. D.

2. 设集合，则 =

A. B. C. D.

3. 已知中，，则

A. B. C. D.

4.曲线在点处的切线方程为

A. B. C. D.

5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为

A. B. C. D.

6. 已知向量，则

A. B. C. D.

7. 设，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A. B. C. D.

8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为

A． B. C. D.

9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则

A. B. C. D.

10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种

11. 已知双曲线的右焦点为 ,过且斜率为的直线交于两点，若 ,则的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A． B. C. D.

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是

A. 南 B. 北

C. 西 D. 下

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第II卷（非选择题，共90分）

注意事项：

本卷共2页，10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

13. 的展开式中的系数为。

14. 设等差数列的前项和为，若则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

15.设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于

16. 已知为圆 : 的两条相互垂直的弦，垂足为 ,则四边形的面积的最大值为。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17（本小题满分10分）

设的内角、、的对边长分别为、、，，

，求。

18（本小题满分12分）

如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，

平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（I）证明：

（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。

19（本小题满分12分）

设数列的前项和为已知

（I）设，证明数列是等比数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（II）求数列的通项公式。

20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、粮店，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（I）求，的值；

（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

22.(本小题满分12分)

设函数有两个极值点，且

（I）求的取值范围，并讨论的单调性；

（II）证明：

123？？？动脑筋123 123多动症请问：123 急救!!123 局域网123 123shishenme 难题 123 123接电话 123秦始王 123fjhcytasyuctf 鬼武者123 应用题123 应用题123 123asdasd2qeqw 123 123 123 到到底怎磨了????? 好123和好看123 的关系？ 123*123-101*101-122*124=( ) 有边个知“123”和“E QQ抽物123] 找不到好123主页 123推理题快乐妹妹123 张谦123？