中财网广州圣诞装饰公司:一元二次方程的应用 02
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/29 16:20:38
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撰稿：梁威 审稿：徐晓阳 责编：张杨 一元二次方程的应用
在学习了一元二次方程的定义、基本解法、根的判别式、根与系数关系之后，我们不妨考虑一下，我们可以通过学过的这些内容解决什么问题呢？
一、旧问题的发展——可以化为一元二次方程的分式方程
例1、解方程：
解：方程两边都乘以(x+1)(x-1),约去分母，得
6-3(x+1)=(x+1)(x-1)，
整理后，得x2+3x-4=0（这里出现了用我们现在学习的一元二次方程可解决的问题）
解这个方程，得 x1=1，x2=-4.
检验：把x=1代入(x+1)(x-1)，等于0，所以x=1是增根；
把x=-4代入(x+1)(x-1)不等于0，所以x=-4是原方程的根
因此原方程的根是x=-4.
例2、解方程
分析：注意到
的倒数关系，可考虑设
换元解之.
解：设
原方程化为
即2y2-7y+6=0，
当y=2时，即
，去分母，得
x2-2x-1=0，
当
，去分母，得
2x2-3x-1=0，
.
∴原方程的根是：
二、衍生的新问题——二元二次方程组
例1、解方程组
解法1：由①，得 x=7-y． ③
把③代入②，整理，得y2-7y+12=0．
解得 y1=3，y2=4．
把y1=3代入③，得x1=4；
把y2=4代入③，得x2=3．
所以原方程组的解是
.
解法2：
分析：观察方程组，其特征不难使人联想到一元二次方程根与系数的关系，即视x、y是方程az2+bz+c=0的两根，从而通过解方程即可求出x、y了．
据题意，设方程组中的x、y是一元二次方程z2-7z+12=0的两个根，解这个方程，得z1=3，或z2=4．
所以原方程组的解是
.
例2、解方程组
解：由①分解因式，得(x-y)(x-2y)=0，
即 x-y=0，或x-2y=0．
解之，得
小结：一些特殊的二元二次方程组可用分解降次法解之，关键是将其中一个方程分解因式．
三、实际问题的解决——应用题
不妨先回顾一下解决应用题的基本步骤是什么？
审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；
设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；
列（根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程）；
解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；
答（切忌答非所问）。
接下来，我们看几个考察了一元二次方程问题的应用题。
例1、如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？
分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．
解法1：如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为32x米2
纵向的路面面积为20x米2
那么所列的方程是不是 32×20-(32x+20x)= 540？
不是。大家要想清楚，这两个面积的重叠部分是x2米2．图中的道路面积不是(32x+20x)米2，而是从其中减去重叠部分，即应是(32x+20x-x2)米2．
所以正确的方程是32×20-(32x+20x-x2)=540．
化简得，x2-52x+100=0
解得x1=50，x2=2
其中的x=50超出了原矩形的长和宽，不符合实际，应舍去．
当x=2时，道路总面积=(32×2+20×2-22)(米2)=100(米2)，
耕地面积=(32×20-100)(米2)=540(米2)，符合原题意
答：所求道路的宽为2米.
解法2：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，(目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路)
如图3，设路宽为x米，
耕地矩形的长(横向)为 (32-x)米
耕地矩形的宽(纵向)为 (20-x)米
相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2，
即(32-x)(20-x)=540．
化简得x2-52x+100=0，x1=50，x2=2．
再往下的计算、格式书写与解法1相同．
例2、建造一个长方体形的水池，原计划水池深3米，水池周围为1400米．经过研讨，修改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来方案的水池的长与宽各是多少米？
解：如图4，设原方案水池宽为x米，则原方案水池长(700-x)米．
新方案水池宽为 (x+2x)米．
新方案水池长为 (700-x+2x)米 ．(图5)
相等关系是新方案水池容积等于270万米3，据题意，列方程
3x(700+x)×3=2700000
化简，得x2+700x-300000=0．
解得：
x1=300，x2=-1000(舍去)
答：原方案水池宽为300米，长为400米．
小结：
1、面积、体积问题，常要用到割、补、运动等技法；
2、像例1中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略.
例3、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：什么叫做平均每月增长率？平均每月增长率是在假定每月增长的百分数相同的前提下所求出的每月增长的百分数．即，设1月份到2月份的增长率为x，则2月份到3月份的增长率也是x，3月份到4月份的增长率也是x，……(平均每月增长率不是每月增长率的平均数)
解：设平均每月增长百分率为x，
则2月份比1月份增产5000x吨
2月份的产量是（5000+5000x）吨，即5000(1+x)吨
3月份比2月份增产5000(1+x)x吨
3月份的产量是5000(1+x)+5000(1+x)x即5000(1+x)(1+x)=5000(1+x)2吨
相等关系：3月份产量等于7200吨．
列方程5000(1+x)2=7200．
化简，得(1+x)2=1.44．
所以1+x=±1.2，x1=0.2，x2=-2.2(舍去)
检验：2月份产量为5000(1+0.2)=6000(吨)．
3月份产量为6000(1+0.2)=7200(吨)符合题意．
答：平均每月增长率是20％．
从这道题中，我们可以总结出一个常用的知识点：如果某个量原来的值是a，每次增长的百分率是x，则增长1次后的值是a(1+x)，增长2次后的值是a(1+x)2，……增长n次后的值是a(1+x)n，这是增长率公式．同样，若原来的量的值是a，每次降低的百分率是x，则n次降低后的值是a(1-x)n，这是降低率公式．
例4、某人购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年(利率不变)，再到期后他兑换得到1308元．求这种债券的年利率．
解：设年利率为x，则
第1年后的利息为1500x元
1年后连本带利为1500(1+x)元
第2次债券的钱数为[1500(1+x)-435]元
第2次期满后连本带利为 [1500(1+x)-435](1+x)元
相等关系是第2次期满后连本带利为1308元．
据题意，列方程[1500(1+x)-435](1+x)=1308．
整理，得1500x2+2565x-243=0．
解得：
检验：x=9％符合题意．
答：这种债券的年利率为9％．
小结：
求平均增长率的步骤是：
第1步：设平均每次增长率为x；
第2步：利用原有产量与平均增长率x表示历次的产量；
第3步：根据题目的相等关系，列出方程；
第4步：解方程，求出x；
第5步：检验所求结果，做出答案．
撰稿：梁威 审稿：徐晓阳 责编：张杨 一元二次方程的应用
在学习了一元二次方程的定义、基本解法、根的判别式、根与系数关系之后，我们不妨考虑一下，我们可以通过学过的这些内容解决什么问题呢？
一、旧问题的发展——可以化为一元二次方程的分式方程
例1、解方程：
解：方程两边都乘以(x+1)(x-1),约去分母，得
6-3(x+1)=(x+1)(x-1)，
整理后，得x2+3x-4=0（这里出现了用我们现在学习的一元二次方程可解决的问题）
解这个方程，得 x1=1，x2=-4.
检验：把x=1代入(x+1)(x-1)，等于0，所以x=1是增根；
把x=-4代入(x+1)(x-1)不等于0，所以x=-4是原方程的根
因此原方程的根是x=-4.
例2、解方程
分析：注意到
的倒数关系，可考虑设换元解之.解：设
原方程化为
即2y2-7y+6=0，
当y=2时，即
，去分母，得x2-2x-1=0，
当
，去分母，得2x2-3x-1=0，
.∴原方程的根是：
二、衍生的新问题——二元二次方程组
例1、解方程组
解法1：由①，得 x=7-y． ③
把③代入②，整理，得y2-7y+12=0．
解得 y1=3，y2=4．
把y1=3代入③，得x1=4；
把y2=4代入③，得x2=3．
所以原方程组的解是
.解法2：
分析：观察方程组，其特征不难使人联想到一元二次方程根与系数的关系，即视x、y是方程az2+bz+c=0的两根，从而通过解方程即可求出x、y了．
据题意，设方程组中的x、y是一元二次方程z2-7z+12=0的两个根，解这个方程，得z1=3，或z2=4．
所以原方程组的解是
.例2、解方程组
解：由①分解因式，得(x-y)(x-2y)=0，
即 x-y=0，或x-2y=0．
解之，得
小结：一些特殊的二元二次方程组可用分解降次法解之，关键是将其中一个方程分解因式．
三、实际问题的解决——应用题
不妨先回顾一下解决应用题的基本步骤是什么？
审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；
设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；
列（根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程）；
解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；
答（切忌答非所问）。
接下来，我们看几个考察了一元二次方程问题的应用题。
例1、如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？
分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．
解法1：如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为32x米2
纵向的路面面积为20x米2
那么所列的方程是不是 32×20-(32x+20x)= 540？
不是。大家要想清楚，这两个面积的重叠部分是x2米2．图中的道路面积不是(32x+20x)米2，而是从其中减去重叠部分，即应是(32x+20x-x2)米2．
所以正确的方程是32×20-(32x+20x-x2)=540．
化简得，x2-52x+100=0
解得x1=50，x2=2
其中的x=50超出了原矩形的长和宽，不符合实际，应舍去．
当x=2时，道路总面积=(32×2+20×2-22)(米2)=100(米2)，
耕地面积=(32×20-100)(米2)=540(米2)，符合原题意
答：所求道路的宽为2米.
解法2：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，(目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路)
如图3，设路宽为x米，
耕地矩形的长(横向)为 (32-x)米
耕地矩形的宽(纵向)为 (20-x)米
相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2，
即(32-x)(20-x)=540．
化简得x2-52x+100=0，x1=50，x2=2．
再往下的计算、格式书写与解法1相同．
例2、建造一个长方体形的水池，原计划水池深3米，水池周围为1400米．经过研讨，修改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来方案的水池的长与宽各是多少米？
解：如图4，设原方案水池宽为x米，则原方案水池长(700-x)米．
新方案水池宽为 (x+2x)米．
新方案水池长为 (700-x+2x)米 ．(图5)
相等关系是新方案水池容积等于270万米3，据题意，列方程
3x(700+x)×3=2700000
化简，得x2+700x-300000=0．
解得：
x1=300，x2=-1000(舍去)
答：原方案水池宽为300米，长为400米．
小结：
1、面积、体积问题，常要用到割、补、运动等技法；
2、像例1中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略.
例3、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：什么叫做平均每月增长率？平均每月增长率是在假定每月增长的百分数相同的前提下所求出的每月增长的百分数．即，设1月份到2月份的增长率为x，则2月份到3月份的增长率也是x，3月份到4月份的增长率也是x，……(平均每月增长率不是每月增长率的平均数)
解：设平均每月增长百分率为x，
则2月份比1月份增产5000x吨
2月份的产量是（5000+5000x）吨，即5000(1+x)吨
3月份比2月份增产5000(1+x)x吨
3月份的产量是5000(1+x)+5000(1+x)x即5000(1+x)(1+x)=5000(1+x)2吨
相等关系：3月份产量等于7200吨．
列方程5000(1+x)2=7200．
化简，得(1+x)2=1.44．
所以1+x=±1.2，x1=0.2，x2=-2.2(舍去)
检验：2月份产量为5000(1+0.2)=6000(吨)．
3月份产量为6000(1+0.2)=7200(吨)符合题意．
答：平均每月增长率是20％．
从这道题中，我们可以总结出一个常用的知识点：如果某个量原来的值是a，每次增长的百分率是x，则增长1次后的值是a(1+x)，增长2次后的值是a(1+x)2，……增长n次后的值是a(1+x)n，这是增长率公式．同样，若原来的量的值是a，每次降低的百分率是x，则n次降低后的值是a(1-x)n，这是降低率公式．
例4、某人购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年(利率不变)，再到期后他兑换得到1308元．求这种债券的年利率．
解：设年利率为x，则
第1年后的利息为1500x元
1年后连本带利为1500(1+x)元
第2次债券的钱数为[1500(1+x)-435]元
第2次期满后连本带利为 [1500(1+x)-435](1+x)元
相等关系是第2次期满后连本带利为1308元．
据题意，列方程[1500(1+x)-435](1+x)=1308．
整理，得1500x2+2565x-243=0．
解得：
检验：x=9％符合题意．
答：这种债券的年利率为9％．
小结：
求平均增长率的步骤是：
第1步：设平均每次增长率为x；
第2步：利用原有产量与平均增长率x表示历次的产量；
第3步：根据题目的相等关系，列出方程；
第4步：解方程，求出x；
第5步：检验所求结果，做出答案．