撒椒江湖菜:简约数学●简约教学●简约智慧（许卫兵）

简约数学●简约教学●简约智慧

作者：江苏省小学数学特级教师 海安县实验小学 许卫兵

一

在“数学”之前以“简约”来修饰而成为“简约数学”，并非刻意地进行文字拼凑制造新词，而是力求将简约和数学联系起来，从简约的角度来把握数学、解读数学，寻找数学这门学科所具有的简约内涵，以及这种内涵所带来的文化力量。

说起“简约”，常见常用，但何谓“简约”，可意会难言传。当然，难以言说不等于不可以言说。根据维特根斯坦的观点，人们对于一个概念的理解最集中地通过使用该概念得以体现，即意义存在于“用法”之中，千差万别的用法为寻找词语的关键特征提供了丰富的语境。[i][①]

“简约”在生活和艺术中的运用，要远比其在教育领域提得早、用得多。曾看到这样几幅漫画：

    我很欣赏这四幅画的配文，尤其是每幅配文的后半句，透露出阳光心态和精神自足。可以说，只有“物质不富裕，精神很富有”的朴素生活，才称得上是幸福指数高的“简约生活”。

“简约”在艺术领域的运用十分广泛，几乎所有艺术形式都产生了简约的思潮、风格、流派。欧洲现代主义建筑大师密斯·凡·德·罗的名言“少即是多”被认为是简约主义的核心思想。纵观艺术发展史中的“简约”潮流，不断简省、简化、简略的都是艺术形态外在的“形”，而不断丰富、深刻的是其内在的“魂”——人的精神、思想、志趣、品格……只有境界高远、充满创造的简练艺术才称得上是“简约”。

教育本身就是一种生活——教育生活，也是一门艺术——教育艺术，将“简约”在生活和艺术中的意义精髓引申到教育领域，并赋予其以教育学意义，是对简约内涵的丰富和扩展，是对教育研究视角的一次拓宽。教育教学中的简约，既是一种思想，又是一种策略，既是一种形态，又是一种境界，其本质就是要遵循教育规律和人的成长规律，追求用最简练的教学来实现最大效益的育人功能。

从简约的角度来对数学的发展演变作剖析，可以发现，数学是求简的。人们追求数学理性精神和用数学的方式来表达各种发现、创造的过程，其实就是一个对世界的认识不断由表及里、去伪存真、删繁就简的过程。在古文明中，有相当长的一段时间，数学只是用于感官所能接触的自然知识。其作为一种逻辑发展和认识自然的工具，是公元前600年希腊人的创造。古希腊的数学家大多是哲学家和天文迷，他们坚信所有的自然现象都遵循一个精确不变的计划——数学计划。随着数学理性精神的诞生，建立在欧几里德《几何原本》基础上的实用数学和三角几何，使得人们对自然的研究有了飞跃，且更加激发了人们用数学的方法来认识自然、描述自然、最终发现宇宙万物的数学化规律的热情，影响深远。“笛卡尔、开普勒、伽利略、牛顿、莱布尼茨以及现代数学的其他奠基者的信念都可以这样来表示：大自然中隐藏着一种固有的和谐，反射到我们的心智中就呈简单数学定律的形式。通过观测和数学分析的结合就可以预言大自然的事件，就是因为有这种和谐。”[ii][②]尽管这种信念的背后带有“神灵论”的成分，但是数学家们对上帝信仰的消除从正统的观念逐渐过渡到理性超自然主义、自然神论、不可知论，直到彻底的无神论，数学的大厦正是在这种消解中一步一步地矗立起来。换言之，数学是人们在不断地试图用简洁的数学方式来揭示隐藏着的自然奥秘的“求简”目标驱动下兴起和发展起来的。

数学的“求简性”还表现在数学表达上——数学的符号语言。“如果没有符号体系，数学将迷失在文字的荒原中”（克莱因）。此外，数学抽象也是数学“求简性”的重要表现。亚历山大洛夫说：“我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等……数学的抽象是经过一系列阶段而产生的，它们达到的抽象程度，大大超越了自然科学中一般的抽象。不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。”[iii][③]

如果从更深层次来理解数学抽象的“求简性”，不能不谈到“数学是模式的科学”的数学观。数学教育哲学理论认为，“数学是模式的科学。这就是说，数学是通过模式的建构、并以此为直接对象来从事客观世界量性规律性研究的。” “原始意义上的七桥问题，只能说是一个游戏，而不被看成一个真正的数学问题；与此相反，这一问题由于欧拉的合理抽象被变形成了一般的‘一笔画’问题，并通过‘奇点’、‘偶点’等概念的引进得到了十分一般的处理，从而获得了真正的数学意义”。由此可以看出，真正的数学学习应该帮助学生对数学的概念、命题、问题和方法等形成超越特殊对象的普遍意义。从这个角度来看，“数学教学的基本目标应是努力帮助学习者逐步建立和发展分析模式、应用模式、建构模式和鉴赏模式的能力”，“这正是现代数学观的核心内容之一”。[iv][④]

诚然，数学是一个多元的复合体，也是一面多棱镜，从不同的侧面能看到别样的风景。但很显然，数学的简约特性是那么的鲜明和独特，乃至成为数学相对于其他学科最具“标志性”的区别。它不仅让数学美丽，而且具有强大的文化力量。

二

在我们认同数学具有最鲜明的“简约”特性的基础上，创建简约化的数学教学不仅体现出与数学学科简约特性内在的“呼应”和天然的“姻缘”，而且具有较强的现实意义。遵循“简约”的原则，体现“简约”的要求，凸显“简约”的风格，追求“简约而不简单”的境界，是简约数学教学的应有追求。

我们认为，所谓简约数学教学，是指教师对数学课堂教学的情境创设、素材选择、活动组织、结构安排、媒体使用等教学要素做到精确把握和经济妙用，使课堂变得更为简洁、清晰、流畅、丰富、深刻，进而达到优质和高效，最终实现学生数学基础学力的发展、数学素养的提升、健全人格的生成。

上述对简约数学教学的界定，可以从三个方面来解读。

第一，“如何做”，即教师在教学过程中要能精确把握影响教学的一切要素（既包括教材研读、素材选择、教法确定、活动组织、结构安排、媒体使用、学生已有的经验基础等具体内容，也包括教学的物理环境、无形的师生关系、学习情绪调控等隐性资源），在此基础上，对各种教学素材的使用能做到经济、精当、高效，以简驭繁，以少胜多。需要说明的是，充分肯定教师在数学教学活动中的作用，并非是回到“教师中心”论。恰恰相反，简约数学教学仍然坚守儿童立场，强调自主发展，并且十分重视师生在教学活动中各自独有价值的体现与互动共生。

第二，“做成怎样”。“简洁、清晰、流畅、丰富、深刻”是对简约化的数学课堂的形象描述。马云鹏教授说，“好的数学课是自然流淌的课。”我以为，“自然流淌”就是追求“本真”，不刻意修饰和雕琢。当然，“水到渠成”不能简单地看成是纯粹的、随意的“自由生长”，而是圆满实现教学目标的过程，是教师教学智慧和学生生命力充分彰显的过程。“简洁”、“清晰”、“流畅”是数学课堂“水到渠成”过程中表现出来的外在特征，主要指教学内容、教学环节简洁明了，教学目标、教学思路清晰到位，教学运行、学习过程自然流畅等。“丰富”、“深刻”则是数学课堂“水到渠成”过程中所蕴含的内在品质和价值追求——儿童数学思维的丰富，学习情智的丰富，教师教学技艺的精湛，教学思想的深刻，等等。从这一点来看，只简单而不丰富、只清晰而不深刻的数学教学，不能成为完全意义上的简约教学。

第三，“目标指向”。简约数学教学的目标指向是“达到优质和高效，最终实现学生数学基础学力的发展、数学素养的提升、健全人格的生成”。这样的目标可以从两个方面来看，一是基础目标或显性目标，二是长远目标或隐性目标。（详见《江苏教育》2009年第12期《给教学目标一点“形上的关怀”》）

总之，简约数学教学追求的是从繁复（或“过于简单”）走向简约，并从简约抵达丰富的课堂，是要营造一种师生“生命在场”的课堂，是彰显教学智慧与人的精神力量的课堂。“简约”既表达了数学学科的本质特征，又体现了数学教学的内在要求，简约教学应该成为数学教师在掌握了数学自身发展规律和儿童数学学习规律后的自觉追求。

三

“简约”和“智慧”是分不开的。有位哲人说，“简单到极致，就是美丽”。简约之美，美在简洁，美在意蕴，美在灵动，美在创造。而这一切的背后都凝聚到一点上，那就是“智慧”。

“简约数学”和“智慧数学”虽是从不同的角度提出了对数学的认识，但基于这种认识的教学行动（特别是数学课堂教学）却有着很大的相似性。比如，二者都关注到了数学的简洁性，并力求使得数学课堂教学呈现出鲜明的简洁美，这也应了莎士比亚的那句话：“简洁是智慧的灵魂”。再比如，二者都提出了要追求数学课堂教学的结构化，注重知识的整体性，认为课堂结构是学科知识结构和结构化思维的有机整合，并且认识到在结构化课堂的长期熏陶、体验、感悟下，学生的立体化、结构化的思维会得到长足发展，这有利于学生形成整体建构的意识和能力，由此衍生开来，还会影响到他在生活中逐步学会用整体、联系的眼光看待事物，解决实际问题。肖川说：“学习的方式就是人的存在方式”。从这一点来看，教学结构的深层意义是培育结构化思维，结构化思维的培养具有生命的意义。再者，简约数学教学和智慧数学教学都力求从改造教材、优化教法、改变学法上来改革教学，但并不刻意追求有一套全新的教学模式，而是着力于教师的教学创意和教学的生动表达，关注学生的学习体验、感受、熏染和启迪，教学视野基于数学教学而又超越学科之上。

当然，简约数学强调简于“形”而精于“心”，以“形”传“神”，藏“神”于“形”，由外而内，自下而上；智慧数学则是以“神”带“形”，“神”“形”相随，由内而外，自上而下。粗略看来，颇有差别。然而，从更高的层面上来看，课堂教学最终应该给学生带得走的东西，“智慧则是‘带得走’的总代词和内核”[v][⑤]，因此，在某种意义上简约教学就是一种“智慧”教学，是需要智慧来保障并且为了儿童智慧的生长的教学。而“智慧数学”的倡导者在阐释自己的主张时，引用张奠宙教授的一番话（数学教学设计的核心是如何体现“数学的本质”“精中求简”“返璞归真”，呈现数学特有的“教育形态”，使得学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力。多一些数学本质的探究，少一些空洞的说教，学生幸甚，学校幸甚），并由此得出：这“数学的本质”“精中求简”“返璞归真”难道不是数学及数学教育应有的“智慧”形态吗？可见，智慧教学也和简约教学有着内在的统一性，都关注数学的学科本质，关注数学学习的核心价值，关注厚积薄发、深入浅出、返璞归真……当然，从教育理解到教学行动，从不同的方向走到共同的目标，尚有很远的距离，要实现真正的统一则需要我们拥有更多的简约智慧。     

——本文刊于《江苏教育》2011年第4期