中财网一颗假牙套多少钱:漫谈分形
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/05/13 20:40:36
漫谈分形
分形理论及其发展历程李后强 汪富泉
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
二
1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部著作《分开：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。
自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。
三
动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（！）局部不连通的分形集；（2）局部连通的分形拟圆周；（3）既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。
动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，著名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。
复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。
M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。
巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生著名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。
一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。
多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。
四
分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是喁喁分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。
在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。
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（1）满足下式条件 Dim(A)>dim(A)的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
没有接触过分形概念和分形科学的人很不容易理解分形的实质，用简单的话来说，分形实质上就是由一组固定数目，固定形态的最简单的基本元素组成无限复杂，看似毫无规律的各种形态的事物。笔者认为任何事物实质上都是分形体，无论是宏观世界还是微观世界，无论是有规律形态还是没有规律形态，无论是简单还是复杂的物体及图形都是分形体。既然分形代表着世界的最基本原理，那么反应事物发展变化规律的周易必然与其有着很深的联系，事实上的确如此。曾有一名研究周易很有建树的大师曾经说过周易愿意是古人用绳线周而复始绕圈以来记事的意思。笔者赞同这个说法，古人发明的同余计算法就是其很好的证明。任何事物都是在周而复始的不停发展变化着的。分形正好也反应了这一点，熟悉分形图的人都知道分形图是通过不同复数式的多次迭代运算产生的，其逼真效果与实际事物的图像非常的吻合。（注：迭代运算是数学上的一种计算方法，其是把前次运算的结果在反馈到原公式中再次运算）分形图产生过程中的迭代运算非常相似于周易中的周而复始的绕圈记事的方法。在这里最简单的方法与公式产生了整齐，有秩序并且无限复杂的事物。抽象的说教解决不了问题，我在这里给大家举两个例子让大家更好地理解分形及其重要性。其一是一个生命演绎游戏，具体内容如下：本世纪70年代，人们曾疯迷于一种被称作“生命游戏”的小游戏，这种游戏相当简单。假设有一个象棋盘一样的方格网，每个方格中放置一个生命细胞，生命细胞只有两种状态：“生”或“死”。由英国数学家John Conway确定的游戏规则如下：如果一个细胞周围有3个细胞为生（一个细胞周围共有8个细胞），则该细胞为生，即该细胞若原先为死，则转为生，若原先为生，则保持不变；如果一个细胞周围有3个细胞为生（一个细胞周围共有8个细胞），则该细胞为生，即该细胞若原先为死，则转为生，若原先为生，则保持不变； 如果一个细胞周围有2个细胞为生，则该细胞的生死状态保持不变；在其它情况下，该细胞为死，即该细胞若原先为生，则转为死，若原先为死，则保持不变。依此规则进行迭代变化，使细胞生生死死，会得到一些有趣的结果。该游戏之所以被称为生命游戏，是因为其简单的游戏规则反映了自然界中这样的生存规律：如果一个生命，其周围的同类生命太少的话，会因为得不到帮助而死亡，如果太多，则会因为得不到足够的生命资源而死亡。用计算机模拟这个生命游戏也相当简单，可以用一个M×N象素的图象来代表M×N个细胞，其中每一个象素，代表一个细胞，象素为黑色表示细胞为生，象素为白色代表细胞为死。
例如一个图象中几个象素所代表的生命的初始状态如下左图所示，依上述规则进行行迭代变化，则经过1次、2次、3次变化后的情况分别如下图所示：
设定图象中每个象素的初始状态后依据上述的游戏规则演绎生命的变化，由于初始状态和迭代次数不同，将会得到令人叹服的优美图案。
下面给出的小程序程序用TC2.0编写。变化时边缘细胞不参与变化。随着迭代次数的不同，在屏幕显示的图案精彩纷呈，象万花筒般引人入胜。#include
main(){
nCount=orgData[nRows-1][nCols-1]+orgData[nRows-1][nCols]+orgData[nRows-1][nCols+1]+orgData[nRows][nCols-1]+orgData[nRows][nCols+1]+orgData[nRows+1][nCols-1]+orgData[nRows+1][nCols]+orgData[nRows+1][nCols+1];
switch(nCount){
/*周围有3个活细胞，该细胞为生，在屏幕上用黑色象素表示*/
case 3:
putpixel(nCols+210,120+nRows,BLACK);
resData[nRows][nCols]=1;break;
/*周围有2个活细胞，该细胞不变，在屏幕显示也不变*/
case 2:
resData[nRows][nCols]=orgData[nRows][nCols];
break;
/*其它情况下，细胞为死，在屏幕上用白色象素表示*/
default:resData[nRows][nCols]=0;
putpixel(nCols+210,120+nRows,WHITE);
}}}for (i=1;i<99;i++)
for (j=1;j<99;j++) orgData[j]=resData[j];
getch()
在实际模拟时，可以取更多的生命细胞，也可以考虑生命细胞的初始状态是依一定概率设定的随机状态，变化时也可以让边缘细胞参与变化。只要对上述程序略作更改，就会得到另外一系列美妙绝伦的图案。这个游戏之所以让很多人着迷，一方面因为简单中产生的让人惊叹的美丽，另一方面也是因为这个游戏的思想和其深刻内涵已经应用到科学上的很多领域，fx在这里显示了其无穷的魅力。
其二是关于雪花的问题：
生活在北方的人对雪花是不陌生的，那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的赞叹。但若问起雪花的形状是怎样的，能回答上来的人不一定很多。也许有人会说，雪花是六角形的，这 既对，但又不完全对。雪花到底是什么形状呢？1904年瑞典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。
先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。
从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样，小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图 形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家曼德布罗特创立的fx几何。所谓fx几何就是研 究不规则曲线的几何学。目前fx几何已经在很多领域得到了应用。
再来看一组图形，是不是对fx有所认识？ 细心的人会发现这两组图形中包含了很多相似形（形状相同，大小不一定相同）。
这种图形的特点就是图形的每一部分都和它本身的形状相同，我们叫它自相似形。自相似图形属于fx图中的一种。通过计算机处理后，我们可以一个简单的图形变成非常漂亮的fx图，我称之为几何艺术品。
看完以上两个内容，相信读者对分形有了更深层次的了解。当然除了在计算机、生命科学方面有了分形的影子，在我们最关心的生活方面，分形也显示了它无所不在的价值。比尔 .威廉姆博士、华尔街著名金融分析家，美国profitunity金融贸易机构主席曾经独创了股票市场的分形操作法，虽然他的方法只是爱略特波浪理论的解释性方法，但是从中也透露了万物大同的气象。比尔的错误是他只是简单的把股票的市场规律划分为三中最基本的形式，他认为股票的涨跌形式都可由这三种形式构成。事实上，股票的涨跌全过程就好比是一个360度周天的循环过程，每天中任何一分钟的股票形式和全天，全年的形式从本质上都是一样。笔者认为三种基本形式过少，而是八种，即八卦的形式，只有这样才能全部解释股票的发展过程。说到这里，聪明的读者也许看出了些分形与周易的联系，万事万物正是都有着发生，发展，衰亡的三个基本过程，并由这最基本的三个过程组合成了更上一层的发生，发展，衰亡的过程，如此无限循环迭代，事物也就生生不息，环环相似，周而复始的发展着。说到这，笔者忍不住想提一下关于用周易预测的问题。很多周易爱好者都喜欢用八字，大六壬，奇门遁甲进行预测，而且往往有较准确的结果。但是每个人都无法回避一个疑问，为何同年，同月，同日生的人确有不同的命运？不仅一般人感到纳闷，就是大师们也三缄其口。不是大师们不想回答，而是他们确实也不知为何。说难也难，说不难也不难，其实我们只要懂了分形的道理，这个问题也就迎刃而解了。这不过就是一个层次相不相同的问题，同年同月同日生的人因为每个人所在的层次，所在的位置不同而命运大相径庭。要解决这个问题，以目前的方法作不到，唯有提取更多的层次信息，如用16字，32字等等，信息越多则会越准确。笔者曾尝试用分形的观点改进六爻预测法，取得了不错的效果，不仅预测的准确性高了，更重要的是精度大大提高了，尤其是对应期、事情的每步发展状况的预测的准确度较其他方法有了很大提高.
}在计算机上运行上述程序，得到迭代次数为45、69、74、78、97、116、119和156时的图象分别为下图所示。
int orgData[100][100],resData[100][100];/*分别记录每次 迭代的初始和结果状态*/
int nCount,nRows,nCols,i,j,times; /*times记录迭代次数*/
int GraphDriver=DETECT,GraphMode;
for (i=0;i<100;i++) /*初始化数据，令每一个细胞为?/
for (j=0;j<100;j++) orgData[j]=1;
initgraph(&GraphDriver,&GraphMode,"");/*初始化屏幕 显示*/
setcolor(WHITE);
rectangle(270,190,370,290); /*作显示边框*/
for (times=1;times<200;times++){
for (nRows=1;nRows<99;nRows++) {
for (nCols=1;nCols<99;nCols++){
/*计算每一个细胞周围的活的细胞数*/ 本帖最近评分记录: 隐藏评分记录清空我的评分动态 共 条评分 天际无边云自闲！ 回复 引用 举报顶端 sky999 在线
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刘华杰
●“我的名字列在曼德拉和***之间”（芒德勃罗）
●“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”（物理学家惠勒）
●想了解芒氏有多出名，请上因特网，用YAHOO！检索输入关键词Mandelbrot，你一定有不少收获。
芒德勃罗（Benoit B．Mandelbrot）1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍立陶宛，犹太人。分形理论的创始人，IBM研究员，耶鲁大学数学教授，曾获物理学沃尔夫奖。其名著《大自然的分形几何学》将由上海远东出版社出版。
问（刘华杰）：很高兴读到你寄来的巴塞罗斯（Anthony Barcelos）写的访谈。通过郝柏林等科学家的介绍，中国许多研究人员早就开始研究分形，学生们也通过各种课程学习有关理论和技术。但我认为与此同时，也应当将分形理论的曲折发展史介绍给中国学生，这对他们很有启发。
我现在正在写一部关于您的小传，有些难找的资料需请教您。
我只知道您是1955年结婚的，您能谈谈您的妻子（我在北京见过）和孩子吗？我也很想知道您家族的一些情况。这些信息对我的写作有好处，未必与学术思想有关，但可以帮助读者从不同的方面理解您这位学术领袖。
答（芒德勃罗）：我妻子及我本人的家族中大部分成员是商人或者神职人员。这一切可以上溯到18世纪，其中几个是很有影响的人物。在我们这一代里，一大批人是研究学问的，有几个非常杰出。我经常开玩笑说，与我们的儿子有血缘关系的这些人足以支撑起一所相当不错的大学。
除了那个有名的叔叔佐列姆外，我家里还有一个亲戚在巴黎大学任物理化学教授，另一个在马赛利（Marseille）大学任物理学教授（他还是一名画家）。还有一个兄弟任一家重要报纸的主编。
我妻子原名叫卡甘（Kagan）。在她母亲那一支，她属于一个出了许多名人的叫做崔岭（Trilling）的家族。她的兄弟都是大学的化学教授，一个是法兰西学院的院士。她的一个堂兄过去是伯克利的物理教授，现在是美国国家科学院院士，另一个堂兄是麻省理工学院的工程教授。
我大儿子叫劳拉（Laurent），现在是巴黎一家医学院的妇科教授。小儿子叫迪德（Didier），任哈佛医学院讲师。
问：请问我到哪能够找到您1952年的博士论文的英文简介？关于此论文有不少传说，我只知道其大致的内容。
我在1988年读本科时就注意到维纳（Norbert Wiener）在其名著《人有人的用途》（商务印书馆有中译本）中两次提到您在语言学和噪声方面的工作。您过去见过维纳吗？
答：我的博士论文从未以英文形式发表过。不过我可以告诉你为什么它被划为应用数学类。当时我把论文给卡斯特勒（Alfred Kastler）教授看，他是我叔叔的朋友，后来荣获诺贝尔物理学奖。他开玩笑地说，论题的前半部分不存在（他说得对，论题是数理语言学），而另半部分已经死掉了（他错了，论题是统计热力学，不久又活跃起来了）。
维纳与我叔叔既是同事又是朋友。我在1948年遇见他，当时他的名著《控制论》（科学出版社有中译本）刚出版，我能经常碰到他。但是，我的博士后工作是跟普林斯顿大学高等研究院的冯·诺伊曼（von Neumann）做的。
问：您被授予诸多奖励和奖章，您能按其重要程度排列一下顺序吗？
答：我寄给你的简历中详细列出了奖项和荣誉学位。每一项奖励对我来说都有特殊意义。此次我又寄去几份与此有关的文件。
也许我应该提及两项古怪的通常很少提到的事情。1993年《星期日泰晤士报》（伦敦）列出“20世纪的1000位缔造者”，我的名字按字母顺序列在曼德拉（Nelson Mandela）和***之间。1995年法国《新观察家》（Le Nouvel Observateur）周刊列出“世界上50位最有影响的人物”，我的名字也包括在其中。
问：您在自然科学、经济学和艺术中做出了许多贡献，也许最大的贡献是开创了“分形”科学，您能概括地谈谈您的具体贡献吗？列出几项即可。
答：沃尔夫奖（Wolf Prize）的评语认为我的分形理论“改变了我们的世界观”。麻省理工学院经济学教授萨缪尔逊（Paul A．Samuelson）评论我的论金融的论文时说：“芒德勃罗是一个极富创造力的学者，经济学家已经受惠于他的洞见。在为推动经济学进步做出重要贡献的非经济学家的排行榜中，芒德勃罗的名字仅次于冯·诺伊曼。”
有人认为我的工作对数学教学产生了重要影响。
我不太清楚你所说的“具体”是什么意思。
问：中国给您留下什么印象？这也许是一个很可笑的问题。
答：我的最强烈的印象是中国的人民，我觉得你们是东欧人甚至西欧人的极接近的亲戚，甚至比日本人、马来亚人和印度人更接近于欧洲人。当然，中国的传统建筑不同于欧洲。北京故宫巨大的规模、香港繁荣的经济都超出了我的想象。
(《中华读书报》1998年02月11日) 本帖最近评分记录: 隐藏评分记录清空我的评分动态 共 条评分 天际无边云自闲！ 回复 引用 举报顶端 ★★★★★2011年周易天地网络学院（部分）学习班安排 sky999 在线
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前言
在多年大量实践与探索的基础上，我于96年年底完成了论文<<大系统随机波动理论>>, 随后又在近一年的运作实践中不断进行了修正与完善，自信已经形成一个比较合乎现实逻辑的理论体系。该论文结合当今数学与物理学界最热门的研究领域之一 --- 以变化多姿杂乱无章的自然现象为研究对象的分形理论，从最基本的概念与逻辑出发阐明了波动是基本的自然法则, 价格走势的波浪形态实属必然；阐明了黄金分割率的数学基础及价值基础, 价格波动的分形、基本形态及价量关系, 并总结了应用分析的方法与要点等等；文中也多次引用我个人对分形问题的研究成果；另外也指明了市场中流行的R.N.埃劳特的波浪理论的基本点的不足之处。在国内基金业即将进入规范的市场化的大发展时期之际，就资金运作交易理论进行广泛的交流与探讨，肯定与进行有关基金的成立、组织、规范管理等方面的交流与探讨同样有意义。我尽力用比较通俗的语言描述并结合图表实例分析向读者介绍有关价格波动理论研究的基本内容与使用要点，供读者朋友参考。
一、分形理论与自然界的随机系统
大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑溯迷离的自然景观, 人们很难用一般的物质运动规律来解释它们, 象变换多姿的空中行云, 崎岖的山岳地貌, 纵横交错的江河流域, 蜿蜒曲折的海岸线, 夜空中繁星的分布, 各种矿藏的分布, 生物体的发育生长及形状, 分子和原子的无规运动轨迹, 以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。 欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律, 这些客观现象的基本特征是在众多复杂因素影响下的大系统(指包括无穷多个元素)的无规运动。 通俗一点讲, 这是一个复杂的统计理论问题, 用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。 70年代曼德尔布罗特(Mandelbrot,B.B.)通过对这些大系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”, 以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。
所谓分形, 简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。 所谓自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。如树木不管大小形状长得都差不多, 即使有些树木从来也没见过, 也会认得它是树木； 不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。所谓分形的分数维, 是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的, 它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。说起来一般人可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。
一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证明，合理的（或者说不能推翻的）逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。本世纪初, 爱因斯坦将物质运动从三维空间引到四维空间去描述, 从而产生了一场科学与认识上的革命, 爱因斯坦的相对论不仅让人类“发现”了原子能，而且更重要的是其极大地推动了人们对太空与原子（和微观粒子）的认识层次与能力的提高，但愿分形理论的诞生也具有同样意义，也许在生命（生物）科学与环境科学领域将发现分形理论的重大价值。
下面结合三分法科赫曲线（KOCH）来进一步说明自相似性的意义。如附图一所示, 将一条1个单位长度的线段, 分三等份, 去掉中间的一份并用同等长度的等边三角形的两条边取代之, 随后用同样的方法不断循环地操作五次, 即得这些图形。 由科赫曲线明显可以看出, 不管尺寸如何变化, n=1 时的基本三分图保持形不变！ 这就是自相似性,价格曲线的波动明显包括这种循环叠加、“自我生成”的（信息传递的）演变规律。科赫曲线是描述海岸线很好的近似，同样由科赫曲线人们会想起价格波动曲线。科赫曲线的分形维1.2628。维度是 1·2628的“空间”，简单从距离意义上讲，在其空间中取任意点，与这个固定点有相同“距离”的空间点数（集）比一维空间多（一维即是一条直线，有2个点）而比二维空间少（二维空间是个平面，距离相同点有无穷多并组成一个圆轨迹），甚至最短距离也可能不是“直线”；从“密度”的意义上来讲，1.2628维度空间内的“密度量”正比于该空间中空间尺度单位的1.2628幂次方。
科赫曲线虽说是个简化的数学模型, 但其形象地显示不管从什么样大小的尺度来考虑,科特曲线总是包含 n=1 时的特征, 曲线的任何一个部分都是整体形状的“缩影”,这是分形的自相似性。科赫曲线直观地反映了分形的演变内涵，它揭示了客观事物自然演变的一种普遍法则。 象人类自身的细胞生长, 细菌的繁殖, 植物的生长, 地貌的变化, 海岸线的变迁，天气的变化等等, 无不带有这种以某些特征为传递信息的无穷尽的衍变过程，通过仔细深入研究人们有可能发现这些复杂自然现象的分形特征，分形是普遍存在的。
分形理论表明，大自然中客观存在的分形现象的分形维大多在1.6—1.7附近，少数在0.6—0.7或2.6附近，这让人想起黄金分割率0.618或1.618。理论上讲逻辑“空间”的分数维度可以有无穷多个取值，但有意义的肯定是那些特殊数字（我在1983年完成的论文《费尔马大定理研究》中对此逻辑原则作过详尽阐明。）；因此有理由认为客观事物的分形维基本上应具1.618或0.618或2.618的特征！也就是说自然界众多庞杂的无规现象具有一定的共同逻辑特征。通过简单的数学运算可以证明：任意一个由前两项的和生成随后一项的无穷级数S={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）+a（n）] 其中n=1，2，3，…，∞}的相临两项之比a（n+1）/a（n）趋向于1.618的极限；任意一个由前两项的积生成随后一项的无穷级数Q={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）*a（n）] 其中n=1，2，3，…，∞}的相临两项之关系趋向于a（n+1）=a（n）^1.618或a（n）=a（n+1）^0.618的极限。这种关系的意义我将在有关黄金分割率的一节中详细论述，可以说这种关系一定意义上揭示了自然界随机系统分形特性的逻辑基础。自然界中“无规”变化的事物（或系统）的主要特征是时间上的不可逆性, 这也是自相似性的“基本传递信息”，数学中表现为“时间反演不对称”。 二、价格波动运动的基础与基本特性描述
大集合体具有某些特征的随机运动是自然界存在的普遍现象之一。 用数学方法描述即是一个由无穷多个具有某些共同属性的元素组成的系统, 系统内每个元素的某种运动具有不确定性, 描述系统整体的某些变量也具有随机性, 系统的这些随机变量的时间坐标曲线则是一些无规的波动曲线。 现实生活中属这类性质的曲线很多, 例如气象图、噪声图及有关大气污染、动植物生长状况、人类健康状况、产品质量控制、宏观经济统计数据研究等等方面的某些变量曲线都属于此类。
系统的随机性并不是说系统的随机变量是不可量度的, 而是说变量的不可精确预测性； 换句话说, 我们只能知道变量的历史及当前已经发生的数值, 将要发生的数值是不能精确确定的。 这就确定了变量曲线的随机波动基础。一般情况下, 大集合体(或大系统)的运动过程是渐进的或者说是连续的过程, 不是跳跃式的或突变式的；更严格地讲, 大系统从一个均衡状态演变到另一个均衡状态是经历了无穷多个“时间单位状态”的运动, 系统每个单位时间状态对应一个随机变量数值；无穷多个随机变量数值对应有限个“宏观均衡状态”必然产生宏观变量的随机性, 同时随机理论证明变量的随机变动是围绕某一平均值附近进行的, 这就决定了系统宏观变量曲线的波动性及连续性（当然不是平滑性和均匀性）。 曲线(或图表)连续性是技术分析的基本假设之一。
一般国家或地区（或全球性）的证券市场因其公开(信息化)、公平(自由竞争)、快捷严格（无实物交易并迅速结算）的交易制度及有无数交易者参与, 构成典型的价格指标随机波动系统。价格波动的直接因素是未来时间内参与交易者的数量及建立头寸的位置、方向、数量都是不可精确测度的, 间接因素或过程因素则是由于影响买卖交易的信息传播、资金供应、不同交易者的心理状态变化等等方面总体方面是不可测的。 价格的随机波动是绝对的，时间越短交易量越大价格波动的随机性就越强。价格随机波动的一个重要推论是一般情况下(参与交易者少及停板状态除外),同一位置买和卖都是有赚钱机会的！ 真正赚钱与否关键要看交易者的心态与交易操作是否迅速果断；市场交易量越大，价格波动就越频繁，短线的机会就越多。
一个流动性较强的交易过程（集合），价格的随机波动总是包含某种平均趋势。这也是传统技术派推崇的道氏趋势理论的基础。 价格指标曲线的趋势性是国民经济发展的周期运动所决定的。 曲线的趋势性是指在一定时期内价格或指数随机波动运动中总体上包含向一个方向(向上、向下、横向等)运动的趋势。 在正常的市场经济条件下经济运动的周期性大致可以解释成: 一个国家或地区的经济因为某些环境、政策等因素的驱动, 使得某些重要行业或整个社会原有的供求平衡关系发生了变化, 假如需求开始不断增长, 由此引发生产的增长, 由于整个社会经济单元互相关连, 社会需求与社会供给互相推动共同增长(良性循环), 整个经济呈现繁荣景象； 随着经济的不断发展, 各种新的矛盾不断出现, 如果随着时间的推移这些新的矛盾能在内外因素的影响下合理钝化, 那么整个经济将在更高层次的均衡状态下运行, 否则矛盾的激化最终必将破坏良性发展的供求关系, 由相互促进转变为相互抑制, 最终导致经济的(相对)衰退。由于各类经济活动与相关政策的运作在时间和空间上都有“很难量化的距离”, 经济整体运动的“惯性”很大, 所以一般经济运行的周期是比较长的。反映经济运行状态及商品供求关系的价格指数曲线自然也会表现出同样的整体运行趋势, 只是由于交易的信息化和资金化, 经济发展的趋势又首先从信息及资金的供应状况表现出来, 所以指数曲线的走势总是超前于经济运行的实际状态。
周期性是自然界发展变化的基本规律之一， 经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复； 总体上讲人类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。与经济发展密切相关的证券价格指数的走势变化也是如此，传统技术派基本假设之一 “历史是会重演的”是不确切的。
用分形理论来分析, 价格的随机波动曲线具有“自相似性”。价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线一样表现为精确的几何图形，随机性是这种曲线走势的基本特征；曲线自相似性的意义是突出随机过程中的关联效应, 抽象地谈分形对分析价格曲线的未来走势是无意义，我将在后面专门阐明价格走势的分形问题。传统技术派的经验论断是值得怀疑的，R.N.ELLIOT的8波理论只是众多抽象化分形中的一个形态，由此发展起来的所谓‘波浪理论’的实际应用价值不大；对同一种价格波动曲线不同的‘波浪理论’使用者往往得出不同的甚至是相反的结论即很好的说明了这一点。
传统图表分析派认为, 市场的价格(指数)走势波动曲线, 包融了一切影响价格变动的因素。 在逐利竞争交易的市场中, 价格的升降成为交易者追求的直接目的, 加上交易手段及信息传播的现代化, 市场的投机性增强, 往往许多价格曲线的短期波动走势与基本的“供求关系”不一致； 换句话说, 供求关系的决定作用可能在某些特殊的交易过程中没有意义, 市场价格走势并不总是“合理”。另一方面，市场的价格变动反过来又影响市场本来要反映的因素。图表走势包融的一切因素, 应该融在整个过程中。既然交易者对市场所包融的一切没有确定的认识，或者说对市场中所发生的和将要发生的一切都存在上认识的不确定性, 这种假设是无短线意义的。 本帖最近评分记录: 隐藏评分记录清空我的评分动态 共 条评分 天际无边云自闲！ 回复 引用 举报顶端 sky999 在线
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1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述非线性系统的。
曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
我这里只能简单描述一下分形的定义：
(1)满足下式条件
Dim(A)dim(A)的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维数)，dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
(2)部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
那么我们为什么要研究分形呢？首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。
由于认识到自然界充满了某种称为分形的事物，这使大多数人关注来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。换言之，需构想或发现一些数学规则，
为看到分形是如何形成的，取一非常大的国际象棋棋盘，在棋盘中心置一皇后，她是不允许移 动的。兵，允许它在棋盘上四个方向中的任何一个方向移 动，从棋盘边缘上的随便什么起始点起步，按指示完成随机的，或醉酒者那样的走步。每一步的方向是从四个相等几率的方向中选定的。当一个兵到达紧靠原始皇后的一个方格，它自己就变成新的皇后，也就不能进一步移 动了。最终，一个树枝状的，而不是网状的皇后群体逐渐形成，被称为“威顿-桑特DLA族”(“Witten Sander DLA cLUSTER”)。 大规模计算机模拟已经证明DLA族是分形；它们差不多是自相似的。
在外行看来，分形艺术似乎是魔术。但不会有任何数学家疏于了解它的结构和意义。许多作为基础的方程式被认为是纯数学的一部分，对真实世界没有任何用处，它所代表的真实自然现象还从没见过。最重要的是，正如已提到的，应用分形最活跃的领域是在物理学，它们已帮助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难问题。
分形图最后的副产品是它对年青人的吸引正重新唤起他们对科学的兴趣。曼德布罗特集和其他分形图现在出现在T血衫和招贴画上，许多人希望这将使青年人感受到数学的美丽和富于表现，感受到它们和真实世界之间深奥的关系。
对于分形的描述我想已说的足够了，金融市场中的分形形象是普遍存在的，对于这种不规则的现象和外表，你不能依赖那些靠二维世界和线性方程建立起来的技术指标来推测去向不定的市场趋势，显然你将出现许多错误。所以道氏理论哲学思想的伟大在于它可以过滤掉许多杂乱无章的分形外表，可以在下雨的一瞬间提醒你带上雨伞再出门。认为在升势中逆势沽空或跌势中持相反理论做多，都将会构成失败，同样，在杂乱无序的分形阶段---狭幅盘整阶段---去建仓也是注定不到50%的概率可以成功。 本帖最近评分记录: 隐藏评分记录清空我的评分动态 共 条评分 天际无边云自闲！ 回复 引用 举报顶端 ★★★★★2011年周易天地网络学院（部分）学习班安排 sky999 在线
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B.B.Mandelbrot
分形几何扮演了两种角色。它技术决定论混沌的几何学，又是描述山峦、云团和星系的几何学。
自然科学与几何学总是携手并进的。17世纪，开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道。这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道。同样，理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示。简单的动力学常常和简单的几何外形相联系。这一种数学图像暗示，物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系。在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的，由系统的过去便能预测其未来。
两种新近的科学进展深深影响了几何外形相联系。首先是由于认识到自然界充满了某种称为决定论混沌的事物。宇宙中许多表面看来服从决定论定律的简单物理系统，其行为仍然是不可预测的。例如，受两个力作用的摆。用决定论的观念已无法预测其运动，这使大多数人吃惊。
第二种进展来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。换言之，需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。
实际上，伽利略曾宣称，“自然界伟大的书是用数学语言写成的”，而且补充说，“其特征为三角形、圆形和其他几何图形，没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡”。然而不论模拟决定论混沌还是模拟不规则系统，这些欧几里得外形已经没什么用。这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几里得结构——特别是需要称之为分形几何的新几何学。
1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。首先，它们处处无规则可言。其次，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模样——它是自相似的。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。
自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。
用明显的数学模型加工出的分形工艺品为Sierpinski垫圈。取一黑三角形并把它分割成四个较小的三角形，拿掉中心部分的第四个三角形，便留下一个白三角形。每一个新三角形也重复上述做法，便能获得尺度不断缩小具有同样形式的结构，边长总是教上一步边长缩小一倍。当客体的部分和整体完全相似，就可以说客体是线性自相似的。
然而，最重要的一些分形和线性自相似还是有区别的。其中有些是描述普通随机性的分形，另一些是能描述混沌，或非线性系统的分形（在这种系统中对系统行为起作用的因素，其作用程度与其产生的效果不成比例）。让我们为上两种情况举出实例。
我们的分形由于能伪造海岸线、山峦和云团而知名。另一个例子是为《星际旅行II》那样的影片制作的一些场景。
我们的分形模拟著作从少量的人类智慧和大量的博物学知识开始。人类智慧从观察某些事物入手，像立体派画家那样做观察。“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。换言之，我们发现，把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构，而它几乎就是我们一开始处理的那种原始结构的复制品。
博物学知识涉及对自然结构事实的收集与分类。例如，当你测量一个国家的海岸线，测得越精细，海岸线长度长度便会越长，因为你不得不计入沿海岸线长度越来越小的不规则性。刘易斯.赖伊.理查森已经找到描述这种长度增加的经验定律。
为使分形几何有意义，我们不得不寻找一种方法，从数量的观点来表达形状的复杂性，就象欧几里得几何引用角度、长度、面积、曲率，以及用一维、二维、三维这些概念一样。
对于复杂的几何形体，普通维数的概念可能随尺度不同而改变。例如，直径10厘米的球用1毫米粗的细线做成。从远处看，球是一点。离10厘米远，线球是三维的。在10毫米处，它是一维线团。在1毫米处，每根线变成了圆柱体，整体又一次变成一维，如此等等，维数“交叉”反复从一个值到另一个值。当球用有限数目像原子那么小的微物代表时，它变成零维。
对于分形，和普通维数（0，1，2，3）相对应的维数称为分形维数。通常，它们的维数值不是整数。
最简单的分形维变量是相似维Ds只不过给出描述客体所需要的普通维数——分别为0、1、2、3。对一条曲线线性自相似分形又该怎么看呢？这样一条曲线能从很光滑的一维线，到接近充填成一个面，这意味着线缠绕得太多了，以致看起来它的每一部分都是面上的某个区域，变成差不多是二维。相应的Ds值就要在大于1而小于2的范围内。这样就能把Ds说成是对这条曲线复杂性的量度。更一般地说，Ds是分形外形复杂性或粗造程度的量度。
另一简单的分形维是质量维。一维直杆质量的增加与长度成正比，比方说，是2R。半径为R的二维圆盘质量的增加与圆面积πR^2成正比。球质量的增加与圆球体积4/3πR^3成正比。这样看来，当维数进一步增加，质量的增加便和R的相应维数的方次成比例。
在分形情况下，质量的增加与R的Dm起普通维数的作用，因为称之为分形维是很自然的。很幸运，在所有简单情况下，Ds和Dm（以及分形维的其他定义）严格地取同一值。若不是最简单的情况，它们的值可以不同。
模型建立的下一步是设想最简单的几何结构，其特征与所生成的自然结构特征相同。事实上，我们已经汇集到，并在不断充实可用于分形几何的这种结构工具。为检验这种数学工具是否适当，我们把模型的数值特征和真实事物相比较——例如，比较山峦的分形维数。然而，这还不够，我们还要用计算机作图以检验这种数学工具是不是好。
到最后，我们希望从山峦的分形模拟方法产生一种理论，以描述地球表面的地势起伏。
既然分形可用于描述复杂的自然界外形，那么分形能描述复杂的动力学系统的行为也就不足为奇了。正如以前在有关混沌系列文章中所表明的，模拟液体湍流、天气、或昆虫群体的动力学方程式是非线性的，具有典型的决定论混沌性质。如果对这些方程做迭代——检验它们在超长时间演变时的解——我们发现，许多数学性质，特别是在做计算图示时，显示了其自身是自相似的。
我在非线性分形领域最知名的贡献是提出了曼德布罗特集(Mandelbrot set)。这种集是由比较简单的方程式做迭代而形成的。它显示出异乎寻常的图形，十分错综复杂。有人称之为非线性分形几何肖像。
曼德布罗特集并不仅仅产生美丽的图像。如果我们非常仔细地检验大量的图像就会发现，无数的实验观测结果能够以数学推测的形式重现。它们当中的许多已经形成颇具光彩的定理和证明。它也鼓励数学采用新方法，利用计算机屏幕。
数学推测通常是由事先已知的定理得出的。近几十年，从物理学或制图学没输入什么东西，这意味着纯数学的某些领域，诸如迭代理论（曼德布罗特集即属于这种理论），已经失掉动力。在计算机上做出分形图像重新使迭代理论复苏。把相互有关的图像加以对照便能为数学上的新发现提供深层次的信息。研究曼德布罗特集已经得出许多推测，它们说起来简单，但却难以证明。分析研究它们已经产生许多有趣的副结果。
自然，许多相关的分形会产生漂亮的令人赶兴趣的图形。实际上，一些今天被认为是分形的外形早在许多年之前就已发现。这种数学的某些内容发表在1875年到1925年期间法国数学界亨利·庞伽莱、皮埃尔·法图和加斯顿·朱丽亚等人的著作中。但没有人意识到它们作为形象描述的工具以及它们与真实世界物理学有关这两方面的重要意义。
一种描述真实世界随机分形的模式叫做凝聚扩散（DLA）随机生成形式。这里产生了像树一样的令人迷惑的错综复杂的形态。DLA能模拟灰烬的形成，水在岩石中的渗漏，固体裂纹的扩展和闪电的迸发。
为看到它是如何形成的，取一非常大的国际象棋棋盘，在棋盘中心置一皇后，她是不允许移动的。兵，允许它在棋盘上四个方向中的任何一个方向移动，从棋盘边缘上的随便什么起始点起步，按指示完成随机的，或醉酒者那样的走步。每一步的方向是从四个相等几率的方向中选定的。当一个兵到达紧靠原始皇后的一个方格，它自己就变成新的皇后，也就不能进一步移动了。最终，一个树枝状的，而不是网状的皇后群体逐渐形成，被称为“威顿-桑特DLA族”（“Witten Sander DLA cLUSTER”）。
完全没有料到，大规模计算机模拟已经证明DLA族是分形；它们差不多是自相似的。它的很少的部分和很大的部分被缩小以后的形式及其相似。但族和随机形成的线性自相似性还是有区别的，以后我们会提出某些令人感兴趣的课题。
DLA族分形生长过程的特点在于，它非常清楚地显示出平滑变化的参数能产生凹凸不平的效果。为此让我们按静电势能的理论重新表述原来的结构。设想有一用来构成DLA的大盒子，置于一正电势场内，靶体，即原始皇后，放在中心，其势能为零。那么在盒子的其他位置上势能值是多少呢？
科学家们早就知道，当中心物体的外形是平滑曲线，或有少量折角（像三角形或正方形）如何计算各处的势能。这些经典的分析计算能确定势能相等的一些曲线。这些等势曲线都是平滑的，它们介于固定的盒子和中心固定物体边界之间，能反映出势能逐渐变化的情况。其次，假设中心固定物体的边界有像针一样的凸出部分，那么针周围的等势曲线就会很密集，势能的下降就要很急剧，引起放电：针起到像避雷针一样的作用。当中心物体为DLA族，它的边界上排满了针，闪电就要袭击这些处于暴露地位的针。
这里终于出现急需要的新鲜事：DLA的机理和针被闪电击打后闪电的扩展或分叉是一样的。DLA实验使我们认识到，当允许边界随势能移动时，DLA族便发展成越来越大的DLA结构。这意味着我们能从形成等势线的具有平滑特性的方程式建立起凹凸不平的分形图。在这种意义上，分形几何已同向新的课题和新的研究领域。
分形几何也在于描述自然界其他复杂的现象。其最富有成果的领域之一是对湍流运动的研究，不仅研究它何以会出现——在相图上显示的动力学是分形的——也研究湍流结构的复杂外形。如此说来，水和云团的射流和尾流原来是分形的。这要归因于流体运动方程（纳维耶-斯托克斯方程）所起的作用。把外形和产生外形的动力学相联系是远没有解决的问题。绘制这种关系图将成为了解湍流的重要步骤。
分形能作恰当描述的另外领域是对活着的东西和对宇宙，虽然在所有情况下，在非常小的尺度和非常大的尺度上分形描述会失灵。树或道路并不能没有限制地分叉，整个树木也不会是超级树的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。数一数星系就能看到小尺度至少延伸1500万到3000万光年之遥。有越来越有力的证据证明，存在着尺度超过30000光年的大空白区。这种空白区正是在分形分布中所预料到的。
分形的重要性如何？像混沌理论一样，现在很有把握地说些什么还为时过早，但其前景看好。许多分形已经对文化有重要影响，而且已被看作是新艺术形式的成果。有些分形是对真实的模拟，而另一些却完全是虚构和抽象。数学家和艺术家出乎意料地看到了这样一种文化上的相互作用。
在外行看来，分形艺术似乎是魔术。但不会有任何数学家疏于了解它的结构和意义。许多作为基础的方程式被认为是纯数学的一部分，对真实世界没有任何用处，它所代表的真实自然现象还从没见过。最重要的是，正如已提到的，应用分形最活跃的领域是在物理学，它们已帮助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难问题。
分形图最后的副产品是它对年青人的吸引正重新唤起他们对科学的兴趣。曼德布罗特集和其他分形图现在出现在T血衫和招贴画上，许多人希望这将使青年人感受到数学的美丽和富于表现，感受到它们和真实世界之间深奥的关系。
（原载《世界科学》，1991年第11期） 本帖最近评分记录: 隐藏评分记录清空我的评分动态 共 条评分 天际无边云自闲！ 回复 引用 举报顶端 sky999 在线
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一、对称性无处不在
对称性的概念最初来源于生活，大雪天，仔细观察飘落的雪花，它们都是对称的六角形，水晶、钻石等晶体的对称性比雪花有过之无不及。
在艺术和建筑领域中，所谓“对称”，通常指左右对称，我国古代的宫殿、寺庙和陵墓建筑，都有较高的左右对称性，而园林建筑的布局则错落有致，于不对称中见对称。
在西方，从古希腊、古罗马到文艺复兴时期，建筑师们几乎都倾向于利用均衡对称的构图手法来谋求建筑整体的壮严的美。
有生命的动植物也有对称性，蜈蚣那么多的足完全以身体为轴线左右对称，枫树牙枝左右两排芽叶是对称的。
大自然的骄子――人体本身就有左右对称性，几乎人的一切器官和组织都以脊柱为轴而左右对称，唯有心脏偏左，肝脏偏右。
左右对称只是对称性中的一种，德国大数学家魏尔给出了“对称性”的普遍定义：如果一个操作使体系从一个状态变换到另一个与之等价的状态，或者说，在此操作下，状态不变，就说该系统对这一操作是“对称的”，这个操作叫做“对称操作”，常用的对称操作有时空操作，其中转动、平移、镜象反射、标度变换等属于空间操作，时间平移、时间反演等属于时间操作。此外，物理学中还有许多其他对称操作，如电荷共轭变换(即粒子与反粒子之间的变换)。
二、标度变换不变性与分形
所谓标度变换不变性，通俗地讲，就是放大和缩小，海洋中生长着一种甲壳动物，叫做鹦鹉螺，它们的美丽外壳为标度变换不变性提供了一个很好的范例，鹦鹉螺壳的剖面显示出对数螺线，是瑞士数学家伯努利取的名称，是他首先发现这曲线的标度变换不变性，他感到这曲线具有如此美妙的性质，嘱咐要把它铭刻在自己的墓碑上，并附上一句颂词，意思是“虽然改变了，我还是和原来一样！”
我们仔细观察向日葵的花盘上也排列出很多相互交织的对数螺线。
在物理世界中有一种统计意义下的标度不变性，例如布朗运动曲线，如果我们把这条曲线的某个局部放大，它与原来的曲线类似，这是一种在标度变换下呈现的自相似现象。
更通俗的例子，可以考虑海岸线的长度，严格说来，它与所采用的比例尺有关，在小比例尺的地图上，海岸线上许多小的曲折被拉直了，总长度显得短了。随着比例尺不断放大，一批越来越小的海湾显露出来，海岸线的总长度也就越变越长，这过程实际上是无穷无尽的，即使绘制一平方米，甚至一平方厘米范围内的地图，由海滩上那些大大小小的砂粒组成的海岸线仍旧是曲曲弯弯的，亦即，海岸线在标度下具有无限嵌套的自相似性，在无限大比例尺的情况下，海岸线的长度将趋于无穷。
通常说，曲面是二维的，曲线是一维的，二维的曲面有一定的面积，一维的曲线面积为零，但有一定的长度，象海岸线那样的形体，面积为零，但长度为无穷大，它的维数介于1和2之间不是整数，这种具有分数维的形体，叫做“分形”。
分形理论诞生于70年代中期，创始人是美国IBM的研究人员芒德勃罗，他于1982年出版了《大自然的分形几何学》，是这一学科的经典著作。
芒德勃罗所受的教育不很规则，他声称背字母表也有困难，但他善于用图形化的方式思维，1944年他在大学入学考试中不能很好地对付代数题，但他却成功地在头脑中通过把代数问题转化为图形问题而取得高分，以总分第一考入法国高等师范学院。
芒德勃罗不但对几何形状感兴趣，而且特别关注“不规则”的形状，从50年代起，他孤身一人，整日思索着一种新的几何学试图通过它统一描述自然、社会中普遍存在的各种不规则现象，如流体湍动，曲折的海岸线、多变的天气、动荡的股市、经济收入分配关系、棉花价格的波动等等。
1975年的一天，他翻着儿子的拉丁语课本，突然受到启发，决定根据fractus创造一个新词“fractal”(英文词)，70年代末传到中国，被译为“分形”。
芒德勃罗用分形来刻画股票价格，显示了大的涨跌期模仿着每月、每天的价格波动，于是整个市场从它的最大尺度到最小尺度是自相似的。
他用分形可不使用天文数据，而通过数学图形显示了天体物理学家刚证实的宇宙星系分布。
80年代前，分形概念的价值并没有惹人重视，一直到80年代中期，各个数理学科几乎同时认识了它的价值，人们惊奇地发现，哪里有混沌、湍动、混乱，分形几何学就在那里登场。
分形是近20年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念，具有极强的概括力和解释力，分形理论是一种非常深刻、有价值、让人着迷的理论，是非线性科学中最重要的概念之一。
著名理论物理学家惠勒说过，在过去一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，一个人如果不能熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。
分形不但抓住了混沌与噪声的实质，而且抓住了范围更广的一系列自然形式的本质，这些形式的几何在过去相当长的时间里是没办法描述的，如海岸线、树枝、山脉、星系分布、云朵、聚合物、天气模式、大脑皮层褶皱、肺部支气管分支及血液微循环管道等等，用分形去描述大自然丰富多彩的面貌应当是最方便、最适宜的。
对称性的概念最初来源于生活，大雪天，仔细观察飘落的雪花，它们都是对称的六角形，水晶、钻石等晶体的对称性比雪花有过之无不及。
在艺术和建筑领域中，所谓“对称”，通常指左右对称，我国古代的宫殿、寺庙和陵墓建筑，都有较高的左右对称性，而园林建筑的布局则错落有致，于不对称中见对称。
在西方，从古希腊、古罗马到文艺复兴时期，建筑师们几乎都倾向于利用均衡对称的构图手法来谋求建筑整体的壮严的美。
有生命的动植物也有对称性，蜈蚣那么多的足完全以身体为轴线左右对称，枫树牙枝左右两排芽叶是对称的。
大自然的骄子――人体本身就有左右对称性，几乎人的一切器官和组织都以脊柱为轴而左右对称，唯有心脏偏左，肝脏偏右。
左右对称只是对称性中的一种，德国大数学家魏尔给出了“对称性”的普遍定义：如果一个操作使体系从一个状态变换到另一个与之等价的状态，或者说，在此操作下，状态不变，就说该系统对这一操作是“对称的”，这个操作叫做“对称操作”，常用的对称操作有时空操作，其中转动、平移、镜象反射、标度变换等属于空间操作，时间平移、时间反演等属于时间操作。此外，物理学中还有许多其他对称操作，如电荷共轭变换(即粒子与反粒子之间的变换)。
二、标度变换不变性与分形
所谓标度变换不变性，通俗地讲，就是放大和缩小，海洋中生长着一种甲壳动物，叫做鹦鹉螺，它们的美丽外壳为标度变换不变性提供了一个很好的范例，鹦鹉螺壳的剖面显示出对数螺线，是瑞士数学家伯努利取的名称，是他首先发现这曲线的标度变换不变性，他感到这曲线具有如此美妙的性质，嘱咐要把它铭刻在自己的墓碑上，并附上一句颂词，意思是“虽然改变了，我还是和原来一样！”
我们仔细观察向日葵的花盘上也排列出很多相互交织的对数螺线。
在物理世界中有一种统计意义下的标度不变性，例如布朗运动曲线，如果我们把这条曲线的某个局部放大，它与原来的曲线类似，这是一种在标度变换下呈现的自相似现象。
更通俗的例子，可以考虑海岸线的长度，严格说来，它与所采用的比例尺有关，在小比例尺的地图上，海岸线上许多小的曲折被拉直了，总长度显得短了。随着比例尺不断放大，一批越来越小的海湾显露出来，海岸线的总长度也就越变越长，这过程实际上是无穷无尽的，即使绘制一平方米，甚至一平方厘米范围内的地图，由海滩上那些大大小小的砂粒组成的海岸线仍旧是曲曲弯弯的，亦即，海岸线在标度下具有无限嵌套的自相似性，在无限大比例尺的情况下，海岸线的长度将趋于无穷。
通常说，曲面是二维的，曲线是一维的，二维的曲面有一定的面积，一维的曲线面积为零，但有一定的长度，象海岸线那样的形体，面积为零，但长度为无穷大，它的维数介于1和2之间不是整数，这种具有分数维的形体，叫做“分形”。
分形理论诞生于70年代中期，创始人是美国IBM的研究人员芒德勃罗，他于1982年出版了《大自然的分形几何学》，是这一学科的经典著作。
芒德勃罗所受的教育不很规则，他声称背字母表也有困难，但他善于用图形化的方式思维，1944年他在大学入学考试中不能很好地对付代数题，但他却成功地在头脑中通过把代数问题转化为图形问题而取得高分，以总分第一考入法国高等师范学院。
芒德勃罗不但对几何形状感兴趣，而且特别关注“不规则”的形状，从50年代起，他孤身一人，整日思索着一种新的几何学试图通过它统一描述自然、社会中普遍存在的各种不规则现象，如流体湍动，曲折的海岸线、多变的天气、动荡的股市、经济收入分配关系、棉花价格的波动等等。
1975年的一天，他翻着儿子的拉丁语课本，突然受到启发，决定根据fractus创造一个新词“fractal”(英文词)，70年代末传到中国，被译为“分形”。
芒德勃罗用分形来刻画股票价格，显示了大的涨跌期模仿着每月、每天的价格波动，于是整个市场从它的最大尺度到最小尺度是自相似的。
他用分形可不使用天文数据，而通过数学图形显示了天体物理学家刚证实的宇宙星系分布。
80年代前，分形概念的价值并没有惹人重视，一直到80年代中期，各个数理学科几乎同时认识了它的价值，人们惊奇地发现，哪里有混沌、湍动、混乱，分形几何学就在那里登场。
分形是近20年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念，具有极强的概括力和解释力，分形理论是一种非常深刻、有价值、让人着迷的理论，是非线性科学中最重要的概念之一。
著名理论物理学家惠勒说过，在过去一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，一个人如果不能熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。
分形不但抓住了混沌与噪声的实质，而且抓住了范围更广的一系列自然形式的本质，这些形式的几何在过去相当长的时间里是没办法描述的，如海岸线、树枝、山脉、星系分布、云朵、聚合物、天气模式、大脑皮层褶皱、肺部支气管分支及血液微循环管道等等，用分形去描述大自然丰富多彩的面貌应当是最方便、最适宜的。 本帖最近评分记录: 隐藏评分记录清空我的评分动态 共 条评分 天际无边云自闲！ 回复 引用 举报顶端 ★★★★★2011年周易天地网络学院（部分）学习班安排 sky999 在线
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在分形理论的创始人，美籍学者曼德布罗特出版著名专著《自然界的分形几何》的同一年，即1982年，全息论的创始人，中国学者张颖清也出版了他的第一部专著《生物体结构三定律》。有趣的是两书不但都以大量图片作为自己论证的材料，而且都以自相似现象为自己的研究目标，并由此奠定了各自理论的基础。曼德布罗特将分形定义为“组成部分与整体以某种方式相似的形”，而张颖清将全息定义为“生物体每一相对独立的部分在化学组成的模式上与整体相同，是整体的成比例的缩小。”显然两论都是以研究系统中的局部与整体的关系为宗旨的，而且，是研究局部与整体的相同或相似的侧面。当然，对于全息论来说，现已不只限于生物领域，十余年来，人们在自然界和人类社会中发现了大量的全息现象。所以，全息论已从最初的生物全息推广到现在的广义全息，并将全息概念定义为“部分包含系统整体的信息”，从而扩大了全息概念的普遍性。
尽管分形理论与全息论之间有许多相同之处，但它们毕竟是诞生于不同的文化背景之下的两种自成体系的理论，所以它们之间的重大差别也是不容忽视的，这些差别不是程度和广度上的不同，而是本质和结构上的不同。当然阐明分形理论与全息论之本质不同并不排除两者之间相互结合的可能性。相反，只有清楚地理解了这些本质的不同之后，它们之间有成效和有成果的接触才能在一个坚实的基础上进行。
两论之本质特点
从本质上讲，全息论是与中国古代哲学相一致的，可视为东方古老文明在现代科学环境中的一种表现。东方思想把宇宙看成是一个不可分割的实在，一个统一的整体，甚至带有某种神秘性。一生万物、万物归一，天地间万事万物都相互关联，相互作用，所以整体与局部的性质不然是相互制约的，相互映照的。就拿张颖清发现的生物全息律来说，也是从他对中医理论中的经络学说的研究中得到启示而实现的。而中医理论无疑是中国古代哲学所产生的一个辉煌结果。因此，全息论对自相似现象的研究，其思辩多于逻辑实证；定性分析多于定量分析；注重自相似结构的内部关系及其相互作用多于其外部形态的描述和规律性的探索，而且把全息体看成一个具有严格规定和制约的整体，带有浓重的决定论色彩。例如全息生物学中，把个体的形成看成是全息胚按自身的规定不断转化的结果，它所探讨的是各个阶段各个层次的全息胚之间的内部对应关系和内部相关性，并把整个生长过程和整体本身看成一种连续变化的结果。并且不把自相似现象只局限于形式上的局整变换，而是从信息论的强调部分对整体的包含，这一方面为全息论与现代科学成果相结合提供了契机，而另一方面又体现出某种东方神秘主义的特性。如宇宙全息论的倡导者们就把宇宙看成是一个没有新东西的实体，它的任何微小的部分都包含整个宇宙的全部信息。所以从整体上讲，现在的全息论虽可以属于自然科学的范畴，但还没有进入到数理论证阶段。
我们知道，西方的哲学思想，无论是对自然、对社会都是从局部的、实证性的探索中发展起来的。他们愿意把事物分解成独立单元的集合，通过逻辑推理得出结论。在这种文化背景的影响下，分形理论一开始便是一种纯数学的表述，即分形几何学。具体的渊源可以追述到1918年以来英国剑桥学派对分数维集合的研究，在数学史上也早有人构造各种各样的自相似集合，如康托集（1895年）、皮亚诺曲线（1890年）、科切曲线（1904年）、谢尔宾斯基地毯（1915年）、朱利亚集和法图集（1918-1919年）等。曼德布罗特的开创性贡献主要不在于对分数维集合本身性质的研究上，而是他发现了自然界中的标度不变现象，并且利用分数维理论与计算机技术相结合对自然界中的自相似现象加以分析，创立了自己的分形理论，从而又构造出了一系列新的分数维集合（如曼德布罗特集等）。分形理论所研究的对象多为随机的、离散的、非连续的复杂现象，并且通过自相似性将对象的复杂性与简单性统一起来。作为一种数学理论，分形有严格的推理过程和测量方法，再加上自身的简洁性便于与现代计算机技术相结合构建数学模型，从而对自相似现象进行定量分析和模拟。例如，曼德布罗特曾利用康托集构造了电子传输线中误差发生情况的一种模型，从而发现了这种阵发混沌现象的规则，即发生误差与无误差传输的比值保持恒定。也正是因为它是一门数学理论，它还不能属于真正的自然科学，尽管它在自然科学的许多领域都有所应用。数学是关于逻辑上的可能性、纯形式（即脱离内容）的科学，它对自然现象的研究主要注重于形式上的规律性的描述，即不考虑自相似结构内部的现实的相互作用，它可以为自相似现象提供一个检验方法，如是否存在无标度区，但无法找到形成自相似现象的物理原因。正象曼德布罗特本人所承认的，他的计划的优点在于描述世界而不是解释世界。所以说分形语言还不具备物理的意义。这也许正是对自相似现象研究中的一个急待解决的问题，也是分形理论与全息论的一个结合点。
两论对复杂性的认识
复杂性问题是现代科学的一个核心问题。当今“我们对自然的看法正经历着一个根本性的转变，即转向多重性、暂时性和复杂性。”
分形几何学的研究对象是不规则集合也可称为复杂集合。这类集合一般是离散的、参差不齐的和不光滑的、所以从经典几何学看来是非常复杂的，以至于把它当成“病态”对象加以排除。然而分形几何却从这种复杂的对象中找到了规律性，并且可以用简单集合遵循简单规则的反复迭代构造这样的复杂集合，反过来说这些复杂集合完全可以还原成一个简单的初始条件和一个简单的变化规则。此外，分形理论还提供了一个测量复杂程度的参数——分维。它是继熵、信息之后的又一个系统参量，所以，如何将分维与熵、信息统一起来，这可能是分形理论转化成物理理论的一个突破口。
而全息论一般不考虑系统的复杂性问题，它认为全息系统是一个非常有序的结构，其内部各元素之间是严格制约的，所以它的注意力是在全息系统内部的相关性和局整对应性上，并不探讨对象的复杂性问题。
两论对机制的探索
分形理论认为形成自相似结构的机制是其自身的反复迭代。并根据这一原则可以模拟自然界中存在的许多分形现象。如用中点位移法的反复迭代，可以制作出分形山的风景画来，其逼真程度不亚于实际照片。当然我们不能说真实的山就是通过这种迭代形成的，但至少它给了我们一个启示，即迭代可以产生类似于山的这种自然现象。况且，在自然界中我们确实可以找到通过迭代来完成自身演化的例子，如植物种系的发展过程便是通过种子这个“自变量”而得到成熟的果实这个“函数的”，而果实（准确地说是其中的种子）又作为“自变量”生成了下一代的“函数”——果实。如此这般反复迭代，物种的基因得到了延续，同时还演化出无数新的物种。可以说这里所提供的机制是符合逻辑的，但遗憾的是它仍然只是一种形式上的描述，所以只能称它为形成自相似现象的数学机制，而不是物理机制。
全息论对这一问题的认识与此不同，它认为全息体的形成过程是全息元的性态的显现过程，也是全息元之间以及与整体之间的相互制约过程。如全息生物学认为，生物体的生长过程是全息胚（全息元的一种）向着整体不断显化的过程。全息胚是镶嵌型发育的自主发育单位，它有对应着未来或现在整体的全部器官和部分在内的未来器官图谱。在发育过程中由于各全息胚之间的相互制约（当然这种制约也是由基因控制的），全息胚的未来器官图谱中的每一部位与未来整体的通明部位是同一的，后者由前者发育而成。所以，全息胚中未来器官中的某一部位以其他部位为对照，与未来整体的同名部位之间生物学特性相似程度比较大，是整体的缩影。虽然这种对形成机制的解释是从机理上讨论的，但仍然带有某些思辩的色彩，而且，现在看来也只适用于生物界，对非生物界还有待进一步证实与证伪。
从另一个角度看，现已发现的自然界的自相似系统，几乎都是耗散系统，由于其内部具有自相似性，所以它也是一个高度有序的系统。如何形成这种奇异的序，恐怕是系统内部非线性作用的结果。而系统的耗散性，又是以系统的随机性为前提的，所以说非线性、随机性与耗散性很可能是形成这种结构的必备条件，因此，将分形理论、全息论、以及与自组织有关的耗散结构理论和协同学结合起来，找出彼此的联系，互相补充，互相借鉴，将是彻底搞清自相似现象的物理机制的有效手段。
两论对世界的看法
“任何范围广泛的理论都意味着一种世界观……，任何改变了我们对世界看法的科学重大发展都是自然科学……”（贝塔朗菲语）。分形理论与全息论无疑是这样的理论，它们几乎在自然界和人类社会的各个领域都有所应用，因此自相似现象是自然界中的一种普遍现象，部分与整体的自相似调和也许是我们世界的本质属性。
按全息论的观点看，我们的世界是一个非常美妙的世界，那种无限嵌套的结构，充满了宇宙的和谐，整体包含了无限的部分，而部分又体现着无限的整体，整体与部分的绝对对立消失了，有限与无限的绝对对立也消失了，那么我们也许真的能通过局部来通晓全体，或者通过局部的某一点；来控制整体上相应的部位，反过来也可从全体变化推断出局部的变化，这一设想从现代人的逻辑来看，可以说也是极为合理的。
分形理论在探索局部与整体的关系的同时，又注意到一个新的现象，即所有的分形结构都具有分数维的特征。欧氏维数、拓扑维数等这类整数维数无法对这种参差不齐、有无限细微结构的形状进行准确的刻划。然而自然界中大量存在着的恰是这种无规则形状。最近有人提出了分数维时空观，如果她真的能够取代我们习惯上的整数维时空观，那么无疑是一场革命。果真如此，许多事情对我们来说就要重新认识了。
如此看来，能不能说我们的世界就是分形或者是全息的呢？让我们来看这样一个事实：牛顿利用欧氏几何学创立了绝对时空观，并发现了著名的牛顿三定律以及万有引力定律，把从天上到地下的许多自然规律统一了起来，从而发现和预见了许多自然现象。二百多年里，人们一直认为牛顿定律是绝对真理，是对自然界最本质的揭示。然而，爱因斯坦排除了这种牛顿幻觉，他根据非欧集合学建立的相对时空观扬弃了牛顿力学的绝对时空观，从而他对自然的认识远远超出了牛顿力学所能及的范围，使人们对自然有一个全新的认识和全新的发现。然而，我们并不能说爱因斯坦的相对时空观是绝对真理，而牛顿的绝对时空观是谬误。其实它们都是人们对自然界进行探索和认识的手段，只不过爱因斯坦的相对时空观比牛顿的绝对时空观要深刻一些。同样的道理，根据分形几何学所创立的分维时空观，也不是宇宙的终极真理，他也是人们探索自然和认识自然的一种手段。正如海森堡所说的“自然科学并不是简单地描述自然、解释自然；它也是自然与我们相互作用的一部分。”也就是说，“我们所观察到的并不是自然本身，而是我们提问方法所揭示的自然”。从这个意义上说，无论是分形理论还是全息论，都是一种方法论，是人们认识自然探索自然的有效手段。
（本文原载于《分形理论的哲学发轫》一书）
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