早乙女由依第一部av:春风化雨，润物无声

    “中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第三次课题会议，于2008年11月13日～15日，在辽宁省沈阳市/抚顺市召开．本次活动围绕函数的概念，以《变量与函数》和《正比例函数》为课题，观摩了三节研究课，课后进行了深入的研讨．其中所包含的数学思想方法的精髓，犹如“春风化雨”，融入到课堂教学之中，必将发生深远的影响．本文拟对函数概念的理解、对函数概念教学的思考以及对函数思想方法的感悟谈几点粗浅的认识．

感想之一：理解  

1．函数概念的发展

我们熟知，概念是人们对客观事物在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的．函数的概念也不例外．

纵观300年来函数概念的发展，从早期几何观念下的函数，到十八世纪代数观念下的函数，到十九世纪对应关系下的函数，再到现代的集合论下的函数，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度，不断赋予函数概念以新的思想，逐渐形成了函数的现代定义形式．

1930年，提出的现代函数定义为：若对集合M的任意元素，总有集合Ｎ确定的元素与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为．元素称为自变元，元素称为因变元．

2．初中学段的函数概念

在中学数学课程中，函数无疑是一个核心概念．初中学段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强调的是对于函数概念的形式化的定义，用“变量”来描述函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点，来刻画函数的概念．

初中学段的函数定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，则称为自变量，为的函数．

分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了“对是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求 ，但是没有从“集合”角度描述函数，因而未明确涉及定义域及值域．

可见，目前我们初中学段所涉及的函数定义的核心，应该仅仅是函数概念三个要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系．

3．教材中函数概念的呈现方式

人教版课标实验教材对函数概念的引入方式为：实际例子（问题）→数学解答→从过程中提炼出函数概念．这种方式注重了函数概念的现实背景，强化了问题中的“变化与对应”的关系，所呈现的函数概念结构较系统和完整．

其中，所突显的函数定义中的核心问题，就是“变化与对应”，主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的．这是关于函数的最基本、最朴素的刻画．

感想之二：运用

本次活动围绕函数的概念，以“变量与函数”和“正比例函数”为课题的三节研究课，均涉及到数学概念的教学，三节课都经历了概念的引入、概念的形成、概念的深化、概念的反思这样一个过程．那么，在这样的过程中，如何将对上述函数概念的理解付诸实践，转化为自觉的教学行为，需要对学生学习函数概念的心理建构过程进行探讨．

1．概念的引入

学生在学习新的数学概念时，新的信息对学生来讲基本上是陌生的，零碎的和彼此孤立的，需要教师选择能作为新知识的生长点的旧知识，将新知识的各因素联系起来，并以组织好的方式呈现给学生，通过启发，激活学生头脑中的旧知识，调动学生主动学习的心理倾向，使学生对反映新知识内容的文字、符号先有一个表层的认识．

在民航广州子弟学校林俊伟执教的《变量与函数》这节课中，教师通过票房收入问题、测试成绩问题、温度变化问题，让学生借助于已学习过的实数的运算、列代数式及求代数式的值、一次方程（组）等知识，将一些原本“静态”的数或“静态”的字母表示的数，“置身”于一种“动态”的变化的过程之中，不仅使学生感知到实际问题中存在着变量之间的对应关系，突出了一个“变”字，而且，在问题的呈现形式上，有填空、列表、求值、写解析式、读图等，也隐含了在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析式法、列表法和图象法．这样，教师将学生带入到发现函数概念的最近区域，使他们对函数的概念有了一些粗略的总体印象，为下一步抽象出函数的概念奠定了基础．

2．概念的形成

荷兰著名数学教育家佛赖登塔尔认为：在课堂教学中，教师的任务就是为学生的发现、创造提供自由广阔的天地，就是在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法．

《变量与函数》的两节研究课，都是通过对大量实际问题的分析，引导学生发现问题中所存在的两个变量的对应关系，抽象出“共性”问题，并形式化为函数的概念，使学生感知以下函数概念形成的过程：在同一个变化过程中，第一，发生变化的量称为“变量”；第二，不变的量称为“常量”；第三，如果有两个变量和，对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，则称为自变量，为的函数；第四，如果当时，，那么称为当时的函数值．

在这样的过程中，教师引导学生认真思考，“思”有所“得”，“思”有所“悟”，不仅使学生认识到引进常量、变量、函数概念的必要性，而且感悟并逐步学会如何给数学概念下定义的方法．

3．概念的深化

当学生初步建立了函数的概念之后，应该说，对它的理解还是肤浅的，这就需要教师引导学生逐步探求新旧知识间的深层联系与区别，如果不能深刻揭示这种内隐的联系与区别，那么在学生头脑中初步获得的新痕迹很快就会消失．

抚顺市第十五中学刘敏老师执教的《正比例函数》，教师是通过利用动画媒体，直观地反映了正比例函数的图形特征与解析式的关系，从“形”的角度，引导学生完成了对正比例函数的概念、图象、性质的较为深入的认识．

大连市第九中学张一颖老师执教的《变量与函数》，在活动7，教师辅导学生运用函数的概念，对一些问题进行了分析、判断，通过让学生辨析，帮助他们理清了函数固有的本质特征，再由教师讲授，使学生达到深刻性理解．

民航广州子弟学校林俊伟老师执教的《变量与函数》，在“概念巩固”的环节，通过表格、图象、解析式等不同形式，完成了对函数概念“举一反三”不断深化完善的过程．

三节课均揭示了函数概念的本质属性：第一，“谁”是“谁”的变量；第二，“唯一”的对应关系．特别地，教师在阐释函数概念时，运用了少量而典型的反例，这样的做法起到了对比反衬的作用，可以帮助学生提高对函数概念理解的水平．

4．概念的反思

反思，其目的是为了更好地促进学生对函数概念的内化性的理解．通过反思，不仅可以梳理概念学习的过程，去伪存真、去粗取精，逐步深化对概念的理解，完成对函数概念的建构；通过反思，还可以评价自己在认知加工过程中所闪现出的思维火花，领悟其中的数学思想和方法，对提高数学思维能力起到了积极的作用．

在反思归纳部分，刘敏老师提出了“本节课我们经历了怎样的过程？有怎样的收获？”；张一颖老师提出了“对自己说，你有哪些收获？对同学说，你有哪些温馨提示？对老师说，你有哪些疑惑？”；林俊伟老师以结构框图的形式，展示了函数概念的实质．

通过这样的教学设计，教师引导学生对所学的数学知识、思想方法进行归纳小结，有利于学生对已有的知识结构进行有效地梳理，加强记忆，形成能力．使学生体会到本节课在知识与方法两个方面的收获与感悟，充分彰显了教师的教育智慧．

感想之三：升华

函数概念的引入，实现了从常量数学到变量数学的转变．在学习函数概念之前，数学课程中所讨论问题中的数量关系基本上是静态的，引入函数概念之后，不仅使讨论的内容增加了运动变化的问题，而且提供了居高临下地重新审视已学内容的观点，使得在学生头脑中的数学知识体系得到了扩充与完善．

由于函数概念比较抽象，因此，对函数概念的认识，需要一个循序渐进的学习过程，初中学段，学生只要认识到函数是描述客观世界的变化规律的一种数学模型，它反映的是变量间的一种动态关系，并且可以从数和形两个角度加以描述；认识到函数体现的是“变化与对应”的数学思想，即：变量之间不是孤立的，而是互相联系的，一个变量的变化会引起其它变量的相应变化，这些变量之间存在对应关系．

特别要注意的是，由于初步学习函数概念时强调的是变化中的对应，所以对于常值函数=f(x)=c（常数），建议也不必过早涉及，因为学生刚接触常量与变量的概念，往往不易理解常值函数是特殊的变量，更不可能在映射的高度上认识函数概念中的“对应”可以是“多对一”的形式（这时并不强调一定是变量）．这些问题都可以在以后的学习中陆续解决．

“春风化雨，润物无声”，意在“春雨来了，随风而至，悄无声息，滋润万物”，在我们惊喜于春雨的柔和细腻、无声中滋润万物之时，笔者以为，更包含了对事物潜移默化的影响，或者察觉不到的影响．