北师大版初中数学教材河南培训研讨会会议资料之教材分析 一、教材设计的几个基本出发点
1．几何内容学习的两个重心
空间观念：空间物体与图形，平面图形的性质与运动，物体位置。
空间物体与图形：仅仅研究简单几何体的整体性质（组成、展开图、视图等）。通过操作、想象等活动，发展学生的空间观念；
平面图形的性质与运动：了解平面图形（直线型和圆）的性质，并以平面图形的性质作为素材，通过观察、操作、变换、推理等活动，发展学生的几何直观能力，推理能力等；
数学推理：合情推理、演绎论证。
目标是让学生学会推理、证明，而不仅仅是能够证明一些具体的数学命题
⑴ 数学学习有助于培养人的理性思维，其实质是数学推理的学习能够有助于人们进行合理、有效的推理活动；全书都体现出这样的想法。如：许多“说说你的理由”、“为什么”等活动。
⑵ 数学推理的学习不能等同于数学证明的学习数学推理有多种形式，如类比、归纳、一般化等合情推理；数学证明则特指具有公理化意义的逻辑证明。
⑶ 数学证明的学习包括对证明过程的理解、把握（了解命题的含义、条件与结论之间的逻辑关系等），以及准确地表达证明的过程；
⑷ 关注数学证明本身的学习，而不仅仅局限于学习怎样证明一些特定数学对象的性质。
① 数学证明本身的学习包括：获得或质疑需要证明的命题；理解命题的结构，特别是条件与结论之间的逻辑联系；获得完成证明的基本策略；
证明与理解（三角形内角和——证明方法的实质是拼成一个平角，与位置无关，证明的基础是平行线性质、若改变基础也可以），第四册中的证明1；证明与发现（命题的推广——三角形与多边形的联系，其他结论的推广），第五册中的证明2、证明3等。
② 数学证明与公理化
让学生在学习数学证明的过程中体会公理化的基本含义；在此基础之上进行形式化的数学证明。确切地说，对于数学证明的学习，与以往的教材相比，我们的要求是加强了，而不是削弱了。 能否实现？有待验证。
2．代数内容学习的两个重心
⑴ 代数模型（代数式、方程与方程组、不等式、函数）；
⑵ 代数运算（数的运算；整式与分式运算、因式分解等，用于分析代数式性质、解方程与方程组、解不等式、分析函数性质、解决问题）：包括运算的意义、基本方法、运算律等。
3．统计与概率学习的两个重心
⑴ 认识与处理数据——数据的收集、表示、处理和预测；
⑵ 认识随机现象的基本途径——数据分析、推理；方法——实验、应用模型；
认识概率教学
1．随机现象的普遍性
在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定现象（又称随机现象，即在相同的条件下，重复同样的试验，其试验结果却不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现）却是大量存在的，因而具有研究的必要性。而且，当今社会媒体正在增加使用相应的语言与内容，因而学生有必要了解这些内容以便更好的获取信息。
2．概率学习的独特性
作为数学的重要分支之一，概率学习有其特有的方法。不确定现象无法用形式逻辑推理解决，因而说理方式不同；对不确定现象的直觉常常不可靠，培养正确的直觉需要反复观察不确定现象，因而其教学方式也不同。
3．以往概率教学的状况分析
过去人们普遍对统计和概率在决策方面的作用缺乏足够的认识，对概率教学的重视不够，而且在课程设计中，过于注重概率的理论计算，因而课程内容依赖排列组合，概率教学后推到高中。
4．现在进行概率教学的可行性分析
大众媒体上有关概率统计的信息越来越多，学生相应的生活经验日益丰富，为学生的概率学习提供了一定的生活基础；此外，有了计算器和计算机的辅助，使数值化的直观的概率教学途径得到重视，概率教学的起点降低。这些造成初中阶段学习概率成为可能。
5．概率教学的目标是什么？
概率教学的目标是，通过认识随机事件及其发生的概率，使学生认识到现实世界广泛存在的随机性，形成初步的随机观念，并能对现实世界中一些简单的随机现象做出解释、利用随机观念做出决策。
6．随机观念有哪些外在表现和层次？
学生对随机观念的认识表现为两个层面：对随机现象本体的认识和应用随机观念解释自然、社会现象、解决实际问题的一种行为主动性或者说一种主动的应用意识。
对随机现象本体的认识，又可细分为这样几个层次：
⑴ 理解确定事件和不确定事件的基本概念，能够辨别一个事件是否是确定事件。例如知道“随意抛掷一枚硬币，落地后国徽朝上”这一事件是不确定事件，在抛掷之前无法保证它是否一定发生,再如“摸彩中奖”、“明天下雨”、“小明今年考取大学”、“小华明天到学校的时间”等大量生活中事件都是不确定事件；
⑵ 粗略地感知某一事件发生的可能性。这是（1）的必然发展，在定性地知道了某一事件有时发生、有时不发生的情况下，学生自然希望知道到底这一事件发生的可能性大还是不发生的可能性大，例如转动如图1所示的转盘，停止转动时指针落在红色区域和落在蓝色区域的可能性哪个大，而用如图2的转盘呢？再如现在经常听到某人购买某种彩票获得巨额奖金的报道，那是否购买彩票就能获奖呢，获得巨奖的可能性有多大呢？我们的学生应对这些事件发生的可能性有个直觉的估计。
图1 
图2
⑶ 用数量较为精确地刻画具体某一事件发生的可能性。这是（2）的精细化，因而要求学生能用各种方式进行计算，当然，这里的计算又有理论计算和试验估算这样两种方式。对于义务教育阶段的学生而言，能够进行理论计算的概率模型只能是简单的古典概型，而古典概型中最为核心的概念是等可能性，而对等可能性的体验又要借助于试验，因此说，这两者存在着内在的统一，即多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率。
⑷ 理解某一事件发生的试验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是正常的、经常的。虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率，两者存在着一定的偏差，而且偏差的存在是正常的、经常的。例如理论上事件“随意抛掷一枚硬币，落地后国徽朝上”发生的概率为1/2，但试验100次，并不能保证恰好50次国徽朝上，50国徽朝下。只要学生真正动手做试验，必能体会到这一点，学生只有认识到这一点，才算对某一事件发生的概率的较为全面的理解，初步形成随机观念。
⑸ 理解模拟试验或随机抽样结果的随机性。实际上，这是（4）的泛化，学生只有认识到这一点，才能真正明白现实世界广泛存在的随机性，形成真正的随机观念，并主动地应用到现实生产生活动中去。
7．有关概率知识的结构框图
8．一些常见困惑与教学策略
⑴ 概率到底有什么用
如果我们不能在试验之前预知试验的确切结果，只能知道每个结果发生的概率，这究竟有何意义？确定的理论概率能给人们提供绝对无误的行为判断吗？
例：产品次品率；下雨概率。如，明天的降水概率为10%，后天是90%，但却有可能事实上明天下了雨，而后天却没有下雨，交通路口车流量与行路选择；等等。
⑵ 理论概率的确定性和试验频率不确定之间的关系
不确定的试验概率随着试验次数的增加渐趋于稳定，如何理解？次数越多就越接近吗？次数应该多大合适？学生做的结果与理论值相差较大怎么办？
9．一些建议
⑴ 充分认识到概率教学的困难，关注学生的实践活动
对随机观念，学生虽具有一定的生活经验，但长期数学教学使其以养成了确定性的习惯。因而，随机观念的养成是长期的、艰难的。要克服我们习惯的一种确定性思维方式，对什么事情都习惯于从理论上进行分析，而缺乏主动实践探索的意识。
为此，需要加强活动教学，让学生在探究任务中产生学习兴趣，在真实数据的分析中形成数学的思考，讨论、辨析中加深对知识（尤其是一些易错的概念）的本质理解，同时也可发展学生的随机观念和学生的合作交流的能力。
⑵ 注重教学素材及其呈现方式的多样化
身边的、有趣的、有明显数学背景的；
⑶ 加强概率教学与代数、几何以及统计的联系
从收集数据、表示与处理数据、做推断等活动入手。
⑷ 鼓励学生使用计算器处理复杂的数据，注重其他课程资源（如信息技术、媒体）的开发与利用
4． 积累数学活动经验，发展数学能力
⑴ 突出数学活动过程——突出知识的产生、发展和形成的过程，即概念、定理、法则等数学对象的建立过程；
⑵ 让学生经历构建知识体系过程——在对知识理解的基础之上、获得知识间的联系、形成知识结构；
⑶ 注重方法学习——注重有意识地总结与明确方法。
二、案例分析
函数 教材将函数内容的学习分为三个主要阶段
1．经验型理解
主要目的在于让学生感受变化过程、“对应”现象；尝试探索变化规律的活动；经历研究函数基本性质的过程；尝试根据函数的基本特征做预测的活动。 为后续的函数学习打基础。
例 第一册第3章中的“代数式求值”、第二册第6章“变量间的变化关系”等。
函数学习的最基本内容：函数表明了变量之间的对应关系；三种基本的表达形式；基本特征；一些应用。
2．形式化理解
主要目的在于让学生从事函数内容的实质性学习：包括理解函数的基本概念（自变量、定义域等），相关的性质；借助函数的知识和方法解决问题。基本途径是从对具体的函数（一次、反比例、二次等）研究开始，深入到一般的层面。
例 第三册第6章“一次函数”，第五册第5章“反比例函数”、课题学习，第六册第2章“二次函数”等。
3．结构化理解
主要目的在于让学生了解不同函数之间的联系；函数与其他数学内容的实质性联系，进而构建函数在初中数学知识系统中的地位。
例 第三册第7章中的“一次函数与二元一次方程”，第四册第1章中“一元一次不等式与一次函数”，第六册第2章中的“一元二次方程与二次函数”等。
三、典型问题研讨
专题一 复习课教学新议
让学生在探究、合作与交流中进行数学复习
—— 一节二元一次方程组复习课的实录与点评
四川成都 龙泉驿区教育局教研室 王富英
师：同学们，今天一起复习研究二元一次方程组及其解法这一章的内容。昨天我已经请大家把二元一次方程组这部分知识进行了归类、整理。现在请一位同学展示一下自己的知识归类整理的情况，哪一位先来？
从教师展示自己的成果，要求学生回答教师提出的问题，转为：让学生展示自己的成果，使他们真正成为学习的主体。
生1（白凤友）：我是按教材的编写顺序整理的（展示台展示）（略）。
生2（邹巧）：我是从二元一次方程的整体结构进行整理的，我分为四部分：
师：两位同学从不同的角度对本章知识进行了归类整理，都很不错。但比较而言，你们更喜欢哪位同学的？
生众：邹巧同学（生2）！
师：第一位同学是按教材的顺序进行整理，这对于初学整理的同学也是一种常用的方法，但是第二位同学的整理把握住了这章知识的整体结构，她对每一种情况还举例给予了说明，理解得更加深刻。两位同学都不错!大家以后再进行整理总结时要向她们学习。这里，我也对这一章的知识进行了归纳整理，现在大家可以看一看（多媒体展示，结果与同学的比较，还不如第二位同学的好）。同学们可以看出，老师整理的还不如你们整理的好，同学们比老师还聪明。其实只要大家勤于思考，多动脑、动手，一定会有重要的发现和收获的。
先由学生自己对该部分知识进行归纳总结，在课堂上展示后再通过师生的共同评价修正，从而帮助学生建立整体性的认知框架，完善认知结构。比只由教师讲解学得主动、理解深刻。
心理的安全和自由是学生创造性思维的必要条件。教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价，并勇于承认自己的不足，使学生感到教师对他们敞开了心怀，可亲可敬，从而使学生获得了一种心理的安全和自由，为学生大胆地探索、积极交流，营造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境。
师：现在我们来看下面的一个例子：
大家先尽量用多种解法自己求解，然后在学习小组内交流，比较哪种解法好，最后各组推出最好的解法在全班交流。
利用小组学习的形式，给每个学生提供更多合作交流的机会，使面向全体得到了真正的落实。
（学生解题，小组内交流、讨论，教师巡视、指导）
师：我看大家都已得出了该题的解答，有些组的解法老师都没想到，现在请各组展示你们的优秀成果。在展示时要求要与别人的解法不相同。
生3（一组）：我们是先用去分母把方程组化简整理后用加减消元法求得解答的。
生4（三组）：我们是在化简整理后用代入消元法求得解答的。
师：太棒了！还有没有其他解法？
（学生都积极进入思考）
生7（三组）：把原方程组化简后用图象法解。
生8（四组）：换元后用图象法解。
生8的发言显然是受到了生7的启发。在相互交流、讨论过程中，学生的思想在碰撞，思维的灵感、创新的火花不断显现。
师：同学的发言很好，把老师想要讲的都说了。现在大家对四个组得出的四种不同解法进行一个评价，看哪个组的解法最好。
把评价纳入学生的学习过程之中，用评价来激发学生的学习兴趣，从而使评价成为促进学生主动学习的一部分。同时通过对几种不同解法优劣的比较和鉴别，可培养学生思维的批判性和养成解题后反思的良好习惯。
生9（五组）：我认为，一组和三组的解法很好，因为，这是解二元一次方程组的常用方法。我们组也都是用的这两种解法。
生10（六组）：我认为，四组的解法更好。虽然一组和三组的解法是常用的解法，但计算较繁。四组的解法通过换元，使形式更简单了，便于计算，且不易出错。
生11（一组）：虽然换元后形式要简单一些，但要解两次方程组，增加了解方程组的次数，并不一定就简单！
生5：我也认为二组的解法比我们组的好。
生11:我赞同生6的意见。我还想说一点。本题除了最好的解法以外，我认为，本题用图象法解是最不好的解法。因为，当你画好图象时，我已经解出答案了。用图象法解，不但费时，而且由于画的图象不准确，得出的解还只是一个近似解而不是准确值。
教师原先的设计只是想通过比较评出最优秀的解法，而学生不但评出了最优解法，而且对每种解法的优劣还进行了相互比较评价，完全超出了教师的设想。实际上学生的评价才是全面、公正和最有价值的。在许多时候，学生的智慧往往要超过教师！
师：同学们分析得很好。通过比较、分析，大家是否都认为第二组的解法最好？
生众：第二组的解法最好！
师：我赞同大家的意见。其实，各组的解法有各自的特点，他们分别是从不同的角度进行的。第二组同学的解法是在认真审题、仔细观察题目特征的基础上，运用了两种数学思想方法从而快速、准确地得出了问题的解答。这两种数学思想方法是“换元的思想”和“整体的思想”。第二组同学的解答给我们一个很好的启示：在解题时，一定要认真审题，仔细观察题目的特征，灵活选用解题的方法，并恰当地运用数学思想方法来指导解题，可提高我们的解题效率。若长期这样进行下去，可形成良好的数学思维策略，提高解题能力。
数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括。利用数学思想方法来指导数学学习和解题，往往能提高学生的数学学习效率，达到事半功倍的效果。但数学思想方法不是游离于数学知识之外的，而是渗透在数学知识的发生、发展和运用的过程之中的。这就要求教师要有目的地及时总结提炼，将数学思想方法的学习有机地融入学生的数学学习过程之中。这里，教师把自己置于一个参与者的身份，参与学生的讨论，并将学生讨论中出现的数学思想方法及时地进行总结提炼，使学生认识到数学思想方法在数学学习中的重要价值和作用，从而将数学思想方法的学习有机地渗透其中，使整个讨论和学生的认识上升到一个新的高度。
教师是学生学习活动的组织者和引导者，此处教师从反面提出问题，引导学生再次投入到新的探索活动中去。
（学生积极地思考、探究；教师在班级巡回指导，时而作为顾问回答学生提出的问题，时而给予学生必要的指导，时而参与学生的讨论、交流。）
师：她是利用非负数的性质以填空题的形式编制的习题，很好！（把题写在黑板上）还有其它形式的吗？
生14：有！我编了一道求值题：
已知：-3axby与7a4ybx-6是同类项，求代数式2x2-3y+1的值。
师：好！这位同学是把同类项的概念与解方程组融为一体编制的，很有新意（把题写在黑板上）。
师：很好！与众不同。（把题写在黑板上）
生16：我还有一道题：
师：他出的是一道探索性问题，很有创意。（掌声）这种题型是近几年中考试题中经常遇到的，它对考察同学们的探究能力十分有利，因此，大家要注意这种题型的解法和作用。（把题写在黑板上）
生6：有！我编了一道文字题。（上黑板板书习题）
有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字和的一半加上十位上的数字与个位上的数字差的1／3等于7；它十位上的数字与个位上的数字和的一半减去十位上的数字与个位上的数字差的1／3等于3。求这个两位数。
如果分别设十位上的数字为x，个位上的数字为y，得到的方程组就是例1的方程组。所以，这个两位数是82。
生17：我编了一道应用题（上黑板板书习题）:
一个笼子里有一些鸡和鸭。已知鸡的总数和鸭的总数的和的1／2与鸡的总数和鸭的总数的差的1／3相差3只；鸡的总数和鸭的总数的和的1／2与鸡的总数和鸭的总数的差的1／3一共刚好7只，问：这个笼子里的鸡和鸭各有多少只？
生18：我所编的题不是利用例1的方程组来解，但仍然是用二元一次方程组来解的。（上黑板板书习题）:
有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务。第一次运送18吨，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送30吨，派了一辆大卡车和11辆小卡车，并且两次所派的车都刚好装满。问：两种车型的载重量各是多少？
师：这位同学没有局限于我们提出的问题，而是作了进一步的拓展。思路开阔，并且所编的问题，语言表述清楚，思维严谨，很不错！（掌声）
生：何老师，我还有！我还有！……
这时，下课铃响了，教师及时地作了总结。许多学生为自己的成果没有得到展示而懊悔不已。
师：同学们今天思路开阔，思维活跃，充分发挥和展示了你们的聪明才智。你们编制的许多问题，老师课前都没有想到，很了不起！我今后还要向同学们学习（评：几句简短的激励性评价语言，把教师置于与学生同等的位置，拉近了师生之间的距离，增进了师生情感；同时，又增强了学生的成就动机，激发了学生学习和探究数学的兴趣与积极性）。由于时间关系，有许多同学的成果还没有得到展示，因此，今天的作业就是每个同学自己编五道形式不同而要用到二元一次方程组来解的习题，编好后写出它的解答过程，看谁编的好。同时总结这一章的主要题型和解题规律、自己在学习这一章时的心得体会或者自己的新发现。
这里教师的作业布置，不是随便点几道习题让学生做，而是让学生自己编题、解答和总结，在反思总结中，提高学生的学习效率，促进良好的数学学习习惯和方法的养成。
这节课，深深地触动了所有与会教师。课后，我和何老师进行了交流，他说：“这节课完全出于我的想象之外。我原先设计为主要通过教师的讲解和各种题型的练习来复习巩固这一章的知识与技能。上次我听了你的建议后，提出了今天的设计方案。说实话，我当时心中没有底。特别是各种不同题型的编制，我认为学生不可能编得那么全面、深入。而课堂上学生的表现简直让我惊讶。想不到学生的思维那么活跃，能力那么强。他们所编的习题类型不但覆盖了我设计的类型，而且有些还超出了我的思考。学生真是太聪明了！”
随后，我又组织学生进行了座谈。学生的反映更是热烈。且听听他们的心声：“以前的复习课，全由老师讲，我们很多同学听一会儿就分散精力，有一些学生根本就没有听。课后作业许多同学没有认真地独立完成，有一些还抄别人的，一章复习完后许多知识没有真正弄清楚，迷迷糊糊的。”“今天的课，课前老师让我们自己先对这一章进行整理，而且说课堂上要展示，大家都认真地进行了复习整理。除了自己看书上的内容外，我们还翻阅了一些参考资料，与同学进行了讨论。这样老师还没有上课，我们对这一章的知识及相互之间的关系就基本上复习和了解了。课堂上再通过展示大家的整理和教师的讲解，使我们既看到了到自己的不足，又学习到了别人的方法，进一步加深了对这一章知识的理解与掌握，印象十分深刻。特别是让我们自己编题，大家积极性都很高，都在认真地进行。”“当听（看）到别人编得很有新意时，也启发了自己的思路，产生了一些新的想法。”“以前老师布置的各种不同类型的习题，我们只是为了完成作业，从没有认真去想一想它们之间有何联系和规律。今天通过我们自己编制并展示了各种不同的类型，使我们看到了这些不同类型习题的解题规律和相互之间的联系，我们觉得这些题简单多了。”“老师，今后的课都应该这样上，让我们先自己去做一做，再交流，通过交流，可以互相启发，这样我们收获要大得多。”
复习课如何体现新课程的教学理念，改变学生的学习方式，提高复习课的效率，是新课程试验中需要研究的课题。在设计这节课时，我们在明确复习课的目的、任务的前提下，以培养学生能力、促进学生发展为指导思想，遵循复习课教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿于课的始终，并将评价与教师的教和学生的学有机地融为一体。实践证明，复习课中，只要教师转变观念，设计合理，组织得当，恰当地运用评价的激励与促进作用，“自主探究、合作交流”的学习方式可以充分激发和调动学生学习的积极性和主动性，获得理想的复习效果。
复习与小结 （个案）
南京市第29中学刘黔昉
如何关注学生学习的主体性，是否可以将知识的梳理等工作交由学生自主完成？在每一章教学后，刘老师都要求学生对该章知识进行自主的梳理与总结，在《证明一》、《证明二》、《证明三》教学任务完成时，刘老师又布置了如下课外作业：
（1）每人作初中几何证明的知识总结，内容覆盖《证明一》、《证明二》、《证明三》，并以PPT文件或Word文档的形式于1周内提交，根据作业情况记为平时成绩；1周后，随机抽取4名同学作课堂汇报并答辩，视汇报答辩情况对平时成绩加分或减分，其他同学对汇报提出质疑或作点评，并对平时成绩加分。
（2）你认为初中几何证明中对你最有挑战性的问题是什么问题，提出你的各种解决方案。
（3）初中几何证明中你最喜欢的一个题目是什么？你为什么会喜欢这个题目？
（4）谈谈你学习初中几何证明的感悟与体会。
布置作业的意图：
（1）脉络分明的知识结构梳理，展现学生对知识与技能的把握, 这有利于教师按照新课程标准的理念实施过程性评价，并及时掌握学生的认知状况，以便调整教学，促进学生进一步发展；学生在梳理知识体系的同时认知的最近发展区得以巩固；
（2）最喜欢的一个问题或题目，反馈学生的认知水平与情感态度，让教师获得学生在情感态度与价值观方面的发展评价；
（3）最有挑战性的一个问题或题目折射出学生认知发展的前沿所在，帮助教师因材施教，进一步挖掘学生的发展潜力，激发创新思维；
（4）学生学习的感悟与体会，构成对教师与教材的多元评价，学生学习的感悟与体会，字里行间反馈对教材的内容组织以及教师教学方法的建议与愿望，是教师改进教学、教材编者改编教材的一个重要参考依据。
02级初三(1)班王珊珊同学提交的作业（文字未做修改）：
（1）初中几何证明知识结构
知识梳理路线
（注：王珊珊同学上交的PPT文件中对上面知识网络图上每一个“结点”都进行了比较详细的拓展，如对于三角形，该生分别就一般三角形全等的判别、特殊三角形的判别与性质、三角形中特殊线（中线、高线、角平分线等）的性质等作了详细的梳理，限于篇幅，这里省略了其具体内容。此外，王珊珊同学还对几何证明的一些方法进行了整理。）
（2）最具挑战性的问题
已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h，若点P在一边BC上(如图1),此时h3＝0,可得结论:h1+h2+h3=h。
当点P在△ABC内（如图2），点P在△ABC外（如图3）这两种情况时上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系给出猜想，无须证明。
证明：对于图2的情况，过P作BC的平行线（如图4），则由条件得PD+PE+PO=AG。又AM∥OF，所以 GM=OF，所以PD+PE+PF=AM，即 h1+h2+h3=h。
对于图3的情况，猜想：h1+h2-h3=h
本题是一道信息题，是要你通过给出的结论举一反三得到别的结论，这首先需要读懂题目，而让我很有体会的是这一题有多种解法，且我与答案的方法完全不一样，我通过上图添加辅助线的方法将看似不一样的图形转换成一样的图形，从而直接利用结论，而答案则是通过面积来求的，我个人认为，自己的方法更符合题目要求，因为我更直接的利用了题目中所给的条件，且方法较为简单。这道题本身并不很难，但从中折射出中考又一种新题型确值得重视，而且在多种方法中选择最符合要求、简单的也十分重要，所以我认为它很具有挑战性，挑战我们，也是挑战一种全新的思维模式。
（3）最喜欢的题目
如图，矩形ABCD中，AD＞AB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC，AD于MN。
（1）求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积。
（2）如图，当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕，翻折后能使C点恰好与A点重合？（无须证明）
（3）在（2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积与重叠部分的面积相等，求BM：MC的值。
解答：（1）证明:连接AC，则O为AC的中点．在矩形ABCD中，因为 AD∥BC，所以，∠NAO=∠MCO。又∠AON=∠COM，OA=OC，所以 △AON≌△COM（AAS），所以 AN=CM。 又 AD=BC,所以 BM=DN.又 AB=CD,所以
S梯形ABMN= (BM+AN)AB= (ND+MC)CD= S梯形CDNM
（2）MN垂直平分AC。 
（3）证明:由AF=CD,AB=CD,得 AB=AF. 所以 BM=DN ,FN=DN， 所以 BM=FN。又 ∠AFN=∠CDN=90°，所以 Rt△AFN≌Rt△ABM.， 所以 S△AFN=S△ABM，又S△AMN=S△ABM+S△AFN=2S△ABM，所以ANAB=2BMAB，所以 BM:AN=1:2，又 MC=AN，所以 BM:MC=1:2
此题综合考察了证明能力,运用的知识点有全等的判定,梯形面积的计算,等量间的代换,同时还有如何添加辅助线和空间观念,这是一道折纸题,所以我们要对翻折后不变,相等和成特殊关系的量十分清楚,对于重叠部分的关系也要有明确的概念,我十分欣赏这题对于空间观念的考察方式,这不仅可以锻炼我们的思维,而且也可以使我们灵活运用知识,不死背概念,而且本章主要与边角联系,而这道题不仅考察了对矩形性质的了解,而且是从面积入手,十分新颖,最后求的是比值关系。
总之,这题考察我们综合应用知识和空间想象能力,是一道将几何与实际联系起来的题目。
（4）感悟与体会
《证明一》是初中阶段第一次接触证明，此章从全面阐述证明的必要性开始，让我们体会到数学不仅需要直觉更需要严谨的道理论述，要判断一个命题是否正确光靠实验是不够的，还要有理论的基础。从而我们的数学开始从实验数学向论证数学发展。本章中主要学习了线段中平行的性质、判定和重要特殊图形中角之间的关系，线段的平行在特殊四边形中应用广泛，而角之间的关系则为证明（二、三）中三角形、四边形角与角之间的大小转换作铺垫。而本章中体现的公理化方法也是一个很重要的数学思想，它不仅体现在数学领域，包括物理中的力学（阿基米德原理）、天文学甚至是美国独立宣言都深受欧式几何公理体系影响，包括我们生活中的种种标准和规定也运用了这一点，足见数学证明中的抽象方法在现实中的作用。
《证明二》给我最大的感受是严谨,从中不仅可以学到许多定理,更重要的是学会一种证明的思路和研究路径。
（1）通过全等的引入得到等腰三角形的性质和判定,再在等腰三角形的基础上研究它的特殊情况----- 等边三角形。
而直角三角形性质的证明，立即用将其补成一个等边三角形来作，在证明（三）出现的直角三角形性质和三角形中位线定理则被用于特殊四边形的证明，知识十分紧密。
（2）在研究三角形中本章主要研究了几种特殊三角形，从边与边，角与角，边与角，特殊线段与边角之间的关系入手，逐一找寻之间的联系，这样不仅不重不漏也便于我们记忆．
《证明三》是对《证明一》、《证明二》内容的综合应用，主要从边、角、对角线来研究特殊的四边形，从中体现了归纳、类比和化归等数学思想，对各种四边形的性质进行比较总结出规律，在证明过程中我们也都是将一个新图形转变成曾经学过的旧图形，利用已经掌握的性质去得到新的性质。对于较难的题目，我们首先要分析，要想得到最后结论可以从哪些方面入手，从中选出最合适的一条，用分析法和综合法相结合的手段，通过添加一些辅助线从复杂的图形中找出简单的图形加以解决。
专题二 数及其运算内容分析
1．数及其运算与过去相比有哪些改变？
《标准》中对数及其运算要求作了相应的调整，具体的表现在下面几个方面：
（1）对于新数的引入和相关运算法则、运算规律的获得，强调学生的自主探索
在初中阶段，将引入负数、无理数等新的数。对于这些新数的引入，既是数学学科发展的必然产物，也是解决实际问题的必然要求。而且对于学生而言，仅仅从数学学科发展的层面还很难理解这些新数引入的必要性，为此，必须通过实际问题的解决过程，让学生切实体会到原有的数系真的不够用，感受到引入新数的必要性。引入新数后，自然就要进行新数的有关运算，必须习得有关运算法则和运算律。《标准》要求学生理解这些运算法则和运算律，并能利用这些法则和运算律简化运算，为此，在课程实施时可以通过学生的自主习得加深学生对有关法则和规律的理解。当然，由于在数及其运算的引入中，加强了情境的创设，通过实际问题的解决引入新的数及其运算，这些也为学生自主习得有关法则和运算律提供了有利条件。如有理数。
（2）重视在现实背景中对运算的意义理解和运算的应用
对于运算首先要回答运算的意义是什么，或者说为什么要进行运算。为此，必须让学生通过具体的问题情境，认识到运算的作用，加深学生对运算本身的意义理解，同时也让学生体会到运算的应用，从而培养学生一定的应用意识和能力。例如，可以要求学生设计某些需要利用有理数的加法解决的实际问题。
（3）对于运算工具，鼓励使用计算器进行有关繁难的计算和近似计算
运算工具是随着时代的发展而不断发展的，《标准》鼓励学生使用计算器。当然，使用计算器并不排斥笔算。准确的说，应该是在学生掌握了一定的笔算技能的基础之上，鼓励学生使用计算器解决一些繁难的计算。
（4）继续关注运算技能的培养，但对于笔算难度和速度的要求有所降低
正因为繁难的计算可以使用计算器等其他计算工具，因此《标准》降低了对运算难度和速度的要求，而关注学生通过笔算加强对于算理的理解并获得一定的运算技能。如：对于代数式的运算、尽可能借用代数和几何中的背景，以及生活中的例子，解释运算的意义；对于有理数的加减乘除混合运算，《标准》仅要求以三步为主。
（5）对于运算的方法，鼓励算法多样化
“算法多样化”和我们通常所说的“一题多解”不完全相同。“一题多解”就是对同一个问题，从不同的角度去分析，会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想会有多种解法，它有其优点，如可以使思维更开阔，从不同的方法中找到较优的方法等等。但“一题多解”往往表现为个体方法的多样化，即要求学生个体用多种方法解决同一个问题。
“算法多样化”则是鼓励学生用自己的方法解题，其本质是鼓励学生独立思考，拓展学生探索、思考和尝试的空间，所以它首先是对学生个性化学习的尊重，因为每个学生都有自己独特的认知基础和思维方式；其次，多样化的算法是一种重要的课程资源，有利于学生之间的数学交流；另外从学生的算法中教师还可以看出学生的认知方式以及思维的不同发展水平，便于因材施教……
“算法多样化”并不要求每个学生能够用所有方法解决同一问题，算法多样化应是对学生群体的要求，而不是对学生个体的要求，即对某一个学生而言，方法可能只有一种，但对众多学生而言，方法就呈现出多样化，同时通过反馈交流，让学生体验、学习别人的思维活动成果，掌握适合自己的一种或几种算法。所以，在教学中应让学生独立去解题，自己找出解决问题的方法，对学生选择的方法不要急于评判优劣，而应相信通过互相交流，学生完全能够自主选择适合自己的方法。如在学习二元一次方程组时，因为受前面学习的影响，有些学生还是习惯于用一元一次方程去求解实际问题，出现这样的现象是很正常的，教师切不可对那些学生训斥，而应让他们自己比较后做出合适的选择。
案例：哪个方法好？
这是二元一次方程组的一节应用课。在学生自主选择方法解决了我国古典名题《鸡兔同笼》（学生可以分别用小学算术方法、一元一次方程和本章刚刚学习的二元一次方程求解），老师提请学生思考这些方法的繁简程度和相互间的关系后，教师进一步呈现了下面的问题，要求学生自主选择方法解决：
“今有牛五，羊二，直金十两。牛二，羊五，直金八两。牛羊各直金几何？”
在其后学生的汇报中，发现几乎所有学生都能列二元一次方程，部分学生列的是一元一次方程，而只有几个学生用小学的算术方法获得答案。
下面是部分学生对几种方法的评价：
生1：小学的方法比较巧妙，我很佩服这个同学。但方程方法比较扎实。
生2：小学的方法没有什么了不起，只是方程方法的解答过程……
生3：二元一次方程组的方法最基本，列一个未知数只是将一个条件先用掉了。
生4：二元一次方程组的方法最简单，但它的步骤多了些。实际上，没有一个绝对好的方法。
学生的评价已经对方法的优化与选择做了一个比较好的诠释，是的，没有绝对好的方法，不同的学生有适合自己的不同方法。
但教学处理中要注意两点：一是重视学生之间和师生之间的交流。不同的学生常常会采用不同的解题策略，这种差异的存在，为学生之间和师生之间的交流提供了很好的条件。而且只有通过交流，才能让多种算法全班共享；只有通过交流，才能了解各种算法的特点；只有通过交流，才能引起学生的自我评价和反思，找到适合自己的一种或者几种算法。二是防止“过度”算法多样化。也就是说并不是“算法越多越好”，而要看每一种方法是否有价值，是否确实是解决问题的有效策略，事实上，一个问题在课堂上出现几种算法要看班级的实际水平，主要应让学生在课堂中充分交流自己的想法。
（6）对于运算结果的获得，在重视原有的精确计算的基础上，加强了估算
一方面，估算在现实生活、科学计算乃至数学科学本身都有广泛的应用，另一方面，估算往往是学生综合运用不同知识与方法的有效场合。因此，加强学生估算能力的培养就具有了一定的现实意义。为此，《标准》中要求“能用有理数估计一个无理数的大致范围”，“了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”等。当然，估算的方式很多，如可以采用“去尾估算”，可以采用“进位估算”，还可以采用“夹逼估算”等，这些有待于教学实践中通过具体问题的解决而逐步渗透，但需要指出的是，不应当将这些方法作为技巧，一项一项的专门教授、专门训练。
2．教学中怎样把握好运算的“度”？
《标准》对运算方面的要求作了调整和改变，与过去相比，发生了很大变化，在运算的复杂程度和速度上降低了要求。但教师难免有这样的担心：要求的降低势必引起学生运算能力的下降。
确实，中国中小学生善于计算是我们的优势，是我们引以为豪的，但我们过去对运算的要求定位于“又快又准”，把运算能力等同于运算技能，这是片面的。同时从国际范围看国际上许多国家对运算内容的定位也发生了很大的变化，注重口算和估算的地位，淡化固定的计算程序和方法，提倡计算方法多样化。所以有理数运算的教学，应注重使学生在具体情境中体会运算的含义。对运算的评价重点应放在学生对算理的理解，考查学生能否根据实际问题的特点选择合理简便的算法，而不能过分讲究技巧。
当然，运算能力是学生一项基本的能力，所以在教学中对学生进行一定的运算技能训练还是必须的，但要注意把握“度”——如，学生能够心算100以内完全平方数的开平方运算（或反之），知道104、106、108等特定数的开立方结果；能够心算100以内“完全立方数”的开立方运算（或反之），知道103、106、109等特定数的开立方结果就可以了。
对运算技能的培养，应采用多种方式进行训练，而不是搞“大运动量训练”。后者虽然可能在短时间内提高学生的成绩，但长期下去，会造成学生的厌烦，直至丧失兴趣。如对有理数的运算，我们可以采用游戏的方式，如“24点”，可以提高学生学习的兴趣，训练学生的思维，游戏是提高学生运算水平的有益活动，可以鼓励学生采用不同的运算程序获得结果。实验区老师认为这种方式的教学效果很好。
另外，在教学中我们要注意：教材对运算的处理并没有企求一次就算完结，而是将运算贯穿于相关学习内容。事实上数的运算是整个数与代数的基础，式的运算基于数的运算，方程、函数、不等式等的研究也不可避免地要进行数的运算，所以学生在后续学习中运算技能及能力会不断得到培养和提高（一些实验区的反馈也实践证明这一点），所以相应地对运算能力的评价，要注意学段目标是该学段结束时学生应达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着知识与技能的积累逐步达到。
《标准》在“有理数及其运算”部分增加了计算器的使用，主要用于有理数的复杂混合运算；探索一些有趣的数字规律，发展合情推理能力；解决实际问题中的复杂运算。
在实验的过程中，我们发现教师对计算器的使用存在两种截然相反的态度：积极允许和坚决反对。我们究竟该如何看待计算器的使用？笔者认为，首先计算器的使用要有一个时间把握问题，必须在学生已经掌握了基本的运算技能之后方可使用；其次，要防止学生对计算器的使用产生依赖心理，也就是进行任何运算都使用计算器。这种现象在实验区的课堂上出现过，如学生对简单不过的口算问题都要按一下计算器，教师也有反馈，“我们的学生过多地使用计算器，对数字越来越没感觉了，计算结果为 都不化简”。如果计算器的使用使学生基本的运算技能都丧失了，那就得不偿失了。对此，我们教师要有意识地训练学生采用适当的计算方法去解决问题，什么情况下只要估算、什么情况下只要心算、什么情况下需要笔算、什么情况下需要计算器等。
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