未来骑士团十八魔法书:定积分的应用

第六章 定积分的应用

本章要求熟练运用微元法解决一些简单的几何问题（平面图形的面积、旋转体的体积、截面已知的立体的体积、平面曲线的弧长等）与物理问题（变力做功、水压力、引力等）.

一、            一、            基本内容

（一）微元法

如果某一实际问题的所求量U符合以下条件：

1.U是与变量x的变化区间 有关的量；

2.U对于区间 具有可加性，即 ；

3.部分量 的近似值克表示为 ，即有 ，其中 为区间[a, b]上的连续函数，则所求量 .

    这种方法称为微元法，而 一般称为U的微元.

（二）定积分在物理上的应用

1.变力沿直线运动的做功问题

假设物体在平行于 轴的力 的作用下，沿 轴由 运动到 ，则力所用的功为

x+dx

图6-1

2.压力问题

假设液体的比重为 ，有一个平面板铅直放入水中，平面板的上下两边与液面平行，上边与液面距离为a，选取与液面重合的坐标轴为y轴，铅直向下的坐标轴为x轴，如图6-1所示

取积分变量为 ，则 的变化区间为 ，在区间 内任取一微元 ,则所受压力为

由微元法可知，平面板一侧所受到的压力为

3.引力

   当引力的方向不随微元的改变而改变时，可以直接将引力对微元所变化的区间进行积分即可.例如，长为 ，线密度为 的均匀细棒在对棒的延长线上距棒的近端的距离为 处的一个质量为 的质点的引力为（参见图6-2）

O   x   x+dx    l    l+a

图6-2

当引力的方向随微元的改变而改变时，需要将引力分解为横向与纵向的两个分力，在分别利用微元法求出这两个方向上的引力.

（三）定积分在几何上的应用

1.平面图形的面积

（1）                （1）        设 , 在区间 上连续，且对任意的 ，有 ，则由上曲线 ，下曲线 ，及直线 和 所围图形的面积为（参见图6-3的左图）

设 在区间 连续，且对任意的 ，有 ，则由右曲线 ，左曲线 及直线 和 所围图形的面积为（参见图6-3的右图）

c

y=g(x)

图6-3

（2）                （2）                设在极坐标 中，函数 在区间 上连续，则由曲线 以及两条射线 所围成的图形面积为（参见图6-4）

r=r(θ)

图6-4

（3）                （3）                设曲线的参数方程表达式为

其中 在区间 上连续可导，且 ，则以曲边 为顶， 轴为底，两直角边为 的曲边梯形的面积为

2．  2．  旋转体的体积

（1）                （1）        由连续曲线 ,直线 以及 轴所围成的曲边梯形绕 轴转一周而成的旋转体的体积为

（2）                （2）        由连续曲线 ,直线 以及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积为

3．  3．  平行截面面积已知的立体的体积

如果一个立体虽然不是旋转体，但是知道该立体上的垂直于一个定轴的各个截面的面积，如图6-5.取定轴为 轴，并设该立体在过点 且垂直于 轴的两个平面之间.设在 处，且垂直于 轴的平面的截立体所得到的截面的面积为 ,则由微元法，有 从而该立体的体积为

x

图6-5

4．  4．  平面曲线的弧长

（1）                （1）        直角坐标情形

设曲线弧由y=f(x) 给出，则弧长 为

（2）                （2）        参数方程的情形

设曲线弧由参数方程

给出，则弧长 为

（3）                （3）        极坐标的情形

  若曲线有极坐标方程 给出，则弧长公式为

    (三)、计算题

    1、求曲线 在 与 之间所围成的图形的面积.

    解：曲线 相交于 ，因而围成的图形的面积为

2、求曲线 所围成图形的面积.

解：曲线 的交点坐标是 ，由对称性，所围成图形的面积是

1、3、求曲线 所围成图形的面积.

    解：此题用直角坐标做，稍微有点烦，用极坐标做最简单.将 化为极坐标 ，由可化为求夹在扇形区域 与 （直线y=2x）间，边界曲线是 的极坐标区域的面积，由公式

4、抛物线 将圆 分割成两部分，求这两部分的面积.

    解：先求抛物线 与圆 的交点坐标，得两个交点 ，则上部分面积为

则下部分面积为

5、求由双曲线 与 及 所围成图形的面积.

    解：所围成图形的面积为

6、求由双纽线 与圆周 公共部分的面积.

解：图形如图所示.

将两条曲线化为极坐标表达式为 与 ，其在第一象限的交点坐标可由此求得为 ，由对称性，其公共部分面积为

7、求由抛物线 及x=0所围成的图形，绕x轴及y轴旋转一周所形成立体的体积.

解：曲线 在第一象限的交点坐标为 ，因此，由对称性,绕x轴旋转一周所形成立体的体积为

绕y轴旋转一周所形成立体的体积为

8、求由曲线 ，直线 及x轴所围图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.

    解：直线 与曲线 的交点分别是 ，因此，所围图形绕x轴旋转的旋转体体积为

  绕y轴旋转的旋转体的体积为

9、由直线 与抛物线 所包围的图形绕直线 旋转，求所形成立体的体积.

    解：将直线 与抛物线 所包围的图形沿与y轴平行方向向下平移一个单位长度，让 与x轴重合，则所示体积转化为求 与直线 所围区域绕x轴旋转一周的体积.此时有

10、求曲线 自 到 的一段弧长.

解：由参数议程下曲线弧长的计算公式，有

11、求极坐标下的曲线 的弧长.

解：对 ，当r=1时， ，当r=3时， ，即对此曲线， 的取值范围是 ，由 可得

（注：舍去负值），从而，由极坐标下曲线弧长的计算公式，有

12、半径为 米的半球形水池，里面充满了水，问将池中的水全部吸出，需要作多少功？

解：选取水平面为y轴，铅直向下坐标轴为x轴，则半圆形板的边界曲线为 ，如图所示.

在x轴上任取一微元 ，则此微元所分割的半圆形板的条形区域(阴影部分)的体积为

此微元的质量是

将此微元提出水面做功

将池中的水全部吸出，需要作功为

13、质量为1千克的壳形容器，装水后的初始质量为20千克，设水以每秒 千克的速率从容器中流出，问以每秒2米的速率从地面铅直上举此容器到距地面10米高要作多少功？

解：取地面作为x轴的坐标原点，方向向上，于是问题变为当将容器从x=0上举到x=10时，需要做多少功.在 内任取一微元 ，由题意，若设从 开始上举容器，则此时已经用时 秒，容器的质量是

将此容器由x移动到x+dx做功

因此，将此容器从地面上举到高10米处总共做功

14、薄板形状为一椭圆形，其轴为 和 ，此薄板的一半铅直沉入水中，而其短轴与水的表面相齐，计算水对此薄板侧面的压力.

解：取水的表面为坐标原点，x轴向下且垂直于水面，y轴与水面相齐，如图所示.

如图，在x轴上任取一微元 ，则此微元所分割的半椭圆形的条形区域(阴影部分)的面积为

因而所受到水的压力为

应用微元法，得到半椭圆形薄板的总压力为

15、求星形线 位于第一象限内的曲线弧对于坐标原点处单位质点的引力，假设曲线上每一点处的线密度等于该点到原点距离的立方.

解：任取曲线上一微元dS，并设此微元对应 处一微元dx，则由弧微分公式，得

由题意，此微元质量是

此微元与质点间的引力大小是

引力方向为点 与原点连线方向，故此微元在x轴的投影是

这是由于

则曲线弧对于坐标原点处单位质点的引力在x轴方向上的投影是

由对称性，此引力在y轴上的投影是 ，从而引力

(四)、证明题

设函数 在区间 上连续，且在 内有 .证明在 内存在唯一的 ，使曲线 与两直线 所围成的平面图形面积是曲线 与两直线 所围成的图形面积的3倍.

证明：如图，由

对区间 内的任意一点 ，则由面积的计算公式，引入辅助函数 

再由 ，运用零点定理可知，函数 在区间 内至少有一个根，对 求导，得

由上式知 单增，从而在 内存在唯一的 ，满足所证明的条件.

.1 边际分析在经济分析中的的应用

1.1.1 边际需求与边际供给

设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量,P为商品价格）,则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量,P为商品价格）,则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。

1.1.2 边际成本函数

总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。

1.1.3 边际收益函数

总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．

R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。

1.1.4 边际利润函数

利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’(Q0)个单位。

例1 某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；

以上结果表明：当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元；当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加；当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。

显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？

1.2 弹性在经济分析中的应用

1.2.1 弹性函数

设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比,当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limδx→0

ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值,简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f（x）近似地改变EExf(x0)%。

1.2.2 需求弹性

经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)

例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5,求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需求只减少0.6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。

η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。

η(6)=1.2>1,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

1.2.3 收益弹性

收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以,收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η

这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1。

（1）若η<1,则EREP>0价格上涨（或下跌）1%,收益增加（或减少）(1-η)%；

（2）若η>1,则EREP<0价格上涨（或下跌）1%,收益减少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1,则EREP=0价格变动1%,收益不变。

1.3 最大值与最小值在经济问题中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如,在一定条件下,使成本最低,收入最多,利润最大,费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.3.1 最低成本问题

例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px,（常数m>0,n>0,p>0）,（1）问每批生产多少单位时,使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C’=2mx-n

令C’,得x=n2m,而C’’(x)=2m>0。所以,每批生产n2m个单位时,平均成本最校

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C’(x)=3mx2-2nx+p,C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相应的边际成本。

1.3.2 最大利润问题

例4 设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000（Q为销售量）,假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大？最大利润是多少？

解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q

收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令Ｌ’(Q)=0得Q=20000

∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大,L（2000）=340000元

所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。

2 积分在经济中的应用

在经济管理中,由边际函数求总函数（即原函数）,一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。

例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C0=1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

总收益函数为R(x)=500x

总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为L’’(200)<0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中,还可以给企业经营者提供新的思路和视角,这也是数学应用性的具体体现。因此,作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为科学的经营决策提供可靠依据。