道德模范宣传活动:膨胀的宇宙及其质量公式

膨胀的宇宙及其质量公式

上海市宝山中学    严正刚

宇宙质量公式

        宇宙质量公式是和宇宙模型相联系的，建立不同的宇宙模型，宇宙的总的质量公式也就不同。目前，最热门的大爆炸宇宙模型是符合现代宇宙测量结果的、为大多数科学家们所接收的、比较合理的模型。本文通过对这样的模型研究，运用狭义相对论速度公式和哈勃定律，推导出了宇宙质量公式。然后，通过对各种情况的研究讨论，得到了相应的有意义的结论。

一.膨胀的宇宙  

        上世纪上、中叶，天文测量得到了极大的发展。胡克反射望远镜首先揭示了远外星系的退行。随后，射电望远镜进一步确认了宇宙背景辐射的存在。这就为膨胀的宇宙提供了最为有力的证据。特别是哈勃定律的发现及宇宙背景辐射的均匀性，为均匀分布的宇宙模型提供了可靠的实验支持。所以，均匀分布的宇宙模型可能是最适合我们的宇宙的。那么均匀分布的宇宙模型和哈勃定律有什么关系呢？

r_AB=r_AB^’-r_AB=（k-1）r_AB

    除以时间t并取极限，有

v=lim _t→0r_AB/t=lim_t→0(k-1)/t r_AB

 这告诉我们，两星系的相对速度和相对距离成正比，这便是哈勃定律。其中lim_t→0(k-1)/t便为哈勃常数。需要说明的是，宇宙的均匀膨胀不是对时间而言的，而是对空间而言的。做一个比喻，如果把宇宙看成是一张地图，当宇宙上各点的位置变化时，就相当于宇宙地图按同样比例地被放大（或缩小），它们各点的位置虽变大（或变小），但相对方位没变。这就意味着如果哈勃定律是这种宇宙模型的几何必然，那么哈勃常数仅仅是这一时刻的几何特征系数，即它表示的是这一时刻的宇宙膨胀率（或者为收缩率，假如宇宙能收缩），因此哈勃常数对时间是可变的。

从这里我们看到，如果哈勃定律是正确的话，那么均匀分布的宇宙模型就有一定的可靠性。诚然，从小尺寸范围看宇宙，由于各星系的离散及它们的密度也可能不一样，所以宇宙并非是完全均匀的。但从大尺寸范围去考察，将宇宙看成是密度均匀分布的也是合理的，这和由分子组成的物体一样，从原子核角度来看，核与核之间是非常远离的，但从宏观角度来看物质则是紧密分布的。

二、宇宙的总的质量

v^/_径=Hr

式中H为哈勃常数。将v转换到实验室系中（宇宙外），由相对论速度公式v²_径=v^/2_径（1-v²_横/c²），所以

v_径=

因此，dm的绝对速度（相对于宇宙中心）为

这样dm和其静质量dm0的关系可写

      （1）

上式ρ为宇宙的静密度。将上式积分并做适当简化，可得

    （２）

先在以轴为对称的阴影环带上积分，考虑到dm的对称，dv=2πr2sinθdθdr，因此

先对θ进行在0-π区域内积分^[2]，可得

              （３）

R为宇宙半径。分别用分部积分法、换元法和查表法^[３]可求得以上积分，其为

（４）

这就是宇宙的总的质量公式。从上式可以看到，宇宙的总的质量M是随着H和R的改变而改变的，因此M一定是时间t的函数。就目前而言，宇宙边缘的速度已非常接近真空中的光速，因此有c=HR，所以上式可化为

                 （５）

这就是目前的宇宙的总的质量公式。

三、宇宙总质量的可能情况的讨论

        我们的宇宙及其演变有各种可能情况，如有旋转宇宙和不旋转宇宙；宇宙的爆炸是突发的还是渐进的；未来的宇宙是开放的还是震荡的。这些可能情况是否正确可以用式（4）来探讨。另外，从能量的转化和守恒定律来讲，当宇宙的半径增大时，则宇宙的势能就增大，因而宇宙的质量一定要减小。这是判定宇宙模型是否正确的一个方法。下面我们根据这个原则来进行讨论。

1.不旋转的宇宙 （ω=0）

将式（4）求ω→0的极限^[4]，其值为

因为大爆炸前H=0，所以大爆炸前的宇宙静质量为

（1）     若大爆炸后，宇宙中各星系的速度并不改变，且认为宇宙边缘速度始终为c。因为c=HR，所以

这告诉我们，宇宙的突然爆炸，产生了约1.5M0的质量。这个结论是不能接受的。因为它违背了能的守恒定律。

（2）.若宇宙的爆炸是缓慢的，即从v0=0开始。因为宇宙蛋半径R0不为0，所以H=0。因此宇宙在爆炸前后的总质量没有发生突变。但就目前而言，因为HR=c，所以

质量仍在创生，这也是不能接受的。

     所以我们的结论是，宇宙总体必然是在旋转的。

2.旋转的宇宙

    宇宙在大爆炸之前，因为v径=0，所以H=0。公式（4）中出现虚数，不可应用。考察原始积分式（2），令H=0，可积分^[5]得

              (6)

由于横向速度ωR＜c,所以M的最大值为

这就是宇宙因天生的自旋而具有的爆炸之前的质量。它比宇宙静质量M₀多0.5倍，这是相对论效应。

       宇宙在大爆炸之后，（1）若大爆炸是突发的，即认为宇宙爆炸后，宇宙边缘的径向速度v_径=c，由相对论原理，此时宇宙边缘的绝对速度仍为c。但内部的星系因为多了一项径向速度，所以其绝对速度必然增大，因而宇宙的总质量M＞3M。/2，这样的宇宙模型也是不能接受的。（2）若大爆炸是渐渐发生的，可认为v径从0开始增大到c，而H从0开始增大到最大，然后从最大减为0。这是因为当v_径=c时，v_径不能增大，而R可以增大，所以H必减小。如果宇宙是开放的，当R→∞，则H→0；如果宇宙是震荡的，v_径达到最大后，必作减速运动，当v_径减为0时，H也为0。所以这两种宇宙模型的未来，都要求H→0。另外，当H最大时v_径=c=HR，就是目前的宇宙情况。

       下面我们讨论用式（5）所表示的目前的宇宙情况。显然因为v_横=ωR，v_径=c=HR，v_径＞v_横，所以H＞ω。令x=ω²/H²，式（5）变为

随着R增大，比值HR/（ωR）也在增大，x必减小。可以证明M是在减小的。证明如下：将M求导，

即M是关于x的单调函数。令x→0，;令x→1，，即R增大时M减小。所以我们说，式（4）的质量式是符合我们现代的宇宙的，它证明了我们现代的宇宙在膨胀时，不违背能量守恒定律。因此我们的结论是，渐进膨胀的宇宙才是真实的。（这个结论不能在宇宙爆炸时从式（4）来讨论得出，因为此时H＜ω,式（4）中出现虚数，公式已不能成立。我们可以导出相应的质量公式，因为推导过程较为复杂，限于篇幅，这里不作讨论。）

3.未来的宇宙

目前，未来的宇宙有两种情景，我们对它的可能性进行讨论。

（1）.震荡的宇宙：当R最大时，v=0，H=0，ω≠0。令x=ωR/c，代入式（6）可得

因为x是一个小量，M的近似值为

这是可能的。

（2）开放的宇宙：当R→∞时，0＜HR≤c，ωR→0，H→0。将式（4）写成

令ωR→0，上式变为

若RH→c，则M的极限值3πM₀/4＞1.5M₀，这是不可能的。所以膨胀的宇宙最终必是减速的；若RH→0，则M→M₀＜1.5 M₀，这是可能的。

[附录]

[附录]：
[1].本文第三节已证明，宇宙一定是旋转的。另外本人还认为，宇宙的爆炸原因，是因为宇宙的运动产生了宇宙斥力和宇宙旋转惯性力的综合结果（见本人另文《质电统一理论》），所以宇宙一定是旋转的。

[2].令ωrcosθ/c=x，将其微分ωrsinθ.dθ/c=dx，代入原式，有

          （A）

令Hr/c=cosβ，将其微分，Hdr/c= -sinβdβ，所以上式中

代入式（A）后，可得

[4].注意到

所以式（4）中，当ω→0时，式中[  ]→0，因而{    }→0，所以可用罗必塔法则

上式中的第一项，再用罗必塔法则，可得

和第二项相加，再减去第三项并取极限，有

[5].由式（3），令H=0，则