法国里昂商学院学费:2010全国中考数学试题汇编:直角三角形与勾股定理(含答案)

2010年 部分省市中考 数学试题分类汇编

直角三角形与勾股定理

1.（2010年四川省眉山市）下列命题中，真命题是

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形

C．圆的切线垂直于经过切点的半径

D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直

【关键词】真命题、假命题

【答案】C

2．（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为

A．90°      B．60°       C．45°      D．30°

【关键词】勾股定理及其逆定理

【答案】C

3.（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为的正方形，小颖将

图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②

能验证的式子是（    ）

A．              

B．      

C．           

D．

【关键词】正方形、勾股定理

【答案】B

4．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②＝＋；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（     ）

A．0    B．1    C．2    D．3

【关键词】等腰直角三角形

【答案】D

5、 (2010福建泉州市惠安县)矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.

【关键词】折叠

【答案】5.5

6、(2010福建泉州市惠安县)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．

①如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，

那么所用细线最短需要__________cm；

②如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，

那么所用细线最短需要__________cm．

【关键词】勾股定理

【答案】① 10，  ② 

7、(2010年燕山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，

∠B＝45°,  AD＝1，BC＝4，求DC的长．

【关键词】等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质、勾股定理

【答案】如图1，分别过点A、D作AE⊥BC于点E ，

DF⊥BC于点F．   ………………………………1分

∴ AE // DF．又 AD // BC， 

∴ 四边形AEFD是矩形．

∴ EF=AD=1．    ……………………………………2分

∵ AB⊥AC，∠B=45°，BC= 4，

∴ AB=AC．

∴ AE=EC== 2．   ……………………………3分

∴ DF=AE= 2， 

CF=EC-EF= 1．       ……………………………4分

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，

∴DC=.    …………………………5分

8、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠BMA＝∠NBE.

又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）.

⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.

⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF2＋FC2＝EC2，

∴（）2＋（x＋x）2＝. 

解得，x＝（舍去负值）.

∴正方形的边长为. 

9、（2010年广东省广州市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【关键词】轴对称 四边形 勾股定理

【答案】（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝

若直线经过点B（3，1）时，则b＝

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

① 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

   此时E（2b，0）

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E（3，），D（2b－2，1）

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )

＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝

∴

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，

设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴

∴S四边形DNEM＝NE·DH＝

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

10.（2010年山东省济南市）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？

【关键词】直角三角形、勾股定理

【答案】

解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，………………1’

∵Rt△ABG中，∠BAD=600，AB=40，

∴ BG =AB·sin600=20，AG = AB·cos600=20……………….3’

同理在Rt△AEF中，∠EAD=450，

∴AF=EF=BG=20，……………….3’

∴BE=FG=AF-AG=20()米. ……………….1’