知乎66条神回复集锦:2011中考数学一轮复习【代数篇】4.因式分解

中考复习之因式分解

知识考点：

因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。

精典例题：

【例1】分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）[来源:学#科#网]

分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1”

③注意，

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

答案：（1）；           （2）；

     （3）；              （4）

【例2】分解因式：

（1）

（2）

（3）

分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

答案：（1）；（2）；（3）

【例3】分解因式：

（1）；

（2）

（3）

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。

答案：（1）（三、一分组后再用平方差）

     （2）（三、二分组后再提取公因式）

     （3）（三、二、一分组后再用十字相乘法）

【例4】在实数范围内分解因式：

（1）；

（2）

答案：（1）

     （2）

【例5】已知、、是△ABC的三边，且满足，求证：△ABC为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式，即可得证，将原式两边同乘以2即可。

略证：

      ∴

      即△ABC为等边三角形。

探索与创新：

【问题一】

   （1）计算：

        分析：此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

        解：原式＝

                ＝

                ＝

（2）计算：[来源:Z*xx*k.Com]

分析：分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

解：原式＝

        ＝2002＋2001＋1999＋1998＋…＋3＋1

        ＝

        ＝2 005 003

【问题二】如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么  可以取那些值？

分析：由于为整数，而且在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定能用形如型的多项式进行分解，其关键在于将－8分解为两个数的积，且使这两个数的和等于，由此可以求出所有可能的的值。

答案：的值可为7、－7、2、－2

跟踪训练：

一、填空题：

1、；；＝                  。

2、分解因式：

＝                    ；

＝                      ；

＝                      。

3、计算：1998×2002＝               ，＝        。

4、若，那么＝        。

5、如果为完全平方数，则＝          。

6、、满足，分解因式＝              。

二、选择题：

1、把多项式因式分解的结果是（    ）

A、    B、     C、    D、

2、如果二次三项式可分解为，则的值为（    ）

A、－1              B、1              C、－2              D、2

3、若是一个完全平方式，那么的值是（    ）

A、24               B、12              C、±12            D、±24

4、已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（    ）

A、61、63           B、61、65          C、61、67          D、63、65

三、解答题：

1、因式分解：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

2、已知，求的值。

3、计算：

4、观察下列等式：

   ……

   想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来：                        。

5、已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。

阅读下面解题过程：[来源:Zxxk.Com]

解：由得：

                 ①

         ②

    即                    ③

    ∴△ABC为Rt△。                 ④

    试问：以上解题过程是否正确：            ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）           ；错误原因是                                ；本题的结论应为                  。

参考答案

一、填空题：

1、，，；2、，，

3、3 999 996 610；4、0；5、10或4；6、

二、选择题：DADD

三、解答题

1、（1）；      （2）

  （3）；              （4）[来源:Zxxk.Com]

  （5）[来源:学科网ZXXK]

2、

3、5050

4、

5、不正确，③，等式两边除以了可能为零的数，等腰或直角三角形。