漫画故事韩国电影:《人民教育》从“小用”到“大用”——谈我们需要怎样的数学教育

一、生活之用只是数学的“小用”
近些年来，在强调数学与生活的联系中，出现了“过度生活化”的错误倾向，人们试图用日常生活中的应用来支撑“为什么学数学”。
例如，很多数学教师常用的如买门票、租船、卖货等联系生活的素材，虽然都是数学问题，但它们并不是例题、习题、作业和考试命题的好题材。太“实惠”了！简单地强调“学是为了生活之用”，尤其是以“学是为了省钱”来引导学生学习数学，这种“功利”、“实惠”的思想会给学生带来很大的负面影响。
举例来说，IMO（国际数学奥林匹克竞赛）是培养数学家、科学家的摇篮，历史上许多参加IMO的人后来都成了国际知名的科学家，如1898年IMO的获胜者冯·卡门，后来成为航空航天领域最杰出的一位元老；1982年IMO的获胜者佩雷尔曼，于40岁时破解了世界七大数学难题中的庞加莱猜想，被授予菲尔茨奖；1988年IMO的获胜者、澳籍华裔数学家陶哲轩，于31岁时获得了菲尔茨奖，在美国《探索》杂志评选出的40岁以下最聪明科学家中位居榜首……但遗憾的是，中国的学生自参加IMO以来，25次参赛，16次获得团体第一，个人夺冠者不少，可他们都没有取得像陶哲轩或佩雷尔曼那样杰出的成就，有些人甚至远离了数学。这里有我国科研根基不足的原因，也有数学竞赛与数学研究风格不同的原因。但总的来说，一个不可忽视的原因就是中国的孩子自小就受到了功利、实惠思想的熏陶。为什么高中毕业后，大量的高分考生纷纷涌向最有“钱途”专业？为什么大学毕业后，那么多精英，那么多本来应该是搞高科技的人才，甚至是IMO的获胜者，都堆积在了金融行业？他们选择走这条路，就跟教育推崇眼前的实际效益有关系。
事实上，从知识学、哲学认识论的角度说，数学之“用”应有三层：一是生活之用，比如买菜算账；二是应用数学之用，即在自然科学、社会科学与人文科学里的“应用”，比如，前苏联最终认定《静静的顿河》确实是肖洛霍夫写的，方法是应用概率论对原文词汇的使用频率进行测算；三是纯数学之用，即用作继续研究纯数学的基础。这三层中，最后一层是大用——它甚至是所有科学方法论、哲学乃至最根本的人类思维方式的基本源泉之一；科学中的应用是中用；日常生活之用只是小用而已。其实，对于平常人来说，真正能用到数学的地方，也就只有算算账了。如果过于强调“小用”、“中用”，则可能掩盖“大用”，使数学教育远离本质。虽然激发了学生的学习兴趣，却丧失了科学精神，这实在得不偿失。
一、数学教育要体现大用之“用”o
摒弃数学饱含的科学思想，仅把“生活之用”作为数学教育的目标，不符合数学学科的本质。数学教育要达到更高的层次，教师应重新审视数学知识，挖掘知识的背景，从人类认识数学的过程、各个数学分支创立的动机、数学发展的瓶颈和转折点、数学知识的原理、数学知识发展的历史与规律等角度，自上而下地把人类获得的高度概括的知识传授给学生，使学生感受到先有直观思维再给出形式化描述的艰难，真正体会数学之美，从而发展其数学思维与科学精神。数学教育要体现大用之“用”，需从以下三个方面着手：
1．知识学习上重视核心概念和内在联系。
任何学科教育都面临一个矛盾——如何在符合学科规律、儿童心理与科学发展原则的前提下，于有限的时间内高度概括地、精炼地重演该学科在历史上的发展？对于数学学科而言，这要求教师在教学时做到重点突出，脉络分明。
所谓重点突出，就是指教师在教学时要抓核心概念、原理。如数、形概念是小学数学教学内容的“主干”，其他知识建立在概念的基础上，是概念的应用，教师教学时在“主干”上要舍得花时间、下功夫，切切实实让学生理解。
所谓脉络分明，就是指教师要把握知识的来龙去脉、前后联系以及蕴含的思想方法。例如，在最开始教学“数的认识”时，教师以“十进制”的起源渗透“满十进一”的规律，让学生知道：人类最初是用手指头来计数，而人类的手指头不多不少刚好只有10个，所以他们数完10之后就不得不借助其他东西来计数。接下来教百、千、万和小数时，教师再逐步运用“满十进一”来教，自然就会水到渠成。
在学生掌握了一定的数学概念后，教师就要帮助学生整理知识，发展概括能力，循序掌握概念系统，把书读“薄”。这包括引导学生认识概念之间的“纵向联系”和“横向联系”。如四边形一平行四边形一长方形一正方形，依次包含，构成从属关系，也就是“纵向联系”；而正整数按约数的个数，分为1、质数、合数，这是“横向联系”。最后，教师要引导学生沟通概念之间的纵横联系，形成概念系统，编成纲要图表。如此一来，学生方能获得概括化、系统化的知识，产生广泛的迁移，使知识向能力转化。
2．灵活地发展思维能力。
数学是思维的体操。不论与哪门课程相比较，数学所包含的思维在丰富性、严谨性、细腻性上都要强得多。数学思维既具有思维的一般特征，又具有数学本身的个性，通常有三种：抽象思维、形象思维、直觉思维。
抽象思维是数学思维的核心，从整个数学科学来看，多数数学问题的解决，单纯运用抽象思维。在小学数学中，有很多数学问题的解决，也单纯运用抽象思维。
形象思维在很多情况下是数学思维的导入，很多数学问题的解决，先依据具体的图形和形象的情境进行形象思维，然后进行抽象思维，使问题得以解决。
直觉思维是建立在扎实的形象思维与抽象思维经验基础之上的思维跳跃与升华，是创造、发现的工具。
在特定的情境中，它们有时相对独立，有时又会相互交叉。在教学中，教师应想方设法给学生提供有效训练三种思维能力的数学问题，依据学生的思维特点，将三种思维融会贯通，从而真正将“培养学生的数学思维能力”这一核心教学目标落到实处。
例如，有这样一个算式：“100-50-20=”。这是一个抽象的算式，在小学二年级，如果教师非常抽象地对学生说：“这叫连减，第一个数叫做被减数，我们现在就是要从被减数中减去第一个减数，然后用它们的差减去第二个减数，再得到它们的差。”这就把一个简单的问题搞复杂了。教师应该非常灵活地对学生说：“你可以把它看成是你生活中的一个小例子，你妈妈带你上超市，带了100元钱，买了一箱苹果，花了50元；又给你买了一个玩具，花了20元。那么还剩下多少钱呢？”这样一解释，学生马上就明白了，因为学生有相关的生活经验，他们把这个算式与头脑中的形象记忆联系起来了，就会很容易理解这一知识。
进而，如果要进一步教学“算式中减50再减20，也可以把50和20加起来再减”，教师又可以这样说：“我们去超市买东西，超市是怎么收银的呢？是一次性收的，先把你买的所有东西的钱全部加起来以后，用100元去减这个数，这个一起减的过程就是找钱的过程。”教师这样一说，学生又很容易就懂了。
这还不够，教师在学生理解题意之后还应进一步讲解：“这个题目问的是还剩多少钱，因此它和人物、地点就没有关系了。‘妈妈’、‘你’、‘超市’可以删去，也可以改为‘爸爸’、‘小明’、‘商店’。因为是问还剩多少钱，所以这与买的什么东西也不相关，题中的‘苹果’、‘玩具’可以删掉，也可以改为‘橘子’、‘书籍’。”这样通过其一，了解其二、其三，以至无穷，就可以使学生举一反三，掌握“100-50-20”这个算式的抽象含义了。
3．在科学方法中熏陶科学精神。
数学在大部分人心目中都是枯燥乏味的，甚至不少数学教育工作者也这么认为。其实，那是因为他们没有去挖掘数学知识的背景、科学原理和科学思想。哲学家罗素说：“数学，如果正确地看她，不但拥有真理，而且也具有至高的美。数学提供了一种精确、简洁、通用的科学语言，数学语言正是以她的结构与内容上的完美给人以美的感受。”一个对数学知识有领悟的教师是不会让学生死记硬背的，他会挖掘数学知识中蕴藏的科学之美，让学生耳濡目染数学给人类带来的关于严谨、有序、结构的美，获得对科学的崇高和敬畏之感，从而喜欢数学，崇尚科学。比起以“小用”来吸引学生学习数学，这才是使学生喜欢学数学的科学途径。
例如，小学一年级教数字1，几乎所有的教师都认为：1还用教吗？家长教了，学生都会，教师觉得没有什么可教的。他们没有想过，其实1是所有数中最重要的数，人类形成l这个概念经历了痛苦的十万年，非常不容易。当l产生的时候，数的概念也就产生了，学生正应通过教师讲授1获得抽象能力。对数学有研究的教师会有意识地掌握这一点，一个房子、一个杯子、一棵树、一个人、一双袜子、一组球员、一群小鸟，这些属性根本不同的事物居然有共同的东西，这个共同的东西是什么呢？就是1（其中，一双袜子、一组球员、一群小鸟这样用1表示一个整体而非数量上为1的一个事物的例子，尤其需要引起教师注意，为什么分数比较难学？原因之一就是学生没理解“被均分的东西不论多少都只是‘整体1"’）。要让学生理解，原来1并不那么简单，并且在这个基础上帮助学生去抽象2，这就是培养学生的抽象能力。这样来看就不容易了，抛开所有属性，只留下一个属性，而这个属性没有什么实在体，这种方法需要通过教师有意识地在课堂上教授给学生。这种思想学生的家长不懂，学生自己探究不出来，课本上也反映不出来，只有通过教师有意识地讲解，学生才会获得。如果学生只是找出了1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，
最后却不懂得它们抽象出来的含义，不知道这里面包含着思想上的飞跃、人的能力上的飞跃，那教学就失败了。
又如数学中的质数，数学教师通常会对学生说：质数就是除了1和自身以外，没有其他约数的数。其实，这样平铺直叙地把概念倒出来并不是学生想要的。学生真正想知道的是，质数究竟是什么？它有何重要性？教师若能多挖掘一些数的意义，就会这样告诉学生：质数就是不可再分的数，是组成一切自然数的基本元素0 12是由两个2和一个3组成（相乘得到）的，正如水分子H20是由两个氢原子和一个氧原子组成的一样。和化学世界不同的是，算术世界的元素有无穷多个。算术世界内的一切对象，都是由这些基本元素组成的。这才是质数为什么那么重要的原因，教师言传身教之下，也会培养学生追寻本质的思维习惯。
再如数学中的猜想法，是探索数学规律时一种常用的策略。经过猜想得出的结论可能是正确的，也可能是错误的。并且，即使找到1亿个例子符合猜想，也不能确定猜想的正确性，这是归纳法的软肋：只经过有限次归纳、未经严格证明得出的结论不能断定就是正确的。1640年，费尔马提出了一个猜想，然而，在1732年，著名数学家欧拉举出一个反例，宣称了费尔马猜想不正确。数学教师在引导学生通过“猜想——验证”得出结论的同时，可否顺势讲出上述思想，让学生体会归纳的软肋、猜想的局限？在教学“无理数”时，又可否顺势讲出历史上第一次数学危机爆发时引发的恐慌，让学生体会数学之严谨？要知道，让学生相信不容易，让学生不轻易相信、不盲从更不容易。讲交换律时，教师说a+b=b+a，如果通过教师的培养，学生在学到这里的时候问：“你怎么知道的？”教师回答：“你试一试就知道了。”学生说：“我试过了，永远试不完，我不认为a+b=b+a。”那么，教师就成功了。学生不轻易承认靠有限次归纳得到的结论，当他不承认这一点时，他的内心就萌生了要证明、要说明的要求，这正是科学精神使然。
越是基础的东西，越是重要，越是蕴含了深刻的道理。数学知识的背景和原理，教科书上没有，教辅书上也没有，需要教师追根究底地广泛阅读、深入研究才能获得。这些富含科学精神的宝贵财富，家长不知道，学生探究不出来，只有教师有目的地引导和讲授才能使学生获得。它们实是数学知识中最珍贵的东西，值得数学教师花费毕生精力去探索。教师应养成一个习惯，在教案中加入一条——知识背景，把教学目标写得简短一些，毕竟一节课只有45分钟；把知识的原理和背景讲得详细一些，因为这才是你这堂课的底气。