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易经数理结构探讨(来源: 唵啊吽)

本帖被 空间 设置为精华(2008-03-22) 【易经数构】是【易经数理结构探讨】的简称。用简称是为了留下标题空间加附标题，便于网络上贴。易经和其它书不同的地方，在于除了文字以外，还有卦符和数符，而这些卦符后边跟了历代积累的文字。现代书籍中，文字和符号并存的书是数学书或应用数学的书，于是唵啊吽猜测，这64个卦符及其之间的变化关系，可能有某些代数结构，找出这些代数结构，这易经就容易明白了。



让我们引用《说卦》中的一段来说明这个代数观点：

“乾，健也。坤，顺也。震，动也。巽，入也。坎，陷也。离，丽也。艮，止也。兑，说也。主

    乾为马，坤为牛，震为龙，巽为鸡，坎为豕，离为雉，艮为狗，兑为羊。

乾为首，坤为腹，震为足，巽为股，坎为耳，离为目，艮为手，兑为口。”

这一段讲八卦的八个卦符，代入了三个不同类别的系统，一个是八种运动形式，一个是八种家畜（如果龙也定义为家畜的话），一个身体八个个部位。这和数学非常相似，如1＋1＝2，可以代入一个苹果加一个苹果等于两个苹果，也可以带入一个行星加一个行星等于两个行星。有一个抽象的数学结构，把这个数学结构应用到不同的问题上。自然数以及加法和乘法乘两种运算合起来是一个代数结构，称为“环代数”。自然数有顺序，2比1大，3比2大等。但有些代数结构的元素是没有顺序的，如“群代数”的元素就往往没有顺序，八卦的八个卦符也很难说有顺序，这些当然都是要探讨的问题。



数学的应用，就是将客观事务影射到一个代数结构中的元素里，然后通过代数运算找出各元素之间的关系，然后把结果拿出来作为行为的依据，这和《易经》非常相似。把客观事务影射到卦符上，然后进行推理（运算），然后决策行为。所以，《易经》无所不包并不奇怪，1＋1＝2可以用于市井交易，也可以用于计算卫星轨道，一个代数结构可以有很多用途，一个问题的解解决可以应用许多数学工具。笔者以为《易经》中有许多代数结构，古人用这些代数来解决问题（决策）。



决策的“策”，就是算筹，通过运算把策算出来了，就是决策。所以，决策本意就是数学的应用，《易经》就是决策的书，有决策，当然有数理结构在其中。



《易经》的数理结构主要着重于变化，而不是数量的计算。这有点像群代数，如空间群的元素就是各种变化的操作，包括旋转、平移、镜像等。



这是网络写作，不是有研究结果才写的，而是有一点读书心得就写一点，估计不把易经读完了，难以总结出严谨的代数结构，即便读完了，或许严谨的代数结构也找不到。所以，读者不要期望太高，期望太高了，案啊吽反而不敢写下去了。而且，这是读书笔记，写到最后结论和观点和最初的设想的或许风马牛不相及，也是不奇怪的。



好了，我要开始读《易经》了……


[ 此贴被kelvin在2008-05-09 07:29重新编辑 ] Posted: 2008-03-22 09:30 | [楼 主] kelvin

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读易经，得先搞明白八卦的来历。



【易·系辞下】记载【1】：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”这段话说包牺氏观察和思考这个世界，发明了八卦。



刘徽在【九章算术·序】一开头就说【2】：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变”。刘徽认为，八卦是用于算术的，所以我们可以推测八卦是代数符号，其卦像有如蓍草算筹的排列。



【周髀算经·卷上之一】说【3】：“昔者周公问于商高曰：'窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。’”，这说明包牺把八卦应用于天象和历法。



那么包牺氏是谁呢？包牺氏就是伏羲【4】。按照曹桂岑的考证【4】，伏羲的年代是九千年前，也就是公元七千年前。【史记·五帝本记】称伏羲、神农和皇帝为三皇，伏羲是三皇之首，是中华第一帝【5】。九千年前，中国还处于母系氏族社会，所以，伏羲应该是女性。传说中，伏羲人面蛇身，所以，可以推测伏羲是美女，身材窈窕，小蛮腰，或说是水蛇腰。当然，还有另一种文绉绉的说法，是说伏羲是蛇图腾文化，后来变成中华龙图腾文化。



1951年，四川资阳县发现人类头骨化石，据放射性碳14测定，为七千五百年前的化石，估计考古研究，属于旧石器时代【6】。【史记】从五帝开始，其中提到伏羲为三皇之首。这是有文字记载历史。传说中顺序是有巢氏、燧人氏、庖牺氏、神农氏、然后到皇帝。即中国社会开始是住在树上（有巢氏），后来进入了钻木取火的时代（燧人氏），后来烹饪牲口的社会（庖牺氏），然后是种植庄稼的社会（神农氏）【7】。庖牺就是伏羲，其妹为女娲。读到这，读者会问了：咦，你一会儿说伏羲是美女，一会儿说伏羲是畜牧社会，伏羲到底是人还是一个社会时期呢？实际上都是。就像我们说华盛顿共识，实际上用华盛顿代指美国。有时候用布什代替美国来指称美国对外政策。伏羲是人，也可以代指伏羲年代。



伏羲那个年代，男人在外渔猎，伏羲经理组织筹划部落中大大小小的事情，有很多帐目要算。那时候没有纸和笔，也没有文字，算帐使用结绳记事。这很麻烦，一年365天要打365个结，这帐目就变成一堆乱麻了，理也理不清。为了解决这些乱麻帐目，发明了八卦。



据说伏羲发明八卦，是从河图洛书进化出来的。我们看看河图洛书，就一眼能看出是结绳记事的图像，一根线就是一条绳，上边的节点就是结。洛书摆得特别美丽。每行每列及两个对角线的和都是十五。如果我们往宇宙空间送一个“漂流瓶”，告诉宇宙其它文明星球人类有智慧，那么洛书是最合适了。我们一看到洛书，就可以推断当时人类的智慧是很高的。即便是结绳记事，也能筹划很复杂的事情，至少，加法和数大于十个手指头。



一根绳子打几个结，就代表数字几。打九个结，已经很长了。看看河图，八和九的结数不是一眼能分出来的，这样算帐很容易出错。所以，用白黑两色绳子分别记奇数和偶数。但算的数字大了，毕竟不方便。这结绳有点像计算机外存，可以永久保留。运算的时候，计算机不要外存，而用内存，用暂时记忆。伏羲也一样，运筹决策，就摆蓍草，摆蓍草难以永久保存，但运算快。把蓍草中间没有节的作为阳筹，中间有节的做为阴筹，在三个位置上摆上不同的筹码，一共有八种摆法，这就是伏羲的八卦图了，每个卦都是阴划和阳划组成的三比特字节。从一到八都是三划，比结绳简洁多了。但读起来不如结绳那么容易理解，需要有学问才能读。 Posted: 2008-03-22 09:31 | 1 楼 kelvin

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【周易·系辞上】【1】：“天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。”



易经把奇数定为天数，偶数定为地数。唵啊吽上节猜测，这是结绳记事时减少计数误差的方法，那就是奇数用一种颜色的绳子，偶数用另一种颜色的绳子。这个猜测无法考证，因为即使绳子变成化石了，颜色也难以保留下来。



但是，这天地就是阴阳，阴阳是易经解释宇宙的核心概念。哲学中的一个命题，就是宇宙到底事什么，这在哲学中叫做本体论，英文称之为ontology。注意，哲学不是科学，是形而上学。到了科学时代，ontology就是穷尽地组织一个学科或专业知识的方法，这个方法一般称为归类。人认识世界，就是把世界的事物分类，然后根据不同类别的事物来策划或决策。让我们把这种ontology称为整体论方法。



让我们举几个例子来说明整体论方法。比如说，世界的物体分为生物和非生物两大类；生物分为植物和动物两大类；动物分为脊椎动物、环节动物等等；脊椎动物分为哺乳动物和卵生动物等等；哺乳动物分为灵长目等，灵长目分为猩猩、猴子、人类等等。现代科学的发展如生物学、化学都是从这些分类。



今天整体论方法是一个很大的产业。如计算机X·500协议，就是一个整体论协议。根据X·500协议开发出来的产品有Novell目录服务系统，微软开始把这个目录协议应用到电子邮件的交换服务，后来用到和Novell类似的目录服务。类似地有金融业专用整体论术语。



如果我们把世界所有的事物的概念都整理组织出来，我们就“认识”了这个世界了。不过这用起来很多困难，如计算机专用人士或许不能完全了解X·500协议，即便开发出产品，也是用其中一小部分。学生物的也不见得都了解每个物种的分门别类。这是归纳法的局限性，归纳法无法穷尽无限的事物。



由于归纳法的局限性，哲学家的本体论喜欢演绎法，用一些规则演绎这个宇宙。如黑格尔的【有论】，从“有”或者“存在”这个单一的概念，通过“有”“无”相生的辨证法来演绎宇宙所有事物。这个方法很方便，国人都会用，如“凡事一分为二”，事物都有两面性。



用有限的规则来推演无穷，在数学上有数学归纳法。这里给一个例子

f（n）＝f（n－1）＋1

f（0）＝0。



由这两个公式递归，就可以穷尽所有自然数。数学归纳法可以用描述一个无穷序列，或者证明一个无穷序列中的某种关系。用上边两个关系比起列举『1、2、3、4、……』要简洁得多，而且，列举总是有限的，无法穷尽无穷序列。



好了，数学归纳法和自然数有关联，必须是一个序列，但是，宇宙间许多事物并不是按照序列排列的，或者没有序列关系，这就很难用数学归纳法了。不过，要超越序列的限制也是有方法的。如今计算机时尚的面向对象的语言，这种语言就有类似的方法，而且不依靠序列。那就是描述一个对象的时候，可以是这个对象本身来这个对象的性质进行描述。也就是说，你可以用一个事物本身去定义这个事物。这在逻辑上是循环证明，是逻辑学家的大忌，因为循环证明往往得出自相矛盾的结论。如只要有手拽着头发，就可以把你拉出沼泽，那么，你自己的手能把自己拔出泥潭吗？又如，世界上的人分为两类，一类是给我理过发的人，一类是没有给我理过发的人。这个分类一点都不含糊，每个人都是两种必居其一而且只能居其一。好了，又了这个分类以后，我宣誓只给那些没有为我理发的人理发。那么，我要不要给自己理发呢？我不理那么就违反我自己的誓言，一旦我开剪给自己理发了，我有违反了自己的誓言。这就是用了我的行为去规范我的行为而产生的矛盾，有点像上边两公式的第一个，用f函数去定义f函数。这种自返定义，如果不产生矛盾的话，那么就产生无穷。就跟庙里有个和尚讲故事，讲的是：“庙里有个和尚讲故事，讲的是：“庙里……””””””……



为了方便不会计算机语言的读者，我们先大至介绍计算机语言中的数据型定义。



例如，

自然数 A；

实数 B；

就是告诉计算机变量A可以取自然数{1,2,3,……};变量B可以是实数{0.1, 3.14,等等}。



面向对象的数据型就是一个事物，如可以定义“人”的数据型为

数据型 人 {

实数 体重，身高；

数据型 学历 {小学，中学，大学，研究生}

}



人 张三，李四，王五，胡六；



这样，我们就定义了张三，李四，王五，胡六这四个变量的数据型为人。对这些变量可以这样赋值。张三·体重＝67；张三·学历＝大学；张三·身＝1.7。



好了，让我们看一个可以无限迭代的类似数学归纳法的数据结构。



数据型 人{

人 儿子;

}

人 张三，李四，王五，胡六，孔子，孔德成；注意，这个数据又一个性质叫作“儿子”，“儿子”的数据型也是“人”。这样，我们就可以有如下的表达：



张三·儿子＝李四；

李四·儿子＝王五；或者张三·儿子·儿子＝王五；王五·儿子＝胡六，或者张三·儿子·儿子·儿子＝胡六。孔子·儿子·……·儿子＝孔德成（孔德成是孔子第77代，所以中间一共有76个“·儿子”）。如果孔子后代无限繁衍下去，我们这个数据型一样可以用。



好，回到易经的太极阴阳。

【周易·系辞下】记载【2】：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”这段话说包牺氏观察和思考这个世界，发明了八卦。“以类万物之情”说的就是宇宙的本体论，或者说要用八卦来描述宇宙。那么，有限的八卦怎么来描述无穷的世界呢？最好的方法就是迭代。



【周易·系辞上】【1】说：“ 一阴一阳之谓道，继之者善也，成之者性也。……是故《易》有大极，是生两仪。两仪生四象。四象生八卦。八卦定吉凶，吉凶生大业。”



如果我们把这两句话表示为面向对象的数据型的话，就可以写为

数据型 太极{

太极 阴，阳；

}



这样，我们就可以把八卦赋值给数据太极的第三级迭代：

乾卦＝太极·阳·阳·阳；（乾三连）

坤卦＝太极·阴·阴·阴；（坤六断）

震卦＝太极·阳·阴·阴；（震仰盂）

艮卦＝太极·阴·阳·阳；（艮覆盆）

离卦＝太极·阳·阴·阳；（离中虚）

坎卦＝太极·阴·阳·阴；（坎中满）

兑卦＝太极·阳·阳·阴；（兑上缺）

巽卦＝太极·阴·阳·阳；（巽下断）



这个整体论可以这样描述，宇宙就是存在，称为太极。这是零级近似。一级近似呢，就把宇宙的所有事物分为两类，一类属阳，一类属阴，所谓“一阴一阳谓之道”。但是，这个阴阳的分法不唯一，量子力学中称为表象变换。世界可以用不同的表象来表示，即同一个客观事物，我们可以从不同的角度来完整描述它。



【周易·系辞上】【1】说：“天尊地卑，乾坤定矣。卑高以陈，贵贱位矣。动静有常，刚柔断矣。方以类聚，物以群分，吉凶生矣。在天成象，在地成形，变化见矣。是故刚柔相摩，八卦相荡，鼓之以雷霆，润之以风雨；日月运行，一寒一暑。乾道成男，坤道成女。乾知大始，坤作成物”。



这样，我们有几种表象，都是用太极数据型。

太极 运动， 方位，禀性，过程；

运动·阳＝动；运动·阴＝静（动静有常）；方位·阳＝天；方位·阴＝地（天尊地卑）；禀性·阳＝刚；禀性·阴＝柔（刚柔断矣）。人·阳＝男；人·阴＝女。过程·阳＝开始；过程·阴＝完成（乾知大始，坤作成物）



如果用太极数据型来表示周易六十四卦，而太极数据型是周易的本体论方法的话，那么我们就有了对世界的六级近似表达。如果专业化的话，不必从太极近似到具体事物，而可以从某一结点开始做近似。学计算机的人知道，这个数据结构是一个二分树，从任何一个结点长出来的树都和根部长出的树是同构的。比如中医，把人体分阴阳，血属阴，气属阳。气运行的经络又分阴经和阳经，等等，一般用到三级近似（八卦）就相当具体了，用到六级近似（六十四卦）就相当精确了。回忆我们上边讲的世界分为生物和非生物（一级近似），生物分为植物和动物（二级近似），动物分为脊椎动物和其它等等（三级近似）,到了五级近似，生物学就已经很细致实用了。当然，生物学的这个分类到了三级近似以后就不是两分了，而是多分了，所谓“一生二，二生三，三生万物”。



这几个例子是从某一结点开始长个阴阳二分树：

太极 人，过程，天气；

人·阳＝男；人·阴＝女（乾道成男，坤道成女）。过程·阳＝开始；过程·阴＝完成（乾知大始，坤作成物）。天气·阳＝暑；天气·阴＝寒（一寒一暑）。



【周易·说卦】【3】讲到：“昔者圣人之作《易》也，将以顺性命之理。是以立天之道曰阴与阳，立地之道曰柔与刚，立人之道曰仁与义。兼三才而两之，故《易》六画而成卦。”这句话翻译成数据结构就是

数据型 宇宙{

太极 天，地，人；

}

即树根分出天地人三枝，每枝都可以是一个无穷分叉的二分树。所谓“兼三才而两之，故《易》六画而成卦”。 Posted: 2008-03-22 09:31 | 2 楼 she1de2
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真有闲工夫. Posted: 2008-03-22 11:15 | 3 楼 lyboat



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很有见解，强烈支持继续下去 Posted: 2008-03-23 17:02 | 4 楼 kelvin

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易经数构（3）阴阳循环运动论

【易经数构（1）八卦：三比特字节】讲到，八卦的产生使得计数的方法比结绳记事先进了，这种说法说是三比特字节，隐含了二进制计数方法，但是【易经数构（2）阴阳迭代整体论】则说八卦中用到的阴阳两爻是周易哲学的宇宙本体论核心，不仅仅是计数的问题。让我们回头考察一下河图洛书出八卦的传说，就知道阴阳两爻不是二进制计数那么简单，阴阳更大的成分是关于宇宙结构。

 

如果按照二进制，一种八卦到数字的映射法式是：

乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。

这是大多数中国古代书籍采纳的八卦对应数字的映射方式，这个排列有二进制味道，但不完全一样。这个排列，要有一个平移置换，把阳爻定为0，阴爻定为1，那么二进制就

乾0，兑1，离2，震3，巽4，坎5，艮6，坤7。这个八卦到数字的映射，是后人加上去的，是否是伏羲发明八卦的本意就不容易揣测的。如果伏羲是想映射数字的话，洛书上有数字。

 

洛书，就是九宫。九隔宫中各有一个不同的数字，这个数字的排列，使得九宫行、列和对角线上三数字的合都是十五。这是一个完美的平衡。伏羲先天八卦的排列方式，如果对应于外八宫的数目的话，就应该是坤一、乾九、巽二、震八、离三、坎七、兑四、艮六。这样的映射就不是二进制了。即八卦的发明是二进制计数的假说不太能够令人信服。相比较之下，宇宙阴阳本体论假设还更加可信。乾为天、为阳，坤为地、为阴，伏羲先天八卦的排列，乾在顶部象天，坤在低部象地，其它六卦的排列，从下到上，阳爻渐多，阴爻渐少，象征宇宙结构的某种连续性的变化。而且，这个圆周排列中处于同一直径上相对应的两个卦象都是阴爻阳爻互换的卦，象征阴阳的对立。相对的一对卦合起来都是三阳爻三阴爻，象征宇宙平衡。伏羲先天八卦的排列，有对称性和规律性。如果我们排除内容，八卦就是一套抽象的有对称性和规律性的符号系统，后人可以把数字映射到八卦符号集合内，也可以把宇宙其它事物映射到符号内。

 

有了符号，还要有运算规则，才能成为代数结构。周易中最简单的一种代数结构，应该是阴阳两个符号。如果我们借用计算机C＋＋语言的“＋＋”运算符号，规定

阴＋＋＝阳

阳＋＋＝阴

那么我们就有了一个代数结构，这个代数有两个元素和一个运算操作。这个代数可以应用到时间的循环。如白天＝阳，夜晚＝阴，我们就有了白天夜晚交替循环，这可以用来计划人类日出而作、日末而息时代的生产和生活。我们也可以令夏天＝阳，冬天＝阴，也是有夏＋＋＝冬，冬＋＋＝夏。这个每年阴阳循环的认识，对渔猎时候很有用，以为猎物的活动有季节性。阳为动，阴为静，渔猎社会经济阳季节以最大猎获为目标，以阴季为最小消费为目标，可以使得人类活动顺应天时。随着社会的发展，后来这个阴阳日夜的代数结构扩展成十二时辰了。类似的这种代数今天我们还广泛的应用，如钟面12个数字周而复始。

 

上节本体论中我们讲到，阴阳只是描述宇宙运动的一级近似。如果用二级近似，就得用四象。用回上节的计算机语言，我们可以定义：

太极·阳·阳＝太阳

太极·阳·阴＝少阴

太极·阴·阳＝少阳

太极·阴·阴＝太阴

 

如果我们将这四个元素配上“＋＋”运算，就得到另一个代数结构。比如说，我们可以把四季映射到这个这个代数结构上，得到

太阳＝夏

少阴＝秋

太阴＝冬

少阳＝春

而且，定义“＋＋”为时间前进运算操作，于是有春＋＋＝夏，夏＋＋＝秋，秋＋＋＝冬，冬＋＋＝春。当然，我们也可以把这个代数系统映射到模数4的同余运算代数。这个代数结构后来扩展到二十四个节气了。

 

太极阴阳三级近似系统，就是八卦，我们可以把八卦对应于八方

乾卦＝太极·阳·阳·阳＝南

坤卦＝太极·阴·阴·阴＝北

震卦＝太极·阳·阴·阴＝东北

艮卦＝太极·阴·阳·阳＝西北

离卦＝太极·阳·阴·阳＝东

坎卦＝太极·阴·阳·阴＝西

兑卦＝太极·阳·阳·阴＝东南

巽卦＝太极·阴·阳·阳＝西南

 

我们可以定义两个运算操作，左旋45度和右旋45度，就可以有一个描述方向的代数结构了。我们为什么不象前边两个例子那样（++）或（――）运算符号呢？因为这个运算没有数字的关系，也不合适二进制的解释。

 

作为哲学的本体论内的代数结构，八卦是人类文明史中非常先进的抽象形式。公元前四百多年前，希腊哲学家恩培多克勒提出世界是由土水气火四种元素组成的，这个本体论是固定的，不像太极阴阳本体论那样可以细化扩展。而大约同一时期，在中国的春秋战国时期，中国哲学家发展了五行学说，有相生相克关系，比起希腊的四元素本体论实用多了，至今在中医中运用（参见链接【1】）。九前年前伏羲就使用了八个符号的抽象形式系统，后来这个系统被用到不同的思想和客观体系中，以上三个应用例子旨在说明伏羲的八卦形式系统是有实际应用用途的，对应九千年以前来说，这是人类了不起的抽象思维的创造。

 

【1】    http://www.miaoguang.com/zhongyiyao_content.asp?id=57


这个八卦的排法是伏羲创造的，被成为先天八卦。


九宫配八卦。九宫数字排列就是洛书的排列。这个九宫配的八卦的排列，是周文王创造的，被称为后天八卦。


后天八卦配九宫数字、配经络学说的八个穴位。

[打印]  由唵啊吽张贴 @ 2008-03-21 12:18:13 (172)


[ 此贴被kelvin在2008-05-09 07:28重新编辑 ] Posted: 2008-05-09 07:19 | 5 楼