中财网深圳市百通达科技:白话统计（2）：中心极限定理 — Windows Live
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/05/09 19:49:40
白话统计（2）：中心极限定理
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资料来自美国G.H.维恩堡等著的《数理统计初级教程》（常学将等译，太原：山西人民出版社，1986）
《白话统计（1）：平均数、中位数、众数》
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定理1：（中心极限定理）假定大量的等容量随机样本都是从同一无限总体采样的，算出每个样本的和，并把不同样本的和放在一起以形成一个新的分布，于是这个新的分布就是渐近正态的（其中要假定产生这些和的随机样本每个容量是足够大）。
在传统概率论教科书上，一般会这么陈述这个定理：
定理1`：（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X1，…Xn，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差，则随机变量之和ΣXi的标准化变量服从标准正态分布。
演示性例子
想像一个很大的箱子，装满了小纸条，可供我们无穷无尽地抽取，每张纸条上写有一个数字。为简单起见，假定只有0、1、2三个数字，且每个数字出现在每张纸条上的可能性都是1/3。记住，这个箱子里的纸条如此之多，以致我们可以抽取任一数目的任一种纸条，而不必担心会改变箱中剩下的各种纸条之间的比例。
箱子有一个小口，通过它，每次可以释放出一张纸条。箱子还有一个洗牌装置，这种装置会把纸条洗得这样得均匀，以至当我们决定抽取一张时，每张纸条有同样的被释放出来的机会。因此，我们的观察室独立的，而且我们的样本是随机的。
现在我们就来抽取等容量的随机样本，假设每个样本都包含200张纸条。
我们一张一张地抽取200张纸条。比如头一张纸条上的数字是2，第二张纸条的数字是0，第三张纸条是2，如此等等。假设构成这个第一份样本的200张纸条上的数字总和是210，这个和成为所产生的新的分布的第一项。
第二个样本的200张纸条上的数字之和比如是194.对大量的样本，每个样本都包含200张纸条，重复这个过程。定理1告诉我们，这种样本和数越来越多时，样本和的分布近似于正态分布。
如何实际运用定理1
关于定理1，对被抽取样本的那个总体没有要求任何限制。不管被抽取样本的那个总体，其分布的形状如何，样本和的分布都是正态的。
定理1说明，为什么正态分布出现在如此多的不同的问题之中。我们用于纸条取样的那种方法，看来是实际中特别喜欢使用的一种方法。在每次情况中出现的、构成一个正态分布的那些数，都可以看作独立观察资料的等容量样本的和。
例子1。考察射击时围绕靶子构成正态分布的子弹。每一颗子弹击中的位置实际上是许多随机影响的和，比如姿势、风向、光线、心理等等。这些因素和诸如此类因素的影响，同时在一位特定射手的身上起作用；且对于不同的射手，它们是不同的。一个射手的得分，表明他的子弹最终射到何处去了，这个得分是那些随机影响的样本之和。具体地，比如每一个射手的分布式70项主要影响之和，因而每一发子弹的得分，都可以看作是70项的一个样本和（与70张纸条上的那些数字的和相对应）。这样一来，不同射手的得分，就可以看作是不同的等容量样本的和。根据定理1，子弹得分的分布式正态的。
例子2。考察每个人的智力水平，也可以当作出自不同根源的小影响的和来看待，包括营养、机会、性格、遗传等等等等。这么看来，大量的人的智力水平的分布式正态的。
定理2：（定义1的一个变形，平均数的中心极限定理）假定，大量的等容量随机样本是从同一无限总体中采集的，算出每一个样本的平均数，并把不同样本的平均数放到一起形成一个新的分布，于是这个新的分布就是渐近分布的（假定产生这些平均数的随机样本容量是足够大的）。
样本平均数的集合可以通过样本和集合直接得到，因此平均数的分布就是和的分布的一个小比例的变形。样本平均数的分布用两个有用的性质：
- 假定无穷多个等容量随机样本是从同一无限总体中抽取的，而且把这些样本的平均数放到一起，以构成一个新的分布，那么这个新分布（样本平均数构成的）的均值与原总体的均值相同。
- 假定无穷多个等容量随机样本是从同一无限总体中抽取的，以n表示每一个样本的容量，这些样本的平均数的分布有一个标准差，它等于原总体的标准差除以n的平方根。
定理2及其两个性质就是我们熟悉的mean(X)~N(μ,σ**2/n)。