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混沌学研究现状与展望

科技知识 2008-04-22 22:06:12 阅读369 评论1   字号：大中小 订阅

目 录 

第一章 引言... 1

1.1 混沌与非线性科学... 1

1.2 混沌的含义... 3

1.2.1 Li-Yorke的混沌定义... 3

1.2.2 Melnikov的混沌定义... 4

1.2.3 Devaney的混沌定义... 4

1.3 混沌运动的基本特征... 5

第二章 混沌学简史... 7

第三章 混沌理论... 11

3.1 混沌产生的数学模型... 11

3.1.1一维迭代—平方映射... 11

3.1.2 二维非线性系统... 15

3.2 奇怪吸引子与分形... 17

3.2.1平庸吸引子... 17

3.2.2奇怪吸引子... 17

3.3研究混沌的主要方法... 18

3.3.1直接观测法... 19

3.3.2分频采样法... 19

3.3.3庞加莱截面法... 20

3.3.4赝相空间法... 20

3.3.5 Lyapunov指数分析法... 21

3.3.6 自功率谱密度分析法... 23

3.3.7 分形维数分析法... 24

3.3.8 测度熵法... 24

3.3.9其它方法... 25

3.4通向混沌的道路... 26

第四章 混沌学的哲学思考... 30

第五章 混沌控制及其在保密通信中的应用... 31

第六章 混沌学的发展趋势及应用前景... 33

参考文献：... 34
 

                                             作者：周丽群

                      西南大学物理科学与技术学院，重庆 400715

摘要 非线性系统在一定参数范围内所表现出的内在的随机性已经渐渐受到更多学者的注视。本文旨在用尽量浅显的语言概述有关混沌理论的主要内容，使那些没有接触过混沌的人尽快地了解、认知它,也给混沌研究同行们提供借签，以方便对混沌学的更深入的探索。

关键词： 非线性；混沌；内在随机性；奇怪吸引子；分岔

                           Current Conditions And Progress Of Chaos

                                                      ZHOU Liqun

            School of Physics and Technology Southwest University, Chongqing  400715, China

Abstract The inner random displayed at the range of parameters for nonlinear systems has been made to attract more attention. In this paper, the main purpose is to introduce the main content of chaotic theory by simple words, and make those who hasn't understood learn about it to explore the chaotic field. And we offer some contents to craft brothers to help them study chaos further.

Key words: nonlinear; chaos; inner stochastic; strange; attractor; bifurcation. 

第一章 引言

1.1 混沌与非线性科学

本世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。二三十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。 混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。正因为如此，我们所讨论的对象必然是非线性系统，或者确切地说是非线性动力系统。“线性系统”是我们熟知的。如函数 就是一个最简单的线性函数，此函数在（x,y）平面中的图象是一条直线，函数y=f(x)对自变量x的依赖关系是“一次”多项式。但如果函数y=f(x)对x的依赖关系高于一次，就象抛物线函数f(x)＝ax2+bx （其中ax2项是非线性项），那么这个函数所描述的系统就是“非线性系统”。

可见，从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系，而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。非线性要比线性系统复杂得多，“线性系统”与“非线性系统”的不同之处有以下几个方面。

第一：线性是简单的比例关系，而非线性是对这种简单关系的偏离。

第二：线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性则是相互作用。

第三：对于理解混沌动力学有极为重要意义的一条：线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结构发生变化。

第四：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则绝对不能！

第五：非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然，这是两者最本质的区别。可以用一个不太准确的例子来说明这种现象──非线性系统局部看来好比是放在篮球顶端的一只乒乓球，起初是静止的，而后在受到一个极奇微小的初始速度（可以是各个方向的）的作用下，乒乓球会飞快地向一个方向滚落下去；而线性系统则好比是放在碗底的乒乓球，只要初始速度不很大，乒乓球最终会停在碗底。在物理学中称在这两点的平衡状态为不稳定平衡和稳定平衡；在混沌学中，我们通常将这两点命名为双曲不动点（鞍点）和椭圆不动点。正是非线性系统的这种特有的对初值的敏感性，使得我们在处理非线性方程时，不能得心应手地使用一些已经非常成熟的数学方法：如线性迭加、微扰、摄动、无穷小分析等等。只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采取特殊的处理方法。所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大量存在的非线性问题相比，只算是凤毛麟角；甚至人们一遇到非线性系统或发现方程中的非线性项时，就想尽办法回避，或加以舍弃，使之“线性化”。为了能够对错综复杂的非线性系统进行研究，我们需要一些新的方法和思维方式。目前，非线性动力学已从经典的以摄动法和渐近分析的方法为基础的弱非线性、弱耦合系统的研究阶段，进入到近代的更深入地研究系统的复杂行为的阶段。适时应运而生的系统论、信息论、耗散结构、协同学等理论，成为研究非线性系统的有力武器。对有限维系统来说，研究的中心问题是分岔和混沌。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。混沌理论（chaos theory）作为其中的一种，可谓一枝独秀，已渐渐成为非线性科学的主要研究对象。混沌学使人们原来限于简单系统的观念发生了革命性的转变，使人们更清楚地认识了简单与复杂、确定与随机的内在联系，难怪有的学者将混沌学誉为本世纪继相对论与量子论之后的第三次科学革命[1-11]。

1.2 混沌的含义

正像给“生命”下定义一样，究竟什么是混沌，这个定义是很难确切地下出来的，之所以这样是因为：至少到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，科学家们只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。对此，专家们的观点是──哈肯："混沌性为来源于决定性方程的无规运动。费根包姆：“确定系统的内在随机运动” 。洛仑兹：“确定性非周期流”。赫柏林：“没有周期性的有序” 。钱学森：“混沌是宏观无序、微观有序的现象。”.....目前，已有的定义从不同的侧面反映了混沌运动的性质[2-6]。

1.2.1 Li-Yorke的混沌定义

Li-Yorke定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定义的，该定义可描述如下：

Li-Yorke定理：设 是[a,b]上连续的自映射，若 有3周期点，则对任何正整数n， 有n周期点。

混沌定义（Li-Yorke）：区间I上的连续自映射 ，如果满足下面条件，便可确定它有混沌现象：

(1)    的周期点的周期无上界；

(2)    闭区间I上存在不可数子集S，满足

(i) 对任意 , 时， sup >0

(ii) 对任意 ， inf =0

(iii) 对任意 和 的任意周期点 ,有 sup >0

根据上述定理和定义，对闭区间I上的连续函数 ，如果存在一个周期为3的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话来说，只要有周期-3就“乱七八糟”的，什么周期都有。

该定义准确地刻画了混沌运动的几个重要特征：

(1)    存在可数无穷多个稳定的周期轨道；

(2)    存在不数无穷多个稳定的非周期轨道;

(3)    至少存在一个不稳定的非周期轨道。

1.2.2 Melnikov的混沌定义

在二维系统中，最具有开创性的研究是Smale马蹄理论。马蹄映射F定义于平面区域 上， ，其中 由一单位正方形S和两边各一个半圆构成。映射规则是不断把S纵向压缩（压缩比小于1/2），同时横向拉伸（拉伸比大于2），再弯曲成马蹄形后放回 中。Henon映射就是马蹄映射的一个实例。已经证明，马蹄映射的不变集是两个Cantor集之交，映射在这个不变集上呈混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有混沌。

由Holmes转引的Melnikov方法是对混沌的另一种严格描述。概括起来可表述为：若存在稳定流形和不稳定流形且这两种流体横截相交，则必存在混沌。Melnikov给出了判定稳定流形和不稳定流形横截相交的方法，但这种方法只适合于近可积Hamiton系统。

1.2.3 Devaney的混沌定义

   比较被学者认可的是Devaney R L在1989年给出的在拓扑意义下的混沌定义：

设V是一个度量空间。一个连续映射f:V→V称为在V上混沌，如果

（1)        f具有对初始条件的敏感依赖性。存在 ，对任意的 和任意的x V,在x的I领域内存在y和自然数n，使得d 。

（2)        f是拓扑传递的。对V 上的任意对开集 、 ，存在 ，  （如一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的）。

（3)        f的周期点在X中稠密；

对初始值的敏感性，意味着无论 和 离得多近，在 的作用下两者的距离都可能分开较大的距离，并且在每个点x附近，都可以找到离它很近而在 的作用下终于分道扬镳的点 ，对这样的 ，如果用计算机计算它的轨道，任意微小的初值误差，经过多次迭代后将导致计算机结果的打败。

拓扑传递性意味着任一点的邻域在 的作用下将“遍撒”整个度量空间V，这说明 不可能细分或者不可能分解为两个在 下不相互影响的子系统。

周期点的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非混沌一片，形似混乱而实则有序，这正是混沌的耐人寻味之处。

扼要地说，混沌映射具有三个基本要素：不可预测性，不可分解性，另外还有一种规律性的成分。因为对初始条件的敏感依赖性，所以混沌系统是不可预测的；因为拓扑传递性，它不能被细分或者不能被分解为两个在f下不相互影响的子系统（两个不变的开子集合）。然而，在这混乱性态当中，毕竟有规律性的成分，即稠密的周期轨道点。

1.3 混沌运动的基本特征

混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运动，或除了平衡、周期和准周期以外的有限定常运动。这里所谓有限定常运动，指的是运动状态在某种意义上（以相空间的有限域为整体）不随时间而变化。这个定义指出了混沌运动的两个主要特征：不稳定性（该性质可用平均Lyapunov指数精确刻画）和有限性。

混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和非线性离散映射系统中。如前所述，至今科学上仍没有给混沌下一个完全统一的定义，它的定常状态不是通常概念下确定性运动的三者状态：静止（平衡）、周期运动和准周期运动，而是局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等。与其它复杂现象相区别，混沌运动有着自己独有的特征，主要有：

（1）有界性。混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域。所以从整体上来说混沌系统是稳定的。

（2）遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道混沌区内每一个状态点。

（3）内随机性。一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现，该系统被认为具有随机性。一般来说当系统受到外界干扰时才产生这种随机性，一个完全确定的系统（能用确定的微分方程表示），在不受外界干扰的情况下，其运动也应当是确定的，即是可以预测的。受外界的混沌系统虽能用确定微分方程表示，但其运动状态却具有某些“随机”性，那么产生这些随机性的根源只能在系统自身，即混沌系统内部自发产生的这种随机性。当然，混沌的随机性与一般随机性是有很大区别的，天体力学中平面三体问题很好地说明了这种内随机性。当用计算机计算1个小质量天体 在2个等量大天体M1、M2所在平面的垂线上运动时，来回摆动若干次以后， 行为变得随机起来，人们再也无法预测它的位置、速度及回归时间。混沌的内随机性实际上就是它的不可预测性，对初值的敏感性造就了它的这一性质。同时也说明混沌是局部不稳定的。

（4）分维性。是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。混沌系统在相空间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分数维正好可以表示这种无限次折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。

（5）标度性。是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数值或实验设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动花样。

（6）普适性。所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征，它不依具体的系统方程或参数而变。具体体现为几个混沌普适常数，如著名的Feigenbaum常数等。普适性是混沌内在规律必性的一种体现。

（7）统计特征，正的Lyapunov指数以及连续功率谱等。Lyapunov指数是对非线性映射产生运动轨道相互间走近或分离的整体效果进行的定量刻画。对于非线性映射而言，Lyapunov指数表示n维相空间中运动轨道沿各基向量的平均指数发散率。当Lyapunov指数小于零时，轨道间的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或不动点；当Lyapunov指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动对应于混沌状态;当Lyapunov指数等于零时，各轨道间距不变，迭代产生的点对应分岔点（即周期加倍的位置）。

对混沌系统而言，正的Lyapunov指数表明轨线在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。但是由吸引子的有界性，轨道不能分离到无限远处，所以混沌轨道只能在一个局限区域内反复折叠，但又永远互不相交。形成了混沌吸引子的特殊结构。同时正的Lyapunov指数也表示相邻点信息量的丢失，其值越大，信息量丢失越严重，混沌程度越高。

第二章 混沌学简史

在19世纪末，混沌研究的先驱庞加莱首先从几何和拓扑学观点对天体力学问题进行了定性的研究，已经对与混沌有关的个别概念，如同宿性有所认识，虽然在当时没有引起足够的重视，但他的思想和方法对后来的研究有着深远的影响。1963年美国气象学家Lorenz用计算机模拟天气变化时发现了一个确定的含有三个变量的自治方程却能产生混沌解，于是他在《大气科学杂志》上发表“确定性非周期流”一文，给出第一个耗散混沌的实例。1961年冬季的一天，洛仑兹用他的计算机算出了一长段数据，并得出了一个天气变化的系列。为了对运算结果进行核对，又为了节省点时间，他把前一次计算的一半处得到的数据作为新的初始值输入计算机。然后他出去喝了杯咖啡。一个小时后当他又回到计算机旁的时候，一个意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一轮计算数据与上一轮的数据相差如此之大，仅仅表示几个月的两组气候数据逐渐分道扬镳，最后竟变得毫无相近之处，简直就是两种类型的气候了。开始时洛仑兹曾经想到可能是他的计算机出了故障，但很快他就悟出了真相：机器没有毛病，问题出在他输入的数字中。他的计算机的存储器里存有6位小数，0.506127。他为了在打印时省些地方只打出了3位0.506。洛仑兹原本认为舍弃这只有千分之一大小的后几位数无关紧要；但结果却表明，小小的误差却带来了巨大的“灾难”[3,4,5,10,11,12]。

图2.1红色代表初值为0.506127，蓝色代表0.506，初始值十分相近，后果却有巨大差异

Figure 2.1. Red line denotes initial value 0.506127, blue line denotes initial value 0.506, both the initial value is close, but their results are different hugely.

为了仔细看一下初始状态原本十分相同的气候流程，如何越来相差越大，洛伦兹把两次输出的变化曲线打印在两张透明片上，然后把它们重叠在一起（图2.1）。一下子就清楚地看出来，开始时的两个隆峰还很好地相重叠，但到第三个和第四个隆峰时，就完全乱套了。这个结果从传统观点看来是不可理解的。

他终于做出断言：长期天气预报是根本不可能的！于是，从贝纳德对流出发，利用流体力学中的纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程、热传导方程和连续性方程，洛伦兹推导出了描述大气对流的微分方程洛仑兹就从表征着流体运动过程的纳维-斯托克斯方程组出发，经过无量纲化处理并做傅立叶展开，取头一、二项，得到傅立叶系数满足的一组常微分方程。

                      (2-1)

它被称为洛伦兹方程，式中x是对流的翻动速率，y比例于上流与下流液体之间的温差，z是垂直方向的温度梯度，s无量纲因子，称为Prandtl数，它等于 ; b为反映速度阻尼的常数： ; r为相对瑞利数： 。方程组(2-1)称为洛伦兹方程，其中xz与xy是非线性项，求导是对为无量纲时间 进行的：

这就是1963年洛伦兹发表在《气象科学杂志》20卷第2期上的题为《确定性非周期流》中所列出的方程组。用初始时刻x＝5、y＝2.8、z＝10的一组数值，取 ， ， ，用计算机进行迭代，洛仑兹把x、y、z作为坐标画出了一个坐标空间，描绘了系统行为的相轨道，画出的图显示出奇妙而无穷的复杂性（图2.2）。这是三维空间里的双重绕图，就像是有两翼翅膀的一只蝴蝶；它意味着一种新的序，轨线被限制在某个边界之内，决不会越出这个边界；但轨线决不与自身相交，在两翼上转来转去地环绕着。这表示系统的性态永远不会重复，是非周期性的，从这一点来说，它又纯粹是无序的[4,5]。

图2.2 洛伦兹吸引子，初始值x＝5、y＝2.8、z＝10

Figure 2.2. Lorenz attractor, the initial value is x＝5、y＝2.8、z＝10

这篇论文引起了不少学者的极大兴趣，混沌学开始在美国兴起。自20世纪60年代以来，在计算机技术充分发展的推动下，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。（以下绿色字体摘自《混沌控制及其在保密通信中的应用》，国防工业出版社，关新平，范正华，陈彩莲，华长春著，2002年10月第1版）20世纪70年代，特别是1975年以后，是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。在这一时期，作为一门新兴学科——混沌学正式诞生了。1971年，法国数学物理学家Ruelle和荷兰学者Takens一起发表了《论湍流的本质》，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点。通过严密的数学分析，独立地发现了动力系统存在“奇怪吸引子”，他们形容为“一簇曲线，一团斑点，有时展现为光彩夺目的星云或烟火，有时展现为非常可怕和令人生厌的花丛，数不清的形式有待探讨，有待发现。”1973年，日本京都大学的Y.Ueda在用计算机研究非线性振动时，发现了一种杂乱振动形态，称为Ueda吸引子。1975年，李天岩（T.Y.Li）和J.A.Yorke在他们的著名论文“周期3意味着混沌”中，给出了闭区间上连续自映射的混沌定义，在文中首先提出Chaos(混沌)这个名词，并为后来的学者所接受。1977年夏天，物理学家J.Ford和G.Casati在意大利组织了关于混沌研究的第1次国际科学会议，进一步营造了混沌研究的氛围。1978，M.J.Feigenbaum用手摇计算机彻夜工作，发现了一类周期倍化通向混沌的道路中的普遍常数。1979年，P.J.Holmes作了磁场曲线中曲片受简谐激励时的振动试验，发现激励频率和振幅超过某个特定值之后，就了现混沌振动。1980年，意大利的V.Franceschini用计算机研究流体从平流过渡到湍流时，发现周期倍化现象，验证了费根包姆（Feigenbaum）常数。1981年，美国麻省理工学院的P.S.Linsay第一次用实验证明了Feigenbaum常数。1989年，召开了美苏混沌讨论会。1990年，在德国专门了分岔与混沌研讨会。1991年4月，在日本由联合大学与东京大学共同召开“混沌对科学与社会的影响”的国际会议。1991年10月，在美国召开了首届混沌试验研讨会。这些会议的召开促进了混沌学研究世界性热潮的到来。近10年来，混沌科学更是与其它科学相互渗透，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。如今，混沌的发现被认为是20世纪物理学三大成就之一，可以说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想”。正如混沌科学的倡导者之一，美国海军部官员M.Shlesinger所说的那样“20世纪科学将永远铭记的三件事，那就是相对论、量子力学和混沌”，它在整个科学中所起作用相当于微积分学在18世纪对数理科学的影响。混沌学的创立，将在确定论和概率论这两大科学体系之间架起桥梁，它将揭开物理学、数学乃至整个现代科学发展的新篇章。 国外的混沌研究成果倍出，以洛伦茨(Lorenz)吸引子、费根鲍姆(Fei-genbaum)普适常数、KAM定理、阿诺德(Arnold)扩散、斯梅尔(Smale)马蹄理论为标志，取得了重大的突破。国内的学者也取得了一系列成果。也涌现出了Feigenbaum、Smale、Henon、Rossler、May、Logistic、蔡少棠、郝柏林、陈关荣等一大批混沌学专家。当前混沌理论研究主要在以下五个方面展开[5]：

①产生混沌的机理和途径。从规则运动通向混沌的道路多种多样，至今人们知道了倍周期分岔、准周期分岔、间歇过渡（阵发混沌）和KAM环面破裂等四条典型的通向混沌的道路，此外还会有其他可能的道路。

②混沌的判据和统计特性。判断或预告混沌出现的方法有多种多样，其中许多利用了混沌的统计特性。已提出的方法有相轨迹法、谱分析方法、庞加莱映射方法、李雅普诺夫指数方法、测度熵方法、分维计算法、胞映射法、符号动力系统法等。还须对混沌的统计特性进行深入研究，对上述各种方法之间的关系建立严格的理论并寻求判别混沌的新方法。

③奇怪吸引子和吸引域的几何结构。吸引子是耗散系统运动的特征。耗散系统的混沌存在具有分形结构的奇怪吸引子。吸引子及吸引域边界的测度和分维数尚缺乏严格的理论和完备的研究。

④各类系统中混沌现象的深入研究。包括哈密顿系统、非完整力学系统和无穷维非线性动力系统。后者涉及斑图动力学和时空混沌。

⑤混沌的控制和工程应用。在非线性动力学的发展历程中，现代数学和计算的理论与方法起着十分重要的作用。非线性动力学在许多科学技术问题中有着广阔的应用前景，例如近代物理、生物化学、材料科学、分子生物学、能源技术、机械装备、航空航天、天气预报、地震预报等领域都有大量的非线性力学问题需要解决。因此进一步开展非线性力学问题和工程应用研究，对科学技术和国民经济发展都有重大意义。

第三章 混沌理论

3.1 混沌产生的数学模型

科学中有一些简单而并不平庸的典型问题，围绕它们可以叙述和掌握相当广泛的科学内容。一个例子是二体问题，从经典力学中的开普勒问题、相对论力学中的水星近日点进动，到量子力学中的氢原子和量子场论中的兰姆谱线位移，贯穿了经典和近代物理学的全部发展史。另一个例子是花粉颗粒在液体中的布朗运动，从爱因斯坦的直观处理和朗之万方程、福克─普朗克方程、到涨落耗散定理的现代表述和随机过程的连续积分表示，引出了整个物理学中的概率论描述体系。这两个例子，一属确定论，另一个则为概率论。恰好对于确定论系统中的随机性，即混沌现象，也存在着这样的代表性模型，这就是一维迭代过程。可以说，天体力学，尤其是严格求解的二体问题是确定论思想的精华和典范，概率论的发展史可以认为是对布朗运动的理解史，而一维迭代在混沌理论研究中的地位则绝对不亚于前两者[2,3,4,11,12,]。

3.1.1一维迭代—平方映射

在物理上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。例如一个以 为连续变量的单参数的动力学系统：

                                     (3-1-1)

这里 为系统的参数。如果我们考察在等时间间隔

t，t+1，t+2，t+3，…

中系统状态的变化，则式(3-1-1)可以改写为时间演化方程：

                                 (3-1-2)

如果时间间隔 不是整数，则可把各个时刻写成 ， ， ，…，这里： ， …，而把相应的状态记为： ， ， ，…其中

于是时间演化方程(3-1-2)变成了离散方程：

                                     (3-1-3)

这就是数学上称之为映射的方程。

可见用连续变量表示的动力学系统是微分方程，用离散数表示时为映射。其实它们之间有一定的对应关系。例如一个简单映射：

                                         (3-1-4)

利用迭代方法求解。设起始值为 ，迭代方法为将 代入上式得 ：

由 得 ：

经n迭代后得：

计算得到的一组数值：

， ，… ， …

如果将值 看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。

与映射(3-1-4)对应的微分方程为：

                                       (3-1-5)

其解为：

将简单的线性映射(3-1-4)与微分方程(3-1-5)的解作图，如图3-1所示映射的解是梯形的指数增长的或下降的曲线，而微分方程给出的是连续的指数增长或下降曲线。

图3.1 简单线性映射与微分方程解的变化曲线

Figure 3.1 the variant curved line of simple linear map and different equation solutions

1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一种世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。如果令某类种群它的第n代的种群总数为Nn，则生态环境能提供维持种群数量有个最大限额，设为 。当然，实际种群总数 不会超过最大限额 ，设两者之比:

则 与 分别为相继两代的种群数， 为亲代， 为子代。如果无环境的限制，子代种群数量 将与亲代种群数 成正比：

考虑到种群生长受环境的制约，则假定

当上述两种因素同时考虑时，得离散方程：

                                (3-1-6)

式中 为比例系数。给定比例系数 ，根据方程(3-1-6)就可以由某种群的亲代数计算出以后的各代种群数。方程(3-1-6)被称为生态平衡方程。

生态平衡方程为什么与非线性动力学联系了起来？原来，一个非线性系统往往有好几个参数，例如虽然单摆是很简单的力学系统，但一个受驱单摆就有品质因子q（= ）、驱动频率 和驱动力矩F三个可变参数。每次计算时，需要事先设定方程中的两个参数，然后计算系统的行为与第三个参数的关系。显然，通过象单摆这样的系统来认识从规则运动进入混沌运动的机制太复杂了。能否寻找到一个具有混沌行为的单参量系统？我们希望找到这样的单参量系统，通过它能清楚地看到一个系统从规则运动怎样步入混沌状态。正是在这样的形势下，数学物理学家梅（R.May）于1971年发现了单参量的方程(3-1-6)具有不同寻常的行为。

与映射(3-1-6)对应的微分方程为：

该微分方程的解为：

其结果是平凡的。与微分方程的这个解不同，映射(3-1-6)的解却具有非常复杂的行为。它能表达出一个动力学系统是如何从规则运动步入混沌运动的。

现在回到映射方程(3-1-6)上来，该式也常写成展开形式：

因为表示亲、子两代种群数 与 采用了约化取值，它们的取值范围均在0与1之间，因此比例常数 的取值范围为[0，4]。由于 值与 值是平方关系，所以称方程(3-1-1)为平方映射，文献中也常称为洛吉斯蒂映射（logistic map，logistic来自法文logistique，意为部队宿营地）。其实，式(3-1-6)也是抛物线表示式，所以也常称为抛物线映射。

我们用迭代方法来计算映射(3-1-6)。进行迭代计算时，给定控制参数 值与某一初始值 ，就有：

， ， ，…

上述的迭代过程还可以采用图解的方法。在 ～ 坐标上，先根据给定的 值画出由式(3-1-6)确定的抛物线。再在这同一坐标图上画一条 = 的对角线称为恒等线，通过它做 → 投影。

图3.2  平方映射的迭代图解

Figure 3.2 iterated figure of logistic map

作图的操作过程是这样的，如图3-2先给定控制参数 值，例如μ=3.0，再给定初始值 ，例如 。第一步从横坐标 处作竖直线与抛物线相交，这点的纵坐标高度即为 。第二步从此点作水平线与对角线相交，此相交点的横坐标即为 。第三步再由此点又作竖直线，得到与抛物线相交时的高度为 ，再将 再移植到对角线上，找到横坐标的 。再从这里作垂直线与抛物线相交得x3，如此不断操作下去，于是得到一条轨道上的点， ， ，…， ， …。 

3.1.2 二维非线性系统

一维非线性映射都是不可逆的，只对应于耗散系统，而二维映象在许多方面起着从一维到高维的衔接作用。二维系统的混沌现象，不仅会出现在耗散系统中，而且它也可能出现在保守系统中。 对于保守系统来说，由于系统的哈密顿函数Ｈ＝常数，系统存在一个能量积分，所以一维保守系统不可能出现混沌。 二维哈密顿系统中研究较多的是所谓"标准映象" 它出现在许多自由度为２的非线性振子理论中，是带电粒子在环行磁场中运动的一种模型。 二维耗散系统中研究最多的一例是所谓埃农（Ｈénon）映射， 埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬(M.Henon)首先计算的离散型映射：

                                      (3-1-7)

它有两个控制参数m和b，现在被称为埃侬映射。它的迭代运算与一维映射的迭代关系基本相同，即从前一个数xn、yn按式中的迭代关系相继计算出后一个数xn+1、yn+1。

埃侬映射(3-1-7)所描述的体系随参数b的取值不同而不同，当b = 1时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统；当b< 1，系统在运动中相平面面积逐渐缩小，因此描述的是耗散系统。将式(3-1-7)的第二式写为：

并代入第一式即得：

                                  (3-1-8)

可见当 时可得到退化的一维映射：

                              (3-1-9)

当 与 的取值范围为[0，1]时，则参数 的取值范围为[0，2]。这个一维映射(3-1-9)具有与平方映射相同的复杂的动力学性质。

图 3.3  埃侬吸引子

Figure 3.3 the Henon attractor

埃侬取参数m＝1.4，b＝0.3（即b<1的耗散体系），计算了埃侬映射，计算结果显示在(x,y)相平面上，如图 3.3所示。在计算过程中开始时发现计算的点在平面上随机地出现，但是随着计算的进行这些点开始显现成某种图形，程序运行越久图形中显现出越多的细节。如图所示该相图粗看上去好似一只弯曲的香蕉，细看可以发现组成该图形的轮廓线具有一定的宽度，而且随着计算进行宽度开始逐渐增加，后来增宽起来的轮廓线又分成为两条线了，随后又进一步分成四条，其中有一对线靠得较近，而另一对则离的较远。如果对其中的某个局部进行放大可以看到图上有更多的细节，图中的小方块就是在放大20倍后的局部图形。

3.2 奇怪吸引子与分形

保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合称为吸引子。

3.2.1平庸吸引子

我们来考虑常微分方程解的极限集合，即相空间某一区域的点都取作初值时，这些轨道 时的极限行为。极限集合的一些平庸情况是熟知的：零维不动点、一维极限环和二维环面等。 如果t→∞时，系统趋向一个与时间无关的定常态，即相空间中的一个特定的点，这就是不动点。不动点是零维的吸引子。一维以上的系统原则上就可能具有不动点。 如果t→∞时，系统中剩下一个周期振动，这就是一维的吸引子──极限环。只有在二维以上的相空间中，才可能出现极限环。通常极限环是由不动点发展起来的。当某个不动点在参数变变化过程中由稳定而失稳，新的稳定状态往往是围绕着原有不动点的周期运动，这个过程称为霍普夫分岔(hopf)。

3.2.2奇怪吸引子

奇怪吸引子是耗散系统混沌现象的另一个重要的特征。简单地说奇怪吸引子就是相空间（对连续的动力学系统，至少是三维；对离散的动力学系统，至少是二维）的一个有限的区域内，由无穷多个不稳定点集组成的一个集合体。奇怪吸引子有两个最重要的特征： （1） 对初始条件有敏感的依赖性。 在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必会以指数的形式互相分离。由于混沌对初值极为敏感，它表现为局部不稳定。但对耗散系统而言，则又具有相体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中"添满"有限的区域，形成奇怪吸引子。实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。正是这种整体趋向稳定而局部又极为不稳定的矛盾，导致了奇怪吸引子的另一个更奇怪的性质： （2） 它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。 奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体。为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。 维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘以2，就得到另一个线段，长度为 =2个原线段长度。一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。一立方体 ，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N个原来的对象，这三者的关系为 ,两边取对数，得维数 。 一旦把上式的定义加以推广，我们就完成了一次概念上的飞跃，d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"Ｄ0" 表示。对于规整的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为： 上式定义的分维称为容量维Ｄ0，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。 可以证明，拓扑维d和分维Ｄ0满足如下关系： d≤Ｄ0 式中取等号是对普通规则几何对象而言的。容量维为非整数的典型的例子是康托集合。奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。

3.3研究混沌的主要方法

对于混沌现象的客观反映就需要更严谨的数学描述以及更直观的物理现象。在实验分析方面，对混沌系统施行功率谱分析已是研究混沌的最有效、最直观的工具。

混沌运动来往来自系统的非线性性质，但非线性只是产生混沌的必要条件而非充分条件。混沌研究中，人们关心如下几个基本问题：

(1)    能否有一个给定的系统将展示确定性的混沌运动？

(2)    能否用数学语言说明混沌运动并对它作一些定量的刻画？

(3) 混沌运动的存在，说明对某些非线性系统作长期预报是不可能的，那么能否从混沌信号中得到一些有用的信息？

本小节将给出几种分析系统混沌运动的定性和定量的方法，即从定性和定量的角度来刻画混沌的方法[10, 11,12,13]。

3.3.1直接观测法

    直接观测法是根据动力学系统的数值运算结果，画出相空间中相轨迹随时间的变化图，以及状态空间随时间的历程图。通过对比、分析和综合以确定解的分岔和混沌现象。在相空间中，周期运动对应于封闭曲线，混沌运动对应于一定区域内随机分离的永不封闭的轨迹（奇怪吸引子）。利用这种方法可确定分岔点和普适常数。

3.3.2分频采样法

对周期外力作用下的非线性振子，研究其倍周期分岔和混沌现象，可采用频闪采样法。该方法是试验物理学中闪烁采样法的推广。为避免复杂运动在相空间中轨迹不混乱不清，可以只限于观察隔一定时间间隔（称为采样周期）在相空间的代表点（称为采样点），这样原来在相空间的连续轨迹就被一系列离散点所代表。分频采样法目前是辨认长周期混沌带的最有效的方法。

对于受迫振动，采样周期常取为外控力周期，当采样结果为一点是地，运动便是周期运动（特殊情况下为稳定态）；当采样结果为 个离散点时，运动也是周期的，运动周期是外控力周期的 倍（ 次分谐振动2nP）；当采样结果是无穷多离散点集时，运动是随机的；如果采样点只是在一定区域内密集的点而且具有层次结构，则此伪随机运动便是混沌。不断加大分辨能力，可得到不断重复原分布形态的细微几何结构，这种无穷层次的自相似也就是标度不变性。

分频采样法适用于一切由周期外力驱动的非线性系统，具有远高于其他方法的分辨能力。其分辨能力的进一步提高将受限于计算机字长的限制。但该方法也存在一定的缺点，一是解释不唯一，二是不能分辨比采样频率更高和频率。

3.3.3庞加莱截面法

对于含多个状态变量的自治微分方程系统，可采用庞加莱截面法进行分析。其基本思想是在多维相空间（ ， ，… …）中适当选取一截面，在此截面上某一对共轭变量如（ ）上取固定值，称此截面为庞加莱截面。观察运动轨迹与此截面的截点（庞加莱点），设它们依次为P0，P1，P2，… Pn，…。原来相空间的连续轨迹在庞加莱截面上便表现为一些离散点之间映射Pn+1=TPn。由它们可得到关于运动特性的信息。

单变量的周期运动在相平面的轨迹是封闭曲线。二变量的周期运动在2×2维相空间的轨迹是二维环面。依次类推，N变量的周期运动在N×N维相空间的轨迹是N维环面。如果不考虑系统初始阶段的暂态过程，只考虑庞加莱截面上的稳态图像，则当庞加莱截面上只有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的；当庞加莱截面是一闭曲线时，运动是准周期的；当庞加莱截面上是成片的密集点，且有层次结构时，运动便是混沌的。

3.3.4赝相空间法

当对数学模型未知的动力系统的混沌特征分析时，分频采样法和庞加莱截面法就不适用了。而且，在试验过程中，有进只便于对某一个变量进行测量，这时可利用测得的时间系列重构相空间。嵌入定理解决了怎样才能从单一的时间系列建立和描述有限维的吸引子及重构动力系统这一问题。重构相空间即赝相空间法的维数即嵌入维数应满足 ，其中 为相空间的真实维数。设测得的时间序列为｛ , =1, 2, …, N｝，适当选取一时间延迟量 ，其中 为采样周期的整数倍。取 ， ，…， 为坐标轴，画出赝相空间轨迹。

上述重构吸引子的过程相当于将时间序列｛ ｝映射到 维的欧式空间 中，并希望 空间中的点能保持原有未知吸引子的拓扑特性。赝相空间法虽然是用一个变量在不同时刻的值构成相空间，但动力系统的一个变量的变化自然跟此变量与系统的其他变量的相互关系有关，即此变量随时间的变化隐含着整个系统的动力学规律。因此，重构相空间的轨线也反映了系统状态的演化规律。对于定态，通过这种方法得到的结果仍是一定点；对于周期运动，结果是有限个点；而对于混沌系统，所得到的结果便是一些具有一定分布形式或结构的离散点。

3.3.5 Lyapunov指数分析法

Liouville定理指出，保守系统在相空间运动的过程中，始终保持相体积不变。但对于一个耗散系统，其相体积一般要逐渐收缩，即 维相空间的轨线都要收缩到 维环面上。对于一个耗散系统的混沌运动，它存在着相反的两个过程：一方面耗散作用要使轨道收缩，另一方面，轨道又要相互分离（发散）。由于收缩是由方程自身决定的（存在耗散项），它是对相空间整体来说的，它的作用使远处的轨道趋向收缩至有限的范围内（吸引子）。发散是局部性质的，是对相空间具体点附近的性质来说的，它使已靠近的轨道要互相分开。这样，就使得所有轨道最后集中在相空间的有限范围内，靠拢又分开，分开又折叠而靠拢，无数次的来回折叠，形成复杂运动变成混沌态。

以耗散系统混沌运动的吸引子，初始条件的微小差别将使得轨道最终变得迥然不同。耗散作用从整体上说是一种稳定因素，它使轨道收缩，但从局部来看，相邻的两轨道却又互相排斥而分离。为了定量地刻画混沌系统相邻的两点相互分离的快慢，人们引入了Lyapunov指数。Lyapunov指数的定义和计算基于“相乘性遍历原理”。一维映射下只有一个拉伸或压缩的方向，情形大为简化。所以，对于一维映射

假定初始点为 ，它的一个相邻点为 ，则经过 迭代后，它们之间的的距离为

初始点是相互分离还是靠拢由以下条件决定： 1时，经过迭代后这两点很快分开， 1时，经过迭代后这两点将会靠拢。

在不断的迭代过程中， 的值在不断的变化，为了从整体上观察相邻两轨道分离或靠近的趋势，必须对迭代次数取平均。为此，设平均每次迭代所引起的指分离中的指数为 ，则原来相距为 的两点经过 次迭代后，两点间的距离为

当 →0， → 时，

    实际上，上式与初始值无关，因此可改写为

式中， 称为Lyapunov指数，表示在多次迭代中平均每次迭代所引起的相邻离散点之间以指数形式的分离或靠拢的情况。

在 维相空间中， 是 维的，从而 有 个值。在 时，以 为中心，以 为半径作 维超球面，由于各方向收缩或扩展程度不同，随着的为演化，在 时刻，该 维超球面将变形为 维超椭球面。此超椭球面的第 个坐标轴方向的半轴长为 ，则Lyapunov指数的第 个分量 的值为

由此可见， 的 个不同值表示轨道沿不同的方向收缩或扩张。对于一维情形，吸引子只是不动点（稳定定态），此时 。对于二维情形，吸引子或者为不动点或者是极限环。对于不动点，任意方向的 都要收缩，故这时两个Lyapunov指数都应该是负数，即   - - 。至于极限环，如果 始终垂直于环线方向，它一定要收缩，此时 ，如果 沿轨道切线方向，它既不增大也不缩小，此时 ，所以极限环的Lyapunov指数   0 - 。对于三维的情形，当为三维相空间内的不动点时，显然Lyapunov指数     - - - ；当为三维相空间的极限环时，垂直于环线轨道的两个方向的Lyapunov指数 ，而沿轨道切线方向的的 ，故此时Lyapunov指数     - - 0 ；同理可得，三维相空间的二维环面对应的Lyapunov指数     0 0 - ；不稳定极限环对应的Lyapunov指数     + + 0 ；不稳定二维环面对应的Lyapunov指数     + 0 0 ；奇怪吸引子对应的Lyapunov指数     + 0 - ；这是由于奇怪吸引子是相邻轨道不断收缩和分离两种作用同时进行的结果，因此它的Lyapunov指数一定要有一个为正的，另一个为负的，同时沿轨道切线方向的的Lyapunov指数为零。

3.3.6 自功率谱密度分析法

根据Fourie分析，任何周期为 的信号 ，都可以展成Fourie级数，其物理意义是任何周期运动都可以看成是基频 和一系列泛谐振 的叠加。故

其中

准周期运动也可以分解为一系列频率不可约的正弦振动的叠加，二者都具有离散谱。对于任意非周期运动的信号 ，若满足绝对可积条件：

则其可以展开为Fourie积分

即非周期运动信号的频率谱是连续谱。

     为了表示混沌信号的频域特征，可求其自相关函数 的Fourie变换，根据所得的自功率谱密度函数 来分析混沌的频域特征。

对于周期运动，功率谱只在基频及其倍频处出现尖峰，准周期对应的功率谱在几个不可约的基频以及它们叠加所在频率处出现尖峰。不现带宽的噪声的自功率谱的带宽可以展示噪声的频带宽窄的特点。发生倍周期分岔时，功率谱中将出现分频及其倍频，在这些频率点上功率谱图也都具有尖峰，其中含有与周期运动对应的尖峰，这表示混沌运动轨道“访问”各个混沌带的平均周期。根据这些特点，可以很容易地识别运动的特征是周期的，还是准周期的、随机的或混沌的。

为了获得可靠的功率谱，需对若干个相继的采样序列的谱作平均，另外，在开始采样前必须等待过渡过程消逝，如果原始数据包含大量噪声与外间干扰的测量，还应当考虑适当的滤波或光滑化。

3.3.7 分形维数分析法

1975年，美国IBM公司的数学家Benoit B.Mandelbrot创造出了“分形（Fractal）”这个新术语当其标新立异之作《自然界的分形几何》一书于1982年出版之后，分形这个概念便不胫而走。称之为分形的结构一般都有内在的几何规律性，即比例自相似性。混沌学主要讨论非线性动力系统的不稳，发散的过程，但系统状态在相空间中总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相象。分形也是产生于一个迭代系统的动力学行为，这表明它和混沌之间存在着一种根深蒂固的联系：分形集就是动力系统中那些有不稳定轨迹的初始点的集合，即混沌集。混沌吸引子就是分形集。我们可以通过分数维这个特征数来测定分形的不平整度、复杂度或卷积度。分数维的微不变化可以引起形状的急剧改变。分形和分维的概念对于高维系统的混沌动力学很重要，而在一维映象中用途有限。常用的分数维有Hausdorff维、自相似维、Kolomogrov容量维、信息维、关联维数以及Lyapunov维数。

3.3.8 测度熵法

1958年柯尔莫戈洛夫定义了测试熵，随后，西奈作了改进。因此，“测试熵”又称为“柯尔莫戈洛夫－西奈熵”、“KS熵”或简称“熵”。熵的数学定义要求对吸引子进行分割，并且考虑这种分割在动力学作用下的无穷细分，对细分过程中根据测度算出的信息量进行上确界估计。这种定义很难实际运用，因此，物理上更为直观的算法。我们用轨道把许多箱串起来，引用联合概率 ，即轨道在时刻 处于第1个箱中，时刻 处于第2个箱中，……在时刻 处于第 个箱中的概率。这样的联合概率原则在可以从数值实验或实际观测中求得。然后就可以通过信息量定义测度熵：

这里 是箱的尺寸。 的数值是判断运动性质的重要指标：对于规则运动， 0；对于纯随机运动， ；而混沌运动对应有限的正 值。测度熵与正的Lyapunov 指数有密切关系。对于有限维的可微分的映射,

即所有正的Lyapunov 指数之和，给出测度熵的上限。在实践中，上式中的等式往往成立，它成为所谓培律（Ya.B.Pesin）等式

历史上，测度熵的引入先于拓扑熵。拓扑熵是比测度熵更弱的混沌判据。它不考虑相空间细分过程中的测度，而只保留计数问题。如果细分中的各个“覆盖”具有相同的测度（概率），则测度熵 就回到拓扑熵 。一般情况下

0

因此正拓扑熵不能保证测度熵为正，而正测度熵一定导致正拓扑熵。用正拓扑熵定义的混沌称为“拓扑混沌”，它只意味着运动中含有不规则的成分，并不保证相应的混沌运动可以观测。然而，正拓扑熵是很容易界定的量，因而在数学文献中经常用到。物理上更可靠的定义，应当要求存在正的Lyapunov 指数或者测度熵。

由于拓扑熵中由不同轨道的计数问题决定，通常可用下式计算

其中 是长度为 的不同轨道点的数目。

另外还有其它的一些混沌分析方法，如符号动力学方法等。在实际应用时，为了获得更加精确的结果，常常不是单纯的使用上面的某一种方法，而是采用定性的分析方法，如用Lyapunov指数分析法和自功率谱密度分析法相结合的手段来研究混沌的性质。

3.3.9其它方法

描述混沌程度的方法有很多种，而且各有利弊。其中较主要的还有如确定奇怪吸引子的各种维数、确定混沌系统的所谓柯尔莫哥洛夫熵、对周期驱动系统较易实现的分频采样法以及前面介绍的取庞加莱截面的方法等等。理论分析中则大量使用泛函分析，借用相变理论中的重正化群方法。比如费根鲍姆推出的普适常数及标度因子就是解一个反映自相似结构的泛函方程形式的重正化群方程。另外，分析系统的梅尔尼科夫(Melnikov)函数也是确定混沌的一个重要方法。由于牵扯的知识点过于繁杂，本文将不得不以粗线条形式略述，具体内容请参阅有关文献。

3.4通向混沌的道路

对于一个确定的非线性动力学系统，当参数值位于某个范围时，它才表现为混沌运动，其他情况下表现为确定性运动的一种，这就有一个如何到达混沌的问题，即系统是如何从确定性运动过渡到混沌运动的。从确定性运动通向混沌的道路多种多样，至今人们知道了四条典型的通向混沌的道路：倍周期分岔、准周期分岔、间歇过渡（阵发混沌）和KAM环面破裂等，此外还会有其他可能的道路[4,5,13,14,15,16,22,23]。

3.4.1  倍周期分叉道路

这条道路是由分形理论创始人B.B.Mandelbrot和 P.Myrberg等一大批科学家共同努力而发现的。

1976年，P.Myrberg在1篇对混沌理论的研究起了很大的作用的综述性文章中指出，生态学中的一些非常简单的数学模型，具有极为复杂的动力学行为，包括分岔系列和混沌。随后，M.Feigenbaum发现了倍周期分岔中的标度性和普适常数。由于M.Feigenbaum的出色贡献，有时也称倍周期分岔为Feigenbaum道路，即从周期不断的加倍而产生混沌，其基本特点是：不动点→2周期点→4周期点→……无限倍周期凝聚（极限点）→奇怪吸引子。

例如，对一维的Logistic映射系统

1- , [0,1], [0,4]

(1)0 3时，映射有2个不动点 0,

a.当0 1时， ， 0是映射在[0,1]内的稳定不动点。

b.当1 3时， ， 是映射在[0,1]内的稳定不动点。此时，系统有周期-1解。

(2) 3 时， 0， 失稳，需要考虑二次迭代，解二次迭代方程有4个不动点。其中 是稳定的，此时系统有周期2解。如此继续下去，当 3.5699…时系统进入混沌态。图3.2的上部就是平方映射通过倍周期分岔进入混沌的分岔图。图3.4.2是从 开始计算的，平方映射的分岔现象实际是在 处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动即出现了一次霍夫分岔；随后在m＝3处开始了倍周期分岔，从这里先由单周期分岔为二周期，然后在m＝3.4495处由二周期分岔为四周期，接着在3.5441处从四周期分岔为八周期，如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，一直到 为止。当 以后，映射迭代的终态值给出的图象是一片模糊已无周期了，说明进入了随机的混沌状态。这就是平方映射在 参数区域中进入混沌的倍周期分岔道路。为了将平方映射从规则运动进入混沌与李雅普诺夫指数 的变化联系起来，在图3-2的下部连接了平方映射的 指数随 的变化曲线。随着参数 的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。然而倍周期分岔将在一临界点 =3.5699…时终止，从 开始的大部分区域，每次迭代得到的值是随机地出现的。图3.4.1是 值为3.7时的迭代情况。由图可见每次迭代计算得到的 值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而变为随机地出现了，因此迭代计算可以无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出现在先前得到过的某点附近但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了。说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。

实际上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的 值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌还没有一个完整的印象，现在利用计算机编写的程序，可以由小到大逐个对 值进行计算。 

由图3.4.2的上部可见，平方映射在 进入了混沌状态。进入了混沌初看似乎模糊一片，但细看可见在模糊图象的深浅程度上仍然可以区分出不同的区域，说明迭代终值 并不总是混乱一片，而是存在着一定层次；此外，在模糊区域中还可见到有一些大大小小的窗口，犹如两片乌云之间有一小片蓝天，说明这些区域仍存在规则运动。从图3-4-2下部的李雅普诺夫指数曲线上可见，当系统作规则运动（ ）时指数 始终处于负值，只在各个分岔点处上升到零值附近。而当 以后，指数 便开始转为正值，但在 以后的各个窗口中指数 值均又转为负值，因为这里仍是规则运动。由此可见平方映射随参数 值的增加展现的是一幅规则―随机―规则―随机…交织起来的丰富多彩的图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次的运动形态。对于这种无穷层次的运动形式还可以用分形理论作进一步的分析。

图3.4.1 ＝3.7时 在不确定值之间跳跃 

Figure 3.4.1  the bouncing of  among the uncertain value when ＝3.7

图3.4.2  平方映射分岔与李雅普诺夫指数λ值随μ的变化

Figure 3.4.2  the bifurcation and the Lyapunov exponent λ of the square map are both variant with value μ

3.4.2  阵发（间歇）道路

图3.5 平方映射在 时产生阵了混沌现象

Figure 3.5 the square map engender intermittent chaos when

这是由法国科学家Y.Pomeau和P.Manneville于1980年提出的一条通向混沌的道路，故称为PM类间歇道路。目前阵发混沌已经有五到六种类型。

阵发混沌的类型与切分岔密切相关。阵发混沌发生于切分岔起点之前，表现在时间行为的忽而周期、忽而混沌，随机地在二者之间跳跃。当系统在某一参数R低于（或高于）某一值R0时，系统呈现规则的周期运动；而当参数逐渐增加（或减少）时，系统在长时间内仍然表现出明显的近似周期运动形式，但这种近似的周期运动形式将被短暂的突发混乱运动所打乱，突发之后又是周期运动，这种情况不断重复，显示出一阵周期、一阵混沌的阵发运动;随着R的进一步增加（或减少），突发现象出现得越来越频繁，近似的周期运动几乎完全消失，最后系统完全进入混沌状态。

3.4.3  准周期道路

20世纪40年代，D.Landau和Hopf先后独立提出了一种湍流发生机制，其基本思想是：当雷诺数Re极小时，流体处于与时间无关的层流状态，对应相空间的稳定不动点;当Re超过某临界值时，出现Hopf分岔，即出现频率为w1的振荡而使流体失稳;当Re进一步增大到另一临界值时，发生二次Hopf分岔，出现新的频率为w2的振荡，运动用相空间的二维环面来表示，通常w1/w2为无理数，这种准周期运动使流体进一步复杂;当Re进一步加大，将出现更多频率的准周期运动，最后这种极其复杂的准周期便是湍流。即湍流是无数次Hopf分岔形成的无数频率的准周期振荡的结果。然而，试验证明该湍流理论并不符合实际。

    1971年，法国科学家D.Ruelle和荷兰学者F.Takens指出混沌可以看做具有无穷多个频率耦合而成的振动现象，但并不像朗道所说的那样要经过无数次分岔出出无穷多频率才出现混沌，而是只要4次甚至3次分岔即可。其特点是不动点（平衡点）→极限环（周期运动）→二维环面（准周期运动）→奇怪吸引子（混沌运动）。

3.4.4  KAM环面破裂

KAM定理指出，近Hamilton系统的分布在一些环面（称为KAM环面）上，它们一个套在另一个的外面，而两个环面之内充满着混沌区。它在法向平面上的截线称为KAM曲线。可积Hamilton系统，如单摆的相图是椭圆点和双曲点交替出现，相平面被鞍点连续分割，相空间中和各部分的运动互不相混。在不可积的情况下，只在鞍点附近发生一些变化，鞍点连续破断并在鞍点附近产生剧烈振荡。这种振荡导致等价于Smale马蹄的结构，从而引起混沌运动，相应的区域称为混沌区。

第四章 混沌学的哲学思考

哲学是自然科学、社会科学和思维科学的概括和总结。自然科学的发展对哲学发展的促进作用是有目共睹的。本世纪６０年代以后，混沌理论的兴起导致一系列在"紊乱"现象背后的惊人发现，引起人们广泛的注意。混沌不仅是个科学问题，也涉及到许多重要的哲学问题。特别是在有序和无序、稳定和非稳定、简单和复杂、局部和整体、决定论和非决定论等矛盾关系和辩证转化的条件和机制方面，给人以新的启迪。 我们看到，对混沌学的研究为人类开辟了一个新空间，很多原有的概念在此空间中将被深化，将进一步地反映出其本质。就像波和粒子的概念在量子力学中得到统一一样，在混沌领域中，原有的很多经典的概念在此也得到了统一。我们可以说混沌反映的是一种无序中的有序，它是确定论中不确定性，是整体的方向性与局部的非方向性，是在稳定与失稳中不断演化，原因非常简单，而结果又是错综复杂的一类现象。它深刻地反映了对立统一的哲学思想。 混沌学的诞生直接导致了对确定论与概率论的讨论。确定论的思想自牛顿以来就根深蒂固，过去随机性只是和不可逆联系在一起的。现在，在确定性的、可逆的牛顿方程内部，出现了内在的随机性。可见，确定性和随机性之间的界限并不是不可逾越的。确定论和概率论描述之间存在着由此及彼的桥梁，这座桥梁或许将是混沌所表现出的决定性的内在随机性。 对于一个非线性系统，我们依次改变系统的参数，可以出现从无序向有序的转变，有序程度不断增加的转变，最后出现混沌。在这一系列相变过程中，系统的有序程度不断提高，对称性不断减少，不断增加有序性是对无序的不断否定，而出现混沌是有序程度增加到了最高程度，是系统最有序的表现，也是系统呈现一种新的无序，是对有序的更否定；通过有序程度的不断增加，经过倍周期分岔达到非平衡混沌，不同于原来系统平衡态时呈现的无序的混沌，它有分数维数，有奇怪吸引子，有无穷嵌套的自相似结构，它在一个尺度上的表现的随机现象，会以同样的形式在不同尺度上重复出现。平衡态混沌与非平衡态混沌之间的相似与区别，以及它们之间通过有序程度的不断改变而发生的联系，具体形象地体现了哲学上的否定之否定的原则，使我们对这一原则有了更深刻的认识。 然而混沌这门新科学毕竟对当代哲学思想尤其是物理哲学有着不小的冲击。对以下两个问题的诠释相信不是1-2个小时可以解决的，当然也不是千八百字就能说得清楚的，在此，我仅仅提出，对它们的解决或许是建立在对混沌理论更深入、更本质的理解上的。 （1）.标度不变性对应的守恒律是什么？ 就像空间的均匀性对应着动量守恒，空间的各向同性对应着角动量守恒，时间的均匀性对应着能量守恒一样，混沌系统（尤其是保守系统）的标度不变性对应着什么守恒呢？ （2） .混沌系统的时间箭头又该如何解释？ 原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 方向和沿 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发[5,10,11,12,15,16]。

第五章 混沌控制及其在保密通信中的应用

正是由于混沌广泛地存在于现实世界中，同时与其它的非线性系统相比，混沌系统属于非线性的随机系统，有着自己独有的特征，如对初始值极端敏感，功率谱连续等，促使人们去思考，混沌在现实生活中到底是有害还是有益？混沌是否可以控制？有何应用价值及发展前景？

对初值的极端敏感性又称为蝴蝶效应。它曾被认为是一种“麻烦”的性质，在过去的许多年中，人们一般相信混沌运动既是不可预报的，又是不可控制的。困此，在实践中总是希望避免混沌这个“有害”的现象，亦即在几乎所有的工程设计中都把目光放在消除系统中的任何混沌行为。

然而多年来，由于混沌的奇异特性，特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性，所谓“差之毫厘，失之千里”的缘故，使得混沌控制举步维艰，人们在生产、实验中都尽量避免混沌的出现。但在1990年，Ott、Grebogi和Yorke基于参数扰动方法，成功地实现了混沌系统的控制（OGY方法），随后Ditto、Rouseo及Spano三人从实验上验证了OGY方法的有效性。OGY方法的基本思想是假设系统有可调参数，利用混沌的“蝴蝶效应”，通过对该参数施加微小扰动并反馈给系统，实现把系统的轨道稳定在无穷多个不稳定轨道中预期的一条特定轨道上，从而达到控制混沌系统的目的。另一方面，若对混沌系统的一个可测状态变量施加扰动，同样也能达到控制的目的，如闭环变量反馈及其时滞反馈镇定不稳定周期轨道等等。再者，单纯从混沌动力学方程看，混沌系统属于一个非线性系统，只是混沌系统作为一种特殊的非线性系统，它有一些奇异的性质，而且它的控制目标比一般的非线性系统更丰富一些罢了，所以许多控制非线性系统的成功方法都可以运用到混沌控制当中来，加以改进，成为控制混沌卓有成效的方法。如自适应控制方法、棒控制方法、状态反馈方法等[19,13,14,22]。

上面谈到的混沌的控制，主要指对混沌这种复杂、“麻烦”现象的抑制。的确，混沌在许多情况下需要被抑制，然而混沌抑制只是混沌控制最容易达到的一个目标，是一种最简单的混沌控制。单单从这一点来看混沌的控制与一般非线性系统的控制并没有什么质的差别。如果混沌控制仅仅追求这样的目标，将会使得混沌吸引子中丰富的内涵变得毫无用处。

众所周知，混沌态包含有无穷多个不稳定周期轨道，这些周期轨道都是混沌系统的一个解。任给一个初始条件，系统不会运动到这些轨道上去，即系统在自身运动中实现这些周期运动的概率为零，但系统一旦处于这些轨道上，即使在没有外力的影响下，它也能在这些轨道上继续运行。又由于混沌系统各态历经的性质及系统演化状态对初值的极端敏感性，我们可以利用微小的扰动能量，控制混沌系统在众多周期轨道之间进行切换，这一点令一般的非线性系统望尘莫及，这是混沌控制的一个独特之处。将一个稳定周期系统驱动从一个周期态驱动到另外一个周期态，人们必须用足够大的外力将系统从旧态换到新态，也就要要将旧机器改造成容纳新态的新机器，这势必需要消耗足够能量或其它代价。而对于混沌态则不然，由于它本身的独特性质，利用极小的控制代价就可以在原机器的框架下实现这种转换。例如美国宇航总署（NASA）的科学家们使用非常小的残余氢燃料把一个ISEE-3/ICE飞行装置送到约8000km之外，从而实现了“第一次科学彗星的对接”。他们指出，“这一项功绩归咎于天体力学中三体问题对于微小扰动的极端敏感性，而这在非混沌系统中是不可能的，因为那种系统需要巨大的控制量才能获得巨大的功效”。

在某些情况下混沌现象不但不是避免的对象，还是我们所刻意追求的目标。这里有两种情况[13,14]：

第1种情况是混沌反控制问题。在某些情况下，系统中出现混沌现象是十分有用的，可能需要控制一个非混沌系统产生混沌。例如：实际中常常需要将多种流体实现快速混合，这时混沌态就大大的优于各种周期运动态；当粒子在固体表面上通过扩散运动实行掺杂时，强混沌的运动状态将有利于提高掺杂速度和掺杂质量，而且所需能量最小。还有强混沌态混合对于核反应中的等离子加热也重要的应用，在这个过程中，热量被注入到反应器中，当反应吕中的热对流是混沌态时，该反应将取得最好的结果。

第2种情况是混沌的保密通信问题。混沌保密通信是一种新型、高效的保密方式，主要是利用混沌系统由初值敏感性带来的不可预见性和内在随机性来隐藏信号。它在发送端将有用的信号调制到混沌系统中去，在接收端用同步的混沌信号来解调。由于混沌保密通信具有实时性强、保密性能高等优点，因此，尽管目前混沌保密通信还处于实验室阶段，但它已显示了在保密通信领域具有强大的生命力。

经过近几十年的发展，尤其是最近10年的迅猛发展，目前混沌控制及其应用研究已获得了重大的突破性进展，人们已经逐渐改变了对混沌运动的不稳定性、不可控性及不可靠性的陈见，开始逐步认识到混沌的重要作用，并开始利用混沌，应用混沌。所有这些都是一个良好的开端，对这些问题的研究，将不仅具有重大的理论价值，而且具有重要的实际应用价值。

第六章 混沌学的发展趋势及应用前景

分岔与混沌决不只是一堆有趣的数学现象，它们在自然界中有种种表现。一般说来，混沌是比有序（此处指经典意义下的有序━━对称、周期性）更为普遍的现象。混沌向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。它表明，在某一范围的无序是与另一个不同范围的有序完全协调的。 我们了解到，混沌学已经融入了整个科学体系中。从历史发展的角度看，在横向上，它将各个学科连接起来，抹平了由于社会分工而造成的行业鸿沟，使混沌理论具有更广泛的适用性；纵向上，它不仅进一步运用数学工具，开展深一层次的理论分析，而且，已经渐渐开始将一部分成果转化为生产力（如混沌的控制和同步等）。 如今，摆在我们面前的是一幅有序和混沌交替出现又同时并存的世界。声学混沌，光学湍流，化学反应的混沌变化，太阳系中行星的混沌轨道，地震的混沌特征，长时期天气的"蝴蝶效应"，虫口数目的混沌更迭，电子线路中的噪音输出及电力网的复杂振荡等等都无不与这门新学科相联系。探索复杂性，揭示生命现象的奥秒，混沌行为的启发将使人类自身健康状况改善，经济学学者正试图应用混沌理论来寻求商业周期中隐藏的有序性，以改善经济数据的短期预报......可谓大千世界皆混沌；混沌即进一步细分了我们的研究客体，同时又统一了我们的研究方式，混沌理论的发展必将带来新的技术革命。 同时，混沌理论的发展，必须依赖数学。分维是奇怪吸引子的重要几何特征，与之对应的分形几何近二十年来也得到了飞速发展，通过计算不同吸引子的各种维数，可以更有效、更细致地对混沌系统进行分类。 符号动力学是作为动力学系统一般理论的一个重要分支，人们将对一维映射系统符号动力学的研究推广到高维系统，使混沌系统的拓扑普适性得到了完美体现，而且这种从一维向 空间的推广，也带动了其它普适性的合理运用。 另外在理论方面，还综合了很多数学分支，如测度论、泛函分析、拓扑、分形几何等等。 在技术上，一方面实验物理学家们正在不断地扩大对混沌的研究领域，另一方面，他们正在试图驾驭混沌：他们用种种方法将系统稳定在混沌区的一个周期轨道上；他们还设法使两个混沌的系统同步化，从而实现利用混沌的保密通讯。对混沌的控制和同步的实验研究将有另文介绍，在此就不做赘述。 混沌学今后的发展方向在那里？混沌究竟是喜欢追随时髦的人的一种有趣思想，还是像它的某些支持者声称的那样，实际上是科学思想的一场革命？──只有事实才能说明一切[4,5,13,14,19,23]。

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