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例谈圆锥曲线的定义的应用

博兴县第二中学  周晓玲   2011年7月22日 12:47

例谈圆锥曲线的定义的应用

山东博兴第二中学周晓玲

在解题中,有的学生能自觉地根据问题的特点应用公式, 定理, 法则; 但对数学定义往往未加重视,以至不能及时地发现一些促进问题迅速获解的隐含条件,造成舍近求远,舍简求繁的情况. 因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法。圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征， 揭示了曲线存在的条件及其包含的几何性质，灵活运用性质，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便。下面以圆锥曲线为例，通过几道题来谈谈圆锥曲线的定义在几个方面的应用。

一、判断曲线类型

例 1，在正方体ABCD-A¹B¹C¹D¹中,点P是侧面DC¹的动点，若P到DC直线与直线A¹D¹的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(   )

A. 双曲线  B. 圆   C. 椭圆  D. 抛物线

说明：利用抛物线的定义“到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线”，在对图形稍作分析，既可判断出动点P的估计所在的曲线是抛物线。

变式练习

例2：已知圆C:(x+3)²+y²=100及圆内一点P（3，0），则过点P且与已知圆内切的圆的圆心M的轨迹是（  ）

A. 双曲线   B. 双曲线一支  C. 椭圆   D.圆

分析:（1）圆C的半径与圆心坐标可定。

         （2）两圆内切可得：外圆半径＝内圆半径＋连心距。

    （3）动点M满足的等量关系：| MC | + | MP | = 10＞| PC |

    （4）由定义可确定动点M的轨迹为以P、C为焦点的椭圆。故选C项。

二、最值问题

例 3：已知： F₁、F₂是双曲线x²-y²/3=1的左、右焦点，M(6,6)是双曲线内部的一点， P是双曲线右支上的一点，求︱PM︱+︱PF₂︱的最小值。

分析：直接把点P的坐标代入，︱PM︱+︱PF₂︱的最小值不容易求出，而和式“︱PM︱+︱PF₂︱”与双曲线定义形式不符，故考虑是否可设法转化为“差”的形式，进而利用双曲线定义。

解：如图，连接PF₁,MF₁,由F₁、F₂是双曲线的左、右焦点，M(6,6)是双曲线内部的一点， P是双曲线x²-y²/3=1右支上的一点，F₁(-2,0)、F₂(2,0)

∴︱MF₁︱=10，︱PF₁︱+︱PF₁︱=2.

∵︱PM︱≥︱MF₁︱-︱PF₁︱

∴︱PM︱+︱PF₂︱≥︱MF₁︱-︱PF₁︱+︱PF₂︱=10-（︱PF₁︱+︱PF₂︱）=8.

说明：本题运用双曲线的定义解题，通过数形结合，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解。

变式1：设P是抛物线y²=4x上的一个动点，F抛物线的焦点，若B(3,2),求︱PB︱+︱PF︱的最小值。

说明：此题利用抛物线的定义，将抛物线的点到准线的距离与该点到焦点的距离进行互换，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。

变式2：F₂是椭圆x²/4+y²/3=1的右焦点，若定点A的坐标为(1,1)，则在椭圆上使2|MF₂|+|MA|的值最小点M的坐标为      ,其最小值为      。

分析:由双曲线的第二定义得：2|MF₂|=d, 2|MF₂|+|MA|=d+|MA|≥d_1, d₁=A(1,1)到右准线x=4的距离

三、求焦点三角形的面积

例4：设F₁、F₂是双曲线x²/4-y²=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足

∠F₁PF₂=90°，则的面积是多少？

分析：由题意知△F₁PF₂为直角三角形，

|PF₂|²+|PF₁|² =|F₁F₂|²=20，

结合双曲线的定义，可得

(|PF₂|-|PF₁|)² =4a²=16，进而问题得解。

变式：设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若|OF| =a, |PQ|=b，求△OPQ的面积。

说明：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用韦达定理是常见的基本技能。本题计算三角形面积的技巧是抛物线中经常用到的技巧方法，必须掌握。

四、求轨迹方程

定义法求轨迹方程的含义：先由题设条件，根据圆锥曲线的定义能确定曲线的形状后，直接写出曲线的方程。例如：

例5：已知动圆P与圆C₁：(x+3)²+y²=4和圆C₂：(x-3)²+y²=9 都外切求:动圆圆心P的轨迹方程。

分析：①从已知条件可以确定圆C₁、C₂的圆心C₁（-3，0）、C₂（3，0）

与半径r₁ =2，r₂=3 

② 两圆外切可得：两圆半径和＝圆心距

设动圆半径r,依题意有 2+ r = |PC₂| , 3 + r =|PC₁|

两式相减得：|PC₂|-|PC₁|= r₂-r₁=1<|C₁C₂|

      ③由双曲线定义得：点P的轨迹是C₁ 、C₂以为焦点的双曲线的左支。

变式：1、若动圆P与圆C₂内切，与圆C₁外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？

2、若动圆P与圆C₁内切，与圆C₂外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？

3、若把圆C₁的半径改为2，那么动圆P的轨迹又是什么？

思考：①上述的结论是否具有一般性？

与两个外离的定圆都外切或与其中一个内切，另一个外切的圆的圆心的轨迹都是双曲线的一支？（当两个定圆不相等时，结论是肯定的，当两定圆相等时，轨迹为两定圆连心线的中垂线。）

②利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。

③步骤：依条件列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。

例6：已知：△ABC的顶点A(0,-4),B(0,4)且4sinB-sinA=3sinC，

求：顶点C的轨迹

分析：∵|AC|-|BC|=3/4,|AB|=6<|AB| ∴顶点C的轨迹是A 、B以为焦点的双曲线的上支，因A、B、C三点不共线所以不含双曲线的上支顶点.

五、求距离问题       

例7：AB为抛物线y=x²上的动弦，且|AB|=a,a为常数且a≥1，求弦AB的中点M离x轴的最近距离。

变式：椭圆x²/12+y²/3=1的两个焦点为F₁、F_{2 ,} P在椭圆上，若线段PF₁的中点在Y轴上，则|PF₁|是|PF₂|的几倍。

六、求圆锥曲线离心率

在高中数学新课标中，必修Ⅲ学习了平面解析几何初步，即直线与方程，圆与方程。选修1-1与选修2-1都要学习圆锥曲线与方程。高中阶段对圆锥曲线的学习，只要是结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。圆锥曲线的来龙去脉和几何背景，对理科学生了解圆锥曲线的离心率和统一定义。作为教师更应该整体把握教材对圆锥曲线的定义有深刻地认识，可以用圆锥曲线的定义确定圆锥曲线的本质特征，揭示曲线存在的条件及其所包含的几何性质。一般地若题目中出现点到两定点的距离之和或者是距离之差是常数，可联想第一定义；若题目中出现动点到定点的距离之比是常数或者是出现“准线”、“焦半径”、“离心率e”等信息，可以用第二定义求解。不管在椭圆或双曲线的问题中，若遇与焦半径有关的问题，都可以联想用第一定义求解，（例如︱PF₁︱·︱PF₂︱=K，K为常数）十分方便。总之，灵活应用圆锥曲线的定义,优化解题思路, 从而得到最优解