扫地机器人扫得干净吗:高中数学合作型课后作业设计的实践研究

让我们携手走在共赢的路上             ——高中数学合作型课后作业设计的实践研究
【内容摘要】作业设计是教学中的重要环节，此环节的成功与否将直接影响到我们教学的效果和学生的发展。本文从实际教学中作业存在的一些问题出发，通过对一些案例的研究，探索如何调动学生参与合作作业的积极性，如何设计符合新课程理念和学生发展的合作作业的策略。在设计上力求丰富学生的课后作业，提高教学的效果，促进学生合作探究能力与实践能力的发展。
【关键词】设计 合作 作业
一、问题的提出
作业历来也被视为“课堂教学的延伸和补充”。在新课改深化的今天，作业无疑也还是我们教学过程中的重要环节。“作业系统如果安排的好，对学生自学能力和实践能力的培养有很大的促进作用，同时也有利于教师改进教学方法”（吴也显《教学论新编》）。因此，作业的作用在于巩固、提高及深化学生所学知识的，提升学生学习能力与创新精神的。可见，作业是提高学生综合素质的重要载体。
诚然，传统型高中数学作业有许多操作性的形式，在培养学生有效识记、解题技巧能力方面，可以说功不可没。但这种作业也有偏颇不足之处，例如在培养学生的合作、交流、创新能力方面就略显不足。这主要是因为传统型高中数学作业它存在以下问题：
第一， 形式略显机械
传统型的高中数学作业，教师往往以教学目标和教学内容为中心，采用高考题型，按照知识点的难易程度进行设计，并通过反复训练来强化巩固学生的解题技巧和解题能力。可是说，这类作业设计形式实际上是一种由基础到提高的一种解题训练模式。课后数学作业的设计局限在巩固课堂教学目标的范畴内，如做同步练习、完成课后习题等等。重复甚至机械的作业不但不能激发学生学习数学的兴趣，反而成了学生学习的“负累”。
第二，过程重于封闭
在作业设计上，传统数学作业特别重视学生独立思考和独立解决问题的能力，而缺少学生与学生间的对话、交流与合作。而新课程标准指出，学生的学习活动不应仅限于简单的接受、模仿和反复训练，动手实践，自主探究，合作交流等都是学习数学的重要方式。
第三，两极趋向分化
对于作业完成的要求，教师往往规定学生在一定的时间内完成同一的内容，而达到同一的目标。这忽视了学生的个性特点。老师设计的独立作业往往力求使优等生吃饱，而这种无差别的作业会使待困生完不成任务，因此，班级也许会出现两极分化现象。所以，这就更需要学生之间合作互助来互相促进与提升。
这些问题的存在或许是不少学生对数学作业感到无趣乏味的原因之一；但久而久之，学生便会对数学学习产生倦怠，学习兴趣与热情也会悄然而逝，甚至老师也会觉得批改作业机械单调乏味。
所以，在优化课堂教学的同时，新课程改革的深化也应该体现在数学作业的设计上。如果，只是改革课堂教学，而数学作业没有同步跟进，那样的数学学习是缺乏有效性的。
基于此，我们的数学作业需要独立思维与解决问题的能力，更呼唤合作交流的能力。我们的作业需要变封闭为开放，变机械为灵动，在独立思维的基础上进行合作。
《国务院关于基础教育改革与发展的决定》中也倡导合作学习，指出：“鼓励合作学习，促进学生之间相互交流、共同发展，促进师生教学相长。”于此，我们提出“合作型课后数学作业设计与评价的实践研究”这一研究课题，试构建一种以学生个体差异为前提、注重学生互动与对话、实现自主学习与合作学习的作业模式。
二、    理论假设
1、概念界定
合作型作业是需要以小组成员的互动协助活动来完成的一项作业。它需要同伴之间的合作互助，以各个小组在达成目标过程中的总体成绩和各成员的个体表现进行有效综合评价。
对此，我们试将合作型作业表述如下：它是以学习小组为基本单位，利用教学动态因素之间的互动，促进学生的学习，以团体成绩+个人表现为评价标准，共同来实现教学目标的作业。
2、合作型作业与传统数学作业联系与区别
首先，我们要明确作业的功能：第一，检查和巩固功能，侧重于基础知识和基本技能，目的是强化记忆和获得反馈信息，重在对课本知识巩固；第二，深化和提升功能，侧重于过程与方法，目的在于促进知识的形成和能力的提高，重在思维过程；三是体验和发展功能，侧重于知识、能力、情感、态度及价值观的整合，目的在于促进全面发展和素质提高，重在体验和实践。
不管是传统型还是合作型作业，它们的目的还是存在共性的，只不过两者实施方式不同，前者较为单一机械，后者灵活多变；其次，两者的侧重点也不同。巩固和检查功能是传统型作业的主要方面，而深化和提高功能、体验和发展功能才是新型作业的重要特征。
3、合作型作业实施的理论支持
①《数学课程标准》
《数学课程标准》认为“数学课程是开放而富有创新活力的”，“自主探究，合作交流，动手实践是学习数学的重要方式”数学课后作业同样应该是开放而富有创新活力。
②社会互赖理论
D.W.Johnson 和 R.T.Johnson 兄弟认为，积极互赖(合作)产生促进性互动，成员会彼此鼓励和促进学习上的努力；消极互赖(竞争)产生对抗性互动，群体成员会彼此不鼓励学业上的努力，而且会相互阻碍；在缺乏互赖的情况下，个人之间彼此便不会有互动，个人都是独立工作而不受干扰。从社会互赖理论的角度来看，设计合作型课后数学作业可以让学生为了一个共同目标而学习，并且在完成任务的过程中，学生依靠相互团结的力量，互补互助；而相互依靠又为个人提供了动力，使他们互勉、互助、互爱。
③发展理论
发展理论基本假定是“学生围绕适宜的任务所进行的相互作用能促进他们对重要概念的掌握”。前苏联著名心理学家维果茨基将学生的最近发展区界定为：“由独立解决问题所决定的实际发展水平与通过成人的指导或能力更强的同伴合作解决问题所确定的潜在发展水平之间的距离。”学生间的合作活动之所以能够促进成长，是因为年龄相近的学生可能在彼此的最近发展区内操作，表现出较单独活动时更为高级的行为。
基于此，合作型课后数学作业可以让学生更好地进行同伴沟通、同伴合作，而沟通合作可以使学生更好地发展，提升学生的数学素养。
三、合作型课后数学作业的意义
1、夯实，巩固基础
学习活动应该“得法于课内，得益于课外”，许多数学问题包罗着上至天文、下至地理的各类知识。对于这些，学生如果没有课后必要的“再理解”，仅仅靠每天40分钟的课堂活动，教师哪怕是再精雕细琢、准确无误的分析，他们的理解也可能只停留在表层，非常容易淡忘的。因此我们需要利用课外作业来巩固所学的知识。
2、激趣，增强能力
“教者有心，学者得益。”作业的优化设计，可以最大限度地拓展学生的减负空间，使他们努力学习和掌握所学学科的实际应用技能，提高他们创造力和继续学习的能力，培养他们的敬业精神和团队精神。从而，让学生愿意完成作业，喜欢完成作业，愉快完成作业，在作业中体验成功，用作业激发学生的学习兴趣。这样，使学生在数学学习中形成良性循环。
3、活化，提升素养
“数学的外延与生活的外延相等。”数学学习的内容是包罗万象的，数学能力也必然是多种能力的综合体现。数学学习要让学生的各种思维方式相互融合，提升学生的数学素养，促进学生的全面和谐发展。使学生在广阔的时空中活学数学、活用数学，在实践中学、在生活中学，拓宽视野、丰富知识，砥砺能力。
四、合作型课后数学作业设计研究的内容
（一）合作型作业设计的原则
1.目标明确化
合作型作业也要体现高中数学课程的总目标、教学单元目标、课堂教学应达到的教学目标，作业要有针对性，而不是只图新颖。对学生易接受，知识连贯性强的内容，宜设计有关提高思维力的作业，保证让学生能按时完成作业，也能让他们在体会成功喜悦。
2.个体分层化
由于学生智力开发和学习习惯、学习背景等的不同而呈现出千差万别的情况，这也造成学生学习水平的不同。按量力性原则因材施教，显然行之有效，但须注意，不能因此走入降低教学标准的误区。合作型作业出了要注意学生个体间的差异，还要注意教学内容的层次，使作业适合于思维能力层次不同的学生参与其中。
3.生活趣味化
“生活无处不存在数学”，数学与生活息息相关。课堂教学是学习的主阵地，但数学学习仅靠课堂是远远不够的。生活是数学学习的大课堂，我们应该引导学生到广阔的数学天地中去获得多方面知识，从而激起他们数学学习的兴趣。爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”古人有言：“知之者不如好之者，好知者不如乐之者。”可见，兴趣对学习有着神奇的内驱动作用，能变无效为有效，化低效为高效。要让学生对数学作业产生兴趣，就必须摒弃传统的机械重复，让作业更新颖，让学生感兴趣去做。
4.开放创新化
创新是现代教学与传统教学的区别之一。我们要克服思想上的惰性和定势，有创造性地设计作业；设计的作业要给学生拓展延伸的空间，使学生不断地在创造中学习。这就要求我们的作业要有一定的开放性，要让学生有自我发挥的空间。可根据学生的数学知识、数学技能和能力，结合教材适当设计一些探索性作业，引导鼓励学生质疑，寻找合作伙伴，完成探究性作业。
（二）研究的基本内容
1、促进学生互助合作的策略
为了保障合作型数学作业的顺利进行，我们需要采取一定的策略，让学生乐于去合作，同时用一些措施约束学生，使他们觉得有责任参加合作。
①增强责任意识
我们经常面临的问题是有部分同学无法按时上交作业，或者有些同学按时上交却抄袭他人或者是草草了事。为了弄清原因，我们对学校里10个班级作业完成存在问题比较多的学生作了一个不记名问卷调查。
有时课后作业交不起的原因问卷调查
作业质量较低和收交不起的原因
所占比列
太难，不会做
36%
太多，做不完
38%
忘记做了
15%
做好了忘记交了
11%
针对调查结果，我采取了一定的措施以促进学生完成作业。
我把全班52名同学分成7个学习互助小组，其中四个小组各七人，另外三个小组各8人，每个组确定一位数学成绩中等的同学为组长负责催缴作业，一位成绩较好的同学做指导员负责对其他同学的监督与指导。采取这种积极有效的措施可以增强他们的团体意识和集体荣誉感，让他们互相监督，互相激励，保质按时完成作业。
案例：有一次，以田欢同学为组长的小组其中一名成员A作业拖欠，以谢海杰为组长的小组其中一名成员B抄袭作业。我先依次找了两位组长了解情况，发现A同学作业不交是组长没有履行好自己的职责。于是，我指出组长的过失，然后组长和未完成作业的组员相互道歉。这样，让他们明白自己的任务没有完成会影响了他人的学习和工作。第二组却是组长不知情的情况下，B同学自己抄袭指导员的作业。我询问了B同学，为什么要抄袭。他的解释是指导员很忙没时间指导他，只是把作业本给他让他自己去看，而他自己又看不懂只好抄一下。我询问后情况属实。然后我让两位学生反思自己的行为，抄作业的同学说：“看不懂应该来问老师，不应该抄袭”。指导员说：“我不应该不给他讲解，更不应该把作业本给他让引诱他抄袭。”然后我再问他们，给别人带来了麻烦是不是要对别人道歉呢？两位同学表示同意。
道歉对学生很有震撼力，学生意识到自己的行为和别人是息息相关的，意识到自己如果一再道歉而不落实到行动中去，在别人印象中就会是一个言而无信的人，而且自己也道歉不下去了，自己要为自己的行为负责。
同时对于作业上交和完成比较出色的小组，我在课堂上给予表扬，并请每个做得好的组派一个同学到讲台前介绍他们做的好的经验，让他们更有成就感，同时也为其他小组树立了榜样。
通过以上措施，班里同学增强了责任感和团体意识，作业的质量与效率逐渐有了提高。当然，此措施较为适合于巩固型作业。因为巩固型作业要求一定的独立思考能力，能够通过加强组内指导与监督提高作业上交的效率与质量。
②实现自我价值
合作不是否定个体的存在。合作是为了让每一个体都获得发展。所以，合作中的个体既要实现集体价值，更要让成员实现自我价值，这必须让学生意识到，小组的成运作需要每一个成员自身的努力，也需要小组成员之间相助、提携、合作与促进。因此，教师要适时地引导，既要对每个组的合作成果要给予充分的肯定，更要让每个成员发挥其在组内的作用，通过个体成员间的互助与激励可以让学生获得自我价值的体验。
③体会合作乐趣
俗语说：“众人拾柴火焰高。”合作型作业的呼唤个体间的互助，特别是同学们遇到自己无法解决的问题时，借助于同伴的力量，集体的智慧，或者在与他人的争鸣中获取灵感，开拓思路，从而解决棘手问题。而在助人助己、充满智慧与协作的美妙过程中，解决了棘手问题，可以让学生体验到成功的喜悦和创造的愉快，品味到数学思维的活力。而愉悦感和成功感将促进学生更好地进行对话交流与互助合作，同时数学教学也将处于一种良性的循环中。
2、设计合作型数学作业的模式
根据研究与实践，我将们合作型作业细化为四种类型，即合作巩固型、合作延伸型、合作研究型及合作实践型。高中数学合作型作业结构，如下图：

①合作巩固型
作业是我们获知教学效果的重要途径，它能巩固学生的既学知识，发展学生发现问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神与能力。教师在作业的布置上，不能轻视基础知识和基本技能的训练。
合作巩固型作业的模式之一是采用分层矫正作业。在一个复习单元结束后都要进行“单元检测”，我们依据测验结果将学生分成“较好”和“中等”两个层次。然后针对测验中暴露出来的问题设置矫正作业，教师先将较好的同学的作业收起来进行批改，让其纠正存在的问题。然后要求“中等”的学生独立完成矫正作业，完成后交给“较好”的学生批改讲评。有些问题一个较好的同学批改不了的，就再组织几个较好的同学进行讨论解决。然后让他们把合作后的收获和困惑反馈给老师。这样做这有利于形成互帮互助的学习风气,提高学生完成作业的主动性和积极性。
合作巩固型作业的模式之二是自编“检测”作业。每一章复习章节结束时，我们都要进行检测，为了加强学生的合作，教师要求学生自编检测题，把自编测验当作课外作业。还是以分组的形式要求每个小组整理一份测验题。教师重在指导学生学会对章节知识内容的整理，逐步让他们学会在题型与内容上建立联系。同时要求每个小组分工合作编制，指导他们进行组内分工，基础比较差的可以整理章节知识结构，基础一般的可以收集测验试题，基础很好的则对前面同学的工作进行加工，对漏整理的知识加以补充，进一步完善知识结构，同时对同学提供的一些检测题进行筛选，避免错题与重复知识题。鼓励学生经过讨论改编一些测试题，使之成为我们的原创题。
如学习排列组合时，某一个小组根据经常做错的填空题最后一题，自己编了一个题目：“已知一个填空题有①、②、③、④四个选项，要求把正确的选项都填到横线上，某同学一个选项也看不懂，于是乱填了若干个，问该同学答对该题的概率为            。”
同时每次编题后要求每个小组提交章节知识内容整理、测验卷和考查的知识点等成果。然后教师根据上交作业的质量取样进行讲评，学生互评、互测。以往的考试总是注重对学生的评价，而这种形式的合作作业能够弥补以往在考试评价中被忽视的交流作用；学生通过合作编题，学会了如何进行知识的归类和整理，在一定程度上摸拟了知识的运用过程，编题后的互相评价，选择测试，这些都能增强学生的自信心和健康的竞争意识，更愉悦身心，让体会合作的乐趣。在互评过程中，学生成了作业的评价者，让他们参与到评价作业设计和完成结果的过程，有助于提高他们的自我价值感。
②合作延伸型
作业的设计既要立足于教材，更要拓展深化教材；既让作业与教材保持联系，又要让作业和教材保持距离。学生在进行拓展延伸类学习后，再来回眸教材、审视教材，必能加深理解，促进知识与能力的内化。
案例：必修一第三章函数的应用中有这样一个应用问题：
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
（身高：cm；体重：kg）
身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重kg与身高cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。
课本答案是画出散点图，看看散点分布在哪个函数的附近。

然后找到模型来描述体重和身高的关系……
设，选取其中两组数据（70，7.90），（160，47.２５）。指出取不同的数据，得到的解析式可能不一样。
代入数据算得。
课堂课堂上我们根据身高算出体重得到下表：
身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
实际体重
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
计算体重
6.56
7.99
9.75
11.88
14.48
17.66
21.53
26.24
31.99
39.00
47.53
57.95
根据表格大家觉得所找到的函数模型能较好地反映未成年人体重与身高的函数关系。
但有些同学提出来，那我们怎么能想到用这个模型来表示这种关系呢？其他难道就没有更好的函数模型了吗？这个问题在课堂上学生讨论不出结果，而且我对其他函数模型也缺乏必要的准备，所以我将这个问题作了延伸作为课后作业：把全班学生按座位分布分成四组，要求每组的组长做好分工，将这个问题去探讨一下，为什么这个函数模型来反映体重和身高的关系比较好，再是否还有其他的函数模型能来描述身高与体重的关系，并给出理由。
第二天我问他们对昨天的布置的作业的完成情况，有两个组表示完成情况比较好。
第一组：我们讨论后认为能比较好地反映体重与身高的关系。因为未成年人的成长，体重是随身高增长而增加的，而身高每增加一点，这个人从头到脚会相应“增粗”，所以同样增加一定的身高体重增加会比以前多，即随身高的增长体重增加越来越快。而函数（）能很好的反映这种增长方式，所以用函数比较好。
第二组：我们经过论证我们认为用也较好。我们选用与课本同样的两组数据得：。根据函数解析式，填表如下：
身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
实际体重
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
计算体重
6.50
7.84
9.61
11.89
14.74
18.21
22.38
27.30
33.05
39.67
47.24
55.82
这个模型会不会比好？当时我们也有点茫然。
我们将数据进行比较，把更接近实际数据的数字加粗。
身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
实际体重
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
模型一
6.56
7.99
9.75
11.88
14.48
17.66
21.53
26.24
31.99
39.00
47.53
57.95
模型二
6.50
7.84
9.61
11.89
14.74
18.21
22.38
27.30
33.05
39.67
47.24
55.82
由上面表格，我们发现两个模型都比较好，一模型有五个、模型二有七个数据更接近实际值，而且每个数据的偏离值并不大，所以两个模型应该都可以。我们也考虑了二次函数和四次函数是不是也可以。但联系实际我们觉得更具有说服力。因为人的体重与人的体积有关，而体积肯定与身高有一定关系。我们假设人是一个近似的圆柱形，由于未成年人身高高的人，身围相应比较大，所以我们可认为这个“圆柱”的半径与身高近似地成正比，设“半径”为身高的倍，即为，人的密度为，则“圆柱”的体积为  根据重量等于体积乘以密度，这样体重与身高之间的函数表达式为：，但我们观察到散点图不一定过原点，所以式子纠正为：，令即得。从实际情况出发该函数应该比二次函数等更贴近真实数据。
经过合作讨论学生从人体的实际情况出发，把人体与几何体联系起来，再来建立数学模型，对该内容的学习已经达到了源于课本而高于课本的境界。而且结果也非常令人满意，学生也对这个问题产生了浓厚的兴趣。
③合作研究型
合作研究型作业是一种开放性的新型作业，通过学生的研究完成相应作业。但合作研究型作业的难度较高，需要学生具有较高的思维水平。该类型作业主题比较宽泛，通常可以设计成若干子课题。教师可以结合教材设计一些简单的课题，让学生利用图书馆、阅览室、网络等渠道收集整理信息，在认真筛选、辨析的基础上，通过分工合作，资源共享来研究课题，解决问题。这可以说是一个学生相互启发、相互学习、合作交流、共同提高的学习过程，体现课内外、校内外、学科间的相互融合。比如学了数列以后让同学们到银行去了解房贷的利息算法，及计算分期付款每期应该还得金额；学了统计方法后，叫同学们统计学校学生的业余活动时间，并结合频率分布直方图对学生业余时间作出分析等等。
案例：前面同学们刚刚探讨过的未成年人的体重和身高的关系问题，由于看到学生的兴趣这么高，我引导他们作进一步的研究，告诉学生：前面我们只用到两组数据，事实上到通过学了数学必修3中变量中的相关关系和选修2-3的回归分析的基本思想及初步应用后，我们可以利用好每个收集的数据进行分析，能更科学地检验检验哪个模型更好。我建议他们向高三的同学借这两本书，要求每个小组先上交组内工和研究进度计划再利用两周时间去进行研究探讨，给出解决问题的方案。
计划交上来后，每个小组都着手去研究了。过了几天，有一个小组的三个成员来问数学必修3中变量中的相关关系和选修2-3的回归分析的基本思想及初步应用中一些理解不了的问题，我对他们的问题做了解答，同时鼓励他们尽快把布置的合作作业完成。还没有到规定时间，该小组组长带领几位组员就兴致勃勃得把他们的研究成果给我来看：
先根据收集到的数据
身高x
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重y
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
画出散点图

下面用同学们自学的回归分析方法解决：
在散点图中，样本点分布在某一指数函数的周围，其中是待定参数。
现在，问题转化为如何估计待定参数。我们可以通过对数变换把指数关系式变为线性关系。令，则变换后样本点应该分布在直线的周围。这样就可以利用线性回归模型来建立y和x之间的非线性关系了。
身高x
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
3.04
3.30
3.43
3.66
3.86
4.01
画出散点图

发现分布在一条直线的附近，根据表中的数据，由线性回归方程公式得到
。
所以未成年人体重对身高的函数关系式可近似表示为
另一方面，可以认为原来的散点图中样本点集中在某个三次函数的附近，
其中a和b是待定系数，因此可以对身高变量做变换，即令
t
216000
343000
512000
729000

1331000
1728000
2197000
2744000
3375000
4096000
4913000
体重y
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
画出散点图

求出线性回归方程：

所以体重关于身高的函数关系式柯近似表示为。
再把以上两个模型计算的体重值进行比较：
身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
实际体重
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
模型一
6.53
7.96
9.69
11.80
14.37
17.52
21.32
25.97
31.63
38.52
46.91
57.13
模型二
6.41
7.74
9.52
11.80
14.64
18.12
22.28
27.21
32.95
39.58
47.15
55.73
由以上表格的数据可以发现用两个函数模型来解决未成年人的体重与身高的关系都是误差都是比较小的。两个模型中还是接近实际值的次数多，所以可能是更好点。
对这组同学的合作成果我表示非常满意，同时告诉他们在研究中还有一点不到位的地方，就是看哪个模型更合理,仅仅凭肉眼看看还是会犯错误的，应该寻求更严密的方法，可以用数学选修2-3回归分析的基本思想及初步应用中的残差平方和来检验那个模型更好一点，让数据来说话才能更科学更客观。他们表示要再好好去研究一下课本，让他们的成果更具说服力……
通过这一“课题”的小组研究，促使学生善于主动发现问题、分析问题，解决问题，增强了他们动手合作、自主探究的能力。指出他们对研究中出现的问题，使他们逐步养成严谨的研究态度。
④合作实践型
学有所得，须学以致用，方才不负于学习的功能。我们知道，数学中的各类问题实际均源于生活，我们的学习必然不能脱离生活而“纸上谈兵”。实践型作业可以使学生间接获得的知识、规律、方法、技巧等，在现实或者模拟的现实中获得实践性的完善，修正自我的知识体系。
案例：学习了解三角性的有关知识之后，我给学生布置一个实际问题的作业。我给班里的同学借来了一个测角仪器和一个卷尺，要求他们分组给出测量学校后面那座山的高度的方案，同时要求他们星期天下午回校通过测量计算出山的实际高度。后来他们周一时把成果上交，有很多中方案都比较好，计算也很正确。但我发现组和组之间测量计算的高度有很大的误差。于是，我又给出时间让他们分组讨论分析测量过程中哪些因素可能产生误差，如何避免。经过论证大家认为各组测量选的测量点不一样是测量结果有很大差别的原因，要减少误差，两个测量点之间要尽量在同一水平面上，而测得山的高度是相对于测量点的高度。
将所学的知识应用到解决实际问题中，让学生分工协作，汇总探讨，这培养了他们的动手能力，更增强了他们学习数学的乐趣。同时，学生也能体会到将知识应用到解决实际问题时，还应该考虑到实际生活中一些干扰因素，需要根据实际情况采取有效有针对性的策略，修正我们的操作方案，以期获得成功。
3、检测合作型作业的实践效果
合作作业的目的是完善作业的方式和模式，达到1+1>2的效果；但在作业的合作中，我们可能会发现小组成员对所分配的任务不满而责任感下降，造成整体效果小于部分效果的惰化效应。总之，如果学生觉得自己的贡献无法被衡量时，合作小组的合作效率就会大大被削弱。所以为了降低社会惰化效应，在合作学习中，就应该增强学生的公平、公正感，公平、客观、如实地测量小组的每个成员所完成的任务质量和数量；同时在安排小组合作学习时，应该让学生明确共同的作业目标，进行细致明确地分工，将责任落实到每个小组成员，增强他们的责任感，强化同学们的角色意识，严格检查、适时个别测试验收和反馈，使学生感到虽然在小组中学习但不能一味依靠他人，另外还要缩小小组人数的规模，从而避免责任落实不到个人。
要检测合作作业的效果，学生合作的实践成果是检测实践效果的最好凭证。实践成果包括学生撰写的小论文、调查表、调查数据、调查研究报告、其他活动展示等。实践效果的检测可以通过学生口头汇报、书面汇报、成果展示等方式。并且，在学生展示成果时，可以由学生进行自评和互评，在评价的基础上再对成果进行改进和完善。
（三）合作型作业设计留给我们的思考
1、要坚持有效适度引导
合作型数学作业的顺利实施，达到理想的效果，这并不意味着教师的主导下降，相反，对教师的素质提出了更高的要求，它更需要教师有效的指导。因而，教师在设计合作型数学作业时、在学生完成作业的过程中，教师应注意以下几个方面：
第一，学生须明确目的和任务，教师要明确操作程序，向学生告知作业的目的、要求、方法、步骤等，以免学生无从下手。
第二，学生须明确时间要求。作业完成的时间不是无限弹性中，须有截止日期。并且，给学生合作交流的时间要适度。教师要关注学生作业过程，留意各小组行为，注意过程中的问题，并为学生提供及时有效的帮助。
第三，要及时给学生反馈与评价。学生花了大量时间与精力完成作业，如果没有展示的平台，必然产生失落感，而兴趣也将随之消减。教师如果只是布置作业而忽视效果，学生也会产生无所谓的态度，消极应付作业。这就要求教师让尽量多的小组充分展示研究成果。当让，也允许各人有不同的声音，可以争鸣，可以碰撞，以激发学生深入的思考问题，从而提高日后学生的参与度和支持度。
2、要合理选择作业模式
合作巩固型和合作延伸型布置频率应该稍高、合作研究型及合作实践型开放灵活，完成所需时间较长，一般一几个星期或一两个月布置一次此类型作业为好，可依次交替进行。这样既能保证作业的质量，可以让学生在充裕的时间内深入的研究，又能保持学生的对作业的期待感和新鲜感，以增强他们完成作业的积极性。
3、要注重个体参与合作的均衡
常规的合作小组主要以异质性混合小组为主。其中的学优生往往是小组内最活跃的成员，他们在合作中作为核心人物，承担了主要的职责，引领着整个小组；而一些待进生因为基础较弱，缺乏参与的积极性及思维的敏捷性，在合作过程中只能当学优生的配角。
为了避免待进生出现被动参与的现象，教师应对其更一些的关心和鼓励，提高学生的自信度和自尊性。并且，要尽量挖掘该类学生的闪光点，以帮助他们建立“我能行”的自信心，从而提高合作的参与度。当然，教师要让学优生理解，要求他们对待进生提供帮助，与其他学生形成互动协作关系，让大家并在分享中获得成功的体验，实现自身的价值。
4、要科学评价促进小组与个体的发展
在作业完成后，教师要注对各小组作出及时科学的评价。教师可以从不同的角度肯定各小组的合作，并予以奖励，以增强学生的自信心，促使他们继续进步。特别要注意评价的激励性和发展性。在作业评判的过程中，教师是主体，学生也应是主体，应提供机会让学生参与到作业评判的过程中来，我们必须加强学生的自我评价和相互评价，以确立学生在数学学习过程中的主体地位，最终形成学生、教师双主体共同参与、交互作用的评价模式。在互动中激励学生，让学生对数学作业和数学学习产生浓厚的兴趣，从而达到提升他们数学素养的最终目标。
5、要辩证地看待合作、自主、竞争的关系
首先，合作并不是否定竞争。我们追求的最佳方式是“良性的竞争，友爱的互助，温情的激励以及有效的监督”。良性的竞争可以消除个体的惰性与对集体的依赖心理。 其次，合作的前提自主探究。我们所提倡的自主、合作、探究等学习方式，并不是孤立相斥的，而是综合运用才能产生最佳效果。
（四）小结
综观上述，数学作业作为课堂教学的延伸，我们不能满足和停留于一种模式的作业设计，而需融入新的理念，研究设计新的类型。当然，合作、沟通、共享、共处已经成为 人际关系的重要内容；学会合作交流是新课程人才培养的重要目标。数学教学需要合作，数学的课后作业更需要合作。当然，合作型数学课后作业还需要我们不断探索和完善，才能逐步走向成熟。
【参考文献】
【1】教育部.普通高中数学课程标准(实验)(M).北京：人民教育出版社,2003.
【2】俞颖灏.对高中毕业班数学作业设计的思考.上海中学数学·2009年第5期.
【3】章龙珠.数学作业设计有效性初探.数理化学习.2009年第3期.
【4】张德功.怎样做好合作探究式学生分组实验.魅力中国.2009年 10期  .
【5】王坦著：《合作学习--原理与策略》，北京，学苑出版社，2001年10月版
【6】王坦：《论合作学习的基本理念》，《教育研究》，2002年第2期。
【7】万福、于建福.《教育观念的转变与更新》.中国和平出版社2003年版
【8】吴刚平主编《普通高中新课程方案导读》.华东师范大学出版社2003年版
【9】王坦著《合作学习的理念与实施》中国人事出版社2002年