中财网渝北望江府楼盘如何:走进数学猜想
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/29 04:10:19
摘 要：本文针对当前数学课堂过分注重演绎、推理，过分强调形式、逻辑的弊端，提出什么是猜想。探讨了猜想在教学活动中的应用。在教教学模式和学法指导等方面，分析了教猜想、学猜想的条件和要求。
关键词：猜想、数学猜想
著名的数学教育家波利亚呼吁数学教学既要教证明，又要教猜想。这对数学教育有很重要的指导价值。为了适应当今社会发展的需要，数学教育要发展学生的创新能力，教学中就必须要有猜想教学的地位，这一点务必引起我们的重视。
在新课程标准华东师大版数学实验教材介绍中，提到了教材的一个特点――探索性。要求教师组织学生对数学现象开展观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，引导学生进行猜想、归纳，从而发现规律，主动获取新知，使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。本人认为其中重要的一个环节就是数学猜想。
一、正确认识猜想是数学猜想的关键一步
1、弄清概念：什么是猜想？
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料知识做出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。人们认识事物是一个复杂的过程，往往需要经历若干阶段才逐渐从现象认识到事物的本质。开始只能根据已有的部分事实及结果，运用某种判断推理的思维方法，对某类事实和规律提出一种推测性的看法。这种推测性的看法就是猜想。因此，数学猜想就是指依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系所出的一种似真推断。
2、猜想的特点
猜想具有真实性、探索性、灵活性和创造性等基本特点。猜想是人们依据事实、凭借直觉所做出的合情推测，是一种创造性的思维活动。在数学中，任何一个定理，只要不是其他数学定理的直接推论，就可以经过猜想而建立起来。猜想有一定的事实根据，不受现存事实的束缚。猜想包含着以事实作为基础的可贵的想象成分。一个猜想越大胆，它所包含的想象成分就越多。
3、猜想与论证推理的区别与联系
数学猜想就是数学中的合情推理，波利亚反复指出：数学中有“论证推理和合情推理”两种推理，它们是思维的两种形式、两个方面，它们之间并不矛盾，在数学的发现和发明过程中是起交互作用的。在严格的推理之中，首要的事情是区别证明与推测，区别正确的论证与不正确的尝试；而在合情推理中，要区别理由较多的推测与理由较少的推测。所以说，数学猜想是合情的推理，而不是不合理的乱猜。
4、猜想的分类和实现途径
浙江师大任樟辉先生把猜想分为如下五种形式：①类比性猜想；②归纳性猜想；③探索性猜想；④仿造性猜想；⑤审美性猜想。
至于猜想的实现途径，它们可能是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等。数学猜想是有一定规律的，如类比的规律、归纳的规律等，并且要以数学知识和经验为支柱。实施猜想前，请记住“在证明一个数学问题之前，你先得猜想这个问题的内容；在你完全做出详细证明之前，你先得猜想证明的思路”。
二、猜想在数学教学中的应用
在中学数学教学中我们也可以引导学生大胆地猜想，使学生在学好知识的同时，发展能力，教学中鼓励学生猜想有着很重要的意义：
1、有利于激发学生的学习兴趣和增强学习动力
兴趣是学习的最好老师，一个学生当他对某个学科感兴趣时，他就会积极思考，想方设法地去解决本学科所遇到的所有问题，所以调动学生的学习积极性是每一位教师必须做到的。如在教授韦达定理时，教师不是直接把定理的内容告诉学生，而是让学生每人写出一个二次项系数为1的一元二次方程，只要学生说出这个方程的两个根，教师就会马上“猜出”这个方程，学生个个称奇，迫不及待地问老师有什么“诀窍”，这时教师就可以作必要的讲解：“因为二次项系数为1，所以老师只要猜出一次项系数和常数项，就可以得出方程，而这两个数的得出依靠的是你们提供的两个根。这说明一元二次方程根与系数之间存在关系”，然后教师引导学生观察、猜出这些关系，并举例进行验证，学生很快就能得出规律。接着再指导学生“猜出”二次项系数不为1时的根与系数的关系。从而顺理成章地得出定理。
这样既克服了枯燥地把知识介绍给学生，而且也可以让学生觉得数学学习是一件很有趣的事，长期这样训练，学生就在不自觉中喜欢学习数学，学习的动力就会提高。
2、有利于更为透彻地理解和掌握数学知识
数学的特点是严谨、逻辑性强，学生在学习时往往只注重了知识的表层，或者去死记知识，这样在运用知识时就会出现“我知道这个内容，但就是不会用它来解题”这样的问题，所以在教学中，教师必须想方设法地让学生理解所学知识，并掌握这些知识。而在讲解数学知识时，不是直接告诉学生，而是让学生逐步地猜想这些知识，不失为是一个事半功倍的好办法。
比如在讲幂的乘方时，先让学生做以下练习。
试一试
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。
有部分学生在做完后，就马上发现了一种规律：只要将两个指数相乘，而底数不变。教师马上提问：
数学课本中的很多定理和方法，并不是由纯逻辑的演绎推理得到的。绝大多数是由为数不多的特例，通过观察、归纳、猜想，最后才是给出证明。教师在讲授这些结论时，不要先把结论抛给学生，可同学生一起参与归纳猜想。反之，如果教师直接将这些结论抛给学生，学生就会感到很突然，而通过归纳猜想得出结论就显的很自然。当然这样的猜想，还要引导学生验证。
又比如在讲解圆与圆的位置关系时，教师可以给大家演示两个圆由远到近的移动过程，让学生观察它们位置的变化，由此猜想出它们大概有几种位置，然后让大家讨论各自猜想的依据，他们很快就会得出：位置是由交点个数决定的，没有交点时是相离、一个交点时是相切、二个交点时是相交。然后教师继续启发：交点相同时有没有不同之处，怎么样区分？学生很快就会得出：不同点主要是除交点外，大圆和小圆分开还是包含。那么相离又可以分为外离和内含、相切可以分为外切和内切。虽然叙述的语言并不十分准确，但圆与圆的五种位置关系给出的非常清楚，学生理解的也更为透彻。
一位数学教育家曾经说过：“数学教学的过程就是浓缩的数学发展史的过程，所以教给学生发现的过程，这样才符合教学规律，才更有利于学生的发展”。
3、有利于更快捷地寻找解题思路
例如：已知：
分析：按通常的解法，要代入即可求值。但是由于数字太大，计算就非常繁琐，因此，我们试着把数字变小，寻找其规律：
当
当
……………………………………………
由此可以猜出：
∴
当然这样的猜想，也还要引导学生验证。
显然，猜想在本题中起了很重要的作用。这样的例子还很多，如因式分解中的十字相乘法，也是用猜想解题的一个很明显的例证。因此，我们在教学中应经常鼓励学生去大胆地猜想结论、猜想规律、大胆地猜想解法，然后再去验证。使学生在不断地猜想和验证过程中，掌握和丰富数学知识。
4、有利于培养学生的创造性思维和创新意识
真正的学习存在于发现或解决问题的过程，通过对问题的观察、猜想、论证的应用，可以达到发展智力和提高解决问题能力的目的。
例如：观察下列图形并填空。
梯形个数
1
2
3
4
5
6
…
周长
5
8
11
14
17
20
…
分析：我们也试着把个数
当
当
当
由此可得出：
在课堂上，教师就是这样指导学生得出此结论。但有个别学生结合这个结论，得出另一种看法：
观察图形，一个梯形中，上底+下底=3，则n个梯形中，上底+下底=3n，所以周长为3n+2。
三、让数学猜想走进课堂
探索培养学生猜想能力的数学教学模式。数学教学必须注重知识的发生过程，但真正能做到展示知识的生动发生过程的，惟有让学生参与猜想。要真正体现学生的主体性，就必须使学生的认知过程是一个再创造的过程，教学中必须渗透“猜想＋证明”的发现问题和解决问题的科学思维。数学教师必须发挥自己的聪明才智，总结当前好的教学模式，探索出符合培养猜想能力的教学模式。如张思明先生探索的“导学探索、自主解决”教学模式，就体现出猜想的勃勃生机。
为了教学生猜想，新知教学时，要设计猜想的情景，不把新知直接告诉学生。要经常设计一些找规律的题给学生做。
如按规律填数：11，21，41，71，111， ，221。
由几个有共同特点的计算式子找一般的结论：
学生提出猜想后，要组织评析与验证，鼓励交流猜想的思维过程，鼓励标新立异提出不同的猜想。
营造宽松的、良好的猜想氛围。教师不必去限制学生思维的疆域，鼓励学生积极思考，不迷信已有结论，不满足现成解答，大胆猜想，不断开拓。教师应随时点燃学生猜想的导火线，甚至教师本身直接成为学生猜想的导火线。猜想合理的进行鼓励，猜想偏向的进行引导，不猜想的进行鞭策，让猜想“访问”每一位学生，使学生的被动的猜想行为转变成自觉的猜想行为，师生共同构建数学猜想共同体。
四、几点思考
数学猜想并不是要取消“逻辑证明、演绎推理”，而是针对当前数学课堂中“重形式淡过程、重知识淡能力、重证明淡猜想”的教学弊端，竭力要让猜想占有适当的位置。
当然，猜想也有局限性，特别是低年级学生，容易不加思考地乱猜，这就需要教师正确地引导，逐步培养他们在大胆猜想的同时，养成验证的习惯。总之，猜想是数学思想的一个重要组成部分，也是数学教学应积极提倡的一种教学手段之一，值得我们研究、探讨和运用。
正因为历史上有诸如哥德巴赫猜想、费尔马猜想等猜想的提出，数学科学才发展为今天壮观的现代数学。没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！