我不在那儿百度网盘:赵汉雄:“书剑子算术题”再讨论

来源:百度文库 编辑:中财网 时间:2020/11/29 03:18:05

“书剑子算术题”再讨论


 


赵汉雄


 


 


 书剑子一家人被一道小学五年级的暑假作业题伤透脑筋, 为此写文网上征答。这是去年夏天的事, 笔者也曾作文讨论。不想今年暑期此题又火了起来(可能这题又出在暑假作业了), 更有网站以《小学数学题难倒硕士生》、《网上惊现21世纪最难的一道小学数学题》、《疯狂了的教育》等等爆炸性标题热炒 , 矛头指向, 令人堪忧。现据中国电子琴在线论坛的“缘起-综述”(原文附后), 笔者想再次讨论此题解法。



先从浙大其其网友的解法说起:该解是依数学分析确认此题有“极值”, 且确定了“当且仅当2V/x=2V/y=V/z时,以上极值才能被取到,所以当无盖盒子体积最大时,盒子的长、宽、高分别是:x=y=( 80/3)^(1/2), z=(1/2) ( 80/3)^(1/2).”。用明白话说,(符合本题的)最大体积无盖盒必须a=b=2c(“底是正方形, 高是底边之半”)。有这条限定必使“最大体积”概念出现歧义。


4×20矩形举例,此材能割出的最大正方形是4×4, 显然达不到“其其正方形”(每边5.163977794…)的要求, 因而这份材料制不出“其其型最大体积的无盖盒子”。但总不能否定这份材料可制出“4×20型的最大体积的无盖盒子”。如果硕士生以为他算出最大体积68.85,就可否定小学生从4×20矩形中得出的最大体积(64, 这有逻辑病,因为这种比较缺乏同一性。硕士生应从4×20矩形中制出比64更大体积的无盖盒, 那才算反对有效。


 


其实“其其解法” 也祗解出一种类型(13型矩形)的最大体积, 祗不过它恰好又是80平米矩形群中的最大体积。其他如4×20  5×16  8×10……中的最大体积用它是求不出的。 因而“其其解法” 不是“书剑子算术题” 的普遍解。


我说的普遍解是指:既能求得“种” 的最大体积, 也能求得“类” 的最大体积。求普遍解应立足在“类”(每一类具体矩形),因为全校第一, 在本班级也必第一,反之却未必。所以小学生从特例起步是正常的认识之途, 决非小学教育的危机。不妨公正的审查原题:“请问怎么做盒子的体积最大?”。 问的是小学生, 小学生理解为某块具体材料的最大体积有何不可?书剑子理解为所有80平米材料中的最大体积, 当然也可。书剑子们的错是在否定某块具体材料中也有“最大体积”的问题。


 



笔者在去年文中作过两“类”解答:


1.     4×20矩形为例, 得到最大体积为4×4×4=64立方米;


2.     13矩形为例, 得到最大体积为约等于68.85立方米。 只因这组解法涉及开方, 小学教纲不俱, 只列解法未作运算。现在想来“开方”的困难, 用计算器一按就得。现下计算器如此普及,小学生都有都会。可以将这处解法完整之:设定矩形(短边为a,长边为3a),将长边3等分,得到3a×a80÷3的面板(1块做底、2块对开后做帮)。该矩形面积为:3a×a=80, a×a=80÷3 经两边开方,a5.163977794…;无盖盒体积是:a×a×a÷2。代入数据运算, 得体积V=68.85…。此与各位高手答案绝无二致。


这两种解法:在理解、列式、运算,五年级小学生是能接受的。



理清以上思路, 可求“书剑子算术题” 的普遍解:


A.     工作假设:制作最大体积的无盖盒在操作层面的涵义是最大限度     利用给定材料(用尽材料为其极限)。


B.      排除abc互不相等的情况:对小学生的证明方法, 取任一abc互不相等, 但却能构作无盖盒的五块面板(1a×c2a×b2b×c), 由学生自由拚合, 其结果必定拚不成规整的“矩形”。即可确定, 用规整的矩形整料制作abc互不相等的无盖盒必有余料, 此与A假设矛盾。


C.   a=c, 但不等于b情况:所制无盖盒必由1a×a(做底),4a×b(做帮)。五块面积之和为:a×a4a×b=80 a除各项a4b=80÷a。因为所给矩形, 短边为a, 长边必是80÷a, 这就看清a4b的几何意义, 它们是布列在长边上, 且恰好等于长边。这就可以预期如此裁制能将材料用尽, 符合工作假设A。事实上, 4×20中得到4×4×4=64的无盖盒;从13矩形中得到体积为68.85的半正方体无盖盒都是循此途而来。68.8580平米能制出的最大体积无盖盒(当然也是13矩形类中的最大体积);但64是不是4×20类中最大体积?是仍需证明的。



按本文观点: 改变矩形形状会改变所取“极值”, 本问题只宜在不改变矩形形状下进行, 也就是移动底与帮的分割线。但这种改变实际是重现了“程序B”。此处为“程序B”的严格证明:


1)“分割线右移”:原正方形的上下边变成(aa’);从余料割出的4块帮板长度仍为a, 如此要围住a×(aa’ 的底板, 在(aa’)边必现“空隙”。这种一裂到底的“无盖盒”,按“木桶理论”容积为0


2)“分割线左移”:原正方形上下边变为(aa’)。从余料割出的4块帮板的长度都是a, 因而围在(aa’) 边的帮板就有多余部份。按A假设, 它的体积应小于“用尽材料”制成的无盖盒。


 


“用尽材料” 与“最大体积” 不是等同的概念。只因取“极值” 求“最大体积”, 小学生无论如何听不懂;好在“用尽材料” 确能求得某些最大体积(68.85就是其例)。但也确有反例: 比如给一块正方形的铁皮, 求作最大无盖盒, 肯定要出“余料”。因此, 以“用尽材料” 求“最大体积” 的方法究竟能走多远?应作出界定。


情况(2)是原作为“底” 的一条边, 让出a’, 平均分给4块“帮”, 使每块“帮” 增加(a’÷4)的宽度。帮的宽是无盖盒的高。此时无盖盒的体积:V=a×(aa’)×(ba’÷4)。盒的原体积是 a×a×bV减去原体积,得  V’=(a×a×a’÷4)-(a×a’×b)-(a×a’×a’÷4


V’ 小于0的意义是V比原体积要小, 其条件是: 4 b>aa’)。a’ 0, 该条件简化为: 4b>a。也就是除掉“半正方形~正方形”, 其余各类矩形都可用本法制出该矩形的“最大体积无盖盒”。


从“半正方形~正方形”中制作最大体积无盖盒, 是“书剑子算术题”中真正艰深的部份, 小学生肯定解不了, 那就留给硕士博士们去研究吧。因为这已不关小学教育的事了。


 


 



 


附件:[转帖]一道小学五年级的数学题


缘起:


  ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇


      小学作业越来越让人看不懂      书剑子


      最近,小学的教育越来越让人看不懂。我暑假在家辅导上小学5年级的侄子  做暑假作业,发现我居然辅导不了他,不仅仅在《语文》上我显示出惊人的无知外,《数学》我都做不好。在下虽然不才,可是当年高中也是所有功课全部优秀,高考语文全校最高,全县前三。所以做不出小学题还确实让我郁闷。语文题我通过搬出《辞海》、《成语词典》以及大量使用GOOGLE,总算弥补了我在地理、历史、考古等方面的无知,但是数学我实在没有办法。有一道数学题,反正我不用高等数学做不出来,特在此请教高手。
    来源:兰州大学出版社出版的小学生暑假作业,五年级数学


    题目:生活数学:用一块面积为80平方米的铁皮,制作一个无盖的长方体盒子,请问怎么做盒子的体积最大?  


    这道题目真的好“生活”啊!我不知道编者自己会不会做这道如此“生活”的题。这道题就是放到研究生入学考试的数学卷子上去,估计也会有人不会。虽然条件极值问题的拉格朗日乘子法本科都学过,但是这道题求解的具体过程中还是有点技巧。至少我女朋友和我两个硕士现场都只列出方程而解不出来。动了会脑筋才求出答案。所以我敢说就是放到考研试题中,得分率也不会很高。
    现在征求高手,能用小学五年级能听懂的方法给出个答案。退一步说,用小学教师(
我侄子的老师是师范中专学校毕业)能听懂的方法——初等数学方法解出答案也行。这本暑假作业的总编先生也不妨试试。
    PS:用高等数学做还有漏洞:原题表述为“用一块80平方米的铁皮”,而不是“制成表面积为80平方米的无盖盒子”,所以铁皮的形状也是约束条件之一,要这么考虑还是拓扑约束,形状稍稍复杂一些,此问题就是很高深的优化问题了。真不知道猪头编者怎么出的题。这样的题给小学生做,除了让他们对自己,对老师,对教材失去信心外还能得到什么。
    为此我很生气,要求我侄子停止做这个作业,而看我给他买的课外书。可是他哭了:“做不完老师要打,不但要做完,而且做完一遍后再用作业本抄下题目然后再做一遍!”无语!我们的小学教育现在是怎么了。我(
硕士),我女友( 硕士),我姐姐( 小学教师),我爸爸(
小学高级教师)四个人被小学五年级的暑假作业伤透脑筋。  (XYS20050811)



2006-8-28 23:31:35
---------------------------------------------------------方舟子按:有许多读者来稿解答这个问题,都根据“表面积相等的长方体,正方体的体积最大”的定理,而得出答案为长4米,体积64立方米。(
设正方体的边长是a,没有盖子,只需要5个面,5*a^2=80,
a=4)虽然这很可能是出题者的“标准答案”,但是却是错误的。“表面积相等的长方体,正方体的体积最大”不能直接应用于没有盖子的情况。该题解法已超出小学数学的范围。下面为浙大其其提供的初等数学解法和Yush提供的高等数学解法。又,skywalker00认为可以这么看:用两份同样的材料,做出两个长方体,合在一起面积最大时是正方体,所以高是宽的一半。)


答复1-作者:BLQK


把做成的无盖长方体以无盖的一面作镜面反射,
镜子里面和镜子外面的铁皮面积为160平方米,
镜子里面和镜子外面体积最大为正方体的盒子,
镜子里面外面体积最大就是半个正方体. 这个证明非常简洁. 无需高等数学.
当然必须知道正方体的体积最大这一个前提.
有一大类这样的题目可以用同样的方法解决,
例如用定长绳子和垂直相交的两面墙围出最大面积, 做两次镜面反射,
就可以得出结论, 四分之一圆弧最大。可能小学老师刚刚讲过这个方法,
这个方法需要较强的逻辑推理能力.


答复2-作者:赵汉雄


①解此题的思路应从铁皮的形状入手。因为不是绐足80平方米就能解题,比如给一块园形、不规则多边形、或者一堆边角料…能制作一个无盖盒子么?因此可先假设:给定一块平整的矩形铁皮。该矩形的短边为a,长边为80÷a。  ②制作无盖盒子共需五块小矩形,且必须两两有相等的共边。为此可将长边作五等分,得到五块两两有相等共边的小矩形。每块小矩形一边为a,另一边为16÷a。令“另一边”记作b,就有a、b的关系式:a×b=16。  ③从关系式可求a、b的整数解为:1×16;2×8;4×4。(其余均为非整数解,舍去)。  ④用“尝试法”将三类小矩形(1×16;2×8;4×4)分别制作无盖盒子,即可确定五块4×4面料所制作的无盖盒子的体积最大:V=4×4×4=64立方米。  讨论:⒈适合此题的铁皮形状,除前设的4×20的矩形,还可有手枪形、十字形(用五块4×4一摆便知)。


 本解法绝无超纲內容,只要理清思路,五年级学生(那怕是三年级学生)能解此题。“授人以魚与授人以漁”孰重?况且限定在4×20的铁皮材料上制作,你能证明64立方不是最大体积么?当然老师还可以制作68.85体积的教具与64体积的教具做一次注水演示,告诉孩子们“还有更大体积的制作方法,等你们上了初中就知道了”。如此教法、学法,保证五年级小学生个个能懂,但不保证新语丝上的這几位学士、硕士、博士能懂。



答复3-作者:浙大其其  


   下面是“能用小学五年级能听懂的方法”所得到的解答:


  设无盖盒子的长、宽、高分别是x、y、z,那么其表面积( 无盖)是


   80=2zy+2zx+xy, ( 1)


   盒子体积为V=xyz。 利用V=xyz,( 1)式可以化为


   80=2V/x+2V/y+V/z ( 2)


  利用绝对不等式( 高一数学) 某人曰:此乃均值不等式 :/


   a+b+c 》3( abc)^(1/3) (3)


  [说明:(3)式中 》表示‘大于、等于号’,^(1/3)表示开三次方]


  从( 2)式便可以得到不等式


   80=2V/x+2V/y+V/z 》3( 4V^3/xyz)^(1/3),


  由于V=xyz,那么4V^3/xyz=4V^2,


  于是


   80》3( 4V^2)^(1/3),


  从而V的最大值是


   V=( 1/2)( 80/3)^(3/2),


  当且仅当2V/x=2V/y=V/z时,以上极值才能被取到,所以当无盖盒子体积最大时,盒子的长、宽、高分别是:x=y=(
80/3)^(1/2), z=(1/2) ( 80/3)^(1/2).


   以上结果与用高等数学的拉格朗日乘子法得到的结果一致( 此时拉格朗日乘子为(
-1/4)( 80/3)^(1/2))。


  
注:对于脑瓜子灵的学生而言,会发现以上问题中x与y的地位对称,它们谁也不比谁特殊,那么最后结果必然含x=y,预先利用这一关系式,可以大大简化以上计算。


答复4-作者:Yush


拉格朗日乘数法证明  


  设面积为S,长、宽、高分别为a、b、c,则目标函数为


  f = abc - k(ab+2ac+2bc-S)


  其中k为拉格朗日乘数。


  求f对a、b、c的偏导并设为0,得到


  (1) df/da = bc - k(b+2c) =0


  (2) df/db = ac - k(a+2c) =0


  (3) df/db = ab - k(2a+2b)=0  


  稍微一观察便可看出,在a、b、c、k非零的前提下,显然a=b=2c。


  如果信不过“观察”,可由(1)、(2)联立得到a = b =
2kc/(k+c),由(2)、(3)联立


  得到a = 2c = 2kb/(2k+b)



答复5-在下是小学五年级学生,偶没前辈高人那么牛X 啊~~~


2006-8-28 23:36:25
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我一看到数学就头昏眼花。。。


2006-8-28 23:50:10
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    第 3 楼


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太长了!


2006-8-29 18:40:57
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数学啊~~仰天长叹~~现在我只担心数学学不好遗传吗?有人能告诉我吗???


2006-8-30 0:39:10
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第 5 楼


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小学五年级??


2006-8-30 11:44:07
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   第 6 楼


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这是有可能的~


据听说上海学校大胆课改,小学一年级不学数学,二年级以后再开设数学课。


理由是:小学生逻辑推理差,记忆和语言能力强,因此学校根据不同年龄段学生的知识差异,把涉及形象思维的课程往下移,在低年级加强语文、英语的学习,把逻辑思维的课程往上移。


 


2006-8-31 18:45:34
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   第 7 楼


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不用看了,就是头晕!中国的学生就是可怜!!


2006-8-31 19:20:29
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第 8 楼


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晕死!


什么题目哦


高等数学求极值的问题


本身这个题目的条件也不充分


中国的教育啊


我也是受害者


哭死!



2006-9-1 11:47:52
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第 9 楼


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昨天,俺居然看不懂四年级数学题的意思,让孩子去问的姥爷~~晕倒,还好,姥爷说题出的有问题,挽回些面子~~不过俺表示怀疑~~半信半疑~~俺爸也不会~可是俺爸好歹也是哈大毕业的~~周一等答案~


2006-9-17 3:10:19 中国电子琴在线论坛
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  出处:老顽童网站 作者:赵汉雄 更新时间:2006年10月12日