中财网我不在那儿百度网盘:赵汉雄：“书剑子算术题”再讨论
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/26 18:30:01
“书剑子算术题”再讨论
赵汉雄
一
先从浙大其其网友的解法说起：该解是依数学分析确认此题有“极值”, 且确定了“当且仅当2V/x=2V/y=V/z时，以上极值才能被取到，所以当无盖盒子体积最大时，盒子的长、宽、高分别是：x=y=( 80/3)^(1/2), z=(1/2) ( 80/3)^(1/2).”。用明白话说,（符合本题的）最大体积无盖盒必须a=b=2c（“底是正方形, 高是底边之半”）。有这条限定必使“最大体积”概念出现歧义。
用4×20矩形举例，此材能割出的最大正方形是4×4, 显然达不到“其其正方形”（每边5.163977794…）的要求, 因而这份材料制不出“其其型最大体积的无盖盒子”。但总不能否定这份材料可制出“4×20型的最大体积的无盖盒子”。如果硕士生以为他算出最大体积68.85,就可否定小学生从4×20矩形中得出的最大体积（64）, 这有逻辑病,因为这种比较缺乏同一性。硕士生应从4×20矩形中制出比64更大体积的无盖盒, 那才算反对有效。
其实“其其解法” 也祗解出一种类型（1：3型矩形）的最大体积, 祗不过它恰好又是80平米矩形群中的最大体积。其他如4×20 5×16 8×10……中的最大体积用它是求不出的。 因而“其其解法” 不是“书剑子算术题” 的普遍解。
我说的普遍解是指：既能求得“种” 的最大体积, 也能求得“类” 的最大体积。求普遍解应立足在“类”（每一类具体矩形），因为全校第一, 在本班级也必第一,反之却未必。所以小学生从特例起步是正常的认识之途, 决非小学教育的危机。不妨公正的审查原题：“请问怎么做盒子的体积最大？”。 问的是小学生, 小学生理解为某块具体材料的最大体积有何不可？书剑子理解为所有80平米材料中的最大体积, 当然也可。书剑子们的错是在否定某块具体材料中也有“最大体积”的问题。
二
笔者在去年文中作过两“类”解答：
1. 以4×20矩形为例, 得到最大体积为4×4×4=64立方米；
2. 以1：3矩形为例, 得到最大体积为约等于68.85立方米。 只因这组解法涉及开方, 小学教纲不俱, 只列解法未作运算。现在想来“开方”的困难, 用计算器一按就得。现下计算器如此普及,小学生都有都会。可以将这处解法完整之：设定矩形（短边为a，长边为3a），将长边3等分，得到3块a×a＝80÷3的面板（1块做底、2块对开后做帮）。该矩形面积为：3a×a=80, 即a×a=80÷3； 经两边开方，a＝5.163977794…；无盖盒体积是：a×a×a÷2。代入数据运算, 得体积V=68.85…。此与各位高手答案绝无二致。
这两种解法：在理解、列式、运算，五年级小学生是能接受的。
三
理清以上思路, 可求“书剑子算术题” 的普遍解：
A. 工作假设：制作最大体积的无盖盒在操作层面的涵义是最大限度 利用给定材料（用尽材料为其极限）。
B. 排除a、b、c互不相等的情况：对小学生的证明方法, 取任一a、b、c互不相等, 但却能构作无盖盒的五块面板(1块a×c；2块a×b；2块b×c), 由学生自由拚合, 其结果必定拚不成规整的“矩形”。即可确定, 用规整的矩形整料制作a、b、c互不相等的无盖盒必有余料, 此与A假设矛盾。
C. 在a=c, 但不等于b情况：所制无盖盒必由1块a×a（做底）,4块a×b（做帮）。五块面积之和为：a×a＋4a×b=80； 用a除各项, 得a＋4b=80÷a。因为所给矩形, 短边为a, 长边必是80÷a, 这就看清a＋4b的几何意义, 它们是布列在长边上, 且恰好等于长边。这就可以预期如此裁制能将材料用尽, 符合工作假设A。事实上, 从4×20中得到4×4×4=64的无盖盒；从1：3矩形中得到体积为68.85的半正方体无盖盒都是循此途而来。68.85是80平米能制出的最大体积无盖盒（当然也是1：3矩形类中的最大体积）；但64是不是4×20类中最大体积？是仍需证明的。
四
按本文观点： 改变矩形形状会改变所取“极值”, 本问题只宜在不改变矩形形状下进行, 也就是移动底与帮的分割线。但这种改变实际是重现了“程序B”。此处为“程序B”的严格证明：
（1）“分割线右移”：原正方形的上下边变成(a＋a’)；从余料割出的4块帮板长度仍为a, 如此要围住a×（a＋a’） 的底板, 在（a＋a’）边必现“空隙”。这种一裂到底的“无盖盒”,按“木桶理论”容积为0。
（2）“分割线左移”：原正方形上下边变为(a－a’)。从余料割出的4块帮板的长度都是a, 因而围在(a－a’) 边的帮板就有多余部份。按A假设, 它的体积应小于“用尽材料”制成的无盖盒。
“用尽材料” 与“最大体积” 不是等同的概念。只因取“极值” 求“最大体积”, 小学生无论如何听不懂；好在“用尽材料” 确能求得某些最大体积（68.85就是其例）。但也确有反例： 比如给一块正方形的铁皮, 求作最大无盖盒, 肯定要出“余料”。因此, 以“用尽材料” 求“最大体积” 的方法究竟能走多远？应作出界定。
情况（2）是原作为“底” 的一条边, 让出a’, 平均分给4块“帮”, 使每块“帮” 增加(a’÷4)的宽度。帮的宽是无盖盒的高。此时无盖盒的体积：V=a×（a－a’）×（b－a’÷4）。盒的原体积是 a×a×b。V减去原体积，得 V’=(a×a×a’÷4)－（a×a’×b）－（a×a’×a’÷4）
V’ 小于0的意义是V比原体积要小, 其条件是： 4 b>（a－a’）。a’ 趋0时, 该条件简化为： 4b>a。也就是除掉“半正方形～正方形”, 其余各类矩形都可用本法制出该矩形的“最大体积无盖盒”。
从“半正方形～正方形”中制作最大体积无盖盒, 是“书剑子算术题”中真正艰深的部份, 小学生肯定解不了, 那就留给硕士博士们去研究吧。因为这已不关小学教育的事了。
附件：[转帖]一道小学五年级的数学题
缘起:
◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇
小学作业越来越让人看不懂 书剑子
最近，小学的教育越来越让人看不懂。我暑假在家辅导上小学5年级的侄子 做暑假作业，发现我居然辅导不了他，不仅仅在《语文》上我显示出惊人的无知外，《数学》我都做不好。在下虽然不才，可是当年高中也是所有功课全部优秀，高考语文全校最高，全县前三。所以做不出小学题还确实让我郁闷。语文题我通过搬出《辞海》、《成语词典》以及大量使用GOOGLE，总算弥补了我在地理、历史、考古等方面的无知，但是数学我实在没有办法。有一道数学题，反正我不用高等数学做不出来，特在此请教高手。
来源：兰州大学出版社出版的小学生暑假作业，五年级数学
题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒子，请问怎么做盒子的体积最大？
这道题目真的好“生活”啊！我不知道编者自己会不会做这道如此“生活”的题。这道题就是放到研究生入学考试的数学卷子上去，估计也会有人不会。虽然条件极值问题的拉格朗日乘子法本科都学过，但是这道题求解的具体过程中还是有点技巧。至少我女朋友和我两个硕士现场都只列出方程而解不出来。动了会脑筋才求出答案。所以我敢说就是放到考研试题中，得分率也不会很高。
现在征求高手，能用小学五年级能听懂的方法给出个答案。退一步说，用小学教师(
我侄子的老师是师范中专学校毕业）能听懂的方法——初等数学方法解出答案也行。这本暑假作业的总编先生也不妨试试。
PS：用高等数学做还有漏洞：原题表述为“用一块80平方米的铁皮”，而不是“制成表面积为80平方米的无盖盒子”，所以铁皮的形状也是约束条件之一，要这么考虑还是拓扑约束，形状稍稍复杂一些，此问题就是很高深的优化问题了。真不知道猪头编者怎么出的题。这样的题给小学生做，除了让他们对自己，对老师，对教材失去信心外还能得到什么。
为此我很生气，要求我侄子停止做这个作业，而看我给他买的课外书。可是他哭了：“做不完老师要打，不但要做完，而且做完一遍后再用作业本抄下题目然后再做一遍！”无语！我们的小学教育现在是怎么了。我(
硕士），我女友( 硕士），我姐姐( 小学教师），我爸爸(
小学高级教师）四个人被小学五年级的暑假作业伤透脑筋。 (XYS20050811)
2006-8-28 23:31:35
---------------------------------------------------------方舟子按：有许多读者来稿解答这个问题，都根据“表面积相等的长方体，正方体的体积最大”的定理，而得出答案为长4米，体积64立方米。(
设正方体的边长是a，没有盖子，只需要5个面，5*a^2=80,
a=4）虽然这很可能是出题者的“标准答案”，但是却是错误的。“表面积相等的长方体，正方体的体积最大”不能直接应用于没有盖子的情况。该题解法已超出小学数学的范围。下面为浙大其其提供的初等数学解法和Yush提供的高等数学解法。又，skywalker00认为可以这么看：用两份同样的材料，做出两个长方体，合在一起面积最大时是正方体，所以高是宽的一半。）
答复1－作者：BLQK
把做成的无盖长方体以无盖的一面作镜面反射,
镜子里面和镜子外面的铁皮面积为160平方米,
镜子里面和镜子外面体积最大为正方体的盒子,
镜子里面外面体积最大就是半个正方体. 这个证明非常简洁. 无需高等数学.
当然必须知道正方体的体积最大这一个前提.
有一大类这样的题目可以用同样的方法解决,
例如用定长绳子和垂直相交的两面墙围出最大面积, 做两次镜面反射,
就可以得出结论, 四分之一圆弧最大。可能小学老师刚刚讲过这个方法,
这个方法需要较强的逻辑推理能力.
答复2－作者：赵汉雄
①解此题的思路应从铁皮的形状入手。因为不是绐足80平方米就能解题，比如给一块园形、不规则多边形、或者一堆边角料…能制作一个无盖盒子么？因此可先假设：给定一块平整的矩形铁皮。该矩形的短边为a，长边为80÷a。 ②制作无盖盒子共需五块小矩形，且必须两两有相等的共边。为此可将长边作五等分，得到五块两两有相等共边的小矩形。每块小矩形一边为a，另一边为16÷a。令“另一边”记作b，就有a、b的关系式：a×b＝16。 ③从关系式可求a、b的整数解为：1×16；2×8；4×4。（其余均为非整数解，舍去）。 ④用“尝试法”将三类小矩形（1×16；2×8；4×4）分别制作无盖盒子，即可确定五块4×4面料所制作的无盖盒子的体积最大：V＝4×4×4＝64立方米。 讨论：⒈适合此题的铁皮形状，除前设的4×20的矩形，还可有手枪形、十字形（用五块4×4一摆便知）。
本解法绝无超纲內容，只要理清思路，五年级学生（那怕是三年级学生）能解此题。“授人以魚与授人以漁”孰重？况且限定在4×20的铁皮材料上制作，你能证明64立方不是最大体积么？当然老师还可以制作68.85体积的教具与64体积的教具做一次注水演示，告诉孩子们“还有更大体积的制作方法，等你们上了初中就知道了”。如此教法、学法，保证五年级小学生个个能懂，但不保证新语丝上的這几位学士、硕士、博士能懂。
答复3－作者：浙大其其
下面是“能用小学五年级能听懂的方法”所得到的解答：
设无盖盒子的长、宽、高分别是x、y、z，那么其表面积( 无盖）是
80=2zy+2zx+xy， ( 1）
盒子体积为V=xyz。 利用V=xyz，( 1）式可以化为
80=2V/x+2V/y+V/z ( 2）
利用绝对不等式( 高一数学） 某人曰：此乃均值不等式 :/
a+b+c 》3( abc）^(1/3) (3)
[说明：(3)式中 》表示‘大于、等于号’，^(1/3)表示开三次方]
从( 2）式便可以得到不等式
80=2V/x+2V/y+V/z 》3( 4V^3/xyz）^(1/3)，
由于V=xyz，那么4V^3/xyz=4V^2，
于是
80》3( 4V^2）^(1/3)，
从而V的最大值是
V=( 1/2）( 80/3）^(3/2)，
当且仅当2V/x=2V/y=V/z时，以上极值才能被取到，所以当无盖盒子体积最大时，盒子的长、宽、高分别是：x=y=(
80/3）^(1/2), z=(1/2) ( 80/3）^(1/2).
以上结果与用高等数学的拉格朗日乘子法得到的结果一致( 此时拉格朗日乘子为(
-1/4）( 80/3）^(1/2)）。
注：对于脑瓜子灵的学生而言，会发现以上问题中x与y的地位对称，它们谁也不比谁特殊，那么最后结果必然含x=y，预先利用这一关系式，可以大大简化以上计算。
答复4－作者：Yush
拉格朗日乘数法证明
设面积为S，长、宽、高分别为a、b、c，则目标函数为
f = abc - k(ab+2ac+2bc-S)
其中k为拉格朗日乘数。
求f对a、b、c的偏导并设为0，得到
(1) df/da = bc - k(b+2c) =0
(2) df/db = ac - k(a+2c) =0
(3) df/db = ab - k(2a+2b)=0
稍微一观察便可看出，在a、b、c、k非零的前提下，显然a=b=2c。
如果信不过“观察”，可由(1)、(2)联立得到a = b =
2kc/(k+c)，由(2)、(3)联立
得到a = 2c = 2kb/(2k+b)
答复5－在下是小学五年级学生，偶没前辈高人那么牛X 啊~~~
2006-8-28 23:36:25
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我一看到数学就头昏眼花。。。
2006-8-28 23:50:10
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第 3 楼
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太长了!
2006-8-29 18:40:57
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数学啊～～仰天长叹～～现在我只担心数学学不好遗传吗？有人能告诉我吗？？？
2006-8-30 0:39:10
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第 5 楼
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小学五年级？？
2006-8-30 11:44:07
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第 6 楼
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这是有可能的～
据听说上海学校大胆课改，小学一年级不学数学，二年级以后再开设数学课。
理由是：小学生逻辑推理差，记忆和语言能力强，因此学校根据不同年龄段学生的知识差异，把涉及形象思维的课程往下移，在低年级加强语文、英语的学习，把逻辑思维的课程往上移。
2006-8-31 18:45:34
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第 7 楼
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不用看了,就是头晕!中国的学生就是可怜!!
2006-8-31 19:20:29
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第 8 楼
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晕死！
什么题目哦
高等数学求极值的问题
本身这个题目的条件也不充分
中国的教育啊
我也是受害者
哭死！
2006-9-1 11:47:52
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第 9 楼
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昨天，俺居然看不懂四年级数学题的意思，让孩子去问的姥爷～～晕倒，还好，姥爷说题出的有问题，挽回些面子～～不过俺表示怀疑～～半信半疑～～俺爸也不会～可是俺爸好歹也是哈大毕业的～～周一等答案～
2006-9-17 3:10:19 中国电子琴在线论坛
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出处：老顽童网站 作者：赵汉雄 更新时间：2006年10月12日