适合男人跳的广场舞:空间直角坐标转换之仿射变换

工作开发中常常会遇到坐标系转换的问题，关于如何实现不同坐标系之间的转换的论述非常之多，基于实际应用项目，大都提出了一种较好的解决方法。两年前，我也从网上下载了一篇文章——《坐标系转换公式》（青岛海洋地质研究所戴勤奋译），文中对各种变换模型都有详细的描述，如莫洛金斯基-巴德卡斯转换模型、赫尔黙特转换模型、布尔莎模型以及多项式转换，算是一篇比较全面介绍坐标系转换方面的文章。我想大家对常用转换模型的理解方面一般不会有大太困难，如果基于当前流行GIS平台（如超图、ArcGIS、MapInfo）的基础上作二次开发，我想也不会有什么困难，只要找准了它们提供的接口，理顺一下思路，我们也能实现用户提出的需求。但是对于内核算法、参数求解的过程我们却一无所知，很多时候我们自己觉得解决了这个问题，也就不会太去关注底层实现的算法问题了。不过，说实话要去真正弄清楚各个模型之间的关系确实是一件头痛的事情，没有一定的数学功底还真的是不知道它在说些什么。二、仿射变换仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x']   [m00 m01 m02] [x]   [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ]   [ 0   0   1 ] [1]   [     1         ]用代数式表示如下：x’ = m00*x+m01*y+m02；             y’ = m10*x+m11*y+m12；如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：

几种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty) 平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[   1    0    tx  ][   0    1    ty  ][   0    0    1   ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。） 2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy) 缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[   sx   0    0   ][   0    sy   0   ][   0    0    1   ]3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy) 剪切变换，变换矩阵为：[   1   shx   0   ][  shy   1    0   ][   0    0    1   ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[   1      0    0   ][   1   shx   0   ][  shy    1    0   ][   0     1   0  ][   0      0    1   ][   0     0    1  ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。） 4.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta) 旋转变换，目标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：[   cos(theta)    -sin(theta)    0   ][   sin(theta)     cos(theta)    0   ][       0           0            1   ] 5.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y) 旋转变换，目标图形以(x, y)为轴心顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：[   cos(theta)    -sin(theta)    x-x*cos+y*sin][   sin(theta)     cos(theta)    y-x*sin-y*cos ][       0              0          1            ]相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：[1  0  -x][cos(theta)  -sin(theta)  0][1  0  x][0  1  -y][sin(theta)   cos(theta)  0][0  1  y][0  0  1 ][   0           0        1 ][0  0  1]三、仿射变换四参数求解A、C#自定义函数实现求解：1、求解旋转参数Rotaion: 1/**////
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 3        ///获取旋转角度
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 5        ///
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 7        ///源点1
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 9        ///目标点1
10
11        ///源点2
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13        ///目标点2
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15        ///返回旋转角度
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17        private double GetRotation(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1,CoordPoint fromPoint2,CoordPoint toPoint2)
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19        {
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21            double a = (toPoint2.Y - toPoint1.Y) * (fromPoint2.X - fromPoint1.X) - (toPoint2.X - toPoint1.X) * (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y);
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23            double b = (toPoint2.X - toPoint1.X) * (fromPoint2.X - fromPoint1.X) + (toPoint2.Y - toPoint1.Y) * (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y);
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25           
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27            if (Math.Abs(b) > 0)
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29                return Math.Tan(a / b);
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31            else
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33                return Math.Tan(0);           
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35        }
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37        2、求解缩放比例参数(Scale): 1 /**////
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 3        ///获取缩放比例因子
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 5        ///
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 7        ///源点1
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 9        ///目标点1
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11        ///源点2
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13        ///目标点2
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15        ///旋转角度
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17        ///返回旋转因子
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19        private double GetScale(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1, CoordPoint fromPoint2, CoordPoint toPoint2, double rotation)
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21        {
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23            double a = toPoint2.X - toPoint1.X;
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25            double b = (fromPoint2.X - fromPoint1.X) * Math.Cos(rotation) - (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y)*Math.Sin(rotation);
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27            if (Math.Abs(b) > 0)
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29                return a / b;
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31            else
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33                return 0;
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35        }
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37       3、求解X方向偏移距离参数（XTranslate）:四、空间对象转换 求出参数后，再利用公式对相应坐标点进行转换是一件相对简单的事件了。示例代码：
五 总结：本文主要介绍了如何利用仿射变换方程来进行空间直角坐标转换，对仿射变换的几种典型情况作了详细的讲解，对于具体如何求解参数给出了关键的实现代码，对于空间对象的变换给出了参考示例。如果是ArcGIS用户，完全可以利用它自身提供的接口进行空间转换。写这篇文章的时候，说实话，对于坐标变换的各个模型我也不是完全的理解，心中存在着许多问题，比如说如何利用最小二乘法公式来求解参数就一直没有弄清楚，还希望各位朋友能够多多指点，不胜感激！六 备注希望基于AE开发的朋友注意一下，9.2版本中提供的关于仿射变换模型，其代数形式有误：其提供的错误代数形式：X=ax+by+cY=-bx+ay+f正确形式应该如下:X=ax-by+cY=bx+ay+d
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