国美章仁缘:2010全国中考数学试题汇编:压轴题(五)及答案

2010年部分省市中考数学试题分类汇编 

压轴题(六)

28.（江苏省苏州市 本题满分9分）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②.图①中，图②中，

图③是刘卫同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动.在移动过程中，两点始终在边上（移动开始时点与点重合）.

（1）在沿方向移动的过程中，刘卫同学发现：两点间的距离逐渐_________.（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当移动至什么位置，即的长为多少时，的连线与平行？

问题②：当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段的长度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.

请你分别完成上述三个问题的解答过程.

答案:

（1）变小.

（2）问题①：

解：∵

∴

∵

∴

连结设

∴

∴在中，

∴

即时，

问题②：

解：设在中，

（Ⅰ）当为斜边时，

由得，

（Ⅱ）当为斜边时，

由得，（不符合题意，舍去）.

（Ⅲ）当为斜边时，

由得，

∴方程无解.

另解：不能为斜边.

∵∴

∴中至少有一条线段的长度大于6.

∴不能为斜边.

∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，当时，经线段的长度为三边长的三角形是直角三角形.

问题③：

解法一：不存在这样的位置，使得

理由如下：

假设

由得

作的平分线，交于点，

则

∴

∴

∴

∴不存在这样的位置，使得

解法二：不存在这样的位置，使得

假设

由得

作垂足为

∴

且

∵为公共角，

∴

∴

又

∴

即

整理后，得到方程

∴（不符合题意，舍去），

  （不符合题意，舍去）.

∴不存在这样的位置，使得

29.（江苏省苏州市 本题满分9分）如图，以为顶点的抛物线与轴交于点已知两点的坐标分

别为

  （1）求抛物线的解析式；

  （2）设是抛物线上的一点（为正整数），且它位于对称轴的右侧.若以为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点的坐标；

  （3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点是否总成立？请说明理由.

解：（1）设

把代入，得

∴

（2）解法一：∵四边形的四边长是四个连续的正整数，

∴可能的情况有三种：1、2、3、4；2、3、4、5； 3、4、5、6.

∵点位于对称轴右侧，且为正整数，

∴是大于或等于4的正整数，

∴

∵

∴只有两种可能：∴或

当时，（不是整数，舍去）；

当时，（不是整数，舍去）；

当时，

当时，

因此，只有一种可能，即当点的坐标为时，

四边形的四条边长分别为3、4、5、6.

解法二：∵为正整数，

∴应该是9的倍数.

∴是3的倍数.

又∵

∴

当时，此时，

∴四边形的四边长为3、4、5、6.

当时，

∴四边形的四边长不能是四个连续的正整数.

∴点的坐标只有一种可能

（3）设与对称轴交点为

则

∴

∴当时，有最小值

∴总是成立.

23．（潍坊市 本题满分11分）如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结

（1）求证：

（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：

（1）证明：∵四边形为正方形，∴

∵三角板是等腰直角三角形，∴

又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，

∴  3分

（2）存在.  4分

∵

∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，

又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上， 5分

∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和

此时，点分别在点和点，满足

7分

当切点在第二象限时，点在第一象限，

在直角三角形中，

∴∴

∴点的横坐标为：

点的纵坐标为：

∴点的坐标为 9分

当切点在第一象限时，点在第四象限，

同理可求：点的坐标为

综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或 11分

24．（潍坊市 本题满分12分）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结

（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；

（2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；

（3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 

解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：

∵抛物线与轴交于点

∴

∴

所以，抛物线的函数关系式为： 2分

又

因此，抛物线的顶点坐标为 3分

（2）连结∵是的两条切线，

∴∴

又四边形的面积为∴∴

又∴

因此，点的坐标为或 5分

当点在第二象限时，切点在第一象限.

在直角三角形中，

∴∴

过切点作垂足为点

∴

因此，切点的坐标为 6分

设直线的函数关系式为将的坐标代入得

解之，得

所以，直线的函数关系式为 7分

当点在第三象限时，切点在第四象限.

同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为

因此，直线的函数关系式为

或 8分

（3）若四边形的面积等于的面积

又

∴

∴两点到轴的距离相等，

∵与相切，∴点与点在轴同侧，

∴切线与轴平行，

此时切线的函数关系式为或

9分

当时，由得，

当时，由得， 11分

故满足条件的点的位置有4个，分别是

    12分

说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.

28．(大兴安岭地区 本小题满分10分) ．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．△ABP△AOB

（1）求直线AM的解析式；

（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB ，请直接写出点P的坐标；

（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）函数的解析式为y＝2x＋12       

∴A(－6,0)，B(0,12) ………………1分

∵点M为线段OB的中点       ∴M(0,6)  ……………………………1分

设直线AM的解析式为：y＝kx＋b  

∵  ………………………………………………2分

∴k＝1    b＝6     ………………………………………………………1分

∴直线AM的解析式为：y＝x＋6  ………………………………………1分

（2）P1(－18，－12)，P2(6，12)  ………………………………………………2分

（3）H1(－6，18)，H2(－12，0)，H3(－5(6)，5(18))………………………………3分

23.( 达州市 9分)如图13，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.

(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；

(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；

(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,

∴点B坐标为（6，0）.

将点B坐标代入得：

36+12=0,

∴=.

∴抛物线解析式为.…………………………2分

当=3时，,

∴顶点A坐标为（3，3）. …………………………3分

（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）

（2）设直线AB解析式为y=kx+b.

∵A(3,3),B(6,0),

∴   解得,   ∴.

∵直线∥AB且过点O,

∴直线解析式为.

∵点是上一动点且横坐标为,

∴点坐标为（）.…………………………4分

当在第四象限时（t＞0），

=12×6×3+×6×=9+3.

∵0＜S≤18,

∴0＜9+3≤18,

∴-3＜≤3.

又＞0,

∴0＜≤3.5分

当在第二象限时（＜0）,

作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N. 则

=-3+9.

∵0＜S≤18,

∴0＜-3+9≤18,

∴-3≤＜3.

又＜0,

∴-3≤＜0.6分

∴t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.

(3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分

25．（福建省泉州市12分）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 

可以利用这一结论解决问题.

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形的形状一定是           ; 

（2）①当点为时，四边形是矩形，试求、α、和有值；

②观察猜想：对①中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)

（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.

解：（1）平行四边形 …………（3分）

（2）①∵点在的图象上，

∴

∴………………………………（4分）

过作，则

在中，

α=30° ……………………………………………………………（5分）

∴

又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，

∴点B、D关于原点O成中心对称   ………………………………………（6分）

∴OB=OD=

∵四边形为矩形，且

∴………………………………………………………（7分）

∴；     ……………………………………………………………（8分）

②能使四边形为矩形的点B共有2个； ………………………………（9分）

（3）四边形不能是菱形. ……………………………………………（10分）

法一：∵点、的坐标分别为、

∴四边形的对角线在轴上.

又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.

∴对角线与不可能垂直.

∴四边形不能是菱形

法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，

因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）

所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. ………………………………（11分）

所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，

所以四边形ABCD不可能为菱形.  ………………………………………………（12分）

26. （福建省泉州市14分）如图所示，已知抛物线的图象与轴相交于点，点在该抛物线图象上，且以为直径的⊙恰好经过顶点.

（1）求的值;

（2）求点的坐标；

（3）若点的纵坐标为，且点在该抛物线的对称轴上运动，试探索：

①当时，求的取值范围（其中：为△的面积，为△的面积，为四边形OACB的面积）；

②当取何值时，点在⊙上.（写出的值即可） 

解：（1）∵点B（0，1）在的图象上，

∴………（2分）

∴k=1………………（3分）

（2）由（1）知抛物线为：

∴顶点A为（2，0） …………（4分）

∴OA=2，OB=1

过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，∴AD=m-2

由已知得∠BAC=90° …………………（5分）

∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD

∴Rt△OAB∽Rt△DCA

∴(或tan∠OBA= tan∠CAD )…（6分）

 ∴n=2(m-2)；

又点C（m,n）在上，∴ 

∴，即

∴m=2或m=10；当m=2时，n=0, 当m=10时，n=16；…………………（7分）

∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）…（8分）

（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，∴点C为（10，16）

此时

……………………………… （9分）

又点P在函数图象的对称轴x=2上，∴P（2,t），AP=      

∴=        ……………………………（10分）

∵

∴当t≥0时，S=t，∴1﹤t﹤21. ………………（11分）

∴当t﹤0时，S=-t，∴-21﹤t﹤-1

∴t的取值范围是：1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1   …………（12分）

②t=0，1，17.    ……………………………………（14分）

24. (沈阳市)如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，连接PM、PN；

   (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：△BPM@△CPE；k 求证：PM = PN；

   (2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

   (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

解：

 (1) [证明] j 如图2，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

              ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

              又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

            k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，

              ∴PM=PN；

   (2) 成立，如图3，

      [证明] 延长MP与NC的延长线相交于点E，

∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

            ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

            又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE， ∴PM=PE，

            ∴PM=ME，则在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN。

        (3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。

25. (沈阳市)如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

   (1) 求拋物线的函数表达式；

   (2) 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n) (m>0)。

    j 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；

    k 在j的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；

    l 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

[解] (1) 由拋物线y=ax2+c经过点E(0，16)、F(16，0)得：，

解得a= -，c=16，

          ∴y= -x2+16；

      (2) j 过点P做PG^x轴于点G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，

           ∴OG=OF=´16=8，即P点的横坐标为8，∵P点在拋物线上，

           ∴y= -´82+16=12，即P点的纵坐标为12，∴P(8，12)，

           ∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，∴Q点的纵坐标为-4，

           ∵Q点在拋物线上，∴-4= -x2+16，∴x1=8，x2= -8360docimg_501_，

           ∵m>0，∴x2= -8360docimg_502_(舍去)，∴x=8360docimg_503_，∴Q(8360docimg_504_，-4)；

           k 8360docimg_505_-16

           l 不存在；

理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，∵P点在拋物线上，∴7= - 360docimg_506_x2+16，

              ∴x1=12，x2= -12，∵m>0，∴x2= -12(舍去)，∴x=12，

∴P点坐标为(12，7)，

              ∵P为AB中点，∴AP=360docimg_507_AB=8，∴点A的坐标是(4，7)，∴m=4，

              又∵正方形ABCD边长是16，∴点B的坐标是(20，7)，

              点C的坐标是(20，-9)，∴点Q的纵坐标为-9，∵Q点在拋物线上，

              ∴ -9= -360docimg_508_x2+16，∴x1=20，x2= -20，∵m>0，∴x2= -20(舍去)，x=20，

              ∴Q点坐标(20，-9)，

∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，

              ∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。

24.( 宜昌市（12分）)如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=360docimg_509_在第一象限相交于点C；以AC为斜边、360docimg_510_为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=360docimg_511_上；直线y=hx+d、双曲线y=360docimg_512_和抛物线360docimg_513_同时经过两个不同的点C，D。

（1）360docimg_514_确定t的值

（2）确定m , n , k的值

（3）若无论a , b , c取何值，抛物线360docimg_515_都不经过点P，请确定P的坐标.

360docimg_516_

（第24题）

解：

（1）直线过点A，B，则0=－h+d和1=d,即y=x+1. 1分

双曲线y=360docimg_517_经过点C（x1，y1），x1y1=t．

      以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为360docimg_518_×y1×(1+x1);

以CO为对角线的矩形面积为360docimg_519_x1y1，

360docimg_520_×y1×(1+x1)＝x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1=2.

故有，360docimg_521_，即t=2.  2分

（2）∵B是抛物线y＝mx2＋nx＋k的顶点，∴有－360docimg_522_ 360docimg_523_，

得到n=0，k=1.  3分

∵C是抛物线y＝mx2＋nx＋k上的点，∴有2＝m(1)2+1,得m=1． 4分

（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1.

∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D360docimg_524_，

其中求得D点坐标为（－2，－1）． 5分.

解法一：

故 2＝a＋b＋c，

－1＝4a－2b＋c．     

解之得，b＝a＋1, c＝1－2a.  6分

（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）

∴y=ax2＋( a＋1)x＋（1－2a ）        

于是：  p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－2a） 7分

∴无论a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a． 8分[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（或者，令p2-p=(p2+p-2)a 7分

∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点，

∴此360docimg_525_方程无解，或有解但不合题意 8分）  

360docimg_526_故∵a≠０，∴①360docimg_527_

解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0.  9分

∴符合题意的P点为（0，1）. …………10分

②360docimg_528_，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.

得p＝－2. 11分

符合题意的P点为（－2，5）． 12分

∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.

解法二：

则有（a－1）p2+(a+1) p－2a=0 7分

即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0

有p－1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上.  8分

或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p

当p=0时a=0与a≠0矛盾 9分

得点P（0，1） 10分

或者p=－2时，无解 11分[来源:学科网]

得点P（－2，5） 12分

故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5）

解法三：

如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．

(只经过直线CD上的C，D点).  6分

由360docimg_529_ 7分

解得交点为C（1，2），B（0，1）．

故符合题意的点P为（0，1）.  8分

抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝－2上除D外的其他点.  9分

360docimg_530_由360docimg_531_  10分

解得交点P为（－2，5）．……11分

抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝1上除C外的其他点,

而360docimg_532_解得交点为C（1，2）. ……12分

故符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）.

360docimg_533_（说明：1.仅由图形看出一个点的坐标给1分，二个看

出来给2分. 2.解题过程叙述基本清楚即可）

23．(宜昌市)如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程360docimg_534_的两个实数根，设过D,360docimg_535_E,F三点的⊙O的面积为360docimg_536_,矩形PDEF的面积为360docimg_537_。

（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；

（2）求360docimg_538_的最小值；

（3）当360docimg_539_的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）

360docimg_540_360docimg_541_

解：解法一：

（1）据题意，∵a+h=360docimg_542_.

∴所求正方形与矩形的面积之比： 

360docimg_543_360docimg_544_ 1分

360docimg_545_由360docimg_546_知360docimg_547_同号, 

360docimg_548_ 2分

（说明:此处未得出360docimg_549_只扣1分, 不再影响下面评分）

360docimg_550_ 3分

即正方形与矩形的面积之比不小于4.

（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.

360docimg_551_∴⊙O的面积为：360docimg_552_． 4分

矩形PDEF的面积：360docimg_553_．

360docimg_554_∴面积之比：360docimg_555_ 设360docimg_556_

360docimg_557_360docimg_558_

360docimg_559_360docimg_560_

360docimg_561_, 360docimg_562_  

360docimg_563_360docimg_564_，即360docimg_565_时（EF=DE）, 360docimg_566_的最小值为360docimg_567_ 7分

360docimg_568_（3）当360docimg_569_的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．

过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，

∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.

由BC∥MQ,得：BM =AG =h.

∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,

∴△FBP∽△ABQ.  8分

（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）

360docimg_570_∴360docimg_571_,……9分

∴360docimg_572_.∴360docimg_573_……10分

360docimg_574_……11分

∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.    

（解题过程叙述基本清楚即可）

解法二：

（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，

　∴ah＞０…………1分（说明:此处未得出360docimg_575_只扣1分,再不影响下面评分）

  ∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.

　　　　    故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０． 2分

　　　　∴（a＋h）２≥４a h，

　　　　∴360docimg_576_≥４．（﹡） 3分

　　　　　　这就证得360docimg_577_≥４．（叙述基本明晰即可）

（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为360docimg_578_ .

          S⊙O=360docimg_579_…………4分, S矩形PDEF=xy

360docimg_580_360docimg_581_= 360docimg_582_ 

=360docimg_583_ 6分

360docimg_584_由（1）（*），            .

360docimg_585_.

360docimg_586_∴360docimg_587_的最小值是360docimg_588_ 7分

360docimg_589_（3）当360docimg_590_的值最小时，

360docimg_591_这时矩形PDEF的四边相等为正方形. 

∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.

∵△AGB∽△FEB，∴360docimg_592_.……8分

∵△AQB∽△FPB, 360docimg_593_，……9分

∴360docimg_594_=360docimg_595_．

而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10分

∴AG=h＝360docimg_596_,

或者AG=h＝360docimg_597_ 11分

∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. 

（解题过程叙述基本清楚即可）

26．（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；

(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

360docimg_598_

解：（1）∵抛物线y=x2＋bx＋c过点C(0,2). ∴x=2

又∵tan∠OAC=360docimg_599_=2, ∴OA=1,即A(1,0).

又∵点A在抛物线y=x2＋bx＋2上. ∴0=12＋b×1＋2,b=－3

∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2－3x＋2

（2）存在

360docimg_600_

过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,

∴x=－360docimg_601_.∴AE=OE-OA=360docimg_602_-1=360docimg_603_,∵∠APC=90°,

∴tan∠PAE= tan∠CPD∴360docimg_604_,即360docimg_605_360docimg_606_，解得PE=360docimg_607_或PE=360docimg_608_，

∴点P的坐标为（360docimg_609_，360docimg_610_）或（360docimg_611_，360docimg_612_）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）

（1） 如图，易得直线BC的解析式为：y=-x＋2，

360docimg_613_

∵点M是直线l′和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）(0＜t＜2)

∴MN=-t+2-(t2－3t＋2)=- t2＋2t

∴S△BCM= S△MNC+S△MNB=360docimg_614_MN?t+360docimg_615_MN?(2-t)

=360docimg_616_MN?(t+2-t)=MN=- t2＋2t(0＜t＜2),

∴S△BCN=- t2＋2t=-(t-1)2+1

∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。

备注：如果没有考虑的取值范围，可以不扣分）

∴360docimg_617_． ………………………………………………………5分

  （2）证明：由△DPC ∽△QPB，

得360docimg_618_，……………………………………………………………………6分

∴360docimg_619_，……………………………………………………………………7分

360docimg_620_．…………………………10分

28．（2010江苏 镇江）深化理解（本小题满分9分）

    对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为360docimg_621_

即：当n为非负整数时，如果360docimg_622_

如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…

试解决下列问题：

   （1）填空：①360docimg_623_=       （360docimg_624_为圆周率）；

        ②如果360docimg_625_的取值范围为        ；

   （2）①当360docimg_626_；

②举例说明360docimg_627_不恒成立；

   （3）求满足360docimg_628_的值；

   （4）设n为常数，且为正整数，函数360docimg_629_范围内取值时，函数值y为整数的个数记为360docimg_630_的个数记为b.

        求证：360docimg_631_

【答案】（1）①3；（1分）②360docimg_632_；  （2分）

   （2）①证明：

    [法一]设360docimg_633_为非负整数；  （3分）

360docimg_634_为非负整数，

360docimg_635_   （4分）

[法二]设360docimg_636_为其小数部分.

360docimg_637_

360docimg_638_

②举反例：360docimg_639_

360docimg_640_不一定成立.（5分）

   （3）[法一]作360docimg_641_的图象，如图28  （6分）

（注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）360docimg_642_

360docimg_643_

360docimg_644_   （7分）

[法二]360docimg_645_

360docimg_646_

   （4）360docimg_647_为整数，

当360docimg_648_的增大而增大，

360docimg_649_，  ①

360docimg_650_

360docimg_651_   ②   （8分）

360docimg_652_

则360docimg_653_   ③

比较①，②，③得：360docimg_654_   （9分）

28. （青海西宁市本小题满分12 分）

如图12，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=360docimg_655_.

(1)求B点的坐标和k的值；

(2)若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

(3)探索：

① 当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是360docimg_656_；

② 在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.

360docimg_657_

图12

解：（1）∵y= kx-1与y轴相交于点C，         ∴OC=1

∵tan∠OCB=360docimg_658_        ∴OB=360docimg_659_

∴B点坐标为：360docimg_660_

把B点坐标为：360docimg_661_代入y= kx-1得 k=2

（2）∵S = 360docimg_662_          ∵y=kx-1    

      ∴S =360docimg_663_         

∴S =360docimg_664_

（3）①当S =360docimg_665_时，360docimg_666_=360docimg_667_

∴x=1，y=2x-1=1

∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为360docimg_668_

②存在.

满足条件的所有P点坐标为：

P1(1,0), P2(2,0), P3(360docimg_669_,0), P4(360docimg_670_,0). ……………………………12分

26．（柳州市 本题满分12分）

如图13，过点360docimg_671_作360docimg_672_轴、360docimg_673_轴的垂线，分别交360docimg_674_轴、360docimg_675_轴于360docimg_676_两点，交双曲线360docimg_677_于360docimg_678_两点．

（1）点360docimg_679_的坐标是　　　　，点360docimg_680_的坐标是　　　　；（均用含360docimg_681_的式子表示）

（2）判断360docimg_682_与360docimg_683_的位置关系，并证明你的结论；

360docimg_684_（3）记360docimg_685_，360docimg_686_是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

解：（1）360docimg_687_，360docimg_688_ 3分

（说明：只写对一个点的坐标给2分，写对两个点的坐标给3分）

（2）（证法一）结论：360docimg_689_ 4分

证明：360docimg_690_360docimg_691_，360docimg_692_，

即得：360docimg_693_ 5分

360docimg_694_

360docimg_695_

360docimg_696_

360docimg_697_ 6分

360docimg_698_ 7分

（证法二）结论：360docimg_699_ 4分

证明：360docimg_700_360docimg_701_，360docimg_702_，

即得：360docimg_703_ 5分

在360docimg_704_中，360docimg_705_

在360docimg_706_中，360docimg_707_

360docimg_708_

360docimg_709_ 6分

360docimg_710_ 7分

（3）（方法一）

360docimg_711_有最小值 8分

360docimg_712_

=360docimg_713_

360docimg_714_ 9分

由（2）知，360docimg_715_

360docimg_716_ 10分

360docimg_717_ 11分

又360docimg_718_，此时360docimg_719_的值随360docimg_720_值增大而增大，

360docimg_721_当360docimg_722_时，360docimg_723_

360docimg_724_的最小值是360docimg_725_ 12分

（方法二）

360docimg_726_有最小值 8分

分别过点360docimg_727_作360docimg_728_的平行线，交点为360docimg_729_

由（2）知，360docimg_730_

360docimg_731_四边形360docimg_732_为矩形

360docimg_733_

360docimg_734_

=360docimg_735_

=360docimg_736_ 9分

=360docimg_737_ 10分

=360docimg_738_

=360docimg_739_ 11分

又360docimg_740_，此时360docimg_741_的值随360docimg_742_值增大而增大，

360docimg_743_当360docimg_744_时，360docimg_745_

360docimg_746_的最小值是360docimg_747_． 12分

（说明：其他解法参照此法给分）

360docimg_748_

24．（菏泽市 本题满分12分）如图所示，抛物线360docimg_749_经过原点360docimg_750_，与360docimg_751_轴交于另一点360docimg_752_,直线360docimg_753_与两坐标轴分别交于360docimg_754_、360docimg_755_两点，与抛物线交于360docimg_756_、360docimg_757_两点.

（1）求直线与抛物线的解析式.

（2）若抛物线在360docimg_758_轴上方的部分有一动点360docimg_759_，设360docimg_760_，求当360docimg_761_的面积最大时360docimg_762_的值.

（3）若动点360docimg_763_保持（2）中的运动路线，问是否存在点360docimg_764_，使得360docimg_765_的面积等于360docimg_766_面积的360docimg_767_？若存在，请求出点360docimg_768_的坐标;若不存在，请说明理由.

360docimg_769_

解:

（1）将点360docimg_770_代入直线360docimg_771_可得360docimg_772_

所以直线的解析式为360docimg_773_

当360docimg_774_时,360docimg_775_，所以360docimg_776_点的坐标为（1，3），

将360docimg_777_三点的坐标分别代入抛物线360docimg_778_,可得360docimg_779_

解得360docimg_780_所以所求的抛物线为360docimg_781_. 4分

（2）因360docimg_782_的长是以定值，所以当点360docimg_783_为抛物线的顶点时，360docimg_784_的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为360docimg_785_，此时360docimg_786_. 8分

（3）存在

把360docimg_787_代入直线360docimg_788_得360docimg_789_,所以点360docimg_790_

把360docimg_791_代入抛物线360docimg_792_得360docimg_793_或360docimg_794_,所以点360docimg_795_.

设动点360docimg_796_坐标为360docimg_797_，其中360docimg_798_

则得：360docimg_799_

360docimg_800_360docimg_801_

由360docimg_802_即360docimg_803_

解得360docimg_804_或360docimg_805_,舍去360docimg_806_得360docimg_807_,由此得360docimg_808_

所以得点360docimg_809_存在，其坐标为（1，3）. 12分

25. （贵阳市 本题满分12分）

如图12，在直角坐标系中，已知点360docimg_810_的坐标为（1,0），将线段360docimg_811_绕原点O沿逆时针方向旋转45360docimg_812_，再将其延长到360docimg_813_，使得360docimg_814_，得到线段360docimg_815_；又将线段360docimg_816_绕原点O沿逆时针方向旋转45360docimg_817_，再将其延长到360docimg_818_，使得360docimg_819_，得到线段360docimg_820_，如此下去，得到线段360docimg_821_，360docimg_822_，…，360docimg_823_．

（1）写出点M5的坐标；（4分）

（2）求360docimg_824_的周长；（4分）

360docimg_825_（3）我们规定：把点360docimg_826_（360docimg_827_0,1,2,3…）的横坐标360docimg_828_，纵坐标360docimg_829_都取绝对值后得到的新坐标360docimg_830_称之为点360docimg_831_的“绝对坐标”．根据图中点360docimg_832_的分布规律，请你猜想点360docimg_833_的“绝对坐标”，并写出来．（4分） 

    解:

（1）M5（―4，―4）………………………………………………………………4分

（2）由规律可知，360docimg_834_,360docimg_835_，360docimg_836_………………6分

    ∴360docimg_837_的周长是360docimg_838_……………………………………………………8分

（3）解法一：由题意知，360docimg_839_旋转8次之后回到360docimg_840_轴的正半轴，在这8次旋转中，点360docimg_841_分别落在坐标象限的分角线上或360docimg_842_轴或360docimg_843_轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点360docimg_844_的“绝对坐标”可分三类情况：

令旋转次数为360docimg_845_

① 当点M在x轴上时: M0（360docimg_846_），M4（360docimg_847_），M8（360docimg_848_），M12（360docimg_849_）,…，

即：点360docimg_850_的“绝对坐标”为（360docimg_851_）。…………………………………………………9分

② 当点M在y轴上时: M2360docimg_852_，M6360docimg_853_，M10360docimg_854_，M14360docimg_855_,……，

即：点360docimg_856_的“绝对坐标”为360docimg_857_。…………………………………………………10分

③ 当点M在各象限的分角线上时：M1360docimg_858_，M3360docimg_859_，M5360docimg_860_，M7360docimg_861_,……，即：360docimg_862_的“绝对坐标”为360docimg_863_。………………………………………………………………12分

解法二：由题意知，360docimg_864_旋转8次之后回到360docimg_865_轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或360docimg_866_轴或360docimg_867_轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：

①当360docimg_868_时（其中360docimg_869_=0，1，2，3，…），点在360docimg_870_轴上，则360docimg_871_（360docimg_872_）…………9分

②当360docimg_873_时（其中360docimg_874_=1，2，3，…），点在360docimg_875_轴上，点360docimg_876_（360docimg_877_）…………10分

③当360docimg_878_=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点360docimg_879_（360docimg_880_）………12分

23．(玉溪市)如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，360docimg_881_） ，△AOB的面积是360docimg_882_.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

360docimg_883_（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由； 

     （4）在（2）中，360docimg_884_轴下方的抛物线上是否存在一点P，

过点P作360docimg_885_轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD

把△AOB分成两个三角形.使其中一个三角形面积

与360docimg_886_四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.360docimg_887_

解：（1）由题意得:360docimg_888_ 

∴B（－2，0）                                  …………3分

（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, 360docimg_889_），得360docimg_890_，

360docimg_891_∴360docimg_892_                              …………6分

（3）存在点C.过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线

的对称轴x= - 1交x轴于点E.当点C位于对称轴

与线段AB的交点时，△AOC的周长最小.

∵  △BCE∽△BAF,

360docimg_893_                …………9分           

（4）存在. 如图，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则

               360docimg_894_，

            ∴直线AB为360docimg_895_，

360docimg_896_ =  360docimg_897_|OB||YP|+360docimg_898_|OB||YD|=|YP|+|YD|

               =360docimg_899_360docimg_900_.

∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =360docimg_901_-360docimg_902_×2×∣360docimg_903_x+360docimg_904_∣=-360docimg_905_x+360docimg_906_. 

360docimg_907_∴360docimg_908_=360docimg_909_=360docimg_910_.   

 ∴x1=-360docimg_911_  , x2=1(舍去).

∴p(-360docimg_912_,-360docimg_913_)  .

又∵S△BOD =360docimg_914_x+360docimg_915_, 

∴360docimg_916_ =360docimg_917_= 360docimg_918_.

∴x1=-360docimg_919_ ,    x2=-2. P(-2,0)，不符合题意.

∴ 存在，点P坐标是（-360docimg_920_，-360docimg_921_）.                   …………12分