2010年中考数学压轴题100题精选（1-10题）
【002】 A
C
B
P
Q
E
D
图16
如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值。
【004】如图，已知直线与直线 相交于点 分别交 轴于两点．矩形 的顶点 分别在直线 上，顶点 都在 轴上，且点 与点 重合．
（1）求 的面积；
（2）求矩形 的边与 的长；
（3）若矩形 从原点出发，沿 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，
设移动时间为 秒，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 关
的函数关系式，并写出相应的 的取值范围．
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
（G）
（第26题）
【005】如图1，在等腰梯形 中， ， 是 的中点，过点 作 交 于点 ． ， .
（1）求点 到 的距离；
（2）点 为线段 上的一个动点，过 作 交 于点 ，过 作 交折线 于点 ，连结 ，设 .
①当点 在线段 上时（如图2）， 的形状是否发生改变？若不变，求出 的周长；若改变，请说明理由；
②当点 在线段 上时（如图3），是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由.
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
【006】如图13，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为 。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
【008】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图1，试证明：
① ；
② ．
（2）若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上，如图2，则 与 还相等吗？试证明你的结论．
O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
（第25题图1）
O
C
D
K
F
E
N
y
x
M
（第25题图2）
【010】如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于C点，且经过点 ，对称轴是直线 ，顶点是 ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过 两点作直线与 轴交于点 ，在抛物线上是否存在这样的点 ，使以点 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线 与y轴的交点是 ，在线段 上任取一点 （不与 重合），经过 三点的圆交直线 于点 ，试判断 的形状，并说明理由；
（4）当 是直线 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
O
B
x
y
A
M
C
1
（第26题图）
2010年中考数学压轴题100题精选（1-10题）答案
【001】解：（1） 抛物线 经过点 ，
········································································ 1分
二次函数的解析式为： ········································ 3分
（2） 为抛物线的顶点 过 作 于 ，则 ，
········································· 4分
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
N
E
H
当 时，四边形 是平行四边形
······································· 5分
当 时，四边形 是直角梯形
过 作 于 ， 则
（如果没求出 可由 求 ）
·········································································· 6分
当 时，四边形 是等腰梯形
综上所述：当 、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．· 7分
（3）由（2）及已知， 是等边三角形
则
过 作 于 ，则 ·························································· 8分
= ·························· 9分
当 时， 的面积最小值为 ····················································· 10分
此时
A
C
)
B
P
Q
D
图3
E
)
F
··········································· 11分
【002】解：（1）1， ；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴ ．
A
C
B
P
Q
E
D
图4
由△AQF∽△ABC， ，
得 ．∴ ． ∴ ，
即 ．
（3）能．
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得 ，
即 ． 解得 ．
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即 ． 解得 ．
（4） 或 ．
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
， ．
由 ，得 ，解得 ．
方法二、由 ，得 ，进而可得
，得 ，∴ ．∴ ．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
， 】
【003】解.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分
将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得a=- ,b=4
∴抛物线的解析式为：y=－ x2+4x …………………3分
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE= = ,即 =
∴PE= AP= t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+ t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：－ （4+ t）2+4(4+ t）=－ t2+8. …………………5分
∴EG=－ t2+8-(8-t) =－ t2+t.
∵- ＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分
②共有三个时刻. …………………8分
t1= ， t2= ，t3= ． …………………11分
【004】（1）解：由 得 点坐标为
由 得 点坐标为 ∴ （2分）
由 解得 ∴ 点的坐标为 （3分）
∴ （4分）
（2）解：∵点 在 上且 ∴ 点坐标为 （5分）又∵点 在 上且 ∴ 点坐标为 （6分）
∴ （7分）
（3）解法一： 当 时，如图1，矩形 与 重叠部分为五边形 （ 时，为四边形 ）．过 作 于 ，则
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
（图3）
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图1）
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图2）
R
M
∴ 即 ∴
∴
即 （10分）
图1
A
D
E
B
F
C
G
【005】（1）如图1，过点 作 于点 ·············· 1分
∵ 为 的中点，
∴
在 中， ∴ ··········· 2分
∴
即点 到 的距离为 ·································· 3分
（2）①当点 在线段 上运动时， 的形状不发生改变．
∵ ∴
∵ ∴ ，
同理 ············································································ 4分
如图2，过点 作 于 ，∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
∴
则
在 中，
∴ 的周长= ···································· 6分
②当点 在线段 上运动时， 的形状发生改变，但 恒为等边三角形．
当 时，如图3，作 于 ，则
类似①，
∴ ············································································· 7分
∵ 是等边三角形，∴
此时， ································· 8分
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F（P）
C
M
N
G
G
R
G
当 时，如图4，这时
此时，
当 时，如图5，
则 又
∴
因此点 与 重合， 为直角三角形．
∴
此时，
综上所述，当 或4或 时， 为等腰三角形．
【006】解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB= ,得AB= ，
设A（a,0）,B(b,0)AB=b-a= = ，解得p= ,但p<0,所以p= 。
所以解析式为：
（2）令y=0，解方程得 ，得 ,所以A( ,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC= ,同样可求得BC= ，显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB= ,所以 。
（3）存在，AC⊥BC，①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组 得D（ ，9）
②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A( ，0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组 得D( ) 综上，所以存在两点：（ ,9）或( )。
【007】
【008】证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2…………………………………………………1分
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分
∴AD=BE……………………………………………………3分
（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分
∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。
即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分
（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分
理由如下：
由（2）得：CD=CE由（1）得：CE=BD∴CD=BD
∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分
【009】 O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
图1
解：（1）① 轴， 轴，
四边形 为矩形．
轴， 轴，
四边形 为矩形．
轴， 轴，
四边形 均为矩形．········· 1分
，
，
．
．
，
，
．··········································································· 2分
②由（1）知 ．
．
．······················································································ 4分
，
．············································································· 5分
．
．······················································································· 6分
轴，
四边形 是平行四边形．
．······················································································· 7分
同理 ．
．······················································································· 8分
（2） 与 仍然相等．······································································· 9分
，
O
C
D
K
F
E
N
y
x
M
图2
，
又 ，
．·························· 10分
．
．
，
．
．
．······················································································ 11分
轴，
四边形 是平行四边形．
．
同理 ．
．····················································································· 12分
【010】 y
x
E
D
N
O
A
C
M
P
N
1
F
（第26题图）
解：（1）根据题意，得 ··· 2分
解得 抛物线对应的函数表达式为 ． 3分
（2）存在．
在 中，令 ，得 ．
令 ，得 ， ．
， ， ．
又 ， 顶点 ．························································· 5分
容易求得直线 的表达式是 ．
在 中，令 ，得 ．
， ．·········································································· 6分
在 中，令 ，得 ．
．
， 四边形 为平行四边形，此时 ．··························· 8分
（3） 是等腰直角三角形．
理由：在 中，令 ，得 ，令 ，得 ．
直线 与坐标轴的交点是 ， ．
， ．································································· 9分
又 点 ， ． ．········································ 10分
由图知 ， ．································· 11分
，且 ． 是等腰直角三角形．·························· 12分
（4）当点 是直线 上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分
中财网