滚筒洗衣机打开门尺寸:2010年中考数学压轴题100题精选（91-100题）答案

2010年中考数学压轴题100题精选（91-100题）答案

【091】(1)解：法1：由题意得                                ……1分

   解得                                                      ……2分

   法2：∵ 抛物线y＝x²－x＋c的对称轴是x＝，

    且  －(－1) ＝2－，∴ A、B两点关于对称轴对称.                             

    ∴ n＝2n－1                                                     ……1分

    ∴ n＝1，c＝－1.                                                ……2分

    ∴ 有 y＝x²－x－1                                                ……3分

            ＝(x－)²－.                                   

    ∴ 二次函数y＝x²－x－1的最小值是－.                            ……4分

  (2)解：∵ 点P(m，m)(m＞0)，

    ∴ PO＝m.

    ∴ 2≤m ≤＋2.

    ∴ 2≤m≤1＋.                                                ……5分

    法1： ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x²－x＋c的图象上，

    ∴ m＝m²－m＋c，即c＝－m²＋2m.

    ∵ 开口向下，且对称轴m＝1，

    ∴ 当2≤m≤1＋ 时，

    有  －1≤c≤0.                                                  ……6分

    法2：∵ 2≤m≤1＋，

    ∴ 1≤m－1≤.

    ∴ 1≤(m－1)²≤2. 

    ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x²－x＋c的图象上，

    ∴ m＝m²－m＋c，即1－c＝(m－1)².

    ∴  1≤1－c≤2.

    ∴ －1≤c≤0.                                                  ……6分

    ∵ 点D、E关于原点成中心对称，

    法1： ∴ x₂＝－x₁，y₂＝－y₁.

    ∴

    ∴ 2y₁＝－2x₁， y₁＝－x₁.                                   

    设直线DE：y＝kx.

    有 －x₁＝kx₁.

     由题意，存在x₁≠x₂.                                 

     ∴ 存在x₁，使x₁≠0.                                         ……7分

    ∴  k＝－1.

    ∴ 直线DE： y＝－x.                                         ……8分

    法2：设直线DE：y＝kx.

    则根据题意有 kx＝x²－x＋c，即x²－(k＋1) x＋c＝0.

    ∵ －1≤c≤0，

    ∴ (k＋1)²－4c≥0.

    ∴ 方程x²－(k＋1) x＋c＝0有实数根.                              ……7分

    ∵ x₁＋x₂＝0，                                   

    ∴ k＋1＝0.

    ∴ k＝－1.

    ∴ 直线DE： y＝－x.                                            ……8分

     若 则有 x²＋c＋＝0.即 x²＝－c－.

     ①  当 －c－＝0时，即c＝－时，方程x²＝－c－有相同的实数根，

     即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x＋c＋有唯一交点.                  ……9分

     ②  当 －c－＞0时，即c＜－时，即－1≤c＜－时，

     方程x²＝－c－有两个不同实数根，

     即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x＋c＋有两个不同的交点.           ……10分

     ③  当 －c－＜0时，即c＞－时，即－＜c≤0时，

     方程x²＝－c－没有实数根，

     即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x＋c＋没有交点.                   ……11分

【092】解：

A

∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°，

故BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（ ，1）．（1分，）

即s= ，t=1．直角梯形如图所画．（2分）

（大致说清理由即可）

（2）由题意，y=x²+mx－m与 y=1（线段AB）相交，

得，          （3分）∴1＝x²+mx－m，

由 (x－1)(x+1+m)=0，得 ．

∵ =1< ，不合题意，舍去．      （4分）

∴抛物线y=x²+mx-m与AB边只能相交于（ ，1），    

   ∴ ≤－m－1≤ ，∴  ． ①（5分）  

又∵顶点P( )是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，

∴ ，即   ． ②    （6分）     

∵ ，

（或者抛物线y=x²+mx－m顶点的纵坐标最大值是1）

∴点P一定在线段AB的下方．          （7分）     

又∵点P在x轴的上方，

∴ ，

∴  ． （*8分）

③（9分）     

又∵点P在直线y= x的下方，∴ ，（10分）即

 （*8分处评分后，此处不重复评分）

     ④     

  由①②③④ ，得 ．（12分） 

      说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理．

【093】解：（1）连结 与 交于点 ，则当点 运动到点 时，直线 平分矩形 的面积．理由如下：

　　∵矩形是中心对称图形，且点 为矩形的对称中心．

　　又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线 过矩形 的对称中心点 ，所以直线 平分矩形 的面积．…………2分

　　由已知可得此时点 的坐标为 ．

　　设直线 的函数解析式为 ．

则有 　解得 ， ．

所以，直线 的函数解析式为： ．········································· 5分

（2）存在点 使得 与 相似．

如图，不妨设直线 与 轴的正半轴交于点 ．

因为 ，若△DOM与△ABC相似，则有 或 ．

当 时，即 ，解得 ．所以点 满足条件．

当 时，即 ，解得 ．所以点 满足条件．

由对称性知，点 也满足条件．

综上所述，满足使 与 相似的点 有3个，分别为 、 、 ．      9分

（3）如图 ，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为 画圆，过点D分别作 的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P₁，半径长为 画圆，过点D分别作 的切线DE₁、DF₁，点E₁、F₁是切点．

在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴△DPE≌△DPF．

∴Ｓ_{四边形DEPF}＝2Ｓ_△DPE＝2× ．

∴当DE取最小值时，Ｓ_{四边形DEPF}的值最小．

∵ ， ，

∴ ．

∵ ，∴ ．

∴ ．由 点的任意性知：DE是

点与切点所连线段长的最小值．……12分

在△ADP与△AOC中，∠DPA＝∠AOC，

∠DAP＝∠CAO，  ∴△ADP∽△AOC．

∴ ，即 ．∴ ．

∴ ．

∴Ｓ_{四边形ＤＥＰＦ}＝ ，即Ｓ＝ ．······················································· 14分

（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）

【094】解：（1）令二次函数 ，则

···················································································· 1分

···························································································· 2分

过 三点的抛物线的解析式为 ································ 4分

（2）以 为直径的圆圆心坐标为

  ·············································································· 5分

为圆 切线  ································································ 6分

  ·················································· 8分

坐标为 ··················································································· 9分

（3）存在···························································································· 10分

抛物线对称轴为

设满足条件的圆的半径为 ，则 的坐标为 或

而 点在抛物线 上

故在以 为直径的圆，恰好与 轴相切，该圆的半径为 ， ········· 12分

注：解答题只要方法合理均可酌情给分

【095】（1） （4，0）， ．···························································· 2分

．················································································· 4分

（2） 是直角三角形．····································································· 5分

证明：令 ，则 ．

．

．·························································································· 6分

解法一： ．·················································· 7分

．

是直角三角形．··········································································· 8分

解法二：

，

．·············································································· 7分

．

，

．即 ．

是直角三角形．··········································································· 8分

G

，

．

．············································· 9分

解法一：设 ，则 ， ，

．

= ．··············································································· 10分

当 时， 最大．

．

，

．

， ．········································································· 11分

解法二：设 ，则 ．

．·································· 10分

当 时， 最大．

．

，

．

C

当矩形一个顶点在 上时， 与 重合，如图2，

，

．

．

解法一：设 ， ，

．

= ．·············································································· 12分

当 时， 最大．

， ．

··························································································· 13分

解法二：设 ， ， ， ， ． ．

= ················································································· 12分

当 时， 最大，

． ．

·························································································· 13分

综上所述：当矩形两个顶点在 上时，坐标分别为 ，（2，0）；

当矩形一个顶点在 上时，坐标为 ···················································· 14分

【096】（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4)，

故可设其关系式为                  ………………(1分)

又抛物线经过O(0,0)，于是得 ，     ………………(2分)

解得 a=-1                                        ………………(3分)

∴ 所求函数关系式为 ，即 . ……………(4分)

（2）① 点P不在直线ME上.                               ………………(5分)

根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，

又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.

于是得   ，解得

所以直线ME的关系式为y=-2x+8. ……(6分)

由已知条件易得，当t 时，OA=AP ，     ……………(7分)

∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.        

∴ 当t 时，点P不在直线ME上.                 ………………(8分)

② S存在最大值. 理由如下：                          ………………(9分)

∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.

∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t ²+4t)       ∴ AN=-t ²+4t (0≤t≤3) ,

∴ AN-AP=(-t ²+4 t)- t=-t ²+3 t=t(3-t)≥0 ,     ∴ PN=-t ²+3 t   …(10分)

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S= DC·AD= ×3×2=3.     ………………(11分)

（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形

∵ PN∥CD，AD⊥CD，

∴ S= (CD+PN)·AD= [3+(-t ²+3 t)]×2=-t ²+3 t+3=

其中(0＜t＜3)，由a=-1，0＜ ＜3，此时 .  …………(12分)

综上所述，当t 时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，

这个最大值为 .                              ………………(13分)

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.

【097】解：（1）点 的坐标为 ．·················································· （2分）

（2）抛物线的表达式为 ．·················································· （4分）

y

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．····················· （6分）

∵抛物线的对称轴 ，

∴点 的坐标为 ．···································································· （7分）

过点 作 的垂线交抛物线的对称轴于点 ．

∵对称轴平行于 轴，

∴ ．

∵ ，

∴ ．······························································ （8分）

∴点 也符合条件， ．

∴ ，

∴ ．······························································· （9分）

∴ ．

∵点 在第一象限，

∴点 的坐标为 ，

∴符合条件的点 有两个，分别是 ， ．······························· （11分）

【098】解：（1）当t=4时，B(4,0)

设直线AB的解析式为y= kx+b .

把 A(0,6)，B(4,0)  代入得：

             , 解得：  ,

∴直线AB的解析式为：y=－x+6.………………………………………4分

(2) 过点C作CE⊥x轴于点E

由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.

∴ ，

∴BE= AO=3，CE= OB= ，

∴点C的坐标为(t+3，).…………………………………………………………2分

方法一：

y

S_{△ AOB}= AO·OB= ×6·t=3t，

S_{△ BEC}= BE·CE= ×3×= t，

∴S_{△ ABC}= S_梯形AOEC－ S_{△ AOB}－S_{△ BEC}

           = t²+t+9－3t－t = t²+9.

方法二：

∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S_{△ ABC}= AB·BC= BC².

在Rt△ABC中，BC²= CE²+ BE² = t²+9，

即S_{△ ABC}= t²+9.…………………………………………………………2分

y

①当t≥0时.

Ⅰ.若AD＝BD.

又∵BD∥y轴

∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，

∴∠OAB=∠BAD.

又∵∠AOB=∠ABC，

∴△ABO∽△ACB，

∴ ，

∴= ，

∴t=3，即B(3，0).

Ⅱ.若AB＝AD.

延长AB与CE交于点G，

又∵BD∥CG

∴AG＝AC

y

∴CH＝HG＝CG

由△AOB∽△GEB，

得＝ ，

∴GE= .

又∵HE＝AO＝６，CE＝

∴＋６＝×（＋）

y

解得：t=12±6. 因为 t≥0，

所以t=12＋6，即B(12＋6，0).

Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD ≠ AB.

                  当t≥12时，BD≤CE<BC<AB.

∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况.

②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角.设AD=AB，

过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F.

可求得点C的坐标为(t+3，)，

∴CF=OE=t+3，AF=6－，

由BD∥y轴，AB=AD得，

∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB

∴∠BAO=∠FAC，

又∵∠AOB=∠AFC=90°，

∴△AOB∽△AFC，

∴   ，      

 ∴ ，    ∴t²-24t-36=0

解得：t=12±6.因为－3≤t<0，

所以t=12－6，即B (12－6，0).

A

过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，

可求得点C的坐标为(t+3，)，

∴CF= －(t+3)，AF=6－，

∵AB=BD，

∴∠D=∠BAD.

又∵BD∥y轴，

∴∠D=∠CAF，

∴∠BAC=∠CAF.

又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，

∴△ABC≌△AFC，

∴AF＝AB，CF=BC，

∴AF=2CF，即6－ =－2(t+3)，

解得：t=－8，即B(－8，0).

综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：

B₁ (3，0)，B₂ (12＋6，0)，B₃ (12－6，0)，B₄(－8，0). ………………………4分

【099】解：(1) 弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等. 

（写对一个给1分，写对两个给2分）

(2) 情形1  如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB的直径.   …………………………3分

结论：（垂径定理的结论之一）.  …………………………………………………………………………4分

证明：略（对照课本的证明过程给分）.  ……………………………………………………………7分

情形2  如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P.

O

证明：略.

情形3 （图略）AB为弦，CD为弦，且 与 在圆外相交于点P.

结论： .

证明：略.

AD

结论：   =    .

证明：略.

（上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；

其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的）

(3) 若点C和点E重合，

则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. …………………………………………8分

ABC

又D是     的中点，所以 ，

即 .………………………………………………………………………………10分

解得 .………………………………………………………………………………………11分

A

【100】解：（1）令  得

        由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知

△ABM是一个以 、 为直角边的等腰直角三角形

        （2）设 ，∵△ABM是等腰直角三角形

∴斜边上的中线等于斜边的一半，又顶点M(－2，－1)

∴ ，即AB＝2，∴A(－3，0)，B(－1，0)

将B(－1，0) 代入 中得

∴抛物线的解析式为 ，即

（3）设平行于 轴的直线为

解方程组 得 ，   （

∴线段CD的长为 ，∵以CD为直径的圆与 轴相切，据题意得 ，

∴ ，解得 ，∴圆心坐标为 和