2010年中考数学压轴题100题精选（41-50题）
【041】某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程 （单位：千米）与所用时间 （单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．
（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程 （千米）与所用时间 （小时）的函数图象．
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）
（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．
[来源:Zxxk.Com] y（千米）
x（小时）
150
100
50
1
1
0
2
3
4
5
6
7
8
【042】如图9，在矩形 中，已知 、 两点的坐标分别为 ， 为 的中点．设点 是 平分线上的一个动点（不与点 重合）．
（1）试证明：无论点 运动到何处， 总与 相等；
（2）当点 运动到与点 的距离最小时，试确定过 三点的抛物线的解析式；
（3）设点 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 运动到何处时， 的周长最小？求出此时点 的坐标和 的周长；
（4）设点 是矩形 的对称中心，是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出点 的坐标．
y
O
x
P
D
B
图9
【043】已知函数 为方程 的两个根，点 在函数 的图象上．
（Ⅰ）若 ，求函数 的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数 与 的图象的两个交点为 ，当 的面积为 时，求 的值；
（Ⅲ）若 ，当 时，试确定 三者之间的大小关系，并说明理由．
【044】如图9，已知抛物线y= x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．
(1) 求直线l的函数解析式；
(2) 求点D的坐标；
(3) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图9
【045】如图，已知直线 与 轴交于点A，与 轴交于点D，抛物线 与直线交于A、E两点，与 轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使 的值最大，求出点M的坐标。
【046】如图，已知直线 与直线 相交于点 分别交 轴于 两点．矩形 的顶点 分别在直线 上，顶点 都在 轴上，且点 与点 重合．
（1）求 的面 积；
（2）求矩形 的边 与 的长；
（3）若矩形 从原点出发，沿 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为 秒，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出相应的 的取值范围．
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
（G）
[来源:学科
【047】如图（1），将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ， 重合），压平后得到折痕 ．当 时，求 的值．
方法指导：
为了求得 的值，可先求 、 的长，不妨设： =2
类比归纳
在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则 的值等于 ；若 （ 为整数），则 的值等于 ．（用含 的式子表示）
联系拓广
图（2）
N
A
B
C
D
E
F
M
图（1）
A
B
C
D
E
F
M
N
如图（2），将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合），压平后得到折痕 设 则 的值等于 ．（用含 的式子表示）
【048】如图11，抛物线 与 轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.
(1)求a的值及直线AC的函数关系式；
(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由。
【049】已知：抛物线 的对称轴为 与 轴交于 两点，与 轴交于点 其中 、
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得 的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点 是线段 上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作 交 轴于点 连接 、 ．设 的长为 ， 的面积为 ．求 与 之间的函数关系式．试说明 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
[来源:学科网]
A
C
x
y
B
O
【050】如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ，点 由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交 于Q，连接PE．若设运动时间为 （s）（ ）．解答下列问题：
（1）当 为何值时， ？
（2）设 的面积为 （cm2），求 与 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出此时 的值；若不存在，说明理由．
（4）连接 ，在上述运动过程中，五边形 的面积是否发生变化？说明理由．
A
E
D
Q
P
B
F
C
2010年中考数学压轴题100题精选（41-50题）答案
【041】（1）如图 （3分）
y（千米）
x（小时）
150
100
50
-1
1
0
2
3
4
5
6
7
8
A
C
B
D
E
（2）2次························································································· （5分）
（3）如图，设直线 的解析式为 ，
图象过 ，
．①···································· （7分）
设直线 的解析式为 ，
图象过 ，
．②································ （7分）
解由①、②组成的方程组得
最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为112.5千米． （12分）
【042】解：（1）∵点 是 的中点，∴ ，∴ ．
又∵ 是 的角平分线，∴ ，
∴ ，∴ ．·························································· 3分
（2）过点 作 的平分线的垂线，垂足为 ，点 即为所求．
y
O
x
D
B
P
E
F
M
易知点 的坐标为（2，2），故 ，作 ，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴点 的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为 ．
又∵抛物线经过点 和点 ，∴有 解得
∴抛物线的解析式为 ．······························································· 7分
（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于 的平分线的对称点即为 点．
连接 ，它与 的平分线的交点即为所求的 点（因为 ，而两点之间线段最短），此时 的周长最小．
∵抛物线 的顶点 的坐标 ， 点的坐标 ，
设 所在直线的解析式为 ，则有 ，解得 ．
∴ 所在直线的解析式为 ．
点 满足 ，解得 ，故点 的坐标为 ．
的周长即是 ．
（4）存在点 ，使 ．其坐标是 或 ．··························· 14分
【043】解（Ⅰ） ，
.········································································ 1分
将 分别代入 ，得
，
解得 . 函数 的解析式为 ．·························· 3分
（Ⅱ）由已知，得 ，设 的高为 ，
，即 .
根据题意， ，由 ，得 .
当 时，解得 ；
当 时，解得 .
的值为 .······························································· 6分
（Ⅲ）由已知，得 .
， ，
，化简得 .
，得 ， .
有 .
又 ， ， ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， .······································································· 10分
【044】(1) 配方,得y= (x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ．
取x=0代入y= x2 –2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)． 2分
设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有
解得 ∴直线l的解析式为y=x–3．3分
(2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，∴ O′C垂直平分AD．[来源:Z。xx。k.Com]
由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴ 在Rt△AO′C中，O ′A=2，AC=4，∴ O′C=2 ．
据面积关系，有 ×O′C×AE= ×O′A×CA，∴ AE= ，AD=2AE= ．
作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴ ，
∴ AF= ·AC= ，DF= ·O′A= ，5分
又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1– = – ，
∴ 点D的坐标为( ，– )．
(3) 显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．
故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC ，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
容易求得过点C(0，–3)、D( ，– )的直线的解析式为y= x–3，
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y= x– ．[来源:学_科_网]
令 x2–2x＋1= x– ，解得 x1=2，x2= ，代入y= x– ，得y1= –1，y2= ，
因此，抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2( ， )，使得S△DQC= S△DPB．
【045】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入 得 解得
∴抛物线的解折式为 …（2分）
（2）设点E的横坐标为m，则 它的纵坐标为
即 E点的坐标（ ， ）又∵点E在直线 上[来源:Z§xx§k.Com]
∴ 解得 （舍去），
∴E的坐标为（4，3）……（4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时
过A作AP1 ⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0） 易知D点坐标为（－2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得
即 ，∴a＝ ∴P1（ ，0）……（5分）
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（ ，0）……（6分）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（ 、 ）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE
由 得 解得 ，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）……（8分）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（ ，0）或（1，0）或（3，0）或（ ，0）[来源:学科网]（Ⅲ）抛物线的对称轴为 …（9分）∵B、C关于x＝ 对称 ∴MC＝MB
要使 最大，即是使 最大
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时 的值最大．易知直线AB的解折式为 ∴由 得
∴M（ ，－ ）……（11分）
【046】网]（1）解：由 得 点坐标为
由 得 点坐标为 ∴ ··································· （2分）
由 解得 ∴ 点的坐标为 ························································· （3分）
∴ ················································································ （4分）
（2）解：∵点 在 上且
∴ 点坐标为 （5分）又∵点 在 上且
∴ 点坐标为 （6分）∴ （7分）
（3）解法一： 当 时，如图1，矩形 与 重叠部分为五边形 （ 时，为四边形 ）．过 作 于 ，则
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
（图3）
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图1）
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图2）
R
M
∴ 即 ∴
∴
即
【047】解：方法一：如图（1-1），连接 ．
N
图（1-1）
A
B
C
D
E
F
M
由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称．
∴ 垂直平分 ．∴ ·········································· 1分
∵四边形 是正方形，∴
∵ 设 则
在 中， ．∴ 解得 ，即 3分
在 和在 中， ， ，
·································································· 5分
设 则 ∴
解得 即 ∴ ······································· 7分
方法二：同方法一， ·································································· 3分
如图（1－2），过点 做 交 于点 ，连接
N
图（1-2）
A
B
C
D
E
F
M
G
∵ ∴四边形 是平行四边形．
∴
同理，四边形 也是平行四边形．∴
∵
在 与 中
∴ ······················· ５分
∵ ∴ ·································· 7分
类比归纳
（或 ）； ； ······································ 12分
【048】解：（1）由题意得 6=a(－2＋3)(－2－1)，∴a=－2，
∴抛物线的函数解析式为y=－2(x＋3)(x－1)与x轴交于B（－3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx＋b，则有0=k＋b，6=－2k＋b，解得 k=－2，b=2，
∴直线AC为y=－2x＋2
（2）①设P的横坐标为a(－2≤a≤1)，则P（a，－2a＋2），M（a，－2a2－4a＋6）
∴PM=－2a2－4a＋6－(－2a＋2)=－2a2－2a＋4=－2a2＋a＋14＋92
=-2a+122+92，∴当a=-12时，PM的最大值为926分
②M1（0，6）M2-14，678
【049】解：（1）由题意得 解得
∴此抛物线的解析式为 ············································· 3分
（2）连结 、 .因为 的长度一定，所以 周长最小，就是使 最小 . 点关于对称轴的对称点是 点， 与对称轴 的交点即为所求的点 .
（第24题图）
O
A
C
x
y
B
E
P
D
设直线 的表达式为 则 解得
∴此直线的表达式为
把 代入得 ∴ 点的坐标为
（3） 存在最大值，理由：∵ 即
∴ ∴ 即
∴
方法一：连结 ，
= [来源:Z。xx。k.Com]
= ，∵ ∴当 时， ··············· 9分
方法二：
=
= ，∵ ∴当 时， ··················· 9分
【050】解：（1）∵ A
E
D
Q
P
B
F
C
N
M
∴ ．而 ，
∴ ，∴ ．∴当 ．
（2）∵ 平行且等于 ，[来源:学科网]
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∴ ． ．∴ ．
过B作 ，交 于 ，过 作 ，交 于 ．
．∵ ，
∴ ．又 ， ， ，
， ．
（3） ．
若 ，则有 ，解得 ．
（4）在 和 中，
∴ ．
∴在运动过程中，五边形 的面积不变．
中财网