2010年中考数学压轴题100题精选（31-40题）
【031】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).
现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA
向终点A运动，设运动时间为t秒.
（1）填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。
【032】如图，已知A、B是线段MN上的两点， ， ， ．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设 ．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
C
A
B
N
M
【033】已知抛物线 （ ）与 轴相交于点 ，顶点为 .直线 分别与 轴， 轴相交于 两点，并且与直线 相交于点 .
(1)填空：试用含 的代数式分别表示点 与 的坐标，则 ；
(2)如图，将 沿 轴翻折，若点 的对应点 ′恰好落在抛物线上， ′与 轴交于点 ，连结 ，求 的值和四边形 的面积；
(3)在抛物线 （ ）上是否存在一点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，试说明理由.
第（2）题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
备用图
（第24题）
【034】若P为 所在平面上一点，且 ，则点 叫做 的费马点.
（1）若点 为锐角 的费马点，且 ，则 的值为________；
（2）如图，在锐角 外侧作等边 ′连结 ′.
求证： ′过 的费马点 ，且 ′= .
A
C
B
第（25）题
【035】如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标 （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相
等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
【036】已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26题图
y
x
D
B
C
A
E
E
O
【037】已知平行于x轴的直线 与函数 和函数 的图像分别交于点A和点B，又有定点P（2，0） .[来源:Zxxk.Com]
（1）若 ，且tan∠POB= ，求线段AB的长；
（2）在过A，B两点且顶点在直线 上的抛物线中，已知线段AB= ，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到 的图像，求点P到直线AB的距离。
【038】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形的形状是 ，
当α=90°时， 的值是 ．
（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求 的值;
②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中,当 时，是否存在这样的点P和点Q，使BP= ？若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由．
【039】如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线 上．
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
(2) 平移抛物线 ，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
(第24题)
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
【040】△ 与△ 是两个直角边都等于 厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点。△ 位置固定，△ 按如图叠放，使斜边 在直线MN上,顶点 与点M重合。等腰直角△ 以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点 与点N重合。设 秒时，△ 与△ 重叠部分面积为 平方厘米。
（1）当△ 与△ 重叠部分面积为 平方厘米时，求△ 移动的时间；
（2）求 与 的函数关系式；
（3）求△ 与△ 重叠部分面积的最大值。
[来源:Zxxk.Com]
2010年中考数学压轴题100题精选（31-40题）答案
【031】解：（1）5 , 24, …………………………………3分
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10－2t. ……………………………………1分
如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得 △AQG∽△ABE,∴ ,
∴QG= , …………………………1分
∴ ( ≤t≤5).
∵ ( ≤t≤5).
∴当t= 时，S最大值为6.…………………1分
② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP= .………………1分
以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.
如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F,则AM= .
由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 , ,
∴ . ………………1分 ∴CQ1= = .则 ,
∴ .……………………………1分
第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,
分别使A P= A Q2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.
则 ,∴ .……1分
②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB,得 .
∵AE= , ∴AN＝ .
∴AQ3=2AN= , ∴BC+BQ3=10-
则 .∴ .
………………………1分
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为 或 或 .
【032】解：（1）在△ABC中，∵ ， ， ．
∴ ，解得 ． ······························································· 4分
（2）①若AC为斜边，则 ，即 ，无解．
②若AB为斜边，则 ，解得 ，满足 ．
③若BC为斜边，则 ，解得 ，满足 ．
C
A
B
N
M
（第24题-1）
D
∴ 或 ． ················································································· 9分
（3）在△ABC中，作 于D，
设 ，△ABC的面积为S，则 ．
①若点D在线段AB上，
则 ．
∴ ，即 ．
∴ ，即 ．
∴ （ ）． ························ 11分
当 时（满足 ）， 取最大值 ，从而S取最大值 ．·················· 13分
②若点D在线段MA上，
C
B
A
D
M
N
（第24题-2）
则 ．
同理可得，
（ ），
易知此时 ．
综合①②得，△ABC的最大面积为 ．······················································· 14分
【033】 第（2）题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
P1
P2
备用图
（1） .……………4分
（2）由题意得点 与点 ′关于 轴对称， ，
将 ′的坐标代入 得 ，
（不合题意，舍去）， .……………2分
， 点 到 轴的距离为3.
， ， 直线 的解析式为 ，
它与 轴的交点为 点 到 轴的距离为 .
.……………2分
（3）当点 在 轴的左侧时，若 是平行四边形，则 平行且等于 ，
把 向上平移 个单位得到 ，坐标为 ，代入抛物线的解析式，
得：
（不舍题意，舍去）， ， .……………2分
当点 在 轴的右侧时，若 是平行四边形，则 与 互相平分，
．
与 关于原点对称， ，
将 点坐标代入抛物线解析式得： ，
（不合题意，舍去）， ， ．……………2分
存在这样的点 或 ，能使得以 为顶点的四边形是平行四边形．
【034】解：（1）2 . ……………2分
A
C
B
P
E
第（25）题
（2）证明：在 上取点 ，使 ，
连结 ，再在 上截取 ，连结 ．
， 为正三角形，
= ，
为正三角形， = ，
= ，
′， ．
，
， 为 的费马点，
过 的费马点 ，且 = + ．………2分
【035】解：（1） （1，0）······································································· 1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度．···························································· 2分
（2） 过点 作BF⊥y轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，则 ＝8， ．
∴ ．
在Rt△AFB中， 3分
过点 作 ⊥ 轴于点 ，与 的延长线交于点 ．
∵ ∴△ABF≌△BCH．
∴ ．
∴ ．
∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分
（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥ 轴于点N，
则△APM∽△ABF．
∴ ． ．
∴ ． ∴ ．
设△OPQ的面积为 （平方单位）
∴ （0≤ ≤10） ············································· 5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
∵ <0 ∴当 时， △OPQ的面积最大．························· 6分
此时P的坐标为（ ， ） ．································································· 7分
（4） 当 或 时， OP与PQ相等．·············································· 9分
对一个加1分，不需写求解过程．
【036】解：（1）由已知，得 ， ，
，
． ．··················· （1分）
设过点 的抛物线的解析式为 ．将点 的坐标代入，得 ．[来源:学&将 和点 的坐标分别代入，得 ···························································· （2分）
解这个方程组， 得 [来源:学#科#网]故抛物线的解析式为 ．········ （3分）
（2） 成立．······································································· （4分）
点 在该抛物线上，且它的横坐标为 ， y
x
D
B
C
A
E
E
O
Ｍ
F
K
G
G
点 的纵坐标为 ．··············· （5分）
设 的解析式为 ，
将点 的坐标分别代入，得
解得
的解析式为 ． ， ．······························ （7分）
过点 作 于点 ，则 ． ，
．又 ， ．
．[来 ． ．
（3） 点 在 上， ， ，则设 ．
， ， ．
①若 ，则 ，
解得 ． ，此时点 与点 重合． ．
②若 ，则 ，解得 ， ，此时 轴．
与该抛物线在第一象限内的交点 的横坐标为1， 点 的纵坐标为 ． ．
③若 ，则 ，[来
解得 ， ，此时 ， 是等腰直角三角形．
过点 作 轴于点 ，则 ，设 ，
y
x
D
B
C
A
E
E
O
Q
P
H
G
G
(P)
(Q)
Q
(P)
．
．
解得 （舍去）． ．（12分）
综上所述，存在三个满足条件的点 ，即 或 或 ．
【037】解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则tan∠POB ，得m=9n，又点B在函数 的图象上，得 ，所以m=3（－3舍去），点B为 ，
而AB∥x轴，所以点A（ ， ），所以 ；
（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a , a），B（ ，a），则AB= － a = ,
所以 ，解得 .
当a = －3时，点A（―3，―3），B（― ，―3），因为顶点在y = x上，所以顶点为（－ ，－ ），所以可设二次函数为 ，点A代入，解得k= － ,所以所求函数解析式为 .
同理，当a = 时，所求函数解析式为 ；
（3）设A（a , a），B（ ，a），由条件可知抛物线的对称轴为 .
设所求二次函数解析式为： .
点A（a , a）代入，解得 ， ，所以点P到直线AB的距离为3或 。
【038】解：（1）矩形（长方形）； ．
（2）① ， ， ．
，即 ， ， ．························· 4分
同理 ， ， 即 ，
， ． ．············································ 6分
②在 和 中，
[来源:学科网ZXXK] ．··································· 7分
．设 ，[来源:学科网]在 中， ，解得 ．·· 8分
．······································································ 9分
（3）存在这样的点 和点 ，使 ．·············································· 10分
Q
C
B
A
O
x
P
y
H
点 的坐标是 ， ．·············································· 12分
对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．
过点 画 于 ，连结 ，则 ，
， ，
．设 ， ， Q
C
B
A
O
x
P
y
H
，
① 如图1，当点P在点B左侧时，
，
在 中， ，[来源:学科网ZXXK]
解得 ， （不符实际，舍去）．
， ．
②如图2 ，当点P在点B右侧时， ， ．
在 中， ，解得 ． ，
．综上可知，存在点 ， ，使 ．
【039】(1) 将点A(-4，8)的坐标代入 ，解得 ． ……1分
将点B(2，n)的坐标代入 ，求得点B的坐标为(2，2)，
则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． ……1分
(第24题(1))
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
Q
P
直线AP的解析式是 ． ……1分
令y=0，得 ．即所求点Q的坐标是( ，0)． ……1分
(2)① 解法1：CQ=︱-2- ︱= ， ……1分
故将抛物线 向左平移 个单位时，A′C+CB′最短，
此时抛物线的函数解析式为 ． ……1分
(第24题(2)①)
4
x
2
2
A′
8
-2
O
-2
-4
y
6
B′
C
D
-4
4
A′′
解法2：设将抛物线 向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的 坐标为A′′(-4-m，-8)．
直线A′′B′的解析式为 ． 要使A′C+CB′最短，点C应在直 线A′′B′上，将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得 ．
故将抛物线 向左平移 个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为 ． ……1分
(第24题(2)②)
4
x
2
2
A′
8
-2
O
-2
-4
y
6
B′
C
D
-4
4
A′′
B′′
② 左右平移抛物线 ，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短； ……1分
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分
第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ……1分
点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为 ．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得 ．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为 ．……1分
【040】（1）解 ①如图1，当 在△ABC内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：
解得x= ……（2分）
②如图3 ，当 在△ABC内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：
N= 列式得( )× =
解得x= ……（2分）
综上所述，当△ 与△ 重叠部分面积 为 平方厘米时，△ 移动的时间为 或（ ）秒。
图1
图2
图3
图1
（2） ①如图1，当0≤x≤ 时 ……（1分）
②如图2，当 ≤x≤ 时，如图，△D N, △ ,△ 是等腰直角三角形， N＝ ，GF=MN= ,
即 …(3分)
③如图3，当 ≤x≤ 时， …（1分）
（3）①当0≤x≤ 时， ……（1分）
②当 ≤x≤ 时， ……（2分）
③当 ≤x≤ 时， ……（1分）
所以，△ 与△ 重叠部分面积的最大值为5。
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