太极图和八卦图的几何意义

王洪吉 天津理工大学理学院，天津300191

摘要  本文主要研究太极图与八卦图的几何意义。指出六维广义笛卡儿坐标系就是一个太极图，这个坐标系的八个卦限对应八卦图的八个符号。

关键词    周易；  太极图；  八卦图；  广义笛卡儿坐标系

一、引      言

    《周易》是我国传统文化的精髓．它利用太极图和八卦图，以阴阳变化来说明宇宙万物的一切现象，有“众经之首”、“大道之源”和“天人之学”之称 。

        笔者曾发现 “太极图”中的两条鱼（阴阳鱼）是人的半圈着的两只手，一左一右. 鱼头是手与手腕相连的部分，鱼尾是手的手指尖部分. 两只鱼眼是手的大拇指的指向，黑色和白色相当于物理学中的符号⊙和 ，太极图表示左旋性和右旋性，左手定则和右手定则。《周易》中的阴爻 -  - 和阳爻 —— 的符号就是数学中的虚数单位i  和实数单位1 的符号 ．四象为四元数的基底，八卦为八元数的基底。“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”中的“太极、两仪、四象和八卦.”就是实数域、复数域、四元数体和八元数代数（有限维的实交错代数），“生”就是数学中的“扩张”和“超越扩张”．从代数学的角度说明了“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的方式。

    在这基础上，根据《周易》中，“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地， 观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情”的说法，笔者又建立了八元数的物理理论．利用一个方程统一了力学、电磁学、量子力学和万有引力理论，给出了一些新结果，解决了一些物理学中的基本问题。在这一期间，因为物理上的需要，在八元数代数的基础上，笔者还建立了一套新的系统的八元数分析、六维矢量代数、六维矢量分析和六维矢量几何理论。

    笔者认识到，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，是古代人们的一种思维方式。为此笔者还写了：一阴一阳之为道，太极、两仪、四象、八卦与DNA，太极、两仪、四象、八卦与十二经脉，太极、两仪、四象、八卦与基本粒子，曾侯乙编钟的音律体系，十二音律元素周期表，等一系列的文章。

    本文主要研究太极图与八卦图的几何意义。指出广义笛卡儿坐标系就是一个太极图，八卦图对应着八个卦限。

二、广义笛卡儿坐标系

    一个有六个坐标轴的坐标系称为广义笛卡尔坐标系，在这个坐标系中x, y, z, 轴为实轴X, Y, Z 轴为虚轴，分别沿x, y, z, 轴的反方向。

    显然，若x, y, z, 轴满足右手关系，X, Y, Z 满足左手关系。反过来，若x, y, z, 轴满足左手关系，X, Y, Z 满足右手关系。

三、太极图的几何意义 
 

      如前所述，太极图是用来说明八元数的性质的示意图.太极图的两条鱼，一黑一白，是人的半圈着的两只手，一左一右. 鱼头是手与手腕相连的部分，鱼尾是手的手指尖部分. 两只鱼眼是手的大拇指的指向，黑色和白色相当于物理学中的符号⊙和 。太极图表示左旋性和右旋性，左手定则和右手定则。

      如前所述，在广义笛卡尔坐标系中，若x, y, z, 轴满足右手关系，X, Y, Z 满足左手关系。反过来，若x, y, z, 轴满足左手关系，X, Y, Z 满足右手关系。因此，广义笛卡儿坐标系是太极图的一种几何表示，太极图具有直观的几何意义。

四、八卦的几何意义 

    八卦图为下述形式

乾     兑      离      震      巽     坎      艮      坤

——   -  -    ——    -  -    ——   -  -    ——    -  -

——   ——    -  -    -  -    ——   ——    -  -    -  -

——   ——    ——    ——    -  -   -  -    -  -    -  -

图1 伏羲八卦

      广义笛卡尔坐标系中也是把空间分为八个卦限。第一卦限由三个正方向的实轴包围，对应乾卦。第二卦限由一个正方向虚轴，两个正方向的实轴包围对应兑卦。第三卦限由由两个正方向虚轴，一个正方向实轴包围对应震卦。第四卦限由由一个正方向虚轴，两个正方向实轴包围对应离卦。第五卦限由两个正向实轴，一个虚轴对应巽卦。第六卦限由两个正向虚轴，一个实轴包围对应坎卦。第七卦限由三个正向虚坐标轴包围对应坤卦。第八卦限由两个正向虚轴，一个正向实轴包围对应艮卦。

      以上是根据数学上的习惯顺序,由图1的八个卦限画出了八个卦。若采用周易太极图中的S型曲线，就是第一卦限、第二卦限、第四卦限、第三卦限、第五卦限、第六卦限、第八卦限、第七卦限的顺序，与伏羲八卦图的顺序完全一致了。

    伏羲八卦图中间一个太极图，周围八个卦正好对应着一个广义笛卡尔坐标系。

参  考  文  献

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[28]王洪吉，中国科技论文在线，自荐学者