关注数学本质，组织有效教学活动

晋江市教师进修学校  蔡福山

发表于《福建教育》2009年7月

数学是一种再创造活动，而不只是印刻在书上和死记在脑子里的结论。数学教学应该通过数学活动让学生领悟数学抽象、严密和简洁等的本质特点，感受到数学理性的精神力量。在实践中如何把握数学本质呢？下面结合第二届“智慧·互动·成长”全国青年教师教学风采展示活动的课例，谈谈个人的理解与思考。

一、把握知识的本质属性

如果将数学作为“理论的演绎体系”来理解，关注数学本质就应该准确把握其研究结果。构成数学知识体系的基石是数学概念，数学的整个体系都是由基本概念出发，以基本概念为核心进行构建的。数学的基本概念，是构成和反映数学本质的重要组成部分。关注数学本质就应准确把握知识的本质属性。对此，可以从三个维度考虑：寻找知识的生活原型，理解知识的数学内涵，构建知识的网络体系。

如教学《百分数的认识》时，许贻亮老师以教师收集和学生提供两种方式，为百分数的认识提供了丰富的生活原型，如学生近视率，今年和去年植树棵数的百分比，投篮命中率，“5.12地震”北川县倒塌房屋的百分比及衣服、纸巾等材料成分的百分比等，为百分数知识的建构提供了充足的“原材料”。在此基础上，组织学生从百分数的外在形式（百分数的读法、写法）到百分数的现实作用、数学意义，逐步深入地理解百分数的数学内涵，如百分数是两个数比的结果，比的结果用百分之几表示，百分数不表示具体的数量等。在探究的过程中，注重知识间的沟通与联系，始终把百分数的认识放在与上位概念分数的联系中学习，让学生鲜明地感受到其中的共同点，增强知识的熟识感，强化正迁移。通过问题“百分数可以换写成分数，分数都能换写成百分数吗”，让学生初步理解两者的区别。可以说，这节课以百分数的生活原型为抓手，不断促进学生透过现象把握本质，层层深入地挖掘数学内涵，帮助学生建构起较为丰实而稳固的知识结构。在问题思考与思维碰撞中，学生的经验被唤醒了，思维被激活了，课堂显得充实而富有张力。

二、亲历数学化的过程

如果将数学作为“数学研究的过程，是数学真理的抽象概括过程”来理解，把握数学本质，就必须引领学生经历数学化的过程。让学生用数学的眼光去透视事物，提出并解决数学问题，实现对数学知识、数学观念的自我建构和发展，从而获得对数学内容本质的认识。

首先，要处理好活动化与数学化的关系。数学活动是数学化的载体，是实现数学化的途径；数学化是数学活动的本质特征。没有数学活动，数学学习就没有载体，学生的学习就容易遇到障碍；没有数学化的历程，学生就容易迷失方向，学生的学习就会在浅层次徘徊。因此，教学时既要安排适当的数学活动，又要抓住数学活动的本质。如教学《三角形边的关系》时，丁杭缨老师首先组织学生独立操作，把一根吸管任意剪成三段，用线把它们首尾串起来，然后把学生操作的三种不同情况（两边和大于第三边，两边和等于第三边，两边和小于第三边）粘贴于黑板上，引导学生分别对能围成三角形与不能围成三角形的数学信息进行思考与解释，初步建构，得出“三角形两条边之和大于第三边”。接着让学生从数学逻辑推理角度对这个结论加以验证和修正，然后引导学生思考：“两边固定，第三边变长，对应的角会发生什么变化？”“等腰三角形底边不变，两条腰越短，顶角发生什么变化？”“如果再让你剪三刀，怎么剪一定能围成三角形？”纵观整节课，以吸管的“剪” “围”活动为脚手架，始终围绕着“三角形边的关系”进行建构、解构与重构，活动简、精、实，始终洋溢着浓厚的数学味。活动层层递进，认识不断深入，数学本质逐步凸显，在物化——内化——外化的数学化过程中，有效地实现对三角形三边关系知识的建构。

其次，要处理好生活化与数学化的关系。数学化有两个层次：一是横向的数学化，即把生活世界引向符号世界。如郑珠亮老师教学《找规律》时，出示主题图后，让学生思考“为什么图看上去这么漂亮？”引导学生观察盆花、彩灯和彩旗的摆放，得出“重复出现”、“依次排列”的数学现象，从而使规律性排列的现象走进学生的数学视野、数学学习。二是纵向的数学化，即在符号世界里，符号生成、重塑和被使用。如张齐华老师在教学《分数的意义》时，通过一系列的数学活动，引导学生在广阔的数学知识背景中，经历分数的不断抽象的过程：①数字“1”可以表示什么？从1本书的单一物体到一个班级的一个群体，拓展学生对“1”的认识；②如果把3个苹果看作“1”，那么6个苹果是几？12个苹果呢？进而揭示“1”所具有的计量单位意义，引入单位“1”；③不同物体或不同的整体，平均分成4份取3份，为什么都可以用3/4来表示？能不能用3/4表示，跟单位“1”是谁有关系吗？从而揭示分数的抽象含义；④如果把数轴0到1看作单位“1”，3/4在哪个位置？帮助学生实现由分数的无量纲性向有量纲性的跨跃。整个教学过程，通过抽象与联系，从数字“1”开始，不断地完善学生对“1”的认识，沟通“1”与整数、分数的联系，最终获得对一般的分数意义的理解与把握。

数学教学应该与学生的生活经验对接，但在活动化、生活化的同时，要唤醒学生与数学本质相通的生活体验和知识，适时对学生的经验进行重组、改造和提升，以防止数学内涵的流失。数学教学的活动化、生活化的最终归宿是达成学生对数学知识的数学化。

三、把握数学文化和思想

如果将数学“作为人类的一种文化和思想”来理解，那么把握数学本质，应该突出在数学基本概念背后、在数学规则探究与解决问题的过程中蕴涵的丰富的数学文化、思想和精神，突出其发现研究过程中人们对思想内涵和数学理性精神的不断追问。首先，应充分利用数学深刻的文化背景和内在魅力吸引学生；其次，还应引导学生领悟数学知识所蕴含的数学思想方法。如，分类思想、化归思想、符号化思想、数形结合思想、函数思想等，让学生从数学学习过程中获得朴素而又广泛的、深厚而又灵动的、能广泛迁移的、具有生长性的思想，帮助学生通过数学学会思维。

如李培芳老师在引导学生验证“三角形两边之和大于第三条边”时，组织了三个逐步递进的数学活动：①以黑板上的“魔术三角形”为例展开验证，发现“两边之和”应完整表述为“任意两边之和”。②提问：“一个三角形的验证，足够吗？”拓展验证的范围，组织每个学生在作业纸上画一个三角形，通过量一量、算一算的方法来验证。③提问：“36个三角形就足够吗？”引导学生：“三角形是画不完的，但这么多的三角形其实可以分为几类？” “如果我们可以证明每一类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）都符合规律，是否就能证明这个结论是正确的？”通过三次验证活动，使学生充分地感受到数学的严谨性、逻辑性，感受到分类思想、归纳思想，有力地提升数学思考的能力。

如果把整个数学体系看作一棵参天大树的话，那么对现实世界的理性思考就是土壤，数学文化和数学思想就是根。“叶茂需根深，树大需土厚”，因此数学教学应引导学生不断追问数学内涵，历经“数学化”的过程，彰显数学文化、领悟数学思想。