重大疾病提前退休政策:勾股定理习题精选(
来源:百度文库 编辑:中财网 时间:2024/04/28 03:59:08
习题精选一
1.等边三角形的高是h,则它的面积是(
A. h2 B. h2 C. h2 D. h2
答案:B
说明:如图,ΔABC为等边三角形,AD⊥BC,且AD=h,因为∠B=60º,AD⊥BC,所以∠BAD=30º;设BD=x,则AB=2x,且有x2+h2=(2x)2,解之得x= h,因为BC=2BD= h,所以SΔABC= BC•AD= • h•h= h2,所以答案为B.
2.直角三角形的周长为12cm,斜边长为5cm,其面积为(
A. 12cm2
答案:D
说明:设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm,依题意得:
由①得x+y=7③,由③得(x+y)2=72,即x2+y2+2xy=49,因为x2+y2=25,所以25+2xy=49,即xy=12,这样就有S= xy = ×12=6,所以答案为D.
3.下列命题是真命题的个数有(
①直角三角形的最大边长为 ,短边长为1,则另一条边长为
②已知直角三角形的面积为2,两直角边的比为1:2,则它的斜边长为
③在直角三角形中,若两条直角边长为n2−1和2n,则斜边长为n2+1
④等腰三角形面积为12,底边上的高为4,则腰长为5
A.1个
答案:D
说明:①因为另一条直角边长的平方为( )2−12=3−1=2,所以另一条边长为 是正确的;②设两直角边为k和2k,而由已知 •k•2k=2,所以k= ,故两直角边长为 ,2 ,所以斜边长为 = ,故②正确;③因为(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2,故③正确;④由面积、底边上的高可得底边为6,故底边的一半为3,所以斜边长为 =5,故④正确;所以答案为D.
4.直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为m,则这个三角形的周长是(
A. + 2m B. +m C.2( +m) D.2 +m
答案:C
说明:如图,设AC=x,BC=y,则 xy=S;因为CD为中线,且CD=m,所以AB=2CD=2m,所以x2+y2=( 2m)2=4m2,(x+y)2=x2+2xy+y2=(x2+y2)+2xy=4m2+4S,即x+y= ,所以ΔABC的周长为:AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m),答案为C.
5.如图,已知边长为5的等边ΔABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且ED⊥BC,则CE的长是(
A.10 −15 B.10−5 C.5 −5 D.20−10
答案:D
说明:设DC=x,因为∠C=60º,ED⊥BC,所以EC=2x
因为ΔAEF≌ΔDEF,所以AE=DE=5−2x
由勾股定理得:x2+(5−2x)2=(2x)2,即x2−20x+25=0,解得x= =10±5
因为DC 6.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a,那么a的取值可以有( A.0个 答案:C 说明:①若a为斜边长,则由勾股定理有22+42=a2,可得a=2 ;②若a为直角边长,则由勾股定理有22+a2=42,可得a=2 ,所以a的取值可以有2个,答案为C. 7.小明搬来一架2.5米长的木梯,准备把拉花挂在2.4米高的墙上,则梯脚与墙脚的距离为( A.0.7 答案:A 说明:因为墙与地面的夹角可看作是直角,所以利用勾股定理,可得出梯脚与墙脚的距离为 = = =0.7,答案为A. 8.一个直角三角形的斜边长比直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为( A.6 答案:C 说明:设直角边长为x,则斜边为x+2,由勾股定理得x2+62=(x+2)2,解之得x=8,所以斜边长为8+2=10,答案为C. 9.如图,在ΔABC中,若AB>AC,AE为BC上的中线,AF为BC边上的高,求证:AB2−AC2=2BC·EF 证明:因为AF⊥BC,所以在RtΔAFB中,由勾股定理得:AB2=AF2+BF2 在RtΔAFC中,由勾股定理得:AC2=AF2+FC2 所以AB2−AC2=BF2−FC2=(BF+FC)(BF−FC)=BC•(BF−FC) 因为BF=BE+EF,FC=EC−EF,BE=EC 所以BF−FC=2EF 所以AB2−AC2=BC•2EF=2BC•EF 10.如图,ΔABC中,∠A=90º,E是AC的中点,EF⊥BC,F为垂足,BC=9,FC=3,求 AB. 解:如图,作AD⊥BC 因为EF⊥BC,所以AD//EF 因为E为AC中点,所以F为DC的中点 因为FC=3,所以DF=3,DC=3+3=6 因为BC=9,所以BD=9−6=3 设EC=x,则AC=2x 由勾股定理得:AC2=AD2+DC2,AB2=AD2+BD2 所以AC2−AB2=DC2−BD2① 即AC2−AB2=62−32=27 因为∠A=90º,由勾股定理得AB2+AC2=BC2=81② 由②−①得2AB2=81−27=54,所以AB2=27,即AB= =3 习题精选二 1.判断题 ⑴在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角. ⑵命题:“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半.”的逆命题是真命题. ⑶勾股定理的逆定理是:如果两条直角边的平方和等于斜边的平方,那么这个三角形是直角三角形. ⑷△ABC的三边之比是1:1: ,则△ABC是直角三角形. 答案:对,错,错,对; 2.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是( A.如果∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形. B.如果c2=b2—a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°. C.如果(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形. D.如果∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形. 答案:D 3.下列四条线段不能组成直角三角形的是( A.a=8,b=15,c=17 B.a=9,b=12,c=15 C.a= ,b= ,c= D.a:b:c=2:3:4 答案:D 4.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形?并指出那一个角是直角? ⑴a= ,b= ,c= ; ⑶a=2,b= ,c= ; 答案:⑴是,∠B;⑵不是;⑶是,∠C;⑷是,∠A. 5.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确. ⑴如果a3>0,那么a2>0; ⑵如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形; ⑶如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等; ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等. 答案:⑴如果a2>0,那么a3>0;假命题. ⑵如果三角形是锐角三角形,那么有一个角是锐角;真命题. ⑶如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等;假命题. ⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称;假命题. 6.填空题. ⑴任何一个命题都有 ⑵“两直线平行,内错角相等.”的逆定理是 ⑶在△ABC中,若a2=b2-c2,则△ABC是 ⑷若在△ABC中,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,则△ABC是 答案:⑴逆命题,逆定理;⑵内错角相等,两直线平行;⑶直角,∠B,钝角;⑷直角. ⑸小强在操场上向东走80m后,又走了60m,再走100m回到原地.小强在操场上向东走了80m后,又走60m的方向是 答案:向正南或正北. 7.若三角形的三边是 A.2个 答案:B 8.若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是( A.等腰三角形; B.直角三角形; C.等腰三角形或直角三角形; D.等腰直角三角形. 答案:C 9.如图,在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿,早晨测得它的影长为 4米,中午测得它的影长为 1米,则A、B、C三点能否构成直角三角形?为什么? 答案:能,因为BC2=BD2+CD2=20,AC2=AD2+CD2=5,AB2=25,所以BC2+AC2=AB2 10.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,问:甲巡逻艇的航向? 答案:由△ABC是直角三角形,可知∠CAB+∠CBA=90°,所以有∠CAB=40°,航向为北偏东50°. 11.如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量.小明找了一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米, DA=12米,又已知∠B=90°. 提示:连结AC.AC2=AB2+BC2=25,AC2+AD2=CD2,因此∠CAB=90°, S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米. 12.已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,且CD2=AD·BD.求证:△ABC中是直角三角形. 提示:∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2,∴∠ACB=90°. 13.在△ABC中,AB=13cm,AC=24cm,中线BD=5cm.求证:△ABC是等腰三角形. 提示:因为AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC. 14.已知:如图,∠1=∠2,AD=AE,D为BC上一点,且BD=DC,AC2=AE2+CE2.求证:AB2=AE2+CE2. 提示:有AC2=AE2+CE2得∠E=90°;由△ADC≌△AEC,得AD=AE,CD=CE,∠ADC=∠BE=90°,根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC,则AB2=AE2+CE2. 15.已知△ABC的三边为a、b、c,且a+b=4,ab=1,c= ,试判定△ABC的形状. 提示:直角三角形,用代数方法证明,因为(a+b)2=16,a2+2ab+b2=16,ab=1,所以a2+b2=14.又因为c2=14,所以a2+b2=c2 .