联想笔记本引导键:章建跃：影响数学概念学习的因素

一、学生的已有经验

学生获得概念的能力随年龄的增长、智力的发展、经验的增加而发展。研究表明，就智力与经验对概念学习的影响程度来看，经验的作用更大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的“经验”除了从学校学习中获得以外，学生从日常生活中获得的经验也起到非常重要的作用。事实上，学生掌握的许多科学概念都是从日常概念中发展而来的。因此，教师应注意指导学生从自己的日常生活中积累有利于概念学习的经验，同时又要注意利用学生的日常经验，为概念教学服务。

就数学概念学习而言，“经验”对新概念学习的影响更多地表现在概念系统的扩张上，有的学生能够从过去的经验中找出与新概念相关的概念，在比较它们异同的基础上建立起新概念，而有的学生则会受这种经验的干扰，产生错误的概念理解。例如，学生从小学就开始接触平方运算，在他们的经验中，平方运算只与“正”联系在一起；另外，关于方程，他们所熟悉的也是一次的，即一个方程对应一个解。在学习“平方根”与“算术平方根”这两个概念时，由于一个正数的平方根涉及到正负两个数，而事实上这两个数就是方程x2=a的两个根，这与他们的经验是非常不同的，于是就出现了“平方根”概念学习的极大困难；与此同时，又要学习“算术平方根”概念，这样就出现了有时要取正负两个值，有时又只能取一个正数的情况，从而引起理解上的混乱。

为了防止经验对新概念学习产生的消极影响，首先仍然应该在基本概念的教学上狠下功夫，要把基本概念放在中心地位，使它成为联系相关知识的纽带，突出概念之间的内部联系性。数学中有的概念是具有统贯全局作用的，例如“集合”、“函数”、“方程”、“距离”等，这些概念就应该让学生有反复接触的机会，并以它们为基础，演绎出其它概念，用奥苏伯尔的话来说，就是：从学习最一般的概念然后逐渐分化出较具体的概念，往往是最有效的。例如，高中代数教材编排由“对应”到“映射”再到“函数”再到“幂函数”、“指数函数”、“对数函数”等具体函数，就是按照“逐渐分化”原则安排的。当然，并不是所有内容都可以这样安排，例如“数系”就不可能按照“复数?实数?有理数、无理数?整数、分数?自然数”的顺序安排，因为这一顺序与人们认识“数”概念的日常经验相反。对于这样的内容，教学时就要注意给出恰当数量的实例，使学生有一个从各个具体例子中概括出共同特征并再抽象出本质特征的机会（实际上就是应该注意应用“概念形成”的教学策略），由浅入深、由易到难、由已知到未知地进行学习。同时还要注意及时引导学生探讨新旧概念之间的关系，找出它们的相同点和不同点。例如，学习“二次根式”时，既要注意由 ＝a(a＞0)、 ＝a(a＞0)引出 ＝êa?（a?R），又要注意将 ＝êa?（a?R）与( )²＝a(a＞0)、 ＝a(a＞0)作比较，找出它们的差异，并让学生有充分的实践机会，以建立起这种联系与差异的感觉。这里我们强调了让学生利用概念进行反复练习的重要性，我们认为，这种练习不能与机械重复等同，因为数学概念与学生的现实之间的距离比较遥远，如果他们没有机会对概念进行反复练习，那么达到理解所需要的那种感觉就难以建立。例如，“有理数”、“无理数”概念，学生就是在对2、3、5等数进行开平方的计算过程中，看到不是循环小数，而有些数又是有限小数或循环小数，在这样的运算、比较的过程中来理解和掌握它们的。当然，这种反复训练应该与学生的认知水平相适应，应该及时地向学生提出理解上的高标准。随着学生年龄的发展，数学学习的深入，他们可以逐渐做到在抽象概念的指导下进行实际训练，使概念的理解与应用之间相互促进，以加快理解速度、提高训练效率。

二、感性材料或感性经验

概念形成主要依靠对感性材料的抽象概括，而概念同化则主要依靠对感性经验的抽象概括。因此，感性材料或感性经验是影响概念学习的重要因素。具体地，可以从下列四个方面来看：

1．数量。感性材料和感性经验的数量太少，学生对概念的感知不充分，对掌握概念所必须的经验不能建立起来，就难以对概念对象的各种要素进行全面鉴别，这样就会由于对概念的本质属性和无关属性的比较不充分而无法建立理解概念所需要的坚实基础。当然，这种数量也不能太多，否则，无关属性将有可能得到不恰当的强化而掩盖了本质属性。

2．变式。变式是变更对象的非本质属性的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质属性，突出那些隐蔽的本质要素，一句话，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化，让学生在变式中思维，可以使学生更好地掌握事物的本质和规律。

变式是概念由具体向抽象过渡的过程中，为排除一些由具体对象本身的非本质属性带来的干扰而提出来的。一旦变更具体对象，那么与具体对象紧密相联的那些非本质属性就消失了，而本质属性就显露出来。数学概念就是通过对变式进行比较，舍弃非本质属性并抽象出本质属性而建立起来的。例如，在学习三角形的高这一概念时，可以为学生提供如图的变式，也即向学生提供一些在形状（锐角、直角、钝角三角形。如下图所示）、位置等方面有变化的不同三角形的例证，让学生通过对这几种典型变式的思维加工，抽象概括出“三角形的高”的定义。

值得注意的是，变式不仅可以在概念形成过程中使用，也可以在概念的应用中使用。因此，我们既可以变更概念的非本质属性，也可以变换问题的条件和结论；既可以转换问题的形式或内容，也可以配置实际应用的各种环境。总之，就是要在变化中求不变，万变不离其宗。这里，变的是事物的物理性质、空间表现形式，不变的是事物在数或形方面的

本质属性。变化的目的是为了使学生有机会亲自经历概念的概括过程，使学生所掌握的概念更加精确、稳定和易于迁移，避免把非本质属性当成本质属性。

变式的运用要注意为教学目的服务。数学知识之间的联系性是变式的依据，即利用知识的相互联系，可以有系统地获得概念的各种变式。另外，变式的运用要掌握好时机，只有在学生对概念有了初步理解，而这种理解又需要进一步深化的时候运用变式，才能收到好的效果，否则，如果在学生没有对概念建立初步理解时就运用变式，将会使学生不能理解变式的目的，变式的复杂性会干扰学生的概念理解思路，先入为主而导致理解上的混乱。

3．典型性。实践表明，概念的本质属性越明显，学习越容易，非本质属性越多、越突出，学习就越困难。因此，在对概念进行举例时，为了突出概念的本质属性，减少学习困难，教师可以采用扩大有关特征的办法，并且对一个概念的本质属性可以作适当的归类练习。例如，对“单项式”概念，主要涉及单项式的定义、系数、次数等几个方面。对定义，应该突出“数字与字母的积”，所举例子既有形如4x²、－ ab、m的，又要让学生分析单独一个数是否为单项式；对“系数”，既有正系数，又要有负系数，特别应该让学生指出x、－x以及2、－5这样的“数字单项式”等特殊单项式的系数是多少；对单项式的“次数”，既要有x²、x³，又要有ab、－7xy³等，并要让学生辨别“数字单项式的次数是多少”。这些具有典型性的概念例证，可以帮助学生在概念学习中抓住本质属性，理解概念的各个方面。

4．反例。概念的反例提供了最有利于辨别的信息，使人产生深刻印象，对概念认识的深化具有非常重要的作用。反例的适当使用不但可以使学生对概念的理解更加精确，而且还可以排除无关属性的干扰。如学生往往把“复数的模”与“实数的绝对值”这两个概念混淆起来，出现诸如“?z₁?=?z₂?，则z₁=±z₂”之类的错误。通过反例“z1=i，z2=1，有?z₁?=?z₂?，但z₁1±z₂”，立即能够纠正这种错误。又如，学生在学习函数概念时，往往只注意函数的表达式而忽视函数的定义域，这表明学生在理解概念时割裂了概念本质属性的诸方面，这时可举反例“y=x与y=是同一个函数吗？”另外，学生在概念学习中，往往在概念定义的搭词上发生错误，如“三点确定一个平面”、“两条没有公共点的直线叫做平行线”等，这些问题发生的原因不仅是由于学生的粗心，主要还是因为学生没有把注意指向概念本质属性诸方面之间的关系，没有把这种关系当成关键特征来认识，举反例可以促使学生增强对这种关系的重要性的认识。

应该注意的是，“反例”的运用是有时机的，一般来说，我们不能在学生刚刚接触概念时就运用反例，否则将有可能使错误概念先入为主，对概念的理解产生干扰。反例是在学生对概念有了一定理解的基础上才能使用的。

从上所述可知，教师为学生提供的经验材料太少或者太多都会对概念学习产生不利影响，这是教学中举正例时所应注意的。另一方面，仅从正面还不足以使学生真正理解概念，还必须引导学生从侧面和反面来理解概念，所谓“从侧面理解概念”，就是利用“变式”来理解概念，用等值语言来叙述和理解概念；而所谓“从反面理解概念”，主要则是“举反例”，就是把概念所包含的某一个或几个关键属性抽去，看看会出现什么情况。

三、学生的概括能力

概括是形成和掌握概念的直接前提。学生学习和应用知识的过程就是一个概括过程，迁移的实质就是概括。概括又是一切思维品质的基础，因为如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生掌握；没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批评性也就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性与创造性也就无从谈起；没有概括，就不能实现思维的“缩减”或“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现。学生掌握概念，直接受他们的概括水平的制约，要实现概括，学生必须能对相应的一类具体事例的各种属性进行分化，再经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来；在此基础上，再进行类化，即把概括而得到的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在更高层次上的抽象概括过程；然后，还要把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已掌握的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。从上所述可知，对概念的具体例证进行分化是概括的前提，而把概念类化，使新概念纳入到概念系统中去，又成为概念学习深化的重要步骤，因此，教师应该把教会学生对具体例证进行分化和类化当成概念教学的重要环节，使学生掌握分化和类化的技能技巧，从而逐渐学会自己分析材料、比较属性，并概括出本质属性，以逐步培养起概括能力。另外，数学概括能力中，很重要的是发现关系的能力，即发现概念的具体事例中各种属性之间的关系，发现新概念与已有认知结构中相关概念之间关系的能力，如果发现不了这种关系，概括也就难以进行。例如，在学习复数的模这一概念时，获得的是：复数z＝a＋bi的模是与复平面内的点Z(a,b)相对应的有向线段OZ的长度，即点Z(a,b)到原点O的距离，也叫复数a＋bi的绝对值。为了让学生经历“复数的模”的概括全过程，教师就应该引导他们将它纳入到已有的数的绝对值概念系统中去。在具体做法上，可以引导学生比较复数的绝对值与以前掌握的实数的绝对值之间的异同，把后者看成是前者的发展，把前者看成是后者的特例。然后，再就几何意义的解释上，将实数轴看成是复平面的一部分，实数a对应于复平面内的点(a,0)，从而有÷a÷＝ ，实数的绝对值解释成复数的模。实践表明，在概念学习中，只有按照数学概念的层次结构，通过不断深入的抽象概括，形成结构功能良好的概念体系，才能使学生准确地掌握概念的本质，形成比较完善的数学认知结构。实际上，数学概念的抽象性具有层次性的特点，这就带来了概念学习中概括活动的层次性，成为一个螺旋上升的过程，抽象程度低的概念成为高层次概括活动的具体素材，随着概括活动层次的提高，学生掌握的概念的抽象程度也在提高，并逐渐形成概念的体系。因此，数学概念的学习与教学必须做到“彼此照应”，注意概念的发展。

四、数学语言表达能力

语言给事物以命名，对事物的属性与功能进行表述。通过命名，可以使人头脑中关于事物的表象简约化。因为事物有了自己的“名字”，当它的表现形式发生改变而把本质特征掩盖起来时，人们可以利用这个“名字”以避免认知上的混乱。对事物的属性或功能的叙述，可以帮助学习者深化概念学习，使概念各要素之间的关系更加明确，使一个概念与其它概念之间的联系与区别更加清晰。语言使个体在理解概念的过程中，无需从头观察事物或回忆有关表象就能直接形成概念。所以，语言表达是概念学习过程中非常重要的一个环节。数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理，而数学语言表达能力直接影响到逻辑推理的进行，当然也影响到数学概念的形成。另外，学生能够用自己的语言正确地叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这是学生深刻理解概念的一种标志。

许多数学概念的语言表述都代表了概念产生的条件，是相应事物在数或量方面的发生发展过程的一种抽象，因此，概念的叙述过程实际上表明了概念应用时应该遵循的一种操作程序。例如，“单调函数”概念的语言表述是“设函数f(x)的定义域为Ｅ，如果对于属于定义域Ｅ内某个区间上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数；如果对于属于定义域Ｅ内某个区间上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数”，根据这个定义的叙述，我们可以总结出判断函数单调性的操作程序是：

    （1）设x₁，x₂是给定区间上的任意两个自变量值，且x₁＜x₂；

    （2）分别计算f(x₁)和f(x₂)；

    （3）判断差f(x₁)－f(x₂)值的符号；

因此，要深刻理解和熟练应用概念，就应该对概念的语言叙述过程进行分解，以使学生掌握概念应用的操作程序。

五、概念教学的策略

概括上述各节的有关论述，结合心理学家提出的概念教学的策略，我们引述一些概念教学的方法。

1．当正面的事例和反面的事例有明显的区别时，在正面的例子都非常一致的情况下，最容易习得概念。例如，“算术根”与“算术平方根”由于区别不太明显，教学就比较难；而三角形、四边形这些概念就比较容易教，因为它们的特征很容易识别，与其它图形的区别也很容易。

2．有大量实在属性的概念问题，比缺乏实在属性的概念问题更加容易解决。这意味着，为问题解决提供的线索越多，就越容易使问题获得解决；而给抽象的概念建立起具体模型，更有利于概念的掌握。例如，如果给公式(a+b)2=a2+2ab+b2配以图形解释，学生将比较容易而且牢固地掌握公式。

3．在为学生提供教学情境时，要对正例与反例作出恰当的组合。在开始学习某个概念时，从正例中获得的信息比从反例中获得的信息更多些。这可能是由于学生在日常生活中的学习一般都伴随着正例的缘故。但在对学生进行从反例中获得信息的训练后，这种倾向会消失。

4．通过减少无关属性的数量，可以比较容易地习得概念。例如，在数学教学中，我们经常采用的突出关键属性的方法，就是这一原理的应用。

5．概念学习的技能是随年龄的增长而发展的。所学习的概念的抽象程度应该与学生的思维发展水平相适应。

6．焦虑是与概念学习相关的。在学习简单概念时，焦虑的增长会导致更快地习得概念，但是，在学习复杂概念时，焦虑对学习会起破坏性的影响。

7．如果告诉学生如何注意相关属性，会有助于概念学习。

8．为了使学生更加容易地掌握概念，应当并排地呈现正例和反例。这样做更加有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较。

9．在有些情况下，同时呈现若干正例似乎更有利些。这里的正例应该是概念的各种变式，否则会起不到应有的作用。

10．如果学生用自己的语言来表述相关属性，则能更好地习得概念，而且比较容易应用于新的情景。学生用言语来表述无关属性，也能从中获益。

11．在有些情况下，学生动手操作实物或模型，比只用眼观察更容易习得概念。

12．反馈越完整，学习效果就越好。学生能经常意识到自己的学习进程，知道正确或错误的原因，将有助于概念学习。教师给学生的反馈信息要准确、完整，任何模棱两可的信息或错误信息，都会干扰概念学习。

13．如果概念是通过全面地研究和分析概念的不同事例后获得的，那么就最有可能把它迁移到新的事例上去。这是我们平时所说的“举一反三”的前提。

14．应该在概念的系统中教学概念，要注意建立起概念之间的联系。在给学生教一个新概念时，要为他们建构一个可以把该概念置于其中的框架。孤立地教学概念，将限制概念学习的价值。

15．概念形成、概念同化等各种概念教学的方法应该混合使用。

16．在学生学习概念时，必须要有足够的时间保证。学生学习概念需要在一个相对较长的时间内，经历比较、辨别、分类、归纳、抽象、概括等各种思维活动，教师千万不可急于求成。

17．许多概念是相互联系在一起习得的。例如，函数这个概念是与函数的定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、极值等概念紧密联系在一起的。