九旭药业:六年级（下册）“百分数的应用”教学问答(转载)

    问：在六年级（上册）教材中，学生已经学习了分数乘法、分数除法，并且认识了百分数。本单元让学生应用百分数的意义以及分数乘、除法的知识，解决有关百分数的实际问题。本单元主要教学哪些实际问题？与过去的教材比较，有变化吗？

  答：本单元涉及的实际问题很多，教材按各种实际问题的内容特点和数量关系，精心选编6道例题与四个练习，大致分成三段教学。

  例1和练习一，教学一个数比另一个数多（少）百分之几的问题，是一类稍复杂的求百分之几的问题，求得的百分数能够更清楚地反映数量间的关系，便于统计比较、描述交流。这段内容在过去的小学数学教材里也有，无论是教学要求还是解答方法，都没有多大变化。

  例2、例3、例4和练习二、练习三，教学关于纳税、利息、折扣的实际问题，都是生活中经常遇到的实际问题。与过去的教材相比，这段内容充实了许多，要求有所提高，解答方法也有变化。解决这些实际问题，学生能够获得有关的生活经验，发展公民意识，感受数学与生活的密切联系，提高解决问题的能力。

  例5、例6和练习四，教学稍复杂的百分数除法的实际问题。与过去的教材比较，新教材在编写时注意精选素材，着眼改进教学方式和解题方法，力求呈现良好的知识结构，促进学生的认识同化或顺应，避免分类过细、机械记忆、生搬硬套等不良的学习行为。

  问：怎样看待例1的两种解答方法？“试一试”和练习一的教学需要注意什么问题？

  答：学生在六年级（上册）教材中，已经学习了解决简单的求一个数是另一个数的百分之几的实际问题。本单元例1求东山村去年实际造林面积比原计划多百分之几，是需要两步计算的问题，解题的关键在于理解问题的含义，促进已有解题经验迁移应用。教材让学生借助线段图分析数量关系，在图上标出“实际比原计划多的”那一段，突出应把原计划造林面积看作单位“1”，实际比原计划多的要与原计划相比，从而引发解题思路。例题的两种解法都源自对问题的理解以及对已知信息的利用，根据原计划造林16公顷和实际造林20公顷，无论先算实际比原计划多造林4公顷，还是先算实际造林面积相当于原计划的125%，最终都要求出实际比原计划多的占原计划的百分之几。过去的教材偏重前一种解法，新教材并不区分这两种解法孰轻孰重，而是重在利用不同的解法突出概念，帮助学生进一步理解百分数的意义。

  “试一试”求原计划造林比实际少百分之几，是例题教学的延伸。“试一试”要解决的问题与例题不同，通过学生独立思考问题的具体含义、数量关系、解答方法，使例1里获得的关于百分数意义的认识得到加强和发展。之后，组织学生把例1和“试一试”进行比较，仔细分析“实际造林比原计划多百分之几”与“原计划造林比实际少百分之几”有哪些不同，尤其是看作单位“1”的数量不同，从而理解两题计算结果不相同的原因。

  练习一配合例1的教学，巩固求百分率的知识与技能。设计编排一些对比题，能加强数学概念和解题思路。如第4题利用六年级一班的学生人数和会游泳的人数，解决的两个问题都以全班人数为单位“1”，分别把会游泳的人数与不会游泳的人数和全班人数相比较，求得的两个百分数具有不同的含义。两个问题求得的百分数相加刚好等于1（100%），因此，在解决了前一个问题之后，继续解决第二个问题，就有不同的思路和算法。再如第5题的三小题，在解答之后可以两两相比。其中（1）和（2）的问题不同，因而基本数量关系不同，解题步骤随之不同。（1）和（3）的问题相同，因而基本数量关系一致，但由于条件不同，解题步骤也有所变化。（2）和（3）的条件不同，问题也不同，给教学留出了更大的活动空间。第8题把百分率引入统计表，让学生体会百分数便于统计、便于比较。求百分率经常要进行除法运算，小学数学整数除法笔算不超过三位数除以两位数，小数除法笔算也限于除数是两位数的范畴，如果遇到更大数或者更复杂数的除法计算，一般使用计算器。教材在第1页的底注里作了这方面的说明，教学第8题应提倡学生使用计算工具。

  问：怎样把握纳税、利息、折扣等实际问题的教学要求和教学方法？

  答：随着社会经济发展、法制健全和人民生活水平的提高，人们越来越多地接触并参与有关纳税、利息、折扣的计算。因此，增加这些百分数知识的实际应用是十分必要的。

  教材对纳税、利息、折扣等实际问题的教学，提出了不同的要求。税率、银行利率由国家及有关部门统一规定，学生只要能够懂得税率、利率的含义，并能够依据规定的税率、利率，计算应缴纳的税金或可以获得的利息。例2、例3和练习二按照这样的要求编写，不出现求税率、利率是百分之几的问题，也不编排利用税率、利率求应课税金额或存款本金的问题。教学折扣，涉及的实际问题的面比较宽。例4和练习三里安排了三类有关折扣的实际问题：根据现在售价和折扣求原来价格，根据原来价格和折扣求现在售价，根据原价和现在售价求折扣。这是因为商品打折出售的事件比较灵活，折扣一般由商店确定或者由买卖双方商定，无论商家还是消费者，都需要掌握各类实际问题，以维护自己的经济利益。

  教材关于纳税、利息、折扣等实际问题的教学方法也不相同。例2的教学分两步进行，先理解应缴纳的营业税是60万元的5%，联系求一个数的几分之几是多少用乘法计算的经验，得出求一个数的百分之几是多少也用乘法计算，从而列出算式60 × 5%。然后把5%分别化成分数5/100与小数0.05进行计算，体会一个数乘百分数，把百分数化成小数，计算比较简便。前一步是例2的教学重点所在，要引导学生将实际问题抽象成数学问题，选择合适的数学方法，培养推理能力。后一步关系计算的技巧和能力，要通过计算、比较获得体验。例3的教学大致分三步：第一步在银行存款、取款的现实情境中，结合底注简要地弄懂本金、存期、利息、利率等术语的含义；第二步给出计算利息的常用公式，初步理解公式的结构；第三步按照公式列式计算利息，进一步体会“本金×利率”是求本金的百分之几是多少，得到的积是一年（或一个月）应得的利息。例4教学折扣的问题，通过列方程求出原价是多少元，并进行检验。为什么列方程解答这样的问题？有两个原因：一是六年级（上册）“分数除法”单元里，曾经用列方程的方法解答简单的分数除法实际问题，学生具有自主迁移的知识基础。二是“原价×折扣=实际售价”是折扣问题的基本数量关系，不仅有助于理解“打折”的含义，还能用来解决不同的实际问题，从而把已知原价求实际售价、已知实际售价求原价两类问题的数量关系加以统一。为什么重视检验？这里的检验不仅检查答案是否正确，而且通过检验带出各类不同的折扣问题。用实际售价除以原价，看看是不是打了八折，就是解答已知实际售价与原价求折扣的问题；看原价的80%是不是12元，就是解答已知原价与折扣求实际售价的问题。应注意的是，各种检验方法要尽量让学生想到，从而加强对折扣及其数量关系的理解，发展思维的灵活性。各种检验方法表现出学生群体的思路开放、方法多样，不应对学生个体提出多种方法检验的要求。

  例2、例3后面各有一道“试一试”，其编排目的与教学要求也是不同的。例2后面的“试一试”购买摩托车一共花的钱由两部分组成，一部分是摩托车的价钱，另一部分是缴纳的车辆购置税款。教材安排学生先算出车辆购置税是多少元，巩固例2里习得的知识，再算买这辆摩托车一共要花多少元，形成一道两步计算的百分数乘法实际问题。例3后面的“试一试”，在利用利息公式计算应得利息后，还要减去缴纳的利息税，剩下的才是实得利息。这里把利息与纳税有机结合，更加贴近现实生活，培养学生综合应用知识的能力，也为第5页的“练一练”作了铺垫。有一点需要说明，第5页“练一练”和练习二第6、7题，最终都计算实得利息多少元。由于实得利息的计算步骤较多，教材采用连续两问的设计，先提出应得利息多少元，再提出实得利息多少元，目的是降低思维的难度，引导学生分步解题。

  问：与过去教材相比，新教材关于百分数除法的实际问题这一内容的编写作了改进，主要表现在哪些方面？

  答：新教材对百分数除法的实际问题的内容编写所作的改进，是和教材对于分数、百分数实际问题的总体安排联系在一起的。

  在过去的教材里，结合分数四则混合运算，编排例题分别教学稍复杂的分数乘法应用题与分数除法应用题；在认识百分数后，编排例题分别教学稍复杂的百分数乘法应用题与相应的百分数除法应用题。由于分率和百分率有相同的本质属性，分数乘法应用题与百分数乘法应用题、分数除法应用题与百分数除法应用题的数量关系非常相近。这就造成了教学内容在循环中重复多、递升少，浪费了教学资源，还制约了学生学习积极性和能动性的发挥。

  新教材在六年级（上册）“分数四则混合运算”单元，只编排例题教学稍复杂的分数乘法实际问题；在六年级（下册）“百分数的应用”单元，只编排例题教学稍复杂的百分数除法实际问题。至于稍复杂的分数除法实际问题和百分数乘法实际问题都在练习里带出。这样安排，夯实了基础知识与基本的数学思想，避免了不必要的重复，增加了问题的现实性和新授内容的挑战性，有利于突出教学重点，突破教学难点。

  新教材对这一内容的改进表现在改善知识结构——重视概念，求同存异。过去教学分数、百分数应用题，把精力放在区分上。往往把分数、百分数应用题归结成“求一个数的几（百）分之几是多少”“已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数”两大类，甚至简单化地把应用题分成单位“1”已知和单位“1”未知两种情况，要求学生识别解答的是什么样的应用题，根据题目的类型选择解法。这样的教学以应试为目的，削弱了分析数量关系的过程，影响了学生推理能力的发展。

  现在教学分数、百分数应用题，重点放在数量关系和推理能力上。联系分数的意义与分数乘法概念，把实际问题里的各个数量组织起来，构成数量关系式并根据数量关系式确定解题的方法。当已知条件都集中在数量关系式的一边，所求问题在数量关系式的另一边，算式很自然地形成了；当已知条件与所求问题有机地分布在数量关系式的两边，依据数量关系式列方程就很方便了。例5、例6的教学按这样的线索进行，线段图直观表现了题目中百分数的含义和数量关系，列方程解答是得出数量关系式后的自然选择。这样教学，不刻意区分问题的类型，把分析数量关系作为重要的解题策略，各种问题之间求同存异，把发展推理能力作为重要的教学任务，落实到教学活动的过程之中。

  新教材对这一内容的改进还表现在——利用最常见、最基础的数量关系。过去教学分数、百分数的应用题，往往把许多时间用于分率联想的训练。如从“女生人数是男生的80%”，联想出男、女生总人数是男生人数的（1 + 80%），女生人数比男生人数少（1 - 80%）。又如，从“十月份比九月份节约20%”，联想出十月份相当于九月份的（1 - 20%）……其实，这些训练只是使列式又快又多，暂时的、表面上的思维活跃对后继的数学学习意义并不大。

  现在教学稍复杂的分数、百分数实际问题，利用题目中最基础的、生活中最常见的数量关系作为列算式或列方程的依托。尤其像例5、例6及两次 “练一练”里的等量关系，是学生熟悉的、容易理解和发现的数量关系，有益于中、小学数学教学的衔接。