小卡包英文:初中数学“课题学习”的实践研究

    《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）将内容目标分为四个部分：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用。在“实践与综合应用”部分的7～9年级以“课题学习”的方式来进行。“课题学习”是《课标》中最富特色的内容，它反映了数学课程与教学改革的要求，也为学生提供了进行实践性、探索性和研究性学习的课程渠道。《普通高中数学课程标准（实验）》中也设置了“数学探究”“数学建模”“数学文化”等新的学习活动，并指出“应把这些活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中，并注意提供相关的推荐课题，背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的学习活动，完成课题作业或专题总结报告”[1]。数学“课题学习”领域的设置，标志着教师的教学方式和学生的学习方式需要发生重大的转变。如何进行数学课题学习的教学？笔者主持完成的浙江省教育科学规划2009年度农村青年教师专项研究课题“初中数学‘课题学习’的实践研究”，对此进行了研究。
    一、研究的历史回顾
    1.美国的“问题解决”
    20世纪80年代，“问题解决”成为美国数学教育的中心。美国数学教师全国委员会(NCTM)作为美国数学教育改革的倡导者，于1980年4月公布了文件《关于行动的议程》(An Agenda for Action)，该文件指出：“20世纪80年代的数学大纲，应当在各年级介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去”。“数学课堂应当围绕问题解决来组织”。“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”[2]。美国数学教师全国委员会后来又颁布了“学校数学课程和评估标准”(NCTM，1989)“数学教学的专业标准”(NCTM，1991)以及“学校数学的评估标准”(NCTM，1995)。标准对于1～8年级学生的具体要求如下：①要让儿童在接触物质世界和接触其他儿童的过程中去建立、修改和发展数学概念；②数学教学内容必须拓广和加宽；③要强调数学的应用；④要强调数学理解，发展儿童的数学思维和推理能力；⑤要适当地使用计算器和计算机。对“9～12年级”学段，除了继续强调拓宽教学内容、注重问题解决教学，强调理解和使用新技术等外，还要考虑到学生高中毕业后的不同去向，教学内容要宁宽勿窄，同时要制订一个“核心课程内容”[3]。从1996年起，美国NCTM的标准委员会开始收集各方面的反馈意见，于2000年春季发表了《学校数学的原则和标准》(NCTM，2000)，其中的“活动的标准”又分为问题解决、推理与证明、交流、联系和表述。并指出我们应当帮助学生通过问题解决获得数学知识；养成表述、抽象、一般化这样的思维习惯；能应用多种解题策略解决问题；能对解题过程中的思维活动作出调节和反思[4]。美国NCTM组织数学家、数学教育家以及中小学教师，通过广泛征求各界意见于2006年又出版了《学校数学的原则和标准》(NCTM，2000)的扩展文件《学前到八年级数学课程焦点：寻求一致》，试图通过对少数核心数学内容的深刻理解和熟练掌握，同时强调年级之间、相关知识与核心内容之间的联系，建立聚集的、内在一致的数学课程体系[5]。美国教育界特别强调以“探究”为特征的教学策略和方法。在美国的大、中、小学“以项目为中心的学习”(Project-Based Learning)和“以问题为中心的学习”(Problem-Based Learning)逐渐成为一种积极、有效的教与学的策略与手段。
    2.日本的“课题学习”
    1994年7月，日本数学教育学会、日本数学会、日本应用数理学会联合发表了“数学教育危机”的声明。声明中指出：“近年来在学校数学教育中，学生讨厌数学，逃避理工科的倾向十分显著……这种自然科学教育中的危机状态，对我国的将来是一个严重的影响”。而国际上，自1980年全美数学教师联合会提出“问题解决”是80年代学校数学的焦点之后，受到了世界范围内许多国家的重视。日本的“课题学习”就是在“问题解决”的影响下，结合本国实际情况提出来的，并被写进教学大纲中。从这个意义上讲，课题学习是解决“危机”的一种最佳决策。日本的《现代中小学数学学习指导要领》中指出：“为了促进以学生为主体的学习，为了培养学生的数学观点和思考方法，要设置将各部分内容综合起来的和日常生活相联系的课题，进行课题学习，并要把这种课题学习放在教学计划的适当位置加以实施”[6]。日本设置课题学习的目的是：①要促进以学生为主体的学习活动；②要培养学生的数学观点和思考方法；③联系现实生活实际[7]。日本设置课题学习的意义是：①让学生愉快学习数学，即从学生的立场出发，使所有的学生对数学感到亲切，不讨厌数学；②培养独立性与自学的热情，即从社会全体的立场出发，使能有效地适应面临的社会生活；③培养学生的数学观点和思考方法，以及让他们感到数学的好处，即从数学教育的立场出发，有利于掌握数学知识，提高思维能力[8]。东京学艺大学名誉教授川口延认为课题学习应满足以下七个条件：①具有对于学生学习给予强烈刺激的因素及形式；②具有启发学生进行多种数学思考及创造意识的因素及形式；③能够产生解决问题的紧迫感，并利用所掌握的数学知识及技能，进行知识及技能训练的课题；④综合利用知识及技能；⑤产生一个个的问题，具有进行连续学习、探讨的可能性；⑥不是闭塞的学习，通过问题解决的过程及结果，发现问题的一般性、规律性；⑦要使解决的结果具有吸引学生的魅力，为了达到这一目的，要考虑问题的难易，学生的能力，并使学生尝到解决问题后的喜悦[9]。日本学者把“课题学习”英译为“Problem Situation Learning”。如果我们把上述对课题学习的理解与美国《关于行动的议程》中的问题解决的含义相比较，日本的课题学习实质上就是问题解决的深化[10]。
    3.国内的“课题学习”
    国内的课题学习多是以研究性学习的方式来进行的。上海率先在活动课中开展课题研究的尝试与研究，并取得了成功，1999年提出“研究性学习”的概念。2000年2月，教育部颁发了《全日制普通高级中学课程计划（试验修订稿）》，将研究性学习作为综合实践活动的一项内容，从2000年9月1日起在全国10个省（市）先期进行实验。2001年4月，教育部颁布的《普通高中“研究性学习”实施指南（试行）》中阐述了设置研究性学习的目的和目标，并对研究性学习的内容选择和设计及实施、评价进行了说明。2001年6月教育部颁布的《基础教育课程改革纲要（试行）》规定，从小学至高中设置综合实践活动并作为必修课。综合实践活动包括：信息技术教育、研究性学习、社区服务与社会实践以及劳动与技术教育。2001年6月，国家教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，将内容目标分为四个部分：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用。“实践与综合应用”部分在第一学段（1～3年级）以“实践活动”为主题，第二学段（4～6年级）以“综合应用”为主题，第三学段（7～9年级）则以“课题学习”的方式来进行。2003年4月教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出了数学探究、数学建模和数学文化等新的学习内容和学习方式，并对其教学提出了具体的要求。这些内容不但可以结合有关数学内容，设计成相对集中的课题研究、建模活动或数学文化研究活动，而且还应注意到，这些新的学习方式应当贯穿于整个高中数学课程，渗透在各个模块的教学过程中[11]。
    二、研究的理论基础、意义和方法
    现代认知心理学认为：人的认识过程不是一个单纯的、被动的接受过程，而是一个主动建构的过程，也就是把新的知识纳入已有的认知结构之中（同化）；或是发展已有的认知结构以容纳新的知识（顺应）。认知结构也不是先天固有的东西，它是认识活动的产物，即主体与外部相互作用的产物。相应地，数学建构主义学习观认为：数学学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有知识和经验为基础的主动建构过程。因此，学数学就是做数学，只有在做数学的过程中才有可能学会、学懂数学。学生的学习也只有通过自身的操作活动和再创造性的“做”，才可能是有效的。即数学教学过程必须重视让学生亲自感受、动手操作、动口交流，而数学课题学习正是实现“做”的有效途径。
    数学“课题学习”作为一项新增内容，其实施情况如何？实施中存在哪些问题？为此，我们设计了“初中数学课题学习教学状况调查问卷”，通过对慈溪市初中数学教师的问卷调查和访谈，发现当前初中数学课题学习的开展状况不容乐观。首先，多数数学教师想开展“数学课题学习”的教学，但由于不知道如何根据学生“数学课题学习”的特点开展这方面的工作，所以很少自觉组织学生开展数学课题学习；其次，部分教师认为，课题学习内容深浅程度较难把握，组织教学既麻烦又费时，有些活动难以开展并且课题学习的内容没有涉及新增知识点，还不如做几道数学题目更有用，而且课题学习缺乏有效的评价，认为教学上可有可无。基于这样的背景，笔者选择“初中数学课题学习的实践研究”作为研究课题。本研究在深入分析研究国内外数学课题学习的基础上，阐述了数学课题学习的内涵和特征，论述了课题选取的原则和途径，进行了初步的实践探索，论证了初中数学课题学习实践的必要性和可行性，并提供了典型的案例，作为实践数学课题学习的参考与借鉴。
    在研究方法上采用问卷调查、访谈以及文献分析等，注重理论探讨与实证研究的结合，特别是通过我校数学教师具体参与课题的行动研究，加速了数学教师的专业成长。
    三、课题研究在理论与实践上的探索
    1.数学课题学习的内涵与特征
    我们认为“数学课题学习”是指：给学生提供一定挑战性和综合性的实际问题或数学问题，让学生通过自己收集、分析和处理信息，经历类似“科学研究”的情境和途径，在获得数学知识的同时，学会分析问题、解决问题，从而培养学生提出问题的能力和一定的创造能力。这里的“科学研究”不同于高等院校与研究机构开展的研究工作，不能完全用“有所发明，有所创新”的标准来衡量，不具有严格意义上的科学研究的规范性和严谨性。这里的“研究”并不是目的而是手段，是为了培养学生的创新精神和动手实践能力，使学生能在自己的知识领域里有所感悟、有所发现、有所突破、有所创新；通过“研究”的过程使学生能在中小学阶段体验和尝试学习方式的转变，体验科学研究的思维方式和研究方法。
    我们认为数学课题学习有以下特征：数学课题学习具有开放性；密切联系实际的现实性；综合应用知识的综合性；课题学习的过程具有探索性；强调学生思维的参与性；注重学生在学习过程中的体验性。
    2.课题选取的原则与途径
    选择什么样的课题作为课题学习的素材？没有统一的标准，我们认为应以学生为基本出发点，以促进学生在数学思考、解决问题、情感态度等方面的全面发展为目标。选择的课题应遵循以下基本原则：①课题应能引起学生的兴趣和解决问题的强烈愿望；②课题应密切联系学生的现实，具有可实践性的特点；③课题应具有一定的新颖性，对学生来说是一个新的问题情境；④课题应具有一定的探索性和研究性，能让学生经历一个实践、探索和研究的历程；⑤课题应具有一定的综合性，能促使学生综合运用所学的知识、方法、经验、思维方式等解决问题，启发学生进行多种思考及创造；⑥课题应具有一定的弹性和开放性，以使所有的学生都能参与，并且不同的学生在解决问题的活动中能展示不同的个性和水平；⑦课题应具有较为宽泛的数学背景，具有进行连续学习、探讨的可能性，促进学生能从中提出需要进一步研究的问题。
    我们认为可以从数学史料、日常生活、社会现象以及数学问题中来选取课题。例如：从数学史料中可选择的课题有：①正负数和无理数的历史；②一些重要符号的起源与演变；③《九章算术》中的数学（方程术、加减消元法、正负数）；④函数概念的起源、发展与演变；⑤欧几里得与《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图与几何三大难题，公理化思想对近代科学的深远影响；⑥毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题；⑦机器证明的有关内容及我国数学家的突出贡献；⑧圆周率π的历史，古希腊及中国古代的割圆术、黄金分割、哥尼斯堡七桥问题；⑨近代数学两巨星——欧拉与高斯；⑩微积分的产生——划时代的成就等。从日常生活中选取的课题有：①银行存款利息和利税的调查；②有关房子粉刷的预算；③无盖盒子的最大容积问题；④中国体育彩票中的数学问题；⑤寻找人的情绪变化规律；⑥衣服的价格、质地、品牌影响消费者观念的程度；⑦出租车最优化运营方案的研究；⑧商品甩卖打折中的数学问题；⑨通讯网络收费调查统计；⑩购房贷款决策问题等。从社会现象中选取的课题有：①对当地近年来人口增长的情况调查（预测今后人口数量，给政府提出几点建议）；②调查某种商品的销量与利润的关系，并决策如何使其获利最大；③环境规划与数学；④投资人寿保险和投资银行的分析比较；⑤气象学中的数学问题（温度、空气污染指数、臭氧层的变化）；⑥研究某种传染病的数学模型；⑦城镇或农村饮食构成及优化设计；⑧水库的储水量如何计算；⑨统计月降水量；⑩证券投资中的数学等。从数学问题中选取的课题有：①多面体欧拉定理的发现；②统计与概率在密码学等方面的应用；③编程中的优化算法问题；④余弦定理在日常生活中的应用；⑤测量某大厦的高度；⑥数学中的最优化问题；⑦线性规划；⑧斐波那契数列研究（从兔子的繁殖等实际问题建立递推数列问题）；⑨函数（a、b为待定常数）的性质研究（可利用几何画板结合研究）；⑩研究等和数列与等积数列（其定义与等差、等比数列类似）的通项与性质等[12]。
    3.数学课堂中“课题学习”教学模式构建
    我们认为进行数学课题学习的教学要经历以下三个环节：寻找素材、确定课题；课题实施、教师指导；成果展示、评价总结。可以利用数学实验、数学探究、数学建模、数学调查、数学主题阅读等方式组织开展数学“课题学习”活动。
    (1)利用“数学实验”开展课题学习活动
    《课标》指出“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”[13]。随着现代信息技术的发展，数学实验越来越受到人们的重视，计算机将成为学生探索知识的有力工具，学生可以通过各种现代化手段和媒介获得信息，进行思考活动，学习方式将得到进一步改善。例如：笔者设计的案例：玩转七巧板[14]。
    (2)利用“数学探究”开展课题学习活动
    数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察、分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。数学探究主要着力于学生的学，鼓励学生以类似科学研究的方式来进行探索活动，有助于学生初步了解数学概念和结论的产生过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力。
    案例1　折纸问题
    几个世纪以来，人们对折纸的热情有增无减。动物、花、船和人都是折纸的创作题材。折纸能手能从一张正方形的纸开始，运用他们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状。为什么选正方形的纸为初始单元呢？因为正方形有其他图形所不具有的特殊性质，正方形有四个直角、四条对称轴。从正方形开始的折纸作品一般可不用胶水和剪刀。折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸张上的折痕，还揭示了大量的几何对象、概念和性质，如相似、轴对称、全等、相似比、比例以及类似于几何分形结构的迭代等等。你能解决下列问题吗？
    探究活动1：你能将一张正方形纸折成四个全等的直角三角形或两个全等的直角梯形吗？
    探究活动2：你能在一张正方形纸上折出一个内接正方形吗？
    探究活动3：你能将一张正三角形纸折成四面体吗？
    探究活动4：你能将一张正方形纸折成正方体吗？
    探究活动5：你能通过折叠三角形纸片证明三角形内角和等于180°吗？
    探究活动6：你能通过折叠正方形纸片证明勾股定理吗？
    (3)利用“数学建模”开展课题学习活动
    数学建模是指把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题的过程。数学建模可以看成是问题解决的一部分，作为问题解决的一种模式，它更突出地表现了如下过程：对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法、模型的选择和分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程。
    案例2距离问题
    如图1所示，粗线表示某校车所经过的一段公路，表示7名同学的家，他们要经过由细线所表示的小路到公路去等校车，若校车在此段公路上只准备设一个车站，要求学生到此站路程总和越小越好。
    
    图1
    ①车站设在哪里最好？
    ②若P处又有一学生，车站设在哪里最好？
    组成学习小组，探讨解决问题方案，完成研究报告。
    (4)利用“数学调查”开展课题学习活动
    数学调查是指选择某个具有现实意义的主题，要求学生通过一定的调查活动，收集有关数据，并进行分析和整理数据，从而做出相应的推断，用以指导实践的数学活动。数学调查能让学生经历从事收集数据、描述数据和分析数据的过程，能让学生体会到抽样的必要性和随机抽样的重要性，体会用样本估计总体的统计思想，学会一些统计的基本知识和方法。
    案例3　关于“全校同学课外活动情况”的调查
    首先，我们需要讨论的是用什么指标来刻画同学们课外活动的情况？是用课外活动的时间、最喜欢的项目，还是其他指标？
    其次，怎样设计调查问卷和收集数据，有必要调查全校每一位同学吗？，还是可以只调查一部分同学，用他们的结果代表全校同学的共同愿望？
    最后，我们可以调查哪些人？是调查本班的同学，调查在操场上打球的同学，或是在校园里随便找一些同学等等，如何得到随机样本，如何确定适合的样本容量？
    请以小组为单位，以“全校同学课外活动情况”为课题，开展一次数学调查活动。
    (5)利用“数学主题阅读”开展课题学习活动
    数学主题阅读是指就某一个确定的数学内容，由学生自己选择一些相关的数学文献，自主地进行阅读学习，并达到一定的阅读目标的过程。指导学生合理利用图书、网络、报纸杂志等媒体上的资源，可以有效提高数学主题阅读的效率和质量。例如：在学习了“黄金分割”后，我们组织学生进行了数学主题阅读活动，并发表了课题学习成果：奇妙的“黄金分割”。数学主题阅读的意义在于培养学生合理有效的寻找信息、加工信息、利用信息、表达信息、分享信息的能力，使学生能实现自我的可持续发展。随着技术条件的成熟和学生年龄的增长，数学主题阅读必将成为课题学习的一种重要形式。
    事实上，某个课题学习活动可能要同时用到以上几种方式，没有必要对这几种方式进行严格的区分，几种方式之间经常是互相渗透的，比如可以用数学实验的方法做数学建模，也可以用数学实验的方法开展数学探究活动，建模的过程可以插入数学主题阅读，阅读的结果可以通过解决一个数学实际问题来表现等等。我国开展课题学习活动尚处于一个实验摸索阶段，我们相信，随着广大教师课题学习实践活动的不断深入，一定还会创造出更多的新形式和新经验[15]。