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  张家港教师太苦  

专题 动态几何问题教学

笔者偶尔见到了这么一道中考压轴题(08甘肃白银)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；
(2) 当t=       秒或      秒时，MN= AC；
(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？
若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

略解：(1)（4，0），（0，3） (2) 2，6
(3) 当0＜t≤4时，OM=t．
由△OMN∽△OAC，得 ，∴ ON= ，S= ．
当4＜t＜8时，如图，∵ OD=t，∴ AD= t－4．
由△DAM∽△AOC，可得AM= ，∴ BM=6- ．
由△BMN∽△BAC，可得BN= =8-t，∴ CN=t-4．
S=矩形OABC的面积－Rt△OAM的面积－Rt△MBN的面积－Rt△NCO的面积
=12－ － （8－t）（6－ ）－
= ．  
(4)∵ S=  
∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图，显然当t=4时，S有最大值6．
   
    本题以一条直线运动的方式把代数与几何的知识贯穿在一起，不但考察了学生掌握基本知识和基本技能的能力，而且着重考察了在特定的运动条件下，学生的动态思维能力和利用数形结合建立函数关系来定量描述问题本质的能力．
这道题突破了近几年中考命题的凝固观念，以其鲜活的特点吸引了师生的目光．它除了前面所述的特点外，在实际考试过程中还具有如下三个特点：
1、难点分散，小题相互提示
本题有四小题．
第一小题是求点的坐标，着重考察函数和点的坐标的概念、一次函数的基本知识和解二元一次方程组的基本技能．而且通过求点的坐标，可以较方便地求出直角梯形各边的长和三角形的高，为下面快捷地求三角形的面积作了较好地铺垫；
第二小题是求特殊位置关系下的时间，也为下一小题提供特例．
第三小题是求平行于AC的直线在由O到A运动的过程中与矩形两边所围成三角形面积S关于t的表达式，着重考察求三角形面积的方法、相似三角形的性质或求两直线交点的方法和在运动中形成不同三角形的条件下的分类分析的能力．
第四小题是在第三小题的基础上分析得到S的最值．
由上面分析可以看出，本题分为四个小题不仅分散了难点，而且搭砌了解题的阶梯，引导了解题方向．同时通过第三小题也能考证第一、二小题的解答，因此几个小题具有相互提示的作用．
2、解答方法多样，容易运用所学知识
第三小题的解答方法多样，既可以用相似三角形各对应边成比例的几何方法来作为解题的切入口，也可以用求两直线交点的代数方法来作为解题的切入口，这两种方法已有参考答案，故不赘述．
3、本题在复习资料中都能找到眼熟的影子
本题在教科书和中考复习资料中都能找到眼熟的影子，它们解答的方式与本题几乎同出一辙，如果善于归纳总结，考生完全可以很快找到解题的切入点．现随手从常用的复习资料中拈来一二，以飨读者．
①        (05河南)如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y ．求y与x之间的函数关系式．
②(07无锡)如图，平面上一点 从点 出发，沿射线 方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以 为对角线的矩形 的边长 ；过点 且垂直于射线 的直线 与点 同时出发，且与点 沿相同的方向、以相同的速度运动．
（1）在点 运动过程中，试判断 与 轴的位置关系，并说明理由．
（2）设点 与直线 都运动了 秒，求此时的矩形 与直线 在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积 （用含 的代数式表示）．

从以上分析来看，一个具有中等以上水平并经过科学备考训练的考生，应该不难解答此题．但是许多考生在答题中仍然出现了许多不尽如意的情况：有些水平中上的考生说：我花了30多分钟才做出来，糊里糊涂的，还不知对不对！有一教师说：我在课堂复习时也讲解过类似的题目，谁会想到学生就是做不出来！有个别试场甚至出现许多试卷空白的现象．笔者认为出现这些情况，值得引起有关职能部门和学校对当前数学常规教学方法和中考备考的复习方法的反思．

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张家港教师太苦 3楼 发表于 2008-12-23 16:08 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题一、规律探索
例1、（锦州）观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.
精析：这是一道数字探索性题，解这一类型题目，要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法，数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜想、四色猜想、费尔玛大定理等就是由数学家的探索，猜想而得，学习数学必须不断去探索、猜想、不断总结规律，才会有所发现有所创造。
准确答案：10000或1002；
中考对该知识点的要求：规律探索是反映了由特殊到一般的数学方法，同时能考查学生的分析、归纳、抽象、概括能力，因此，它成为近几年中考试题的命题热点。
目标达成：
2－1－1．（青岛）


2－1－2．（日照）已知下列等式：
        ① 13＝12；   
        ② 13＋23＝32；
        ③ 13＋23＋33＝62；
        ④ 13＋23＋33＋43＝102 ；
            …… ……
    由此规律知，第⑤个等式是                        ．
2－1－3．（2005年陕西）观察下列等式：

则第n个等式可以表示为             。
2－1－4．（深圳） ， ， ，……，若 （a、b都是正整数），则a+b的最小值是　_       。
2－1－5. （内江）有若干个数，依次记为 若 ，
从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差
的倒数，则 　　　　　　　。
例题2、（泸州）如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S，则S＝　　　　（用含n的代数式表示，n为正整数）．



精析：此题是图形规律，解决这类问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
准确答案：55
目标达成：
2－2－1．（潜江、仙桃、江汉油田）如图是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形。照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是


2－2－2．（枣庄）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点个数共有_________个．
2－2－3．（泰州）如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴      根.

                ……


2－2－4．（重庆）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第 个图形中，互不重叠的三角形共有        个（用含 的代数式表示）.


2－2－5（茂名）小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子             枚（用含有n的代数式表示）

能力提高：
2－1、（福州）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据   中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是＿＿＿＿＿。
2－2、（连云港）右图是一回形图，其回形通道的宽和 的长均为1， 回形线与射线 交于 …．若从 点到 点的回形线为第1圈（长为7），从 点到 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为         ．
2－3、（深圳南山区）观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图**有5个正方形，第3个图**有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形。




2－4（南通）已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．（1）当n = 5时，共向外作出了      个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为        ；
（2）当n = k时，共向外作出了             个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为              （用含k的式子表示）．
2－5（武汉课改）在计算机程序中，二杈树是一种表示数据结构的方法。如图，一层二杈树的结点总数是1，二层二杈树的结点总数是3，三层二杈树的结点总数是7，四层二杈树的结点总数是15……照此规律七层二杈树的结点总数是          。






2－6．（南京）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。此时，M是线段PQ的中点。
      如图，在直角坐标系中，⊿ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）。点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于⊿ABO的一个顶点对称：
      点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，
点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5
与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…。对称
中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循
环。已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标。
2－7．（武汉）在同一平面上，1条直线把一个平面分成 个部分，2条直线把一个平面最多分成 个部分，3条直线把一个平面最多分成 个部分，那么8条直线把一个平面最多分成               部分。
2－8．（玉溪）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点 处，第二次从 点跳动到O 的中点 处，第三次从 点跳动到O 的中点 处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为             。


2－9．（北京丰台）观察下列数表：
    1                2                3                4        …        第一行
    2                3                4                5        …        第二行
    3                4                5                6        …        第三行
    4                5                6                7        …        第四行
                                                        
    第                第                第                第
    一                二                三                四
    列                列                列                列
    根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为______，第n行（n为正整数）与第n列的交叉点上的数应为_________。

2－10. （福州）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据   中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是_________。

2－11.（大连）在数学活动中，小明为了求 的值（结果用n表示），设计如图2－11－1所示的几何图形。
（1）请你利用这个几何图形求
的值为__________。
（2）请你利用图2－11－2，再设计一个能求
的值的几何图形。
2－12（重庆市）已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P ，第2次从点P 出发按乙方式运动到点P ，第3次从点P 出发再按甲方式运动到点P ，第4次从点P 出发再按乙方式运动到点P ，……．依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P 的坐标是             ． （－3，－4）




2－13、（湘潭市）观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，控究其中的规律；
①
②
③
④
……
⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：

⑵猜想并写出与第n个图形相对应的等式。
二、规律探索：
2－1－1 ．109　　　　　2－1－2．152      2－1－3．  ；
2－1－4．19；   2－1－5．
2－2－1．A　　　2－2－2．40　　　2－2－3．6n＋2　　　2－2－4．
2－2－5．4n+4[或填4（n+1）或4（n+2）－4或（n+2）2－n2
能力提高：
2－1． 　　　2－2．79　　　2－3．55　　　
2－4. （1）9， ．    （2）3（k－2）， ．   2－5．127
2－6． P2(1,-1)  P7(1,1)  P100=(1,-3)　　　2－7. 37     2－8.  
2－9．11， 　　　　2－10． 　　2－11．（1） 。
（2）如图1－1或如图1－2或如图1－3或如图1－4等，图形正确。





2－12、（－3，－4）；
2－13、⑴     　　　　　　         ⑵

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    4楼 发表于 2008-12-23 16:08 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题五、创新应用题
例1．（福建三明市）2005年5月22日，媒体广泛报道了我国“重测珠峰高度”的活动，测量人员从六个不同观察点同时对峰顶进行测量(如图1)。小英同学对此十分关心，从媒体得知一组数据：观察点C的海拔高度为5200米，对珠峰峰顶A点的仰角∠ACB=11°34′58″，AC=18174.16米(如图2)，她打算运用已学知识模拟计算。
⑴现在也请你用此数据算出珠峰的海拔高度(精确到0.01米)；
⑵你的计算结果与1975年公布的珠峰海拔高度8848.13米相差多少？珠峰是长高了，不是变矮了呢？
知识点：此题考查的是解直角三角形的应用问题。
准确答案： ⑴在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=
       ∴AB=AC sin∠ACB=18174.16×sin11°34′58″
               ≈3649.07
             3649.07+5200=8849.07
   ∴珠峰的海拔高度为8849.07米
               ⑵8849.07－8848.13=0.94



中考对该知识点的要求：从近几年全国各省市的中考试题来看，直角三角形的解法及其应用，成为中考的热点，它着重考查学生的应用能力与创新能力。
目标达成：
6-1-1．（连云港）如图所示，秋千链子的长度为3m，静止
时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为 ，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据： ≈0.8, ≈0.6)
6－1－2、（河北课改）如图，晚上，小亮在广场上乘凉。图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯。
⑴请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
⑵如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度。





6－1－3．（北京海淀）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P. 若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.
（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由.
（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.




6－1－4、（锦州）如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?













6－1－5、（宁德）6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角?ABC＝65º。为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡。
（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）



例题2、（宁德）某县教育局专门对该县2004年初中毕业生毕业去向做了详细调查，将数据整理后，绘制成统计图如下。根据图中信息回答：
（1）已知上非达标高中的毕业生有2328人，求该县2004年共有初中毕业生多少人？
（2）上职业高中和赋闲在家的毕业生各有多少人？
（3）今年被该县政府确定为教育发展年，比较各组的频率，你对该县教育发展有何积极建议？请写出一条建议。







知识点：考查统计知识的有关内容，同时又是一道开放性题目。
准确答案：
解：（1）232830% ＝7760（人），∴该县2004年共有初中毕业生7760人。
（2）7760×13.1%≈1017（人），7760×11.9%≈923（人）（1016人与924人也正确，若答案为小数总扣1分）
∴就读职业高中的毕业生数为1017人，赋闲在家的毕业生有923人。
（3）只要言之有理均可得3分
如：赋闲在家学生比例大，而职高发展不足，建议发展职高以吸纳赋闲在家的学生。
又如：在普通高中，达标高中所占比例偏低，建议把更多的非达标高中发展为达标高中
中考对该知识点的要求：从近几年全国全省市的中考试题来看，对统计初步的知识的考查有加强的趋势，而且着重考查运用统计知识解决实际问题能力，热点是常常以新情景下的统计知识应用题。
目标达成：
6－2－1、（金华）近年来，某市旅游事业蓬勃发展，吸引大批海内外游客前来观光旅游、购物度假.下面两图分别反映了该市2001～2004年游客总人数和旅游业总收入情况.










根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）2004年游客总人数为  ▲  万人次，旅游业总收入为  ▲  万元；
（2）在2002年，2003年，2004年这三年中，旅游业总收入增长幅度最大的是  ▲  年，这一年比上一年增长的百分率为  ▲  （精确到0.1%）；
（3）2004年的游客中，国内游客为1200万人次，其余为海外游客. 据统计，国内游客的人均消费为700元，问海外游客的人均消费为多少元？
（注：旅游收入＝游客人数×游客的人均消费）
6－2－2、（辽宁）2005年5月30日，国务院关税税则委员会决定从当天起对纺织品出口关税进一步作出调整，对一些纺织品取消征收出口关税。在此背景下，(沈阳日报)(2005年6月1日)报道了2005年1—4月份沈阳服装对各国出口的情况，并绘制统计图如下。
  请你根据统计图中提供的信息，回答下列问题：
  (1)2005年1—4月份，沈阳服装企业出口额较多的是哪两个国家?
  (2)2005年1—4月份，沈阳服装企业平均每月出口总额是多少万美元?











6－2－3、（南通市）据2005年5月8日《南通日报》报道：今年“五一”黄金周期间,我市实现旅游收入再创历史新高,旅游消费呈现多样化,各项消费所占的比例如图秘所示,其中住宿消费为3438.24万元.
（1）求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？
（2）对于“五一”黄金周期间的旅游消费,如果我市2007年要达到3.42亿元的目标,那么,2005年到2007年的平均增长率是多少？
2005年南通市“五一”黄金周旅游各项消费分布统计图










6－2－4．（安徽）一列火车自A城驶往B城,沿途有n 个车站(包括起点站A和终点站B),该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个.
例如,当列车停靠在第x 个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x-1)个车站发给该站的邮包共(x-1)个,还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个车站的邮包共(n-x)个.
(1)        根据题意,完成下表:
车站序号        在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
1        n-1
2        (n-1)-1+(n-2)=2(n-2)
3        2(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)
4       
5       
…        ……
n       
(2)根据上表,写出列车在第x车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y(用x、n表示).
(3)当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多?
6－2－5、（宁波）宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港，年货物吞吐量位于中国大陆第二，世界排名第五，成功跻身于国际大港行列。如图是宁波港1994年～2004年货物吞吐量统计图。
（1）统计图中你能发现哪些信息，请说出两个；
（2）有人断定宁波港贷物吞吐量每年的平均增长率不超过15%，你认为他的说法正确吗？请说明理由。

例3、（连云港）光明农场现有某种植物10 000kg，打算全部用于生产高科技药品和保健食品．若生产高科技药品，1kg该植物可提炼出0.01kg的高科技药品，将产生污染物0.1kg；若生产保健食品，1kg该植物可制成0.2kg的保健食品，同时产生污染物0.04kg．已知每生产1kg高科技药品可获利润5 000元，每生产1kg保健食品可获利润100元．要使总利润不低于410 000元，所产生的污染物总量不超过880kg，求用于生产高科技药品的该植物重量的范围．
知识点：考查一元一次不等式组的解法及其应用
精析：这是一道贴近生活的应用题，其特点是数据繁杂，在充分理解题意的基础上把问题转化成解不等组，所以列不等式组和求其整数解是基础，把实际问题转化成数学模型是关键。
准确答案：
解：设用于生产高科技药品的该植物重量为xkg，则用于生产保健食品的植物重量为 kg.     
根据题意，得      
解得     7000≤ ≤8000．               
答：用于生产高科技药品的该植物重量不低于7000kg且不高于8000kg．
中考对该知识点的要求：本题是应用一元一次不等式组解决经济问题，要求学生要具有一定的阅读能力和分析能力。
目标达成：
6－3－1、（辽宁）某种吊车的车身高EF=2m，吊车臂AB=24m，现要把如图1的圆柱形的
装饰物吊到14m高的屋顶上安装。
吊车在吊起的过程中，圆柱形的装
饰物始终保持水平，如图2，若吊
车臂与水平方向的夹角为59º，
问能否吊装成功。
(sin59º=0.8572，cos59º=0.5150，
tan59º=1.6643，cot59º=0.6009)



6－3－2．（南通）海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：
品  名        规格（米）        销售价（元/条）
羽绒被        2×2.3        415
羊毛被        2×2.3        150
现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被多少条?
6－3－3．（青岛）小明的家在某公寓楼AD内，他家的前面新建了一座大厦BC，小明想知道大厦的高度，但由于施工原因，无法测出公寓底部A与大厦底部C的直线距离，于是小明在他家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为 ，爬上楼顶D处测得大厦的顶部B的仰角为 ，已知公寓楼AD的高为60米，请你帮助小明计算出大厦的高度BC。
6－3－4．（深圳）大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60º，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30º，求塔BC的高度。
6－3－5．（四川）农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，
如右图所示。如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么
搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是(    )
  A．64πm2    B．72πm2    C．78πm2    D．80πm2



能力提高：
6－1．（苏州）为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图。按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入。(其中AB=9m，BC=0.5m)为标明限高，请你根据该图计算CE。(精确到0.1m)






6－2．（苏州）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；
③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；
④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；
(1)若租用水面 亩，则年租金共需__________元；
(2)水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益－成本)；
(3)李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖。已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？
去皮前各菠萝的质量        1．0        1．1        1．4        1．2        1．3
去皮后各菠萝的质量        0．6        0．7        0．9        0．8        0．9
6－3．(南京)某水果店有200个菠萝，原计划以2.6元/千克的价格出售，现在为了满足市场需要，水果店决定将所有的菠萝去皮后出售。以下是随机抽取的5个菠萝去皮前后相应的质量统计表：（单位：千克）


（1）        计算所抽取的5个菠萝去皮前的平均质量和去
皮后的平均质量，并估计这200个菠萝去皮前的总质量和去皮后的总质量。
（2）        根据（1）的结果，要使去皮后这200个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同，
那么去皮后的菠萝的售价应是每千克多少元？

6－4、　（浙江）据了解，火车票价按“ ”的方法来确定．已知A站至H站总里程数为1 500千米，全程参考价为180元．下表是沿途各站至H站的里程数：
车站名        A        B        C        D        E        F        G        H
各站至H站的里程数（单位：千米）        1500        1130        910        622        402        219        72        0
例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为 (元)．
(1) 求A站至F站的火车票价(结果精确到1元)；
(2) 旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价是66元，马上说下一站就到了．请问王大妈是在哪一站下车的？（要求写出解答过程）．

6－5．（无锡）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40㎏到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
品名        西红柿        豆角
批发价（单位：元/㎏）        1.2        1.6
零售价（单位：元/㎏）        1.8        2.5
问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
6－6．（武汉）2004年8月中旬，我市受14号台风“云娜”的影响后，部分街道路面积水比较严重。为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工。若甲、乙两队合做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工。问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？
6－7．（重庆）如图所示，A、B两个旅游点从2001年至2005年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2001到2005年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系 ．若要

使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？

6－8．（玉溪）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为。为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时）。以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断。张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我1小时就跑完了全程，还是慢点。”李：“虽然我的时速快，但最大时速也不超过我平均时速的10％，可没有超速违法啊。”李师傅超速违法吗？为什么？

6－9．（台州）如图,我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定,CD与地面成40°夹角,且DB=5m,则BC的长度是多少?现再在点C上方处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果保留三个有效数字)
【参考数据:sin40°=0.6428,cos40°=0.7660,tg40°=0.8391,ctg40°=1.1918】
6－10．（重庆）如图，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆
的圆心，其高为 m，底面半径为2m．某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下
的影长BE=4m．
（1）求∠Ｂ的度数；
（2）若∠ACP=2∠B，求光源A距平面的高度．

6－11．（重庆）由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电．规定：在每天的7:00至24:00为用电高峰期,电价为 元/度；每天0:00至7:00为用电平稳期,电价为 元/度．下表为某厂4、5月份的用电量和电费的情况统计表：

月份        用电量（万度）        电费（万元）
4        12        **
5        16        8.8
(1)若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的 ，5月份在平稳期的用电量占当月用电量的 ，求 、 的值．
(2)若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在10
万元至10.6万元之间（不含10万元和10.6万元），那么该厂6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？






6－12．（乌鲁木齐）冰冰和亮亮想测量设在某建筑物顶上的广告牌离地面的高度。如图9，他俩分别站在这座建筑物的两侧，并所站的位置与该建筑物在同一条直线上，相距110米，他们分别测得仰角分别是39°和28°，已知测角仪的高度是1米，试求广告牌离地面的高度（精确到1米）。









6－13、（江苏淮安）如图，在一张圆桌(圆心为点O)的正上方点A处吊着一盏照明灯，实践证明：桌子边沿处的光的亮度与灯距离桌面的高度AO有关，且当sin∠ABO= 时，桌子边沿处点B的光的亮度最大，设OB=60cm，求此时灯距离桌面的高度OA（结果精确到１cm）．
（参考数据： ≈１.414； ≈１.732； ≈2.236）






6－14、（淮安课改）快乐公司决定按左图给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A，已知这三个工厂生产的产品A的优品率如右表所示．
        甲        乙        丙
优品率        80%        85%        90%








⑴求快乐公司从丙厂应购买多少件产品Ａ；
⑵求快乐公司所购买的200件产品A的优品率；
⑶你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，使所购买的200件产品A的优品率上升3%．若能，请问应从甲厂购买多少件产品A；若不能，请说明理由．


6－15、（江西）有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB的点G处，此时，就将EG与EF的差值 （厘米）作为此人此次的弹跳成绩.
（1）设CE= （厘米），EF= （厘米），求出由 和 算出 的计算公式；
（2）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下表所示，由于某种原因，甲组C同学的弹跳成绩认不清，但知他弹跳时的位置为 厘米， =205厘米，请你计算C同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩。
        甲组        乙组
        A同学        B同学        C同学        a同学        b同学        c同学
弹跳成绩
（厘米）        36        39                42        44        34



6－16、(江苏)M市的地处北纬 （如图1），该市N小区有南北相邻的甲、乙两楼，两栋楼都是层高为3米的5层建筑，且一楼下面均有高为2.2米的地面上车库 ，两楼南北相距28米（如图2）。请问当阳光直射南归线（南纬 ）时，M市的阳光入射线相对于地平面的倾斜角是多少度？此时乙楼的一层采光是否会受到甲楼的影响？










6－17、（江苏）某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案。方案规定：每位销售人员的工资总额＝基本工资＋奖励工资。每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资。奖励工资发放比例如表1所示。（1）已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问销售员甲本月的销售额为多少元？（2）依法纳税是每个公民应尽的义务。根据我国税法规定，每月工资总额不超过800元不要缴纳个人所得税；超过800元的部分为“全月应纳税所得额”，表2是缴纳个人所得税税率表。若销售员乙本月共销售Ａ、Ｂ两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知Ａ型彩电的销售价为每台1000元，Ｂ型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售Ａ型彩电多少台？
销售额        奖励工资比例
超过10000元但不超过15000部分        5％
超过15000元但不超过20000部分        8％
20000以上的部分        10％
全月应纳税所得额        税率
不超过500元部分        5％
超过500元至2000元部分        10％
……         

表1                               表2



6－18、（梅州）为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划。如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度电。若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？
6－19、（2005年黄冈）饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，东坡中学共有教学班24个，平均每班有学生50人，经估算，学生一年在校时间约为240天（除去各种节假日），春、夏、秋、冬季各60天。原来，学生饮水一般都是购纯净水（其它碳酸饮料或果汁价格更高），纯净水零售价为1.5元 / 瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天买1瓶纯净水，夏季平均每天要买2瓶纯净水，学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买1台冷热饮水机，经调查，购买一台功率为500w的冷热饮水机约为150元，纯净水每桶6元，每班春、秋两季，平均每1.5天购买4桶，夏季平均每天购买5桶，冬季平均每天购买1桶，饮水机每天开10小时，当地民用电价为0.50元 / 度。
问题：⑴在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费         元钱来购买纯净水饮用？
⑵请计算：在购买饮水机解决学生饮水问题后，每班当年共要花费多少元？
⑶这项便利学生的措施实施后，东坡中学一年要为全体学生共节约         元

6－20、（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数
(千克)        不超过
20千克        20千克以上但不超过40千克        40千克以上
每千克价格        6元        5元        4元
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付款264元，请问张强第一
次、第二次分别购买香蕉多少千克?
6－21、（泰州）春兰集团对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分制成条形统计图（如图）．
（1）利用图中提供的信息，在专业知 识方面3人得分的极差是多少？在工作经验方面3人得分的众数是多少？在仪表形象方面谁最有优势？
（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10∶7∶3，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？
（3）在（2）的条件下，你对落聘者有何建议？
















五、创新应用题答案
6－1－1、解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．
过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．
在Rt 中，∵ ， ，
∴ AC= ≈ =1.8（m）．∴  ≈ （m）．
∴  ≈ （m）．
答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为 m．
6－1－2．解：⑴连结PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子。
⑵在△CAB和△CPO中，∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90°∴△CAB∽△CPO　　∴ ，∴ 　　　∴BC=2，∴小亮影子的长度为2m
6－1－3、解：（1）不变。理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变.  
（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大.   
如图，若h与OP不相等，则总有h故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大.
此时，S△AOB= .所以△AOB的最大面积为 .
∵相差0.94米，∴珠峰长高了

6－1－4、1小时45分= 小时.　在Rt△ABD中， (海里)，
∠BAD=90°-65°45′=24°15′.∵cos24°15′= ，
∴ (海里).AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
在Rt△ACE中，sin24°15′= ∴CE=AC•sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54＜18.6，∴这条船不改变方向会有触礁危险. 　　
6－1－5．解：
（1）在Rt△ADB中，AB＝30m，?ABC＝65º,sin?ABC＝ADAB
∴AD＝AB•sin?ABC＝30×sin65º≈27.2（m），答：AD等于27.2米。
(2)在Rt△ADB中 　cos?ABD＝DBAB ，∴DB＝AB•cos?ABD ＝30×cos65º ≈12.7（m）
连结BE、过E作EN?BC于N　　∵AE∥BC　∴四边形AEND为矩形
NE＝AD≈27.2　　在Rt△ENB中，由已知?EBN≤45º
当EBN＝45º时　BN＝EN＝27.2　∴AE＝ND＝BN－BD＝14.5（m）
答：AE至少是14.5分。

6－2－1.（1）1225，940000.                                       
（2）2004，41.4%.                                          
（3）解：设海外游客的人均消费为x元，根据题意，得
1200×700＋(1225－1200)x＝940000，        解这个方程，得x＝4000.
答：海外游客的人均消费为4000元
6―2―2．




6－2－3．(1)由图知,住宿消费为3438.24万元,占旅游消费的22.62%,
∴旅游消费共3438.24÷22.62%=15200(万元)=1.52(亿元).
交通消费占旅游消费的17.56%,∴交通消费为15200×17.56%=2669.12(万元).
∴今年我市“五一”黄金周旅游消费中各项消费的中位数是
（3438.24+2669.12）÷2=3053.68(万元).
(2)解:设2005年到2007年旅游消费的年平均增长率是 ,由题意,得
,解得     ,        
因为增长率不能为负,故 舍去. ∴ =0.5=50%.
答:2005年到2007年旅游消费的年平均增长率是50%.
6－2－4．(1)
车站序号        在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
1        n-1
2        (n-1)-1+(n-2)=2(n-2)
3        2(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)
4        3(n-3)-3+(n-4)=4(n-4)
5        4(n-4)-4+(n-5)=5(n-5)
…        ……
n        0
(2)y=x(n-x);(3)当n=18时,y=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81,当x=9时,y 取得最大值.所以列车在第9个车站启程时,邮政车厢上邮包的个数最多.
6－2－5、
(1)①从统计图中可知货物吞吐量每年都在增长；
②2004年货物吞吐量为22000万吨；         
(2)不正确。举一反例说明这个判断不正确，例如2002年—2004年：
设从2002年—2004年平均每年的增长率为x，则--(说理方案不唯一，经估算也可以)
15398(1+x)2 = 22000            
解得x1≈0.195，x2≈－2.195(舍去).      ∵0.195 = 19.5%＞15%.      
∴他的说法不正确.
6－3－1、
6－3－2．解：设购买羽绒被x条，则购买羊毛被(80－x)条，
根据题意，得　　415x＋150(80－x)≤20000．     整理，得　265x≤8000．
解之，得     x≤ ．           
∵x为整数，∴x的最大整数值为30．  
答：最多可购买羽绒被30条．      
6－3－3．如图，由题意知：四边形ACED是矩形
  米，
设 ，在 中，
在 中， ，即
，解得：
（米）
    答：大厦的高度BC为90米。
6－3－4、15
6－3－5、

6－1．2.3m
6－2．（1）500n
   （2）每亩的成本=4900
        每亩的利润=3900
   （3）李大爷应该租10亩，贷24000元。
6－3．（1）去皮前1.2千克，去皮后0.78千克。估计200个菠萝去皮前后总质量分别为240千克和156千克。（2）4元/千克。
21、
6－4、(1) 解法一：由已知可得   ．
A站至F站实际里程数为1500－219=1281．
所以A站至F站的火车票价为 0.12 1281=153.72 154(元)        
　　解法二：由已知可得A站至F站的火车票价为  (元)．
(2)设王大妈实际乘车里程数为x千米，根据題意，得： ．
解得  x= (千米)．
   对照表格可知， D站与G站距离为550千米，所以王大妈是D站或G站下的车．
6－5、33元.
6－6．设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天,y天。
依题意得 ，解之得
经检验知它们适合方程组和题意。
则甲队每天施工1200÷20=60m，乙队每天施工1200÷30=40m.
设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a天，b天.
依题意得
解之得b≥35.
答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天，30天；要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工15天。
6－7．解：(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2004年．
(2) ＝ ＝3（万元）
   ＝ ＝3（万元）　
   ＝ [(-2) ＋(-1) ＋0 ＋1 ＋2 ]＝2
＝ [0 ＋0 ＋(-1) ＋1 ＋0 ]＝   
从2001至2005年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，
但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．
(3)由题意，得　５－ ≤４   
解得　　　　x≥100         
100-80＝20        
答：A旅游点的门票至少要提高20元．
6－8．设李师傅的平均速度为x千米/时，则张师傅的平均速度为（x－20）千米/时。
根据题意，得  
去分母，整理，得  ，  
经检验， 都是所列方程的根，但 不符合题意，舍去。
∴x＝100 ，∴李师傅的最大时速是：100（1＋10％）＝110   
∴李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法。
6－9．4.20，7.96；
6－10．解：(1) 过点D作DF垂直BC于点F．
由题意，得　DF＝2  ， EF＝2 ，  BE＝4．
在Rt△DFB中，tan∠B＝ ＝ ＝ 　所以　∠B＝30°　　
(2)过点A作AH垂直BP于点H．
因为　∠ACP＝2∠B＝60°   
所以　∠BAC＝30°　　　AC＝BC＝8   　
在Rt△ACH中，AH＝AC•Sin∠ACP＝8× ＝4    即光源A距平面的高度为４  m．　　　
6－11．(1) 由题意，得
×12a＋ ×12b＝**
×16a＋ ×16b＝8.8　　
8a＋4b＝**
12a＋4b＝8.8
解得　　a＝0.6 　　 b＝0.4　　　　
(2) 设6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例为k．　
由题意，得10＜20(1－k)×0.6＋20k×0.4＜10.6　　　　
解得     0.35＜k＜0.5　　　　  
答：该厂6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例在35%到50%之间（不含35%和50%）．
6－12．解：设CD长为x米
在Rt△ACD中cot39°＝ ，得AD＝CDcot39°≈1.2x
在Rt△CDE中，cot28°= ，得DB＝CDcot28°≈1.9x
又∵AD＋BD＝110　　　∴1.2x+1.9x＝110
x≈35米∴CE＝CD＋DE＝35＋1＝36米
答：广告牌离地面的高度约为36米。
6－13、解法一：在Rt△OAB中，
∵sin∠ABO= ，∴ 　　　即OA= AB
又OA2+OB2=AB2，且OB=60cm   　　解得OA=60 ≈85cm
答：高度OA约为85cm
解法二：∵OA⊥OB，sin∠ABO=     ∴ 可设OA= x ，AB=3 x（x>0）
   ∵OA2+OB2=AB2，∴ 　　解得
∴OA=60 ≈85cm        
答：高度OA约为85cm

例①先求cos∠ABO，再求tan∠ABO；②由sin∠ABO=  ，设OA= x ，AB=3 x（x>0），得BO= x=60等。
6－14、⑴甲厂：200×25%＝50；
⑵ 乙厂200×40%=80；丙厂：200×35%＝70
优品率  (50×80%+80×85%+70×90%)÷200=0.855=85.5%
⑶设从甲厂购买x件,从乙厂购买ｙ件，丙厂购买（200―x―y）件．
则80%x+85%y+90%(200―x―y)=200×88. 5% ,即2x+y=60;  
又80%x和85%y均为整数.
当y=0时,x=30,　　当y=20时,x=20,　　　当y=40时,x=10,　　　当y=60时,x=0,
6－15、（1）过A作AM⊥BD于点M，交GE于N，
∵AC⊥CD，GE⊥CD，
∴四边形ACEN为矩形。∴NE=AC。
又∵AC=200，EF=a，FG=y，∴GN=GE－NE=a+y－200。      
∵DM=AC=200，∴BM=BD－DM=300－200=100。
又∵GN∥BM，∴△ANG～△AMB。
∴
∴y= x－a+200。     
（2）当x=150㎝,a=205㎝时,y= ×150－205＋200=45(㎝)
即甲组C同学的弹跳成绩为45㎝.
∵   
∴s甲2=
S乙2=
∴s甲2＜S乙2，即甲级同学的弹跳成绩更整齐。
6－16、解：如图1过M作PQ OM，OM交OX与P，因为OX//MY，所以 ，
即 ，
所以这时M市的阳光入射线相对于地平面的倾斜角是30度。








如图2，G为入射光线交EF于G，
在直角三角形AEG中： ，AE=28，
∴
故此时乙楼的一层采光不会受到甲楼的影响。
6－17、解：（1）设销售员甲的本月的销售额为 元，
则：

所以销售员甲本月的销售额为19375元
（2）设销售员乙本月销售Ａ型彩电 台，
则乙本月的销售额为： （元）
由题意得：


所以销售员乙本月销售Ａ型彩电14台。
6－18、解：设学校每天用电量为x度，依题意可得：
        解得： ，即学校每天用电量应控制在21度～22度范围内。
6－19、⑴∵每个学生春、秋、冬季每天1瓶矿泉水，夏季每天2瓶，
　　　　∴一个学生在春、秋、冬季共要购买180瓶的矿泉水；夏天要购买120瓶矿泉水
　　　　∴一年中一个学生共要购买300瓶矿泉水
　　　　即一个学生全年共花费1.5×300＝450元钱
　　　⑵购买饮水机后，一年每个班所需纯净水的桶数为：春秋两季，每1.5天4桶，则120天共要（4×120）× ＝320桶。
夏季每天5桶，共要60×5＝300桶
冬季每天1桶，共60桶
∴全年共要纯净水（320＋300＋60）＝680桶
故购买矿泉水费用为：680×6＝4080元
使用电费为：240×10× ×0.5＝600元
故每班学生全年共花费：4080＋600＋150＝4830元
⑶∵一个学生节省的钱为：450－ ＝353.4元
∴全体学生共节省的钱数为：353.4×24×50＝424080元
6－20、解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得
          0当0              
①        当040时，由题意，得
(不合题意，舍去)．      
②        当205x+5y=5(x+y)=5×50=250<264(不合题意，舍去)         
    综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.  

6－21、解：（1）专业知识方面3人得分极差是18－14=4，工作经验方面3人得分的众数是15在仪表形象方面丙最有优势
（2）甲得分：14× ＋17× ＋12× = ，乙得分：18× ＋15× ＋11× = ，丙得分：16× ＋15× ＋14× =
∴应录用乙
（3）对甲而言，应加强专业知识的学习，同时要注意自己的仪表形象；对丙而言，三方面都要努力．重点在专业知识，和工作经验。

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5楼 发表于 2008-12-23 16:09 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题四、几何综合题
例1、（盐城）如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，⊙O2在⊙O1上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为AB延长线上一点，连接DE。
（1）        请你连结AD，证明：AD是⊙O1的直径；
（2）        若∠E=60°，求证：DE是⊙O1的切线。
知识点：考查了三角形的中位定理、圆有关概念以及圆的切线的判　　　　定定理等
精析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。
准确答案：
（1）证明：连接AD，∵AC是⊙O2的直径，AB⊥DC
∴∠ABD=90°,∴AD是⊙O1的直径
（2）证法一：∵AD是⊙O1的直径，∴O1为AD中点
连接O1O2，∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等，
∴O1O2=AO1=AO2
∴△AO1O2是等边三角形，∴∠AO1O2=60°
由三角形中位线定理得：O1O2∥DC，∴∠ADB=∠AO1O2=60°
∵AB⊥DC，∠E=60，∴∠BDE=30，∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90°
又AD是直径，∴DE是⊙O1的切线
证法二：连接O1O2，∵点O2在⊙O1上，O1与O2的半径相等，
∴点O1在⊙O2
∴O1O2=AO1=AO2，∴∠O1AO2=60°
∵AB是公共弦，∴AB⊥O1O2，∴∠O1AB=30°
∵∠E=60°∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90°
由（1）知：AD是的⊙O1直径，∴DE是⊙O1的切线
中考对该知识点的要求：几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。
目标达成：
5－1－1．（临沂）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BC的延长线于点P，交AD的延长线于点E，若AD=5，AB=6，BC=9。
⑴求DC的长；
⑵求证：四边形ABCE是平行四边形。

5－1－2．（陕西课改）已知：如图，AB是⊙O的直径，　点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC。
求证：（1）BC平分∠PBD；（2）









5－1－3．（2005年陕西）PC切⊙O于点C，过圆心的割线PAB交⊙O于A、B两点，BE⊥PE，垂足为E，BE交⊙O于点D，F是PC上一点，且PF＝AF，FA的延长线交⊙O于点G。
求证：（1）∠FGD＝2∠PBC；
（2） .





5－1－4.（2005年 四川）已知：如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E。弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连结AD、AM，
求证：(1)△ACM≌△BCM；
      (2)AD•BE=DE•BC；
(3)BM2=MN•MF。


5－1－5.（2005 年宿迁）已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．









例2．（南通）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD = 4cm，AB = 8cm，求CF的长．






知识点：本题目考查了矩形的性质，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。
精析：解这类几何综合题，应该注意以下几点：
（1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形；（2）灵活运用数学思想与方法
准确答案：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， AD∥BC，
∴OA＝OB＝OC，∠DAE＝∠OCB，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DAE＝∠CBF．          又∵AE＝ OA，BF＝ OB，∴AE＝BF，        
∴△ADE≌△BCF．           
   （2）解：过点F作FG⊥CD于点G，则∠DGF＝90º，
∵∠DCB＝90º，∴∠DGF＝∠DCB，
又∵∠FDG＝∠BDC，∴△DFG∽△DBC，
∴ ．
     由（1）可知DF＝3FB，得 ，
        ∴ ，∴FG＝3，DG＝6，      
∴GC＝DC－DG＝8－6＝2．  
在Rt△FGC中，

5－2－1.（宁德）已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB。
（1）求证：AC平分?DAB；
（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直径。








5－2－2．（四川）已知：如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，D是⊙O上的点，且有AC=CD。过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，连结CD。
  (1)试判断BE与CE是否互相垂直?请说明理由；
(2)若CD=2 ，tan∠DCE= ，求⊙O的半径长。






5－2－3．（苏州）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO。
(1)求证：ΔADB∽ΔOBC；
(2)若AB=2，BC= ，求AD的长。(结果保留根号)





5－2－4．（潍坊）如图, 是 的角平分线, 延长 交 的外接圆 于点 ,过 三点的圆 交 的延长线于点 ，连结 ．
(1)求证： ∽ ；
(2) 若 , 求 的长；
(3) 若 ∥ , 试判断 的形状，并说明理由．






5－2－5．（温州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是　　的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且　　　，EM切⊙O于M。
⑴、△ADC∽△EBA；
⑵、AC2＝12 BC•CE；
⑶、如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。







能力提高：
5－1、（绍兴）如图矩形ABCD中，过A，B两点的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，连结EF。
（1）        求证：∠CEF＝∠BAH
（2）        若BC＝2CE＝6，求BF的长。




5－2．（辽宁）如图，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，
tan∠APB=2，
  (1)若△APB为直角三角形，求PB的长；
(2)若△APB为等腰三角形，求△APB的面积。





5－3.（临沂课改）如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM BE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
   
5－4．（乌鲁木齐）如图11，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝6，BC＝8。以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于点F。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DB的长；
（3）求S△FAD∶S△FDB的值





5－5．（淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD, A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．
⑴求证：四边形ABCD是矩形；
⑵在四边形ABCD中，求 的值．





5－6．（淮安）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，
∠ABD=30°．
⑴求证：CD是⊙O的切线；
⑵若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求 的值．





5－7、（茂名）知直线L与◎○相切于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连接OP交◎○于点C，连接BC并延长BC交直线L于点D，         
（1）        若AP=4， 求线段PC的长（4分）
（2）        若ΔPAO与ΔBAD相似，求∠APO
的度数和四边形OADC的面积（答
案要求保留根号）




5－8、（绵阳）如图7，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为 的中点，BF交AD于点E，且BE EF=32，AD=6.
(1) 求证：AE=BE；
(2) 求DE的长；
(3) 求BD的长 .





5－9、（江苏）如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在 上取一点D，分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M。
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在 上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。
      
5－10、（福州）已知：如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5cm，CD＝6cm，∠DCB＝60°，∠ABC＝90°。等边三角形MPN（N为不动点）的边长为 cm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线 上，NC＝8cm。将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。
（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？
（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？









5－11、（连云港）如图， 是等边三角形，⊙O过点B,C，且与 的延长线分别交于点D,E．弦 ∥ ， 的延长线交 的延长线于点G．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ， ，求 的长．






5－12、（潜江、仙桃、江汉油田）已知：如图，BD是⊙O的直径，过圆上一点A作⊙O的切线交DB的延长线于P，过B点作BC∥PA交⊙O于C，连结AB、AC。
（1）        求证：AB=AC；
（2）        若PA=10，PB=5，求⊙O的半径和AC的长。





5－13、（重庆）如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G.
   （1）求证：AE•BE＝EF•EG；
   （2）连结BD，若BD⊥BC，且EF＝MF＝2，求AE和MG的长.









四、几何综合题答案
5－1－1．⑴解：∵AD∥BC
∴AB＝DC  ∴DC=AB=6  
⑵证明：∵AD∥BC，  ∴∠EDC=∠BCD
又∵PC与⊙O相切   ，∴∠ECD=∠DBC
∴△CDE∽△BCD     ∴
∴DE     ∴AE=AD+DE=5+4=9  
∴AE  BC       ∴四边形ABCE是平行四边形。
5－1－2. 证明：（1）连结OC。
∵PD切⊙O于点C，又∵BD⊥PD， ∴OC∥BD。∴∠1＝∠3。
又∵OC＝OB，∴∠2＝∠3。∴∠1＝∠2，即BC平分∠PBD。
（2）连结AC。
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。又∵BD⊥PD，∴∠ACB＝∠CDB＝90°
又∵∠1＝∠2，∴△ABC∽△CBD  ∴ ，∴



5－1－3.( 1）连结OC。
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC。∵BE⊥PE，∴OC∥BE。∴∠POC＝∠PBE。
又∵∠PBE＝∠FGD，∴∠POC＝∠FGD。
∵∠POC＝2∠PBC，∴∠FGD＝2∠PBC。
（1）        连结BG
∵AB是的直径，∴∠AGB＝90°。
又∵OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠AGB＝∠PCO。
∵FP＝FA，∴∠FPA＝∠PAF＝∠BAG。
∴△PCO∽△AGB。∴
5－1－4.

5－1－5. （1）证法一：连结CD，
∵BC为⊙O的直径　　　∴CD⊥AB，
∵AC＝BC　　　∴AD＝BD．
证法二：连结CD，  
∵BC为⊙O的直径　　　∴∠ADC＝∠BDC＝90°
∵AC＝BC，CD＝CD　　∴△ACD≌△BCD
∴AD＝BD     
（2）证法一：连结OD，
∵AD＝BD，OB＝OC　　∴OD∥AC ，∵DE⊥AC  ∴DF⊥OD          ∴DF是⊙O的切线．     
证法二：连结OD，          
∵OB=OD，∴∠BDO＝∠B      
∵∠B＝∠A，∴∠BDO=∠A
∵∠A+∠ADE＝90°　　∴∠BDO＋∠ADE＝90°
∴∠ODF=90°                        ∴DF是⊙O的切线．  
5－2－1．（1）证法一：连结BC
∵AB为⊙O的直径∴?ACB＝90º，又∵DC切⊙O于C点
∴?DCA＝?B　　∵DC?PE　　∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴?DAC＝?CAB
（2）解法一：在Rt△ADC中，AD＝2，DC＝4
∴AC＝AD2＋DC2 ＝25
由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB∴ABAC ＝ACAD 　即AB＝AC2AD ＝202 ＝10　　
∴⊙O的直径为10
（1）证法二：连结OC
∵OA＝OC　　∵?ACO＝?CAO　　　又∵CD切⊙O于C点
∴OC?DC　　　∵CD?PA　　∴OC∥PA　　∴?ACO＝?DAC　∴?DAC＝?CAO
（2）解法二：过点O作OM?AE于点M，连结OC
∵DC切⊙O于C点　　∴OC?DC　　又∵DC?PA　　∴四边形OCDM为矩形
∴OM＝DC＝4　　又DC2＝DA•DE
∴DE＝8，∴AE＝6， ∴AM＝3
在Rt△AMO中　　　OA＝OM2＋AM2 ＝5　即⊙O的直径为10。
5－2－2.







5－2－3. (1)略；（2）由（1），得△ADB∽△OBC，
      
5－2－4. (1）证明：连结两圆的相交弦
在圆 中， ，
在圆 中， ，
∴ ，又因为 是 角平分线，得∠BAE=∠CAE，         
∴ ，∵ ，∴ ∽ ．               
（2）∵ ∽ ，
∴  ，∴ ，∴ ．
（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，
得到： ， ，∴ ，
∵ =180°，∴ =180°，
又 =180，∴  ．
∵ ∥ ， ，又∵ ，∴∠AEB =∠ABE ，
∴ 为等腰三角形．
5－2－5．⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE，
∵　　　 ，∴∠DCA＝∠BAE，∴△CAD∽△AEB
⑵、过A作AH⊥BC于H(如图)∵A是　　中点，∴HC＝HB＝12 BC，
∵∠CAE＝900，∴AC2＝CH•CE＝12 BC•CE
⑶∵A是　　中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2，
∵EM是⊙O的切线，∴EB•EC＝EM2　　　①
∵AC2＝12 BC•CE，BC•CE＝8　　　　　  ②
①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC2＝17
∵EC2＝AC2＋AE2，∴AE＝17－22＝13 　　∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC，
∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AEAC＝132
5－1.









5-2.

5－3. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形．∴ BOE= AOF＝90 ．OB＝OA
    又∵AM BE，∴ MEA+ MAE＝90 = AFO+ MAE
    ∴ MEA＝ AFO
    ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF    ∴OE=OF   
  (2)OE＝OF成立  
  证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ BOE= AOF＝90 ．OB＝OA  
    又∵AM BE，∴ F+ MBF＝90 = B+ OBE
   又∵ MBF＝ OBE  ∴ F＝ E  ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF     ∴OE=OF   
5－4.　（1）证明：略
（2）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8　　∴AC＝10
∵BC2＝CD AC∴CD＝ ，AD＝
又∵△ADB∽△BDC　　∴BD2＝AD CD＝   　　　　∴BD＝
（3）∵∠FDA＝∠FBD　　∠F＝∠F　　∴△FDA∽△FBD
∴S△FAD∶S△FDB＝
5－5、（1）证明：连结OE
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=OB，　　∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE，　∴EO⊥BD　　∴∠DOE= 90°
即∠DAE= 90°　　又四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形
（2）解：∵四边形DEBF是菱形
∴∠FDB=∠EDB
又由题意知∠EDB=∠EDA
由（1）知四边形ABCD是矩形
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°
则∠ADB= 60°　∴在Rt△ADB中，有AD∶AB=1∶ 　　即      
5－6、
（1）证明：连结OD、DA，
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°
又∠ABD=30°，∴AD= AB=OA　　又AC=AO，∴∠ODC=90°∴CD切⊙O于点D
（2）方法一：连结PE，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC   ∴∠C=30°
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE　　∴PE= CP
又PE=BP=R，CA=AO=OB= r　　　∴3r=R，即
方法二：连结PE，
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴OD∥PE　　∴ = 　　　即  ，∴
5－7、解：（1） ◎○相切于点A，
　

　　　  
           （2） PAO∽ΔBAD,且∠1>∠2，∠4=∠4=90　　，
      


  

在RtΔBAD中，
，
方法一：过点O作OE⊥BC于点E，

，


=



方法二：在RtΔOAP中，AP=6tan600=3 ,OP=2OA=6,
DP=AP－AD=3
过点C作CF⊥AP于F， ∠CPF=300,  CF=
S四边形OADC=SΔOAP－SΔCDP = AP•OA－ DP•CF = ( )=
5－8. (1) 连AF，因A为的 中点，∴∠ABE=∠AFB，又∠AFB=∠ACB，∴ ∠ABE=∠ACB .
∵ BC为直径，∴∠BAC=90°，AH⊥BC，∴∠BAE=∠ACB，∴∠ABE=∠BAE， ∴ AE=BE .
(2) 设DE=x(x>0)，由AD=6，BE EF=32，AE EH=BE EF，
有(6-x)(6+x)=32，由此解得x=2， 即DE的长为2 .
(3) 由(1)、(2)有：BE=AE=6-2=4，　在RtΔBDE中，BD= =

5－9、解（1）∵AB为直径，CE⊥AB
∴ ＝ ，CG＝EG
在Rt△COG中，
∵OG＝ OC
∴∠OCG＝300，∠COA＝600
又∵∠CDE的度数
＝ 弧CAE的度数
＝ 的度数
＝∠COA的度数＝600
∴∠FDM＝1800－∠CDE＝1200
（2）证明：
∵∠COM＝1800－∠COA＝1200
∴∠COM＝∠FDM，在Rt△CGM和Rt△EGM中，
∵ 　　∴Rt△CGM≌Rt△EGM　　∴∠GMC＝∠GME
又∠DMF＝∠GME　　∴∠OMC＝∠DMF　　∴△FDM∽△COM
（3）解：结论仍成立。
∵∠FDM＝1800－∠CDE
∴∠CDE的度数＝ 弧CAE的度数＝ 的度数＝∠COA的度数
∴∠FDM＝1800－∠COA＝∠COM
∵AB为直径，CE⊥AB； ∴在Rt△CGM和Rt△EGM中
∵
  ∴Rt△CGM≌Rt△EGM
  ∴∠GMC＝∠GME
  ∴△FDM∽△COM
5－10.（1）重叠部分的面积等于 （2）等边三角形的边长a至少为10cm（3）等边三角形的边长为
5－11（1）证明：（1）∵ 是等边三角形， ∴  ，   
∵DF∥AC，∴  
又∵   ∴ 是等边三角形．
（2） 　
5－12.（1）连结AD,由切割线定理可知，
=    即
    而△PDA∽△PAB
∴
在Rt△BDA中，   即15
∴    即AC=
5－13、证明：
（1）∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB
∴∠ACB＝∠BEG＝∠AEF＝900
∴∠G＋∠B＝∠A＋∠B＝900
即∠G＝∠A
∴Rt△AEF∽Rt△GEB，
∴ ，即
（2）∵DE⊥AB，∴DE＝EM＝4，连结AD，∵AB是⊙O的直径，BD⊥BC
∴∠ACB＝∠ADB＝∠DBC＝900　　∴∠DAF＝900
由Rt△AEF∽Rt△ADE可得 　　∴
由相交弦定理可得 　　∴
∴ 　　∴MG＝EG－EM＝8－4＝4

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6楼 发表于 2008-12-23 16:10 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题十一、多解型试题
例1、（黑龙江）  王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．

知识点：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。
精析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.
准确答案：解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE＝25（m）
由DE∥FC得， ，得FC＝24（m） S△ABC=12 ×40×24=480（m2）
(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S△ABC=12×64×24=768（m2）







中考对该知识点的要求：分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.
目标达成：
12－1－1、（资阳市）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（　　）
A.                                  B.                                  C.  或                 D. a+b或a-b
12－1－2．（杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有
  (A) 1条    (B) 2条    (C) 4条          (D) 8条
12－1－3（潍坊市）已知圆 和圆 相切，两圆的圆心距为8cm，圆 的半径为3cm，则圆 的半径是（     ）．
        A．5cm     B．11cm       C．3cm      D．5cm或11cm

12－1－4.（北京） 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且 ，则∠BCA的度数为____________。

12－1－5、（金华）直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上， S△AMO＝23S△COB，那么点M的坐标是　　　　　　　　　.







例题2．（金华）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝22. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.
（1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线
PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.
知识点：本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质，以及二次函数的有关知识，是一道涉及面较广，体现分类思想较明显的综合性题目。
精析：分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。
准确答案：解：（1）∵ 矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝22，   　
　 ∴ tan∠ADE＝AEAD＝228＝24.                        
（2）∵ DE＝AD2＋AE2＝82＋(22)2＝62，            
∴ sin∠ADE＝AEED＝2262＝13，cos∠ADE＝ADED＝862＝223.   
在Rt△DGH中，∵ GD＝x，∴ DH＝DG•cos∠ADE＝223x，
∴ S△DGH＝12DG•DH•sin∠ADE＝12•x•223x•13＝29x2.  
∵ S△AED＝12AD•AE＝12×8×22＝82， ∴ y＝S△AED－S△DGH＝82－29x2，
        即y与x之间的函数关系式是y＝－29x2＋82.        
（3）满足条件的⊙O有4个.                           
以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：
∵ AD∥FN，∴ △AED∽△BEF. ∴ ∠PFN＝∠ADE. ∴ sin∠PFN＝sin∠ADE＝13.
∵ AE＝2BE，∴ △AED与△BEF的相似比为2∶1，∴ ADFB＝12，FB＝4.
过点O作OI⊥FP，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r.
∵ sin∠PFN＝OIFO＝r4－r＝13，∴ r＝1.               
  （满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）   
目标达成：
12－2－1、（河南）如图1， 中， , , ,点 在边 上，且 .
  (1)动点 在边 上运动，且与点 ， 均不重合，设
     ①设 与 的面积之比为 ，求 与 之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
     ②当 取何值时，  是等腰三角形？写出你的理由。
（2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？






12－2－2．（河南课改）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝22，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。
⑴、求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵若以D为圆心、12为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。


12－2－3、（常州）已知⊙ 的半径为1，以 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形 ，顶点 的坐标为（ ，0），顶点 在 轴上方，顶点 在⊙ 上运动．
（1）当点 运动到与点 、 在一条直线上时， 与⊙ 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点 的横坐标为 ，正方形 的面积为 ，求出 与 的函数关系式，并求出 的最大值和最小值．










12－2－4、（安徽）在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:
点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条?
经过思考,甲同学给出如下画法:
如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.
(2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出.
(3)如图2,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A1C1∥AD.当点P在线段A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?
(4)如图3,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况.



12－2－5、（上海）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。
（1）        如图8，求证：△ADE∽△AEP；
（2）        设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）        当BF＝1时，求线段AP的长.

能力提高：
12－1、（河北课改）图15―1至15―7中的网格图均是20×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）。侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况。当5个单位长的列车（图中的     ）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）。
⑴在区域MNCD内，请你针对图15―1，图15―2，图15―3，图15―4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。
⑵只考虑在区域ABCD内形成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）。
①如图15―5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式；
②如图15―6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式；
③如图15―7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；
④根据①~③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况。
⑶根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶是额外加分，加分幅度为1~4分）。
         






12－2、（锦州）如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为 .
　　(1)求A、B、C三点的坐标；
　　(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？
　　(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法.
　　注：基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分.
  

12－3．（徐州）有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.
(1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________.
(2) 当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式；
(3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值(同学可在图14、图15中画草图).











12－4、（四川）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x1，0)和B(x2，0)，与y轴的正半轴交于点C。如果x1、x2是方程x2―x―6=0的两个根(x1  (1)求此抛物线的解析式；
  (2)求直线AC和BC的方程；
  (3)如果P是线段AC上的一个动点(不与点A、C重合)，过点P作直线y=m(m为常数)，与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形?若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。















12－5．（潍坊）抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ,已知抛物线的对称轴为 ， , ，
（1）求二次函数 的解析式；
（2）        在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使点 到 、 两点距离之差最大？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于 轴的一条直线交抛物线于 两点，若以 为直径的圆恰好与 轴相切，求此圆的半径．






12－6、（太原）  如图，直线y= x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，⊙C是△ABO的外接圆(O为坐标原点)，∠BAO的平分线交⊙C于点D，连接BD、OD。
  (1)求证：BD=AO；
  (2)在坐标轴上求点E，使得△ODE与△OAB相似；
  (3)设点A′在OAB上由O向B移动，但不与点O、B重合，记△OA′B的内心为I，点I随点A′的移动所经过的路程为l，求l的取值范围。











12－7、（大连）如图12，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x＝t，使它与直线y＝x和直线 分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因。












12－8、（江苏）已知二次函数的图象如图所示。
⑴ 求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
⑵ 若点N为线段BM上的一点，过点N作 轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为 ，四边形NQAC的面积为 ，求 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围；
⑶ 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑷ 将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）。


答案
12－1－1、C；12－1－2、C；12－1－3、D； 12－1－4、65度或115度；
12－1－5、（1，－6），（4，6）

12－2－1、



12－2－2、⑴过点D作DE⊥BC于E，
∵∠ABC＝900，∴DE＝AB＝2，
又∵DC＝22，∴EC＝DC2－DE2 ＝2
∴BC＝BE＋EC＝AD＋EC＝2＋1＝3
∴S四边形ABPD＝(AD＋BP)•AB2＝(1＋3－x)×22＝4－x，
即　y＝－x＋4  (0＜x＜3）
⑵当P与E重合时，⊙P与⊙D相交，不合题意；
当点P与点E不重合时，在Rt△DEP中，
DP2＝DE2＋EP2＝22＋|2－x|2＝x2－4x＋8
∵⊙P的半径为x，⊙D的半径为12 ，　∴①当⊙P与⊙D外切时，
(x＋12 )2＝x2－4x＋8，解得　　x＝3120
此时四边形ABPD的面积y＝4－3120 ＝4920
②当⊙P与⊙D内切时，
(x＋12 )2＝x2－4x＋8，解得　　x＝3112
此时四边形ABPD的面积y＝4－3112＝1712
∴⊙P与⊙D相切时，四边形ABPD的面积为4920 或1712
12－2－3、（1）CD与⊙O相切。                                             
因为A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，
所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线                                
CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），
设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2=13，
解得a=2，或a=-3（舍去）                                             
过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，所以 ，所以DE= ，
OE= ，所以点D1的坐标是（- ， ）                       
所以OD所在直线对应的函数表达式为y=                        









②切点在第四象限时（如图②），
设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2=13，
解得b=-2（舍去），或b=3                                             
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，所以 ，所以OF= ，DF= ，所以点D2的坐标是（ ，- ）         
所以OD所在直线对应的函数表达式为y=                        
（2）如图③，
过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2＋DG2=（BO－OG）2＋OD2-OG2=                           
所以S=AB2=                                      
因为-1≤x≤1，所以S的最大值为 ，
S的最小值为                           
12－2－4、(1)的画法正确.因为PE∥AD,所以△MPE～△MNA,所以 ,而EM=2EA,所以MP:MN=2:3,因此点P是线段MN的一个三等分点.(2)能画出一个符合题目条件的直线,在EB上取M1,使EM1= AE,直线M1P就是满足条件的直线,图略;(3)若点P在线段A1C1上,能够画出符合题目条件的直线无数条,图略;(4)若点P在A1C1,A2C2,B1D1,B2D2上时,可以画出无数条符合条件的直线l;当点P在正方形A0B0C0D0内部时,不存在这样的直线l,使得点P是线段MN的三等分点;当点P在矩形ABB1D1,CDD2B2,A0D0D2D1,B0B1B2C0内部时,过点P可画出两条符合条件的直线l,使得点P是线段MN的三等分点.
12－2－5、







12－1、解：⑴略
⑵①如图6，当5≤t≤10时，盲区是梯形AA1D1D
∵O是PQ中点，且OA∥QD，
∴A1，A分别是PD1和PD中点
∴A1A是△PD1D的中位线。
又∵A1A ，∴D1D
而梯形AA1D1D的高OQ=10，
∴ ∴
②如图7，当10≤t≤15时，盲区是梯形A2B22C22D22，
易知A2B2是△PC2D2的中位线，且A2B2=5，
∴C2D2=10
又∵梯形A2B2C2D2的高OQ=10，
∴ ∴
③如图8，当15≤t≤20时，盲区是梯形B3BCC3
易知BB3是△PCC3的中位线
且BB3
又∵梯形B3BCC3的高OQ=10，
∴
∴
④当5≤t≤10时，由一次函数 的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75；
当10≤t≤15时，盲区的面积y为定值75；
当15≤t≤20时，由一次函数 的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0
⑶通过上述研究可知，列车从M点向N点方向运行的过程中，在区域MNCD内盲区面积大小的变化是：
①在0≤t≤10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75；
②在10≤t≤15时段内，盲区的面积为定值75；
③在15≤t≤20时段内，盲区面积从75逐渐减小到0
12－2、(1)由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入 ，
　　　 得y=10，∴A(0,10) 　　
　　　 ∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入 得，
　　　  ，∴x1=0, x2=8.
　　　 ∵B点在第一象限，∴B点坐标为(8,10)　　
　　　 ∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入 得，
　　 　 解得∴x1=-10，x2=18.
　　　 ∵C在原点的右侧，∴C点坐标为(18,0).　　
　　　 (2)法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，
　　　 ∴ .　　
　　　 设MN=x，NP=y，则有 .∴y=18-x.　　
　　　 ∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
　　　 ∴当x=9时，有最大值81.
　　　 即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.　　

　　法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴ .
　　　　　设MN=x，NP=y，则有 .∴y=18-x.
　　　　　∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
　　　　　∴当x=9时，有最大值81.
　　　　　即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
　　法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上.
　　法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，
　　　　　QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
　　　　　∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形.
　　　　　设MN=x时矩形MNPO的面积最大.
　　　　　∴PN=PC=OC-OP=18-x.
　　　　　∴S矩形MNOP=MN•PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
　　　　　∴当x=9时，有最大值81.
　　　　　即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
　　(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.
　　①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分.　
　　
　　②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可.　　
　　
　　③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：
　　 ， ； ， ；
　　 ， ； ， ；
　　……
　　不要求写出P点的坐标. 　　
　　④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；　　
　　
2．(1)由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入 ，
　　　 得y=10，∴A(0,10) 　
　　　 ∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入 得，
　　　  ，∴x1=0, x2=8.
　　　 ∵B点在第一象限，∴B点坐标为(8,10)　
　　　 ∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入 得，
　　 　 解得∴x1=-10，x2=18.
　　　 ∵C在原点的右侧，∴C点坐标为(18,0).
　　　 (2)法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，
　　　 ∴ .　
　　　 设MN=x，NP=y，则有 .∴y=18-x.　　
　　　 ∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
　　　 ∴当x=9时，有最大值81.
　　　 即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.　　

　　法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴ .
　　　　　设MN=x，NP=y，则有 .∴y=18-x.
　　　　　∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
　　　　　∴当x=9时，有最大值81.
　　　　　即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
　　法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上.
　　法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，
　　　　　QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
　　　　　∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形.
　　　　　设MN=x时矩形MNPO的面积最大.
　　　　　∴PN=PC=OC-OP=18-x.
　　　　　∴S矩形MNOP=MN•PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
　　　　　∴当x=9时，有最大值81.
　　　　　即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
　　(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.
　　①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分.　　
　　
　　②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可.　　
　　
　　③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：
　　 ， ； ， ；
　　 ， ； ， ；
　　……
　　不要求写出P点的坐标. 　　
　　④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；　　
　　



















12－3、


12－4、




12－5、解：（1）将 代入 ，
得  ．
将 ， 代入 ，
得  ．……….(1)

∵ 是对称轴，
∴ ．          (2)
将（2）代入（1）得
，     ．
所以，二次函数得解析式是 ．
（2） 与对称轴的交点 即为到 的距离之差最大的点．
∵ 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，
∴ 直线 的解析式是 ，
又对称轴为 ，
∴ 点 的坐标 ．   
（3）设 、 ，所求圆的半径为r，
则  ，…………….(1)
     ∵ 对称轴为 ，
∴   ．        …………….(2)
由（1）、（2）得： ．……….(3)
将 代入解析式 ，
得   ，………….(4)
整理得：  ．　　由于 r=±y，
当 时， ，
解得，  ，   （舍去），
当 时， ，
解得，   ，   （舍去）．
所以圆的半径是 或 ．
12－6、



12－7、解：存在。
方法一：当x＝t时，y＝x＝t、当x＝t时， 。
∴E点的坐标为（t， ），D点坐标为（t，t）。
∵E在D的上方，∴ ，且t＜ 。
∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。
若t＞0，PE=DE时， 。
∴ 。∴P点坐标为（0， ）。
若t＞0，PD=DE时， ，
∴ 。∴P点坐标为（0， ）。
若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，∴ 。
∴ ，∴DE的中点的坐标为（t， ），
∴P点坐标为（0， ）。若t＜0，PE=PD时，由已知得DE=－t， ，
t＝4＞0（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边时，由已知得DE=－2t，
，∴ 。∴P点坐标为（0，0）
综上所述：当t＝ 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， ）或
（0， ）；当 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， ）；当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。
方法二：设直线 交y轴于点A，交直线y＝x于点B，过B做BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N。∵x＝t平行于y轴，∴MN＝ 。
∵    解得    ∴B点坐标为（ ， ），∴BM＝
当x＝0时， ，∴A点坐标为（0，2），∴OA=2。
∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。
如图4，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，∴PE＝t，PD＝t，∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，∴
∴   ∴t＝ 。
当t＝ 时， 。
∴P点坐标为（0， ）或（0， ）。…6分
若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边，∴DE=2MN=2t。
∵DE∥OA，∴△BDE∽△BOA∴
∴ ,∴MN＝t＝ ，
DE的中点的纵坐标为 。
∴P点的坐标为（0， ）
如图5，若t＜0，PE=DE或PD=DE时，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA∴

DE＝－4（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，∴DE=2MN=－2t。
∵DE∥OA，∴△BDE∽△BOA∴
∴ ，∴MN＝4，∴t＝－4， 。
∴P点坐标为（0，0）
综上所述：当t＝ 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， ）或
（0， ）；当 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， ）；当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。







12－8、解：（1）设抛物线的解析式  ，
其顶点M的坐标是 ；
（2）设线段BM所在的直线的解析式为 点N的坐标为N
则  解它们组成的方程组得 所以线段BM所在的直线的解析式为
其中   与 间的函数关系为 ,自变量的取值围
(3)存在符合条件的点P,且坐标是   .
设点P的坐标为P ，则
PC2= 分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若 则PC2=PA2+AC2。可得
，解之得 （舍去）。所以点 。
（ⅱ）若
解得： （舍去）。所以点 。
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角 不可能直角
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的个顶点，第三个点落在矩形这一边OA（或OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标D（-1，-2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E 。

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中考二轮复习——专题分类

专题十四、探究型试题
例1、（宜昌课改）如图1，已知△ABC的高AE=5，BC= ，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．
（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；
（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．
（图2供思考用）



知识点：本题考查知识较多，主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用。
精析：探究性问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考查学生的基础知识掌握的熟悉程度，又能较好的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力，发散思维能力等，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。
准确答案：
解：(1)∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE  
∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE  
同理可得HG=EK ，∴HI=JK,   ∴四边形HIKJ是平行四边形   
(注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)
（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5  
    如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F,
∴HG=EK, GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.
∵CE＞BE,∴GI＞ HG, ∴CK＞BJ.
∴当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动,                图1
如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上


（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分）                                          
设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，
∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5—2x ,CE＝ —5
∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE.                              图2
∴(5—2x)∶5＝5∶( —5)      ∴AF＝5—x＝4
∴ ＜AF≤4                                   
中考对该知识点的要求：探究性问题因为考查学生多种能力，具有选拔功能，成为中考的热点问题，最近几年常常出现在各省市的中考试题中，而且很多题目出的十分精彩，是一类很受青睐的中考试题。
目标达成：
15－1－1、(盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：
∵∠AOC是⊿ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
又∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA  ∴∠AOC=2∠ABO
即∠ABC= ∠AOC
如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、（3）,那么结论会怎样?请你说明理由.

15－1－2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．
若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？








方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．
若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．






⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

15－1－3（绵阳）、如图8①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图8②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图8③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .







15－1－4（江苏）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为 ，得Rt△A E，如图（2）；
第三步：沿EB`线折叠得折痕EF，如图（3）。

利用展开图（4）探究：
（1）△AEF是什么三角形？
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。
15－1－5、如图13－1，操作：把正方形CGEF的对角线
CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），
取线段AE的中点M。
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题
的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求
至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，
可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，
完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得
7分；选取③完成证明得5分。
①        DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；
②        将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图15－1－2），
其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后
（如图13－3），其他条件不变。探究：线段MD、
MF的关系，并加以证明。



例2、（连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在 处，两直角边分别与 轴平行，纸板的另两个顶点 恰好是直线 与双曲线 的交点．
（1）求 和 的值；
（2）设双曲线 在 之间的部分为 ，让一把三角尺的直角顶点 在 上
滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段 交于 两点，请探究是否存在点 使得 ，写出你的探究过程和结论．
知识点：
解：（1）∵ 在双曲线 上， ∥ 轴， ∥ 轴，∴A，B的坐标分别  ， ．               
又点A，B在直线 上，∴     
   解得 或                          
当 且 时，点A，B的坐标都是  ，不合题意，应舍去；当
且 时，点A，B的坐标分别为  , ,符合题意．
∴ 且 .
（2）假设存在点 使得 ．
∵  ∥ 轴， ∥ 轴，∴ ∥ ，
∴  ，∴Rt ∽Rt ,∴ ,
设点P坐标为 （1＜x＜8＝，则M点坐标为 ，
∴ .又 ，
∴ ，即 　　　（※）   
∵ ．∴方程（※）无实数根．
所以不存在点 使得 ．                     
15－2－1、（包头）已知一次函数y1=x，二次函数y2= x2+ 。
(1)        根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；(2分)

x        ―3        ―2        ―1        0        1        2        3
y1=x        ―3        ―2        ―1        0        1        2        3
y2= x2+
                1         
1               
  (2)观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断yl和y2的大小关系。并证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1和y2的大小关系仍然成立；
  (3)若把y1=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数)，请进一步探究：当k满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立；当k满足什么条件时，(2)中的结论不能对任意的实数x都成立，并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。







15－2－2、（北京丰台）在直角坐标系中，⊙ 经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。
    （1）如图，过点A作⊙ 的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为 ，求直线AC的解析式；
    （2）若⊙ 经过点M（2，2），设 的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。
15－2－3、（内江）教师提出：如图A（1,0），AB＝OA，过点A、B作ｘ轴的垂线交二次函数 的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交ｙ轴于点H，记点C、D的横坐标分别为 ，点H的纵坐标为 。
同学讨论发现：① 2 ：3 ②  
⑴请你验证①②结论成立；
⑵请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A ”，其他条件不娈，结论①是否仍成立？
⑶进一步研究：在⑵的条件下，又将条件“ ”改为“ ，其他条件不娈，那么 和 有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)






15－2－4、（深圳南山区）．如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交 轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）         求OA、OC的长；
（2）  求证：DF为⊙O′的切线；
（3）        小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．









能力提高：
15－1、已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。
（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN。
请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。
（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。
请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。














（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。


15－2、（河北）操作示例
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图11－1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11－1中的四边形BNED。
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED。
实践与探究
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图11－2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N。
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图11－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图11－1，用数字表示对应的图形）。
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。


15－3、（潜江、仙桃、江汉油田）我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形。请按下面规则与程序操作：
第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；
第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等），形成一个新的正方形；
以后每次都重复第二次的操作-------
（1）        请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；
（2）        若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：
操作次数（n）        1        2        3        4        ---        n
每次拼成的正方形面积（s）        a2                                ---       







15－4、（枣庄）如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.
(1)        求四边形ABCD四个内角的度数；
(2)        试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
    (3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．






15－5、（泰州）图1是边长分别为43 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）

（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.


（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；
探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由.




15－1－1、如果∠ABC的两边都不经过圆心,
结论∠ABC= ∠AOC仍然成立     
     (1)对图2的情况
连接BO并延长交圆O于点D            
    由图1知: ∠ABD= ∠AOD
∠CBD= ∠COD               
∴∠ABD+∠CBD= ∠AOD+ ∠COD
即∠ABC= ∠AOC            
(2) 对图3的情况仿图2的情况可证
15－1－2、⑴①y= ,
当x=60时,y最大值=1800;
②过点B作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,
设AB=CD=xcm，梯形的面积为Scm2，则BC=EF=（120－2x）cm，
AE=DF= x，BE=CF= x ，AD=120－x，
∴S= • x（240－3x）
当x=40，S最大值=1200 ， S最大值＞y最大值
⑵
方案：①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等








15-2-4. 解：
（1）在矩形OABC中，设OC=x  则OA= x+2，依题意得
           解得：
（不合题意，舍去）    ∴OC=3，  OA=5        
（2）连结O′D
  在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90 ，CE=BE=                     
∴ △OCE≌△ABE   ∴EA=EO    ∴∠1=∠2
在⊙O′中，  ∵ O′O= O′D      ∴∠1=∠3  ∴∠3=∠2     
∴O′D∥AE，     
∵DF⊥AE     ∴ DF⊥O′D
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线。
(3)        不同意.
理由如下:
①当AO=AP时，
以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点
过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H = OC = 3，∵A P1= OA = 5
∴A H = 4， ∴OH =1         
求得点P1（1，3）    同理可得：P4（9，3）            
②当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（ 4，3）                     
因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形。                     










15－1、解：（1）





（2）


                              或                        



解：（3）∵△PMN和△QMN同底等高。
        ∴S△PMN＝S△QMN。∴S3+S2=S4+S2.∴S3=S4。
∵△POQ∽△NOM，    ∴
∴S2＝
∵ ，∴ ，∴
，∵m≠n（题中条件m＜n），∴   
∴S1+S2＞S3+S4
故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。
15－2、解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形。
在Rt△ADM与Rt△CDE中，
∵AD＝CD，又∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC＝90°，
∴DM＝DE，∴四边形MNED是正方形。
∵ ，
∴正方形MNED的面积为 ；
②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图2
可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等。
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED。
（2）答：能。
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，……依此类推。由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n－1）次拼接，得到一个正方形。
15－3、解(1)如图所示




(2)如表
操作次数（n）        1        2        3        4        ---        n
每次拼成的正方形面积（s）        a2        2a2        4a2        8a2        ---        2n-1 a2

15－4、解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，
    所以3∠1=360°，即∠1=120°．
    所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60°
(2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰
等于上底．连接MN，则∠FMN=∠FNM=30°．
    从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH= ．
因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．         
(3)能拼出菱形．      
如图：(拼法不唯一)              
15－5、（1）BE=AD
        证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD  ∴△BCE≌△ACD
        ∴ BE=AD
（也可用旋转方法证明BE=AD）
（2）        如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°
        ∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ
        ∴QT=QC=x
        ∴ RT=3－x  

∵∠RTS＋∠R=90°    ∴∠RST=90°
∴y= ×32 － (3－x)2=－ (3－x)2＋ (0≤x≤3)
（3）C′N•E′M的值不变
证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°
        ∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′
        ∵∠E′=∠C′   ∴△E′MC∽△C′CN
        ∴   ∴C′N•E′M=C′C•E′C= × =9/4

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8楼 发表于 2008-12-23 16:10 | 只看该作者

第二轮专题复

专题十三、说理型试题
例1、（台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限。
（1）求点C的坐标；
（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得 ，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；
（3）在直线BE上是否存在点Q，使得 ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，也请说明理由。
知识点：考查了相似形的判定及性质应用，切割线定理、勾股定理、三角函数等有关知识，本题关键是还体现了分类思想
准确答案：

中考对该知识点的要求：因为说理型试题考查的知识点较多，它不仅考查学生的基础知识，而且考查学生的创新能力，数形结合能力，分类讨论能力，探索问题能力，所以成为近几年中考试题的命题热点。
目标达成：
14－1－1、（贵阳市）在Rt⊿ABC中，∠C = ，AC = 6，BC = 8，点O在CB上，且AO平分∠BAC，CO = 3（如图所示），以点O为圆心， 为半径画圆；
（1） 取何值时，⊙O与AB相切；
（2） 取何值时，⊙O与AB有两个公共点？
（3）当⊙O与AB相切时，设切点为D，在BC上是否存在点P，使⊿APD的面积为⊿ABC的面积的一半？若存在，求出CP的长，若不存在，请说明理由；







14－1－2、（武汉）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为（－4，0），以点 为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点 （13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D.
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙ 以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙ 第一次与⊙ 相切时，直线l也恰好与⊙ 第一次相切，求直线l平移的速度；
（3）将⊙ 沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙ 的直径，过点A作⊙ 的切线，切⊙ 于另一点F，连结A 、FG，那么FG•A 的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。






14－1－3、（辽宁）如图，⊙C经过坐标原点O，分别交x轴正半轴、y轴正半轴于点B、A，点B的坐标为(4 ，0)，点M在⊙C上，并且∠BMO=120º。
  (1)求直线AB的解析式；
  (2)若点P是⊙C上的点，过点P作⊙C的切线PN，若∠NPB=30º，求点P的坐标；
  (3)若点D是⊙C上任意一点，以B为圆心，BD为半径作⊙B，并且BD的长为正整数。
①问这样的圆有几个?它们与⊙C有怎样的位置关系?
②在这些圆中，是否存在与⊙C所交的弧(指⊙B上的一条弧)为90º的弧，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。









14－1－4、（浙江）如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．
(1) 当t＝ 时，求直线DE的函数表达式；
(2) 如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；
(3) 当OD2＋DE 2的算术平方根取最小值时，
求点E的坐标．




14－1－5、（无锡）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.









例2、（玉溪）如图21，已知抛物线 的图象与x轴交于A、C两点。
   （1）若抛物线 关于x轴对称，求 的解析式；（3分）
   （2）若点B是抛物线 上一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点D在 上；（4分）
（3）探索：当点B分别位于 在x轴上、下两部分的图象上时，□ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。（4分）
知识点：考查了轴对称的有关性质，一次函数和二次函数的解析式的求法及它们性质的应用，还考查了平行四边形、菱形的判定及性质应用。
准确答案：
（1）设 的解析式为y＝ .
  ∵ 与x轴的交点A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，－4），
           并且 与 关于x轴对称，
         ∴ 经过点A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）
         ∴y＝ .         ∴0＝4a＋4       得a＝－1，
∴ 的解析式为 .
      （2）设B（ ） ∵点B在 上，∴B（ ）     
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称。∴B、D关于原点O对称，
∴D（ ）.
将D（ ）的坐标代入 ：
          可知 左边＝右边。∴点D在 上。     
       （3）设□ABCD的面积为S，则S＝2× .
           （I）当点B在x轴上方时， ＞0，
∴ ，它是关于 的正比例函数且S随 的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值。
（II）当点B在x轴下方时，-4≤ ＜0.
∴ ，它是关于 的正比例函数且S随 的增大而减小，
       ∴当 ＝－4时，S有最大值16，但它没有最小值。
此时B（0，－4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上。
∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形。此时 .   
目标达成：
14－2－1、1．（资阳市）．如图9，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2,0).
(1) 求点B的坐标；
(2) 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
(3) 在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.








14－2－2、（北京市）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，抛物线 经过O、A两点。
    （1）试用含a的代数式表示b；
    （2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

14－2－3、（哈尔滨）已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=―x2+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点。
  (1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
  (2)设点P是直线AC上一点，且S△ABP∶S△BPC=1∶3，求点P的坐标；
  (3)直线y= x+a与(1)中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90º，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。










14－2－4、(金华)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点O（0，0），A（4，0），B（5，5）.点C是y轴负半轴上一点，直线l经过B，C两点，且tan∠OCB＝59.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线l的解析式；
（3）过O，B两点作直线，如果P是直线OB上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q. 问：是否存在点P，使得以P，Q，B 为顶点的三角形与△OBC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

14－2－5、（临沂）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（2，0），且其面积为8。
⑴求此抛物线的解析式；
⑵如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R。
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点A、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由。





能力提高：
14－1．（陕西）如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD.
（1）        求C、D两点的坐标；
（2）        求经过C、D、B三点的抛物线的解析式；
（3）        设（2）中的抛物线的顶点为P，AB的中点为M，试判断△PMB是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形，并说明理由。

14－2．（深圳）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
    （1）求点A、E的坐标；
    （2）若y= 过点A、E，求抛物线的解析式。
    （3）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。


14－3．（四川）已知关于x、y的方程组 有两个不相同的实数解。
(1)求实数k的取值范围；
  (2)若 和 是方程组的两个不相同的实数解，是否存在实数k，使得yly2― ― 的值等于2；若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。



14－4．（宜昌）以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，yB）（如图1）；过半圆上的点C(xC，yC)作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于  ．
（1）求点C的坐标；
（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P1Q1 ，且NP＞MQ．设抛物线y=a0x2＋h0过点P、Q，抛物线y=a1x2＋h1过点P1、Q1，则h0＞h1”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q1（p，5）、P1(p+1，3)为例进行验证；





②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求K的纵坐标yK的取值范围．










14－5、（淮安）知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB(中点除外)上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．
（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为          ，点D的坐标为           （用含有a的代数式表示）；
（2）求证：AC=BD；
（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．
①求证： AB=2ME；
②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
  
14－6、（茂名）知二次函数 的图像与x轴交于点A、点B（点B在X轴的正半轴上），与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为 ，又tan∠OBC=1，
（1）        求a、k的值；
（2）        探究：在该二次函数的图像上是否存在点P（点P与点B、C补重合），使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请你说明理由





14－7、（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ACO=34，点P在线段OC上，且PO、PC的长(PO    (1)求AC、BC的长；
    (2)求P点坐标；
    (3)在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．


14－8、（恩施）年如图6,在平面直角坐标系中,半径分别为3 和 的⊙O1和⊙O2外切于原点O,在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O1和⊙O2分别切于点A、B,直线AB交y轴于点C.O2D⊥O1A于点D.
(1)求∠O1O2D的度数;
(2)求点C的坐标;
(3)求经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式;
(4)在抛物线上是否存在点P,使⊿PO1O2为直角三角形.若存在,求出点P的坐标； 若不存在,请说明理由.









14－9、（重庆）（10分）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设 ＝PM•PE， ＝PN•PF，解答下列问题：
（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断 与 的大小关系，并说明理由；
（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设 ，是否存在这样的实数 ，使得 ？若存在，请求出满足条件的所有 的值；若不存在，请说明理由.


答案：
14－1、（1）由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4
∴C、D两点的坐标分别为C（－2，0）、D（0，4）
（2）所求抛物线的解析式为 。
（3）答：△PMB是钝角三角形。
如图，PH是抛物线 的对称轴，
求得M、P两点的坐标分别为M（2，1），P（1， ）.
∴点M在PH右侧，
又∵∠PHB＝90°           ∴∠1＞90°
∵∠PMB＞∠1  ∴△PMB是钝角三角形。


14-2. （1）A（1，2 ）E（0， ）（2）y= （3）（ ， ），2 +2，是

14－3、



14－4、解：（1）yB=5=半径;   xCyC=  ,   +y2C=25, 得C (4,3) …2分和C(4,－3)  
（2）①过点P（4，3）、Q（3，5）的抛物线y=a0x2＋h0即为y=－ x2+ ,得h0＝ .
过P1(p+1，3)、Q1（p，5）的抛物线y=a1x2＋h1即为y= ,
h1= .h0—h1＝ －    ＝
＝ ，
（∵MQ＞M1Q1，其中MQ＝6，∴0≤p＝1／2M1Q1＜3，）可知0≤p＜3；
∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，因而得到h0—h1＞0，证得h0＞h1.
（或者说明2p+1＞0， 在0≤p＜3时总是大于0，得到h0—h1＞0.
②显然抛物线y=ax2+bx+c的开口方向向下，a＜0.
当T运动到B点时，这时B、T、K三点重合即B为抛物线的顶点，∴yK≥5；
将过点T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c沿x轴平移，使其对称轴为y轴，这时yK不变.
则由上述①的结论，当T在FB上运动时，过F（－3，5）、B（3，5）、C（4，3）三点的抛物线的顶点为最高点，∴yK≤ ， ∴  5≤yK≤
14－5、⑴C（2a，0），
D（0，2a+8）
⑵方法一：由题意得：A（－4，0），B（0，4）
－4＜a＜0，且a≠2，
①        当2a+8＜4，即－4＜a＜－2时AC=－4－2a，BD=4－（2a+8）=－4－2a
∴AC=BD。当2a+8＞4，即－2＜a＜0时，同理可证：AC=BD
综上：AC=BD
方法二：①当点D在B、O之间时，连CD，∵∠COD＝90°
∴圆心M在CD上，过点D作DF∥AB，∵点M为CD中点，
∴MA为△CDF中位线，∴AC＝AF，
又DF∥AB，∴ ，而BO＝AO    ∴AF=BD  ∴AC＝BD
②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD，综上：AC=BD
⑶方法一
①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，
E的纵坐标为a+6，∴ME= (yE－yM)= [a+6-(a+4)]=2 ，AB=4 ∴AB=2ME
②AM= ( yM－yA)＝ (a+4)，BE= |yE－yB|= |a+2|，∵AM=BE又－4＜a＜0，
且a≠2，10  当－4＜a＜－2时， (a+4)= － (a+2)  ∴a=－3，M（－3，1）
20  当－2＜a＜0时， (a+4)=  (a+2)
∴a不存在
14－6、（1）        a=－1   ， k=1
  （2）在二次函数y=－x2+2x+3的图像上存在点P，
使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形
①        由 (1)可知，直线y=x+3与x轴的交点为E（－3，0）
OE=OC=3 ∠CEO=450　， ∠OBC=450 ∠ECB=900 ∠DCB=900
ΔDCB是以BC为一条直角边的直角三角形，
且点D（1，4）在二次函数的图像上，则点D是所求的P点
②        方法一：设∠CBP=900,点P在二次函数y=－x2+2x+3的图像上，则ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形，
∠CBO=450　 ∠OBP=450
设直线BP与y轴交于点F，则F(0,－3) 直线BP的表达式为y=x－3
解方程组 得 或
由题意得，点P(－2,－5)为所求。
综合①②，得二次函数y－x2+2x+3的图像上存在点P(1,4)或
P(－2,－5),使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角
方法二：在y轴上取一点F(0，－3)，则OF=OC=3,由对称性可知，∠OBF=∠OBC=450
         ∠CBF=900
设直线BF与二次函数y=－x2+2x+3的图像交于点P，由（1）知B（3，0），
直线BF的函数关系式为y=x－3（以下与方法一同）
14－7、 (1) AC=15　　　 BC=20　　　　 (2)∵ S△ABC=12AC•BC=12OC•AB，  ∴ OC=12
∴ PO+PC=4+2k=12．    ∴ k=4
    ∴ 方程可化为x2-12x+32=O．解得x1=4，x2=8  
    ∵ PO(3)存在，直线PQ解析式为：y=-43x-4或y=-427 x -4
14－8、(1) 连接O2B                                 
   易证四边形ADO2B 为矩形　　　 在Rt⊿O2DO1  中,      
O1D=2 ,O1O2=4 　　　则  ∠O1O2D=300       O2D=6                                          
(2)由(1)得AB= O2D=6　　 ∴点C的坐标为(0,3)                          
(3)由图知:O1、O2 点的坐标为(-3 ,0)、( ,0)      
设过点O1、O2 、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c  
则有:                           
   解之得:a=   b=     c=3
故抛物线的解析式为:y= x2+ x+3              
(4) 存在，点C显然满足条件，又根据抛物线的对称性知,点C关于x= 的对称点也满足条件，即P点的坐标为(0,3)、( ,3)                     

14－9、解：（1）∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形
∴ ＝PM•PE＝ ， ＝PN•PF＝
又∵BD是对角线， ∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC
  ∵ ，
  ∴ ＝ 　∴
（2）成立，理由如下：
     ∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD
     ∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形
     仿（1）可证
过E作EH⊥MN于点H，则

∴
同理可得
          又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A
∴
∴PM•PE＝PN•PF，即
（3）方法1：存在，理由如下：
        由（2）可知 ，
  
又∵ ，即 ， ，而 ，
∴ ，即 ∴ ，
故存在实数 或 ，使得

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  9楼 发表于 2008-12-23 16:11 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题十二、动态型试题
例1、（杭州）在三角形 中,  .
现有动点 从点 出发, 沿射线 向点 方向运动; 动点 从点 出发, 沿射线 也向点 方向运动. 如果点 的速度是 /秒, 点 的速度是 /秒, 它们同时出发, 求:（1）几秒钟以后,  的面积是 的面积的一半?
           
                 


                 
       (例1)
（2）这时,  两点之间的距离是多少?
知识点：本题考查了用一元二次方程、三角函数等有关知识进行几何图形的面积计算方法。
精析：本题是动态几何知识问题，此类题型一般利用几何关系关系式列出方程求解。
准确答案：(1) 设 秒后,  的面积是 的面积的一半, 则 , 根据题意, 列出方程
                     
                 
                  
            
                 
      
                 
                 
       (例1答案)
  ,
化简, 得 ,
解得 . 所以2秒和12秒均符合题意;
  (2) 当 时,   在 中,
作 于 ,
在 和 中,  , 所以 ;
  当 时,   同理可求得 .
中考对该知识点的要求：动态几何问题是近几年各地中考试题常见的压轴试
题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。




目标达成：
13－1－1、（南京）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，
∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过
程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，
OC=8cm。
（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？     
（2）当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。




13－1－2、（梅州）已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF•BP的值；
（3）延长DC、FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙),是否存在点P,
使△EFO∽△EHG?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由。








13－1－3、（福建毕节地区）如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦DE∥CB，Q是AB上一动点，CA=1，CD是⊙O半径的 倍。
  (1)求⊙O的半径R。
  (2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的
面积是否发生变化，若发生变化，请你说明理由；若
不发生变化，请你求出阴影部分的面积。




13－1－4、（河北）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。








13－1－5、如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点，点P是 上的动点，连结OP，并延长交直线BC于点 .
（1）当点P从点E沿 运动到点F时，点 运动了多少个单位长度？
（2）过点P作 所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别
交于点M、G.
①当K与B重合时，BG∶BM的值是多少？
②在点P运动的过程中，是否存在BG∶BM＝3的情况？你若认为存在，请求出BK的值；你若认为不存在，试说明其中的理由.
一般地，是否存在BG∶BM＝n（n为正整数）的情况？试提出你的猜想（不要求证明）.



例2、（青岛）如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0（1）        求面积S与时间t的关系式；
（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。
                                      
知识点：本题考查的知识点较多，考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，一元二次方程及一元二次方程及根的判别式。
精析：本题是一个动态几何问题，也是一个数形结合的典型问题，综合性较强。
准确答案：（1）过点P作(1) 设 秒后,  的面积是 的面积的一半,
则 , 根据题意, 列出方程
   ,
化简, 得 ,
解得 . 所以2秒和12秒均符合题意;
  (2) 当 时,   在 中, 作 于 ,
在 和 中,  , 所以 ;
  当 时,   同理可求得 .
目标达成：
13－2－1、（宁德）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，?B＝90º，AB＝12cm，BC＝8cm,DC＝13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动。P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止。设运动时间为t秒，△PQB的面积为ym2。
（1）求AD的长及t的取值范围；
（2）当1.5≤t≤t0(t0为（1）中t的最大值)时，求y关于t的函数关系式；
（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律。









13－1－2、（温州）如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。
⑴、求x为何值时，PQ⊥AC；
⑵、设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
⑶、当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
⑷、探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)




13－2－3、（绵阳）、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .
(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .
① 求S关于t的函数关系式；
② (附加题) 求S的最大值.



13－2－4、（宿迁）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为 （秒）．
（1）当时间 为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．




13－2－5、（河南）如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y 。求y与x之间的函数关系式。

能力提高：
13－1、（重庆）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
(1) 求直线AB的解析式；
(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(3) 当t为何值时，△APQ的面积为 个平方单位？



13－2、（盐城）已知：如图所示，直线 的解析式为 ，并且与 轴、 轴分别相交于点A、B。
（1）        求A、B两点的坐标。
（2）        一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位／每秒的速度向 轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线 相切；
（3）        在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的园面（圆上和圆的内部）上一共运动了多出时间？






13－3、（江苏）已知二次函数的图象如图所示。
⑴ 求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
⑵ 若点N为线段BM上的一点，过点N作 轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为 ，四边形NQAC的面积为 ，求 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围；
⑶ 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑷ 将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）。










13－4、（徐州）如图，已知直线y = 2x(即直线 )和直线 (即直线 )， 与x轴相交于点A。点P从原点O出发，向x轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从A点出发，向x轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动了t秒.
(1)求这时点P、Q的坐标(用t表示).
(2)过点P、Q分别作x轴的垂线，与 、 分别相交于点O1、O2(如图16).
①以O1为圆心、O1P为半径的圆与以O2为圆心、O2Q为半径的圆能否相切？若能，求出t值；若不能，说明理由.
②以O1为圆心、P为一个顶点的正方形与以O2为中心、Q为一个顶点的正方形能否有无数个公共点？若能，求出t值；若不能，说明理由。














13－5、（湖州）如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5。
        （1）填空：0C=________，k=________；
        （2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形。















13－6．（宁波）已知抛物线y=-x2-2kx+3k2（k>0）交x轴于A、B两点,交y轴于点C,以AB 为直径的⊙E交y轴于点D、F(如图),且DF=4,G 是劣弧A D上的动点(不与点A、D重合),直线CG交x轴于点P.
(1)        求抛物线的解析式;
(2)        当直线 CG是⊙E的切线时,求tan∠PCO的值.
(3)        当直线CG是⊙E的割线时,作GM⊥AB,垂足为H,交PF于点M,交⊙E于另一点N,设MN=t,GM=u,求u关于t的函数关系式.














13－7、（无锡）如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）






13－8、（黄冈）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
        ⑴ 求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。
⑵ 试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。
⑶ 设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。
⑷ 设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。


















答案：
13－1－1、

t=1s                                        t= 4s
重叠部面积为9πcm

   t=7s                                        t=16s      
     重叠部分面积为（9 +6π）cm2   
13－1－2、（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°,
∴AF、BP都是⊙O的切线,
又∵PF是⊙O的切线
∴FE=FA,PE=PB
∴四边形CDFP的周长为：
AD+DC+CB=2×3=6
(2 ) 连结OE,PF是⊙O的切线
∴OE⊥PF.在 Rt△AOF和Rt△EOF中,
∵AO=EO,OF=OF
∴Rt△AOF≌Rt△EOF ∴∠AOF=∠EOF,
同理∠BOP=∠EOP,∴∠EOF+∠EOP= 180°=90°,∠FOP=90°
即OF⊥OP，∴AF•BP=EF•PE=OE2=1
(3 )存在。∵∠EOF=∠AOF,∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,
∴当∠EFO=∠EHG=2∠EOF, 即∠EOF=30°时,Rt△EFO∽Rt△EHG
此时,∠EOF=30°, ∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°∴BP=OB• 、
13-1-3.
1

13－1－4、解（1）如图3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。
∴PM＝DC＝12　∵QB＝16－t，∴S＝ ×12×(16－t)＝96－t
（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中， ，由PQ2＝BQ2 得  ，解得t＝ ；
②若BP＝BQ。在Rt△PMB中， 。由BP2＝BQ2 得：
  即 。
由于Δ＝－704＜0
∴ 无解，∴PB≠BQ
③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得
整理，得 。解得 （不合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t＝ 秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
（3）如图4，由△OAP∽△OBQ，得
∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t。
∴t＝ 。
过点Q作QE⊥AD，垂足为E，
∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t。
在RT△PEQ中，tan∠QPE＝


（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图5，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，得
，即 。解得t＝9
所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。

13－1－5、（1）如图1，连结OE、OF并延长分别交直线BC于N、Q。
当点P从点E运动到点F时，点K从点N运动到了点Q。
∵O、E分别为AD、AB的中点，∠A=90°，
∴∠AOE=45°。
过点O作OT⊥BC于T，则∠OTN=90°，
又∵ABCD是正方形，∴OT⊥AD，∠NOT=45°。
∴△OTN是等腰直角三角形，OT=NT=2。
同理，TQ=2。
∴NQ=4，即点K运动了4个单位长度。   
（2）①如图2，当K与B重合时，
∵MG与 所在的圆相切于点P，∴OB⊥MG，
∴∠2+∠3=90°。
∵∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2。
∴Rt△BAO～Rt△GMB.
∴        
②存在BG：BM=3的情况，分析如下：
如图3，假定存在这样的点P，使得BG：BM=3
过K作KH⊥OA于H，
那么，四边形ABKH为矩形，即有KH=AB=2
∵MG与 所在的圆相切于点P，∴OK⊥MG于P。
∴∠4+∠5=90°
又∵∠G+∠5=90°，∴∠4=∠G。
又∵∠OHK=∠GBM=90°，∴△OHK～△MBG。
∴ 。
∴OH=  ，   
∴存在这样的点K，使得BG：BM=3。
∴在点P运动的过程中，存在BG：BM=3的情况。  
同样的，可以证明：在线段BC、CD及CB的延长线上，存在这样的点 、 、 使得 ： 。
连结 交AB于点 则 ： = ： =3，此时 =BC ∴BK的值为         
由此可以猜想，存在BG：BM=n（n为正整数）的情况。   

13－2－1、（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、?B＝90º过D作DE?BC于E点∴AB∥DE
∴四边形ABED为矩形　　　　　　DE＝AB＝12cm
在Rt△DEC中，DE＝12cm，DC＝13cm　　　∴EC＝5cm
∴AD＝BE＝BC＝EC＝3cm
点P从出发到点C共需3＋132 ＝8（秒）
点Q从出发到点C共需81 ＝8（秒）　　又∵t≥0　∴o≤t≤8
（2）当t＝1.5（秒）时，AP3，即P运动到D点　∴当1.5≤t≤8时，点P在DC边上
∴PC＝16－2t 　　过点P作PM?BC于M
∴PM∥DE　　　∴PCDC ＝PMDE 即16－2t13 ＝PM12 　　∴PM＝1213 (16－2t)
又∵BQ＝t　　∴y＝12 BQ•PM＝12 t•1213  (16－2t)＝－1213 t2＋9613 t
(3)当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大；
  当1.5  当4
13－2－2、⑴∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。
当，由题意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，
∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝600，
若PQ⊥AC，则有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ
∴4－x＝2×2x，∴x＝45 ，
∴当x＝45 (Q在AC上)时，PQ⊥AC；
⑵当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，
∵∠C＝600，QC＝2x，∴QH＝QC×sin600＝3x
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝12 BC＝2
∴DP＝2－x，∴y＝12 PD•QH＝12 (2－x)•3x＝－32x2＋3x
⑶当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝600，
∴HC＝x，∴BP＝HC
∵BD＝CD，∴DP＝DH，
∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH，
∴OP＝OQ
∴S△PDO＝S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
⑷显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离
当x＝45或165时，以PQ为直径的圆与AC相切。
当0≤x＜45或45＜x＜165或165＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。

13－2－3、. (1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE= .
∴ SΔAPE= .
(2) ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF= ，QF= ，AP=t+2，AG=1+ ，PG= .
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S= .
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF= ，DF=4- ，QF= ，BP=t-6，CP=10-t，PG= ，
而BD= ，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S= .
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t) ，CP=10-t，PG= .
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S= .
故S关于t的函数关系式为
②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为 ；
当6≤t≤8时，S的最大值为 ；
当8≤t≤10时，S的最大值为 ；
所以当t=8时，S有最大值为  .
13－2－4、（1）S△PCQ＝ PC•CQ＝ ＝ ＝2，            解得　 ＝1， ＝2                                 
∴当时间 为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2；         
（2）①当0＜ ≤2时，S＝ ＝ ；       
　 ②当2＜ ≤3时，        S＝ ＝ ；
　 ③当3＜ ≤4.5时，S＝ ＝ ；
（3）有；                                                                      
①在0＜ ≤2时，当 ＝ ，S有最大值，S1＝ ；       
　　②在2＜ ≤3时，当 ＝3，S有最大值，S2＝ ；               
    ③在3＜ ≤4.5时，当 ＝ ，S有最大值，S3＝ ；
∵S1＜S2＜S3　∴ ＝ 时，S有最大值，S最大值＝ ．






13－2－5、在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
延长AD分别交PM、PN于点G、H，过点G作GF⊥MN于F，过点H作HT⊥MN于T，∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm，
∵MN＝8cm，∴MT＝6cm，
因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况：
（1）当C点由M点运动到F点的过程中（ ，如图①所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x，∴ （ ）
（2）当C点由F点运动到T点的过程中（ ），如图②所示，重叠部分是直角梯形MCDG，∵MC＝x，MF＝2，∴FC＝DG＝x－2，且DC＝2，∴ （ ）；
（3）当C点由T点运动到N点的过程中（ ），如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分是五边形MCQHG，∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8－x，且DC＝2，
∴ （ ）。









13－1、解：（１）设直线AB的解析式为y＝kx＋b　
由题意，得  　　　　 b＝6
8k＋b＝0      
解得 　k＝－  　　 b＝6
所以，直线AB的解析式为y＝－ x＋6．　
（２）由　AO＝6， BO＝8 得　AB＝10
所以AP＝t ，AQ＝10－2t
1°　当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以　 ＝   　解得　t＝ (秒)　
2°　当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以　 ＝   　解得　t＝ (秒)
（３）过点Q作QE垂直AO于点E．
在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝ ＝ 　   
在Rt△AEQ中，QE＝AQ•Sin∠BAO＝(10-2t)• ＝8－ t
所以，S△APQ＝ AP•QE＝ t•(8－ t)
           ＝－ ＋4t＝  
解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

13－2、（1）在 中，令x=0，得y= -3；令y＝0，得x＝4，故得A、B两的坐标为A（4，0），B（0，-3）
  （2）若动圆的圆心在C处时与直线 相切，设切点为D，如图所示。
连接CD，则CD⊥AD
由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=Rt∠，可知Rt△ACD∽Rt△ABO
∴ 即 ，则AC＝
此时OC＝ （秒）
根据对称性，圆C还可能在直线 的右侧，与直线 相切，
此时OC＝
（秒）答：（略）
（3）（3）设在t秒，动圆的圆心在F点处，动点在P处，此时OF=0.4t，BP=0.5t,F点的坐标为（0.4t，0），连接PF，∵ 又 ，∴ ，
∴FP∥OB，∴PF⊥OA
∴P点的横坐标为0.4t，又∵P点在直线AB上，∴P点的纵坐标为0.3t -3，
可见：当PF＝1时，P点在动圆上，当0≤PF＜1时，P点在动圆内
当P＝1时，由对称性可知，有两种情况：
①当P点在x轴下方时，PF＝-(0.3t -3)=1，解之得：
②当P点在x轴上方时，PF＝0.3t -3=1，解之得：
∴当时 时，0≤PF≤1，此时点P在动圆的圆面上，所经过的时间为 ，答：动点在动圆的圆面上共经过了 秒。

13－3、解：（1）设抛物线的解析式  ， 　其顶点M的坐标是 ；
（2）设线段BM所在的直线的解析式为 点N的坐标为N
则  解它们组成的方程组得 所以线段BM所在的直线的解析式为
其中   与 间的函数关系为 ,自变量的取值围
(3)存在符合条件的点P,且坐标是   .
设点P的坐标为P ，则
PC2= 分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若 则PC2=PA2+AC2。可得
，解之得 （舍去）。所以点 。
（ⅱ）若
解得： （舍去）。所以点 。
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角 不可能直角

13－4、



13－5、





























13－6、(1)解方程   －x2 －2kx + 3k2 = 0.
得x1=－3k，x2=k..
由题意知OA = |－3k | = 3k，OB = |k| = k.     
∵直径AB⊥DF.　　∴OD=OF= DF= 2 .                        
∵ ，∴3k•k = 2×2.，得k = ± (负的舍去).
则所求的抛物线的解析式为 .
(2)由(1)可知AO= ，AB= ，EG= ，OC=3k2 = 4.
连结EG，
∵CG切⊙E于G，∴∠PGE=∠POC=90°，∴Rt△PGE∽Rt△POC，
.∴ .(﹡)     
由切割线定理得 .
PO = PA+AO = PA + .
代入(﹡)式整理得PA2 +  PA－6 = 0.
解得PA = 3－ (∵PA＞0).                        
∴tan∠PCO= ∴GN∥CF，∴△PGH∽△PCO，
∴ .                同理 .∴ .   
∵CO = 4，OF = 2，∴HM = GH = HN = MN，  ∴GM=3MN，即u = 3t(0＜t≤ )
13－7、（1）证∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.
（2）注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S△PEF= ，
得S△PEF= = .   ∴当 ，
即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值 .
（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.
13－8、⑴∵O、C两点的坐标分别为O ，C
　　　设OC的解析式为 ，将两点坐标代入得：
　　　 ， ，∴ 　
　　　　∵A，O是 轴上两点，故可设抛物线的解析式为
　　　再将C 代入得：
∴ 　　⑵D
　　⑶当Q在OC上运动时，可设Q ，依题意有：
　　∴ ，∴Q ，
　　　当Q在CB上时，Q点所走过的路程为 ，∵OC＝10，∴CQ＝
　　∴Q点的横坐标为 ，∴Q ，
　　⑷∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为 ，则Q运动的路程为
　　△OPQ中，OP边上的高为：
梯形OABC的面积＝ ，依题意有：
　　整理得： 　　∵△＝ ，∴这样的 不存在
　　当Q在BC上时，Q走过的路程为 ，∴CQ的长为：
　　∴梯形OCQP的面积＝ ＝36≠84×
　　∴这样的 值不存在
综上所述，不存在这样的 值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积。

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10楼 发表于 2008-12-23 16:12 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题十、方案设计型试题
例1、（常州）七（２）班共有50名学生，老师安排每人制作一件 型或 型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36 ，乙种制作材料29 ，制作 、 两种型号的陶艺品用料情况如下表：
        需甲种材料        需乙种材料
1件 型陶艺品
０.9
0.3

1件 型陶艺品
0.4
1

（1）设制作 型陶艺品 件，求 的取值范围；
（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作 型和 型陶艺品的件数．
知识点：本题考察的是不等式组的应用及解不等式。
精析：本题的背景是与人们的生活息息相关的现实问题，本题的条件较多，要分清楚每个量之间的关系，还有，弄清楚这些陶艺品并不能将料全部用完后，本题目就较容易解决了。
准确答案：
解：（1）由题意得：
                                    
由①得，x≥18，由②得，x≤20，
所以x的取值得范围是18≤x≤20（x为正整数）                        
（2）制作A型和B型陶艺品的件数为：
①制作A型陶艺品32件，制作B型陶艺品18件；                        
②制作A型陶艺品31件，制作B型陶艺品19件；                     
③制作A型陶艺品30件，制作B型陶艺品20件；  
中考对该知识点的要求：运用不等式的有关知识解决问题，是近年来中考命题的热点。
目标达成：
11－1－1、（黑龙江）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
        A        B
成本(万元/套)        25        28
售价(万元/套)        30        34

   


(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?
    (2)该公司如何建房获得利润最大?
    (3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?
注：利润=售价-成本

11－1－2．（2005年哈尔滨）双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元。
  (1)求A、B两种型号的服装每件分别为多少元?
  (2)若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案?如何进货?

11－1－3．（河南）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。

        甲        乙
价格（万元/台）        7        5
每台日产量（个）        100        60
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
11－1－4、（宁德）电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集。
（1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式。
（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值。








11－1－5、（茂名）份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；
（１）        该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？


例2．（恩施自治州）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具（皮尺、测角器、标杆）可供选用,请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.
要求1)画出你设计的测量平面图;
     (2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a、b、c…表示;角度用α、β…表示);
     (3)根据你测量的数据,计算旗杆的高度.
知识点：考查解直角三角形的有关知识的应用。
精析：这是一道全开放的试题，它是在限定条件、限定测量工具的情况下测量河宽，对测量方法、测量工具计算河宽的表达式均没有限制，实行全开放，它考查学生活用数学的能力和创新能力。
准确答案：(1)如图所示   
   (2) ①在操场上选取一点D,
用皮尺量出BD=a米
②在点D用测角器测出旗杆顶部A的仰角∠ACE=α
③用皮尺量出测角器CD=b米     
(3)显然BE=CD=b,BD=CE=a  ∠AEC=90o　∴AE=CE×tanα            
∴AB=AE+BE=atanα+b      
目标达成：
11－2－1．（河南）如图是一条河，点A为对岸一棵大树，点B是该岸一根标杆，且AB与河岸大致垂直，现有如下器材：一个卷尺，若干根标杆，根据所学的数学知识，设计出一个测量A、B两点间距离的方案，在图上画出图形，写出测量方法。






11－2－2、（潍坊）某市经济开发区建有  三个食品加工厂，这三个工厂和开发区 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且 米， 米．自来水公司已经修好一条自来水主管道 两厂之间的公路与自来水管道交于 处， 米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．









（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
11－2－3、（泰州）高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图1）．
（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．
（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：
①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；
②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）．







图1                                   图2
能力提高：
11－1．（资阳市）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d. 6局比赛的总得分高者获胜 .
(1) 设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
(2) 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：
        第一局        第二局        第三局        第四局        第五局        第六局
甲        5        ×        4        8        1        3
乙        8        2        4        2        6        ×
根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.

11－2、（临沂课改）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?

11－3．（临沂）李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了10桶和6桶，共花费51元；陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和12桶。且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱。若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？

11－4、（南通）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y (桶)之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
（3）当a至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？

11－5．（青岛）利群商厦对销量较大的A、B、C三种品牌的纯牛奶进行了问卷调查，共发放问卷300份（问卷由单选和多选题组成），对收回的265份问卷进行了整理，部分数据如下：
    （1）最近一次购买各品牌纯牛奶用户比例如下图：

    （2）用户对各品牌纯牛奶满意情况汇总如下表：

    结合上述信息回答下列问题：
    ①A品牌牛奶的主要竞争优势是什么？请简要说明理由。
    ②广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由。
③你对厂家C有何建议？

11－6、（浙江）某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；
(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．

11－7．（玉林）今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
    (1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2)在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的 后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由．

11－8．（绍兴）班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元。
（1）        若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）        若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案。

11－9．（盐城）学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售。一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售。
（1）        如果全组共有20名同学，若每人各买1支型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？
（2）        为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90％出售。现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由。










答案
11－1－1、解：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套．
    由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096　　　 48≤x≤50
    ∵ x取非负整数，  ∴ x为48，49，50． ∴ 有三种建房方案：
  A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套
    (2)设该公司建房获得利润W(万元)．
    由题意知W=5x+6(80-x)=480-x　　　∴ 当x=48时，W最大=432(万元)
    即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大
    (3)由题意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x， ∴ 当O  即A型住房建48套，B型住房建32套， 当a=l时，a-1=O，三种建房方案获得利润相等
    当a>1时，x=50，W最大，即A型住房建50套，B型住房建30套
11－1－2、

11－1－3、（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。
由题意，得 ，解这个不等式，得 ，即x可以取0、1、2三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。

11－2－1．测量A、B两点间距离的方法有很多种，答案不惟一，一般采用全等、相似的知识来解决。
11－2－2、（1）过  分别作 的垂线段 ，交 于 ，
即为所求的造价最低的管道路线．
图形如图所示．               
（2）（法一）
（米）， =1500（米），     
∵ ∽ ，　　得到： ．
∴  （米）．
∵ ∽ ，得到 ，∴  （米）．
∵ ∽ ，∴ ，∴  （米）．
所以，  三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）
11－2－3、解：连结AC、EF
  （1）∵太阳光线是平行线∴AC∥EF∴∠ACB=∠EFD
        ∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC∽△EDF
∴    ∴   ∴AB=4.2
        答：大树AB的高是4.2米．
（2）（方法一）       

       

如图MG=BN=m
              AG=m tanα ∴AB=（m tanα＋h）米

（方法二）

       

∴ AG =   ∴AB= ＋h
或AB= ＋h

11－1、1。计分方案如下表：
n(次)        1        2        3        4        5        6        7        8
M(分)        8        7        6        5        4        3        2        1
   (2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分，
所以甲在这次比赛中获胜




11－2、解：根据题意，可有三种购买方案；
    方案一：只买大包装，则需买包数为： ；
    由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元)   
    方案二：只买小包装．则需买包数为：
    所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元)  
    方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装 包．小包装 包．所需费用为W元。
则     ，
∵ ，且 为正整数，
∴ 9时， 290(元)．
∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。
答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。
11－3．解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x、y元，
根据题意，得
  解这个方程组，得　　   
∵3.5>3，∴到甲供水点购买便宜一些。
答：到甲供水点购买便宜一些。
11－4．解：（1）设 ，∵x＝4时，y＝400；x＝5时，y＝320．
∴      解之，得      
∴y与x的函数关系式为 ．       
（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），
    当y＝380时， ，得 x＝4.25,
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395(元),
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．           
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则
W ＝xy＝x（－80x+720）＝ ，
∴当 x＝ 时，W最大值＝1620，      
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则  50a≥W最大值+780，即  50a≥1620+780，
    解之，得  a≥48．
所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，         
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
11－5．①A品牌牛奶的主要竞争优势是质量好，因为对此品牌牛奶的质量满意的用户最多，而对其广告、价格满意的用户不是最多。               
    ②广告对用户选择品牌有影响，因为对于B、C两种品牌的纯牛奶在质量和价格上顾客满意率是相同的，但由于B品牌牛奶广告做得好，所以销量比C品牌大。       
③厂家C在提高质量和降低价格的同时，加大宣传力度，重视广告效用。       

11－6解：(1) 树状图如下：                  列表如下：



有6种可能结果：(A，D)，（A，E），（B，D），
（B，E），（C，D），（C，E）．
(2) 因为选中A型号电脑有2种方案，即(A，D)（A，E），所以A型电脑被选中的概率是
(3) 由(2)可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，根据题意，得
解得 经检验不符合题意，舍去；
(注：如考生不列方程，直接判断(A，D)不合题意，舍去，也给2分)
当选用方案（A，Ｅ）时，设购买A型号、Ｅ型号电脑分别为x，y台，根据题意，得
解
所以希望中学购买了7台A型号电脑．
11－7、解：(1)设规定时间为x天，则
        解之，得x1=28，x2=2．
    经检验可知，x1=28，x2=2都是原方程的根， 但x2=2不合题意，舍去，取x=28．
    由24<28知，甲、乙两组合做可在规定时间内完成．
(2)设甲、乙两组合做完成这项工程的5/6用去y天，
则
    解之，得y=20(天)．
    甲独做剩下工程所需时间：10(天)．
    因为20+l0=30>28，
    所以甲独做剩下工程不能在规定时间内完成；
    乙独做剩下工程所需时间：20/3(天)．
    因为20+20/3=26  <28，所以乙独做剩下工程能在规定时间内完成．
所以我认为抽调甲组最好．
10－8、

11－9．解：（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，则根据题意得：
解之得：
答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元
（2）如果安原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元
则m=20×2+(a -20)×(2 -0.4)=1.6a+8如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元
则n=a×2×90%=1.8a
于是n –m=1.8a –(1.6a+8)=0.2a -8
∵a>40， ∴0.2a>8， ∴n –m>0
可见，当a>40时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多。
答：用原来的方法购买花钱少。

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11楼 发表于 2008-12-23 16:12 | 只看该作者

第二轮专题复习

专题三 图象信息题
例1（太原）某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个。每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出。某—天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示。通过对图像的观察，小亮得出了以下三个论断：(1)0点到3点只进水不出水；(2)3点到4点不进水只出水，(3)4点到6点不进水也不出水。其中正确的是(   )








A．(1)            B．(3)            C．(1)(3)         D．(1)(2)(3)
精析：

准确答案：A
中考对该知识点的要求：突出考查学生的：识图、用图的能力，这类问题来源广泛，形式灵活，成为近几年中考试题中的必考类型。
目标达成：
4－1－1．（河南）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学不行，另一部分同学骑自行车，如图， 、 分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（   ）  
A、骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
B、步行的速度是6千米/时
C、骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟
D、骑车的同学和步行的同学同时达到目的地


4－1－2．（恩施）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（    ）

4－1－3．（河南课改）如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝4，BC＝8，P是AB上一动点，直线PQ⊥AC于点Q，设AQ＝x，则图中阴影部分的面积y与x之间的函数关系式的图象是(                )










4－1－4．（重庆课改）如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上．现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为 ，运动的距离为 ．下面表示 与 的函数关系式的图象大致是（    ）




4－1－5、（乌）某市的出租车的收费标准如下：3千米以内的收费6元；3千米到10千米部分每千米加收1.3元；10千米以上的部分每千米加收1.9元。那么出租车收费y（元）与行驶的路程x(千米)之间的函数关系用图象表示为
例题2、（广东佛山）如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km的过程中，行使的路程 与经过的时间 之间的函数关系．请根据图象填空：
            出发的早，早了           小时，            先到达，先到         小时，电动自行车的速度为         km / h，汽车的速度为         km / h．

知识点：本题考查是学生从图中获取信息的能力，及有条理的进行语言表述的能力。
精析：通过观察可以得出电动自行车与汽车都行驶了90（km）,而电动自行车用了5个小时，汽车却用了一个小时，由此便可求出两车的速度。
准确答案：甲（或电动自行车），2，乙（或汽车），2，18，90 ．
中考对该考点的要求：本题突出对考生收集、整理、和加工信息的能力的考查，要求学生学会观察图象，捕捉有效信息，选择适当数学工具，通过建模解决问题。
目标达成：
4－2－1．（资阳市）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图7. 根据图象解决下列问题：
(1) 谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少　　时间？
(2) 分别求出甲、乙两人的行驶速度；
(3) 在什么时间段内，两人均行驶在途中(不包括起点和终点)？在这一时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间x的方程或不等式(不化简，也不求解)：① 甲在乙的前面；② 甲与乙相遇；③ 甲在乙后面.
4－2－2．（河北）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡　　烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是                ，从点燃到燃尽所用的时间分别是             。
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲

蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？


4－2－3．（常州）某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示.已知某天0点到6点,进行机组试运行,试机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示:

给出以下3个判断:
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是                                【      】
A、①        B、②        C、②③        D、①②③
4－2－4．（福建毕节地区）小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完。销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示。
请你根据图像提供的信息完成以下问题：
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的
函数关系式。
(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?
(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?

4－2－5．（漳州）据某气象中心观察和预测：发生于 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 （km/h）与时间 （h）的函数图象如图所示．过线段 上一点 作横轴的垂线 ，梯形 在直线 左侧部分的面积即为 h内沙尘暴所经过的路程 (km)．
（1）当 时，求 的值；
（2）将s随 变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若 城位于 地正南方向，且距 地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 城？如果不会，请说明理由．










例3、（恩施自治州）路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米。下图是正在修建的庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线2车道.
(1).建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式;
(2）在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置;
(3) 为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部 （设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米。现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为 米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由。


知识点：考查用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数性质的应用。
精析：该题十分新颖，而且与实际生活联系起来，这是运用二次函数及性质解决实际问题的一道不可多得的好题。解答这类问题，关键是要通过分析题意运用二次函数及性质知识建立数学模型。
准确答案：
(1)以EF所在直线为x轴,经过H且垂直于EF的直线为y轴, 建立平面直角坐标系,                                          
显然E(-5,0),F(5,0),H(0,3)                                
设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c                        
依题意有:            
解之         ，所以y=            
(2).y=1, 路灯的位置为( ,1)或(- ,1). (只要写一个即可)
(3)当x=4时,y= =1.08　　　点到地面的距离为1.08+2=3.08
因为3.08-0.5=2.58>2.5，所以能通过。
目标达成：
4－3－1．（武汉）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系。y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论。

4－3－2．（湖南湘潭）某水果超市，营销员的个人收入与他每月的销售量成一次函数关系，其图像如下：请你根据图像提供的信息，解答以下问题：
(1)求营销员的个人收入y元与营销员每月销售量x千克(x≥0)之间的函数关系式；
(2)营销员佳妮想得到收入1400元，她应销售多少水果?
4－3－3．（辽宁）某人计划购买一套没有装修的门市房，它的地面图形是正方形，若正方形的边长为x米，则办理产权费用需l000x元。装修费用yl(元)与x(米)的函数关系如图所示。
(1)求yl与x的函数关系式；
(2)装修后将此门市房出租，租期五年，租金以每年每平方米200元计算。
  ①求五年到期时，由此门市房所获利润y(元)与x(米)的函数关系式；
  ②若五年到期时，按计划他将由此门市房赚取利润70000元，
求此门市房的面积。
  (利润=租金―办理产权费用与装修费用之和)
4－3－4、（青岛）某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y（件）与销售单价x（元/件）的关系可近似的看作一次函数（如图）。

（1）求y与x的关系式；
2）设商厦获得的毛利润（毛利润＝销售额－成本）为s（元），则销售单价定为多少时，该商厦获利最大？最大利润是多少？此时的销售量是多少件？
4－3－5．（上海）小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00－22：00）和谷时段（22：00－次日6：00）分别计费，平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元，小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图7），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如表1）
根据上述信息，解答下列问题：
（1）        计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入表1中；
（2）        小明家这5个月的月平均用电量为　　　　　度；
（3）        小明家这5个月的月平均用电量呈　　　　　趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费呈　　　　　趋势（选择“上升”或“下降”）；
（4）        小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量.

        月用电量（度）        电费（元）
1月        90        51.80
2月        92        50.85
3月        98        49.24
4月        105        48.55
5月               








能力提高：
4－1、（武汉）“高高兴兴来上学，开开心心回家去”：小明某天回家后，17时从学校出发，回家途中离家的路程s（百米）与所走的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，那么这天小明到家的时间为                                                        (      )
A、17时15分                B、17时14分               
C、17时12分                D、17时11分





4－2．（南京）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了　进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示：
根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？
（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升，
①求排水时y与x之间的关系式。②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。
4－3、（无锡）甲、乙两人在某公司做见习推销员，推销“小天鹅”洗衣机，他们在1～8月份的销售情况如下表所示：

月份        1月        2月        3月        4月        5月        6月        7月        8月
甲的销售量（单位：台）        7        8        6        7        6        6        7        7
乙的销售量（单位：台）        5        6        5        6        7        7        8        9
（1）在右边给出的坐标系中，绘制甲、乙两人这8个月的月销售量的折线图：
（甲用实线；乙用虚线）
（2）请根据（1）中的折线图，写出2条关于甲、乙两人在这8个月中的销售状况的信息.    ①                                ；②                         .








4－4．（玉溪）小明在银行存入一笔零花钱。已知这种储蓄的年利率为n％，若设到期后的本息和（本金＋利息）为y（元），存入的时间为x（年），那么
（1）下列哪个图象更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？（3分）

（2）根据（1）的图象，求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和。.
4－5、（丽水）为宣传秀山丽水，在“丽水文化摄影节”前夕，丽水电
视台摄制组乘船往返于丽水（A）、青田（B）两码头，在A、B间设立拍摄中心C，拍摄瓯江沿岸的景色．往返过程中，船在C、B处均不停留，离开码头A、B的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）船只从码头A→B，航行的时间为    小时、航行的速度为    千米/时；船只从码头B→A，航行的时间为    小时、航行的速度为    千米/时；
（2）过点C作CH∥t轴，分别交AD、DF于点G、H，设AC= ，GH=y，求出y与 之间的函数关系式；
（3）若拍摄中心C设在离A码头25千米处， 摄制组在拍摄中心C分两组行动，一组乘橡皮艇漂流而下，另一组乘船到达码头B后，立即返回．
①求船只往返C、B两处所用的时间；
②两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心C有多远．





4－6. （黑龙江）某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
    (1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；
    (2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
    (3)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．

4-7、（福州）百舸竞渡，激情飞扬。端午节期间，某地举行龙舟比赛。甲、乙两支龙舟队在比赛时路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图10所示。根据图象回答下列问题：
（1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？
（2）在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？先到达多少时间？
（3）求乙队加速后，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式。





4－8、（黄岗）有一个装有进、出水管的容器，单位时间年7进、出的水量都是一定的。已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满，若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完，现已知水池内有水200升，先打开进水管5分钟后，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（升）随时间t（分）变化的图象是（    ）




















4－9、（潜江、仙桃、江汉油田）一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：
节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现。依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过 （吨）时，超过部分每吨加收环境保护费 元。下图反映了每月收取的水费 （元）与每月用水量 （吨）之间的函数关系。






请你解答下列问题：
（１）        根据图象，用简洁的文字语言表述本市收取水费的方案；
（２）        写出 与 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；
（３）        按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表：
　
月份        用水量 （吨）
水费 （元）

四月        ３５        ５９．５
五月        ８０        １５１
那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出 的值。
4－10、（泰州）教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同.放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：
（1）求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）(x≥2)的函数关系式；
（2）如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？
（3）按（2）的放法，求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水？










三、图象信息答案
4－1－1．D   4－1－2、A  4－1－3、A  4－1－4．C    4－4－5．B
4－2－1．
(1)甲先出发；先出发10分钟；乙先到达终点；先到5分钟.  
(2)甲的速度为每分钟0.2公里， 乙的速度为每分钟0.4公里 .
(3)在甲出发后10分钟到25分钟这段时间内，两人都行驶在途中.  
设甲行驶的时间为x分钟(10甲在乙的前面：0.2x>0.4(x-10) ； 甲与乙相遇：0.2x=0.4(x-10) ；
甲在乙后面：0.2x<0.4(x-10) .
4－2－2．（1）30厘米，25厘米；2小时，2.5小时。
       （2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝－15x＋30
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋25
（3）由题意得 －15x＋30＝－10x＋25，解得x＝1，所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象可知：当0≤x＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x＜2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低。

4－2－3． A
4－2－4．


4－2－5．设直线l交v与t的函数图象于D点。
（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为 ．
当 时，D点坐标为（4，12），∴ ，∴ （km）.
（2）当0≤ ≤10时，此时 （如图1），
∴  = ；         
当10＜ ≤20时，此时 ，AD= （如图2），
∴  = ；
当20＜ ≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0），∴直线BC的解析式为 ，
∴D点坐标为（ ， ），∴ （如图3），
∴ = ．（7分）











（3）∵当 时， （km）；
当 时， （km），而  450＜650＜675，
所以N城会受到侵袭，且侵袭时间 应在20h至35h之间．
由   ，解得  或 （不合题意，舍去）．
所以在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．  
4－3－1．（1）设抛物线的解析式为y＝ ，由对称轴是y轴得b＝0，
由EO＝6，得c＝6，又抛物线经过点D（4，2），所以：16a＋6＝2，解得a＝
所求抛物线的解析式为y＝ 。
（2）取x＝±2.4，代入（1）所求得的解析式中，求得y＝4.56＞4.2
故这辆货运卡车能通过隧道。
4－3－2

4－3－3．


4－3－4．
（1）设
    将（60，40），（70，30）代入得：
     　　　 解得： 　　　                
    （2）  
     
     
     
           
     
    所以，当销售价是75元时，最大利润是625元，此时销量为25件。
4－3－5．         
   
能力提高：
4－1．A
4－2（1）4分钟，40升  （2）y=-19x+325 , 2升   
4－3（1）略
（2）①乙的月销售量总体上呈上升趋势；
②甲的月销售量总体上呈平稳态势；等等.
4－4．（1）图16能反映y与x之间的函数关系。从图中可以看出存入的本金是100元。
一年后的本息和是102.25元。
（2）设y与x之间的函数关系式为：y＝100•n％x＋100,把（1，102.25）代入上式，得 n＝2.25
∴y＝2.25x＋100              当x＝2时，y＝2.25×2＋100＝104.5（元）
4－5、解：（1）3、25；5、15；
（2）解法一：设CH交DE于M，由题意：
ME=AC=x ，DM=75–x，
∵GH//AF，△DGH∽△DAF ，
∴ ，即 ，
∴ y=8 .
解法二：由（1）知：A→B（顺流）速度为25千米/时，B→A（逆流）速度为15千米/时，y即为船往返C、B的时间.
y= ，即y=8 .
（3）①当x=25时，y=8 （小时）
②解法一：
设船在静水中的速度是a千米∕时，水流的速度是b千米∕时，
a+b=25        a=20
a–b=15       b=5
船到B码头的时间t 1= =2小时，此时橡皮艇漂流了10千米.
设船又过t2小时与漂流而下橡皮艇相遇，
则（5+15）t2=75–25–10，∴t2=2.  
∴船只离拍摄中心C距离S=（t 1+ t2）×5=20千米.  
解法二：
设橡皮艇从拍摄中心C漂流至P处与船返回时相遇，
得 ，∴CP=20千米.
4－6. 解：(1)∴ y甲=-23x+2
∴ y乙=x+1
(2)根据题意，得 ,解得x=35．所以注水35小时甲、乙两个蓄水池中水的深度相同。
(3)设甲蓄水池的底面积为S1，乙蓄水池的底面积为S2，t小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．根据题意，得2Sl=3×6，    Sl=9　　　　(4-1)S2=3×6，S2=6
S1（-23t+2）=S2（t+1） 解得t=1． ∴ 注水1小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同
4－7、
（1）1.8分钟时，甲龙舟队处于领先位置；
（2）这次龙舟笑中，乙龙舟队先到达终点，先到0.5分钟；
（3） ）。
4－8、A
4－9、(1)收取水费的方案是:
①        每月用水量不超过m吨时,按每吨1.7元收取
②        每月用水量超过m吨时,超过部分每吨加收 元
(2) 与 的函数关系式为   
(3)∵ 满足 这个函数关系式
∴这家酒店四月份的水费是按 来计算的
又
∴这家酒店五月份的水费是按  来计算的
则有151=
即 　　　解得 ,
又 四月份用水量为35吨,  <35    ∴ 舍去　　∴ =50
4－10、（1）设存水量y与放水时间x的解析式为
y=－ x＋   （2≤x≤ ）
（2）由图可得每个同学接水量是0.25升，则前22个同学需接水0.25×22=5.5，存水量y=18－5.5=12.5升
∴12.5=－ x＋     ∴x=7
∴前22个同学接水共需7分钟．
（3）当x=10时  存水量y=－ ×10＋ = ，用去水18－ =8.2，8.2÷0.25=32.8
∴课间10分钟最多有32人及时接完水．或  设课间10分钟最多有z人及时接完水　
由题意可得 0.25z≤8.2    z≤32.8

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12楼 发表于 2008-12-23 16:13 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题七.代数几何综合题
例1、（北京丰台）如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0） ，连结BP，过P点作 交过点A的直线a于点C（2，y）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。
知识点：利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
准确答案：（1）
   A（2，0），C（2，y）在直线a上

                               
， ，
  
（2） ， 的最大整数值为  , 当 时， ，

设Q点坐标为 ，则

点坐标为
中考对该知识点的要求：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。




目标达成
8－1－1．（玉溪）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，
切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO.
（1）        求证：CD∥AO；（3分）
（2）        设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3分）
（3）        若AO＋CD＝11，求AB的长。（4分）







8－1－2．（玉林）如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O的两根，且x1<0  (1)求m的取值范围；
  (2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；
(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式：
8－1－3．（绍兴）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。
①　如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；
②　在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线 上，求b，c的值；
③         　若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l 的解析式。
8－1－4、（绍兴）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。
①求直线AC的解析式；
②若M为AC与BO的交点，点M在抛物线 上，求k的值；
③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由。
   
8－1－5．（盐城）已知：在矩形ABCD中，AB=2，E为BC边上的一点，沿直线DE将矩形折叠，使C点落在AB边上的C点处。过C′作C′H⊥DC，C′H分别交DE、DC于点G、H，连结CG、CC′，CC′交GE于点F。
（1）        求证：四边形CGC′’E为菱形；
（2）        设 ，并设 ，试将 表示成 的函数；
（3）        当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC的长



能力提高：
8－1、（福州课改）已知抛物线 与y轴的交于C点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′。
（1）求抛物线的对称轴及C、C′的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P的坐标（可用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。

8－2、（泸州）如图5，抛物线 与x轴、y轴分别相交于
A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．注：抛物线 　的顶点坐标为 ．
（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．









8－3、（梅州）如图7，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合）设PC=x，点P到AB的距离为y。
   （1）求y与x的函数关系式；
   （2）试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围。






8－4、（枣庄）如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点(点E与点A，D不重合)．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
  (1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
  (2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?







8－5、（金华）如图，在直角坐标系中，点M在y轴的正半轴上，⊙M与x轴交于A，B两点，AD是⊙M的直径，过点D作⊙M的切线，交x轴于点C. 已知点A的坐标为（－3，0），点C的坐标为（5，0）.
（1）求点B的坐标和CD的长；
（2）过点D作DE∥BA，交⊙M于点E，连结AE，求AE的长.














答案:
8-1-1、（1）连结BC交OA于点E
略
（2）∵CD∥AO，∴∠3＝∠4.　　∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠BCD＝∠ABO＝90°∴△BDC∽△AOB.
∴  ∴ ,∴    ∴0＜x＜6
（3）由已知和（2）知  
解这个方程组得：  ∴AB＝ .
8－1－2．解：(1)由题意，得
22-4(m-3)=16-m>0①
   x1x2=m-3    ①得m<4．
    解②得m<3．
    所以m的取值范围是m<3．  
(2)由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°.
    所以BC=2BO，AB=2BC=4BO．
    所以A0=3BO(4分)
    从而得    x1=-3x2．    ③
    又因为    x1+x2=-2．  ④
    联合③、④解得x1=-3，x2=1．
    代入x1•x2=m-3，得m=O．
(3)过D作DF⊥轴于F．
    从(2)可得到A、B两点坐标为A(-3，O)、B(1，O)．
    所以BC=2，AB=4，OC=
    因为△DAB≌△CBA，
    所以DF=CO= ，AF=B0=1，OF=A0-AF=2．
    所以点D的坐标为(-2， )．
    直线AD的函数解析式为y= x=3


8－1－3．





8－1－4、

8－1－5．（1）根据题意，C、C′两点关于直线DE成轴对称，DE是线段CC′的垂直平分线，故DC＝DC′，GC＝EC′，∠C′EG＝∠CEG
由C′H⊥DC，BC⊥DC得：C′G∥CE，
∴∠C′GE＝∠GEC，∵∠C′EG＝∠CEG，
∴∠C′GE＝∠C′EG，∴C′G＝C′E，
∴C′G＝C′E＝EC＝GC，
∴四边形CGCE为菱形
（2）解法一：由题意知：在△RtDCE中，sin∠CDE＝ ＝x
由（1）得：CC′⊥CE，又DC⊥CE，∴Rt△C′EF∽Rt△DEC′，∴ ，
即
∴
∴ ，即
解法二：设DE＝a，由sin∠CDE= =x，则CE=ax，又DC⊥CE，CF⊥DE，
∴△DCE∽△CFE
∴
DG＝DE -2EF＝a-2ax2，
∴ ∴y=-2x2+x+1
（3）由（2）得：y=-2x2+x+1＝
可见，当x= 时，此函数的图象达到最高点，此时
∵GH∥CE，∴ ，由DH＝2，得DG＝
在Rt△DHC′中 ∴BC＝
8－1、（1）所求对称轴为直线x＝1  C（0，-m）  C′（2，-m）
       （2）满足条件的P、Q坐标为P（-1，3-m），Q（1，3-m）；P′（3，3-m）。
Q（1，3—m）；P″（1，-1-m），Q′（1,1-m）。
       （3）所求平行四边形周长为 或 。

8－2、解：（1）
（2）由（1）可知
∴顶点坐标为D（1,4），设其对称轴与x轴的交点为E
∵   
   
　　   
　　   
　　（3）△DCB与△AOC相似
　　　证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F
　　　　∵D（1,4），∴Rt△DFC中，DC＝ ，且∠DCF＝45°
　　　　在Rt△BOC中，∠OCB＝45°，BC＝
　　　　∴∠AOC＝∠DCB＝90°　 　∴△DCB∽△AOC
8－3、（1）过P作PQ⊥AB于Q，则PQ=y　，　　
          （2）令x≤y，得： ，解得：


∴当 时，圆P与AB所在直线相离； 时，圆P与AB所在直线相切；
时，圆P与AB所在直线相交
8－4．解：(1)连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得
    MB=ME，MN⊥BE．  过N作AB的垂线交AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，
   ∴∠MBP=∠MNF．  又AB=FN，∴RT△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x
   在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，∴(2-AM)2=x2+AM2．
   解得AM=            所以四边形ADNM的面积

即所求关系式为 .
(2)  .
  ∴当AE=x=1时，四边形ADNM的面积s的值最大。最大值是 .
8－5．解：（1）∵ MO⊥AB，∴ OA＝OB.  
∵ A点坐标为（－3，0），∴ B点坐标为（3，0）.      
∵ CD是⊙O的切线，∴ CD2＝CB•CA＝2×8＝16.
∴ CD＝4.
（3）∵ AD是直径，∴ DB⊥AB，
∴ BD＝DC2－BC2＝42－22＝23.
∵ DE∥BA，∴ AE⌒＝DB⌒. ∴ AD＝DB, ∴AE＝23.

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13楼 发表于 2008-12-23 16:13 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题六.阅读型试题
例1、（台州）我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为： ……①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： ……②（其中 ）。
（1）        若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积。
（2）        你能否由公式①推导出公式②？请试试。
知识点：本题考查了多项式乘法、分解因式、二次根式及其化简等有关知识。
精析：这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式，第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（2）题是考查学生是创新能力。
准确答案：


中考对该知识点的要求：近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答。
目标达成：
7－1－1．（贵州市）阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图12（ ）），小刚过AB、AC的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图12（ ））；

图12

（ ）                 （ ）                   （ ）
（1）这两种分割方法中面积之间的关系为： ， ；
（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线
有           条，请在图12（ ）的平行四边形中画出一种；
（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？
（3）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形；
7－1－2．（资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
  


7－1－3．（玉林）阅读下列材料，并解决后面的问题．
  在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB= ，sinC= ，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ．
  同理有 ， ．
  所以 ………(*)
  即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
  (1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
    第一步：由条件a、b、∠A            ∠B；
    第二步：由条件  ∠A、∠B．           ∠C；
    第三步：由条件．                      c．


(2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以
28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．
7－1－4、（佛山）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在 轴上、边OA与函数 的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作 轴和 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB= ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设 、 ，求直线OM对应的函数表达式（用含 的代数式表示）．
（2）分别过点P和R作 轴和 轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB= ∠AOB．
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

7－1－5、（福州）已知：如图8，AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D。则△CDQ是等腰三角形。
对上述命题证明如下：
证明：连结OC
∵OA＝OC
∴∠A＝∠1
∵CD切O于C点
∴∠OCD＝90°
∴∠1＋∠2＝90°
∴∠A＋∠2＝90°
在RtQPA中，QPA＝90°

∴∠A＋∠Q＝90°　　∴∠2＝∠Q　　　∴DQ＝DC
即CDQ是等腰三角形。
问题：对上述命题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变，如图9所示，结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立，误给予证明；若不成立，请说明理由。
能力提高：
7－1、（内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时
曾经研究过这样一个问题：
1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+ ，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+… ＝？
观察下面三个特殊的等式



将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝
读完这段材料，请你思考后回答：
⑴            
⑵                 
⑶            
（只需写出结果，不必写中间的过程）
7－2、（陕西）阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①.
   观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组 的解，所以这个方程组的解为
在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③。










回答下列问题：
（1）        在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组 的解；
（2）        用阴影表示 ，所围成的区域。






答案：
7－1－1．（1） ， ；
（2）无数，图略；

7－1－2．(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 .
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则
L1= +2a，L2= +2b，L3= +2c .
∴ L1- L2=( +2a)-( +2b)=2(a-b) ，
而 ab>S，a>b，
∴ L1- L2>0，即L1> L2 .
同理可得，L2> L3 .
∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小.       
7－1－3．解：(1)  , ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，
     或
(2)依题意，可求得∠ABC=65°，
    ∠A=40°.  
    BC=14．2．
    AB≈21．3．
    答：货轮距灯塔A的距离约为21．3海里．(9分)
7－1－4、解：（1）设直线OM的函数关系式为 ．      
则 ∴ ．                                       
∴直线OM的函数关系式为 ．                           
（2）∵ 的坐标 满足 ，∴点 在直线OM上．
∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM= PR．
∴∠SQR=∠SRQ．                                                   
∵PR=2OP，∴PS=OP= PR．∴∠POS=∠PSO．                  
∵∠PSQ是△SQR的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．                          
∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．                                 
∴∠POS=2∠SOB．                                            
∴∠SOB= ∠AOB．                                          
（3）以下方法只要回答一种即可．
方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．
方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．
方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．              

7－1－5、答：结论“△CDQ是等腰三角形”还成立
    证明：略
7－1、⑴343400(或
⑵
⑶
7－2. 解：（1）如图所示，
在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，
这两条直线的交点是P（－2，6）。
则 是方程组 的解。
（3）        如阴影所示。

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14楼 发表于 2008-12-23 16:15 | 只看该作者

中考二轮复习——专题分类

专题八.开放型试题
例1．（梅州）如图6，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。
（1）如果           ，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论。


知识点：考查了矩形的性质及三角形全等的判定。
精析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。
准确答案：解：（1）AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）
       （2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF
           又∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，∴AF=CE，∴ΔDEC≌ΔBAF
中考对该知识点的要求：开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

目标达成：
9－1－1. (黑龙江课改）如图, E、F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF是平行四边形.






9－1－2、（金华）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC
上，BD＝BE.
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明.
你添加的条件是：                            .
证明：
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：           .
（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）




9－1－3、（玉溪）如图19，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，AB＜CD且∠ABC为锐角，若AD＝4，BC＝12，E为BC上一点。
问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？
请分别说明理由。




例2、（长沙）己知点E、F在 的边 AB 所在的直线上，且 ， ，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
⑴如图l，如果点E、F在边AB上，那么 ；
⑵如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________ ；
⑶如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________ ；
对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．
知识点：考查了全等三角形、平行四边形的判定及性质以及平行线，分线段成比例或相似三角形的性质
精析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。
准确答案：
(2)线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG＋FH=AC
(3)线段 EG、FH、AC的长度的关系为：EG－FH=AC
证明(2)：如图2，过点E作EP//BC交AC于P
∵EG//AC，∴四边形EPCG为平行四边形
∴EG=PC                        ∵HF//EG//AC
∴ ，
又∵AE=BF    ∴ ≌
∴      ∴AC=PC+AP=EG+FH
即EG+FH=AC
中考对该知识点的要求：观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。


目标达成：
9－2－1、（武汉）如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。
(1)求证：∠DAC=∠BAC；
(2)若把直线EF向上平行移动，如图2，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个?为什么?

9－2－2． （包头） 如图1，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。 (1)求证：CE∥DF；
(2)在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时(如图2)，过点E作直线MN∥DF，试判断直线MN与⊙O1的位置关系，并证明你的结论。


9－2－3、（四川）己知：如图，E、F分别是□ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF。
  (1)求证：△ABE≌△CDF；
  (2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，
试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论。

9－2－4、（黄冈）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA = EC。
⑴ 求证：AC 2 = AE•AB；
⑵ 延长EC到点P，连结PB，若PB = PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由。

9－2－5、（枣庄）如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，A,B为切点，试判断以线段AB为直径的圆与直线O1O2的位置关系，并说明理由．




例3、（陕西课改）如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC。
（1）        图中有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）证明：△ABC是正三角形。
知识点：考查三角形全等的判定、垂直平分线的性质及菱形的性质及等边三角形的判定等知识点。
精析：本题需学生根据给定的条件，通过观察，分析，探索多个不明确的结论。求解此类问题时，切勿凭空乱想，应仔细对照条件，观察图形特征，联想已学知识，方法或已解决过的问题，全方位的、多角度地作全面分析。
准确答案：（1）图中有四对全等三角形，分别为△ABC≌△CDA，△AEF≌△DEC，△DEC≌△AEC，△AEF≌△AEC。
（2）证明：
∵CF垂直平分AD，　　∴AC＝CD
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA　　∴AB＝BC＝AC　　∴△ABC为正三角形。
中考对该考点的要求：这类试题因为对学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力有一定的要求，所以最近几年中考试题的命题热点。







目标达成：
9－3－1（武汉）已知：如图，在△ABC中，点D、E分贝在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE。若∠BDE＋∠BCE＝180°.
（1）写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；
（2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由。





9－3－2、（宁德）如图，已知E、F是□ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，线段EF分别交AD、BC于点M、N。
请你在图中找出一对全等三角形并加以证明。
解：我选择证明△___________≌△___________.

9－3－3、（内江市课改）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线 上，且过A、B两点分别作直线 的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。






9－3－4、（陕西）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O。
（1）        图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）        任选（1）中的一对全等三角形加以证明。









9－3－5、（宁波）如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明。








能力提高：
9－1、（北京海淀区）已知△ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.
（1）        如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；
（2）        如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.







9－2．（河南）如图，给出五个等量关系：①AD=BC、②AC=BD、③CE=DE、④∠D=∠C、
⑤∠DAB=∠CBA。请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题(只需写出一种情况)，并加以证明。


9－3．（武汉）将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。
（1）将图1中△ 绕点C顺时针旋转45°得图2，点 与AB的交点，
求证： ；

（2）将图2中△ 绕点C顺时针旋转30°到△ （如图3），点 与AB的交点。线段 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
（3）将图3中线段 绕点C顺时针旋转60°到 （如图4），连结 ，求证： ⊥AB.









9－4、（河南华师实验区）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA＝PD。
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。




9－5、（佛山）已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q．
（1）若四边形ABCD如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．
甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（     ）
乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形．（     ）
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．
（3）若四边形ABCD如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？
           
                  





9－6、（河南课改）如图，在□ABCD中，点E、F在BD上，且BF＝DE。
⑴、写出图中所有你认为全等的三角形；
⑵、延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H(请补全图形)，证明四边形AGCH是平行四边形。





9－7．（湖南湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足。由以上两个条件可得________。(写出一个结论)





9－8．（徐州）如图11，AC是平行四边形ABCD的对角线。
(1)用直尺和圆规作AC的垂直平分线和边AD、BC分别相交于点E、F，垂足为O。连结AF、CE(保留作图痕迹，不写作法)
(2)判断四边形AFCE是否为菱形，并说明理由。






9－9．（武汉）在某数学小组的活动中，组长为大家出了一道函数题：这是一个反比例函数，并且y随x的增大而减小.请你写山一个符合条件的函数表达式____.
9－10、（青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。

（1）求证： ；
（2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；
（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由。





9－11．（南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°。
（1）        判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）。
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°。（         ）
② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（       ）
  （2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是             （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 。   
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：                       
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：                     
9－12．（太原）如图，在锐角△ABC中，BA=BC，点O是边AB上的一个动点(不与点A、B重合)，以O为圆心，OA为半径的圆交边AC于点M，过点M作⊙O的切线MN交BC于点N。
  (1)当OA=OB时，求证：MN⊥BC；
  (2)分别判断OA＜OB、OA＞OB时，上述结论是否成立。
请选择一种情况，说明理由。




9－13、（茂名）三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1）        若AB=6，求线段BP的长；（6分）
（2）        观察图形，是否有三角形与ΔACQ全等？并证明你的结论，







9－14、（太原丽水）如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，
CE与BA的延长线交于点E，连结OC、OD．
（1）求证：△OBC≌△ODC；
（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，
选用以上适当的数，设计出计算⊙O
半径r的一种方案：
①你选用的已知数是              ；
  ②写出求解过程．（结果用字母表示）       



9－15、（恩施）如图5,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB,延长AB交DC于点E。
（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；
（2）求证：AC2=AD?AB；
（3）以下两个问题任选一题做答
① 若CF⊥AB于点F,试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系;
②若EC=5 ,EB=5,求图中阴影部分的面积.

9－16、（江苏）如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在 上取一点D，分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M。
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在 上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。
      
9－2－17、（武汉）已知：如图，直线 交 轴于 ，交 轴于 ，⊙ 与 轴相切于O点，交直线  于P点，以 为圆心 P为半径的圆交 轴于A、B两点，PB交⊙ 于点F，⊙ 的弦BE＝BO，EF的延长线交AB于D，连结PA、PO。
（1）求证： ；
（2）求证：EF是⊙ 的切线；
（3） 的延长线交⊙ 于C点，若G为BC上一动点，以 为直径作⊙ 交 于点M，交 于N。下列结论① 为定值；②线段MN的长度不变。只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值。






答案：
9－1－1、略
9－1－2、添加条件例举：BA＝BC；∠AEB＝∠CDB；∠BAC＝∠BCA；AE⊥BC，
CD⊥AB等.
证明例举（以添加条件∠AEB＝∠CDB为例）：
∵ ∠AEB＝∠CDB，BE＝BD，∠B＝∠B，
∴△BEA≌△BDC.
另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA.
9－1－3、（1）当CE＝4时，四边形ABED是等腰梯形。
理由如下：
在BC上截取CE＝AD，连结DE、AE，
∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形。∴AE＝CD＝BD。
∵BE＝12－4＝8＞4，即BE＞AD，∴AB不平行于DE，
∴四边形ABED是梯形。    ∵AE∥CD，CD＝BD，
∴∠AEB＝∠C＝∠DBC。
在△ABE和△DEB中，
∴△ABE≌△DEB （SAS）。∴AB＝DE，
∴四边形ABED是等腰梯形。
（也可不作辅助线，通过证明△ABD≌EDC而得AB＝DE）
（2）当C ＝6时，四边形AB D是直角梯形。
理由如下：
在BC上取一点 ，使C ＝B ＝ ＝6，连结D ，
∵BD＝CD　　 ∴D ⊥BC
又∵B ≠AD，AD∥B ，　　∴AB不平行于D   ∴四边形AB D是直角梯形。










9－2－1、

9－2－2、













9－2－3．

9－2－4、⑴连结BC
提示：可证△AEC∽△ACB　所以得 ，即AC2＝AB•AE
⑵PB与⊙O相切
连结OB，∵PB＝PE　∴∠PBE＝∠PEB
∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠PEB＝∠1＋∠3＝2∠1
而∠PBE＝∠2＋∠PBC，∴∠OBC＝∠OCB
而Rt△BCF中，∠OCB＝90°－∠2＝90°－∠1
∴∠OBC＝90°－∠1　∴∠OBP＝∠OBC＋∠PBC＝∠1＋（90°－∠1）＝90°
∴PB⊥OB，即PB为⊙O的切线。
9－2－5、解：直线O1O2与以线段AB为直径的圆相切．  
    理由如下：
    过P作⊙01，⊙02的公切线PM交AB于点M，则 AM=MB=MP，O1O2⊥MP.   
    ∴M点为以线段AB为直径的圆的圆心，且点P在⊙M上．         
    ∵⊙01和⊙O2外切于点P，　　　　∴直线O102过点P.
    ∴直线01O2与以线段AB为直径的圆相切．
9－3－1、．解：（1）△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE.
       （2）略。
9－3－2、．解法一：我选择证明△EBN≌△FDM
证明：□ABCD中，AB∥CD，?B＝?D，AB＝CD　　∴?E＝?F
又∵AE＝CF　　∴BE＝DF　　∴△EBN≌△FDM
解法二：我选择证明△EAM≌△FCN
证明：□ABCD中，AB∥CD，?DAB＝?BCD
∴?E＝?F ，?EAM＝?FCN
又∵AE＝CF　　∴BE＝DF　　∴△EBN≌△FDM
9－3－3、△ACD≌△CBE
证：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°
     ∴∠CAD=∠BCE
又∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB
∴△ACD≌△CBE
9－3－4、解：（1）图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，
   △COB≌△COD，△ABC≌△ADC。
（2）        证明△ABC≌△ADC。
9－3－5、解：△BCF≌△CBD. △BHF≌△CHD.     △BDA≌△CFA.  (注意答案不唯一)
证明△BCF≌△CBD.
∵AB=AC.　　∴∠ABC=∠ACB.             -
∵BD、CF是角平分线.　　∴∠BCF= ∠ACB，∠CBD= ∠ABC.
∴∠BCF=∠CBD.             又BC=CB.　　∴△BCF≌△CBD.      

9－1、1．解：（1）略.
（2）解法一：过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM.
     因为∠ACB=60°，∠CAF=60°，所以∠ACB=∠CAF.
   所以AF∥MC，所以四边形AMCF是平行四边形.
   又因为FA=FC，　所以□AMCF是菱形.
   所以AC=CM=AM，且∠MAC=60°.
在△BAC与△EMC中， CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE,
   所以△BAC≌△EMC. 　　所以DM=BC.
   则DM=EB，DB=EM.　 所以四边形DBEM是平行四边形.
   所以S△BDM+ S△DAM+ S△MAC= S△BEM+ S△EMC+ S△ACF.
   即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF.   
9－2、①AD=BC、②AC=BD；
9－3．（1）证明：过点 作CA的垂线，垂足为D
易知：△CD 为等腰直角三角形
        △ DA是直角三角形，且∠A＝30°，
        所以
        故     .
   （2）解：  过点 作C 的垂线，垂足为E，易知：△ E 为等腰直角三角形（其中∠2＝∠A＋∠ CA＝45°）
        △ CE是直角三角形，且∠1＝30°，所以
        故   
（3）证明：将图3中线段 绕点C顺时针旋转60°到 ，易证：
       △ ≌△ ，于是∠ ＝∠ ＝45°， 故 ⊥AB.
9－4、①△ABP≌△DCP；②△ABE≌△DCF；③△BEP≌△CFP；④△BFP≌△CEP；
（2）以△ABP≌△DCP全等为例：
证明：∵AD∥BC，AB＝DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠BAD＝∠CDA，
又∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∴∠BAP＝∠CDP，
在△ABP和△DCP中，
∵ ，∴△ABP≌△DCP。
9－5、（1）甲  √  乙   ×                                         
（2）证明（1）中对甲的判断：
连接EF、FG、GH、HE，                                             
∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线。    ∴EF∥AC  ，EF= AC，                                            
同理，HG∥AC  ，HG= AC，     ∴EF∥HG，EF=HG．∴四边形EFGH是平行四边形．
9－6．、⑴、△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB；
⑵、∵BF＝DE，∴BF＋FE＝DE＋FE，即BE＝DE。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。
∴∠ABD＝∠CDB。
在△ABE和△CDF中：AB＝CD∠ABE＝∠CDFBE＝DE
∴△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，
∴HC∥CG，∴四边形AGCH为平行四边形。
9－7、



9－8、







9－9．答案不惟一，例如 ，写出的关系式只要满足x•y值为正数即可.
9－10．（1）证明： ABCD为等腰梯形
， ，  
  （2）四边形MENF是菱形   

     　　　  
（3）梯形的高等于底边BC的一半，连结MN
　  
　　  
9－11．（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五边形，正十五边形；②如正十边形，正二十边形
9－12、












5．
9－13.（1）

   
∽ΔADE


（2）图中的ΔEGP与ΔACQ全等…
证明： ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
  

既AC=EG
AD//HE



ΔEGP≌ΔACQ
9－14．（1）证明：∵CD、CB是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°，
         OD=OB，OC= OC，
        ∴△OBC≌△ODC（HL）；  
（2）①选择a、b、c，
     ②若选择a、b：由切割线定理：a2=b(b+2r) ，得r= .
       若选择a、b、c：
方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：(b+2r)2+c2=(a+c)2，得r= .
方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE， ，得r= .
方法三：连结AD，可证：AD//OC， ，得r= .
若选择a、c：需综合运用以上的多种方法，得r= .
若选择b、c，则有关系式2r3+br2－bc2=0.
9－15、(1) DE是⊙O的切线.  提示： 连接OC              
(2) ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB=900     ∵AD⊥DE ∠ADC=900　　　
∴ ∠ACB= ∠ADC　　又∠DAC=∠CAB　　∴⊿DAC∽⊿CAB
∴AC2=AD?AB                              
(3)①CF+CE=DE   AC是∠DAB的平分线,且CD⊥AD、CF⊥AF,    则CF=CD  
而DC+CE=DE　　　故CF+CE=DE              
②∵DE是⊙O的切线　　∴ ∠BCE= ∠CAB
∠CEB公用　　∴⊿BCE∽⊿CAE
∴     ∴AE=15   AB=10　　  
即CA= BC　　则在Rt⊿ABC中,由CA2+BC2=AB2
解得　BC=5,  CA=5 ，故图中阴影部分的面积为  －
9－16、解 ∠FDM＝1800－∠CDE＝1200

（2）证明：
∵∠COM＝1800－∠COA＝1200
∴∠COM＝∠FDM
在Rt△CGM和Rt△EGM中
  ∵ 　　∴Rt△CGM≌Rt△EGM
∴∠GMC＝∠GME　　　又∠DMF＝∠GME　　
∴∠OMC＝∠DMF　　∴△FDM∽△COM
（3）解：结论仍成立。
∵∠FDM＝1800－∠CDE
∴∠CDE的度数＝ 弧CAE的度数＝ 的度数＝∠COA的度数
∴∠FDM＝1800－∠COA＝∠COM
       ∵AB为直径，CE⊥AB
∴在Rt△CGM和Rt△EGM中
∵
  ∴Rt△CGM≌Rt△EGM
  ∴∠GMC＝∠GME
  ∴△FDM∽△COM
9－17、1． 证明：（1）连结 。
∵ 。
∴ ,
,
∴ ，∴ ，
得 ，∴ 。
又AB为直径，∴ ,
∴ 。
（2）延长ED交⊙ 于点H，连结PE。
BO为切线，∴ 。
又∵BE＝BO，∴ 。而 ,∴ ∽ ,
∴ , ∴BE=BH,　　有 。
又由（1）知 ，∴ ，∴EF为⊙ 的切线。
（3）MN的长度不变。
过N作⊙ 的直径NK，连结MK。
则 ，且 ，又NK＝ ，
∴ ≌ ，∴MN＝ED。而 ， ，∴  ＝5，
∴ 。　AB=16，且OD＝ ，∴AD＝7，BD＝9。
，∴  。
故MN的长度不会发生变化，其长度为 。

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