淘宝商城女装旗袍:自然数原本《數 数 论》创新数学的研究 哥德巴赫猜想

自然数原本《數 数 论》创新数学的研究              薛 海 明                                                                           一 ： 数学研究中的困惑与思考“整数论”也称“数论”，它是研究存在于整数之间的联系和规律，并通过这种联系来研究数的性质的一门学科。在数论的发展史中，曾是数学家们热门的研究领域，并取得许多成果。在计算机普及的今天或数论研究中还存在着某些问题一直得不到圆满的解决，致使这门古老的数学分支，近几年几乎 在数学研究领域中未有较大的突破。 在数论研究中，由于像“哥德巴赫猜想”这些数学问题的研究 ，涉及到数论研究中的许多性质，而且有些性质我们并不了解，虽然哥德巴赫提出这一问题已将近二百七十 年的时间，但现在世界许多知名的数学家们，仍然未取得实质性研究结果。因“哥德巴赫猜想”这一问题的研究，它与“数论”中的许多性质有关，曾从上世纪到本世纪初期开始，一度成为数学研究中的重点课题。在2000年初，英美两刊物出资百万美元作为征解奖金也未能得到结果。在数学研究领域中，研究时间最长、参与人员最多，这是绝无仅有的社会现象。当一些研究“哥德巴赫猜想”的数学家们，经过不断地努力还看不到任何研究前景，也提不出新的思想或研究方法时，不得不放弃对它的探讨。所以，现在一旦有人提及与此有关的数论问题时唯恐避而不及，不再理睬。数学家们不仅放弃对此问题的研究，他们同时也苦口婆心地一再告知对此问题具有爱好的数学研究者们，没必要再为此把时间与精力浪费掉。但因“哥德巴赫猜想”这一难题与存在于自然数中的素数性质有着紧密关系，而素数又被人们看作是组成自然数的基本材料，由此看来，当数学家与数学爱好者都对此问题不再进行研究时，那么，像解决“哥德巴赫猜想”这样一些数学难题，则将永远成为数学研究中的一个迷，人们对组成自然数列中的素数这种“材料”的性质研究或认识，也同样永远成为数学研究领域中的一个盲区。如果我们在科学研究或生产活动中，对所应用的基本材料都不了解，会得到什幺样的研究结果是可想而知的。显然，关于对“数论”这一数学分支的研究，也将影响到它今后的正常发展。当现代人们在各个自然科学领域内不断地取得许多研究成果时，尤其是数字化快速发展的今天，我们把数学中存在的某些问题看为一个个高不可攀的山峰，或视为深不可测的深渊不再去讨论，对整数性质认识上的一些难题不去解决，这将成为时代发展与数学研究之间一种不协调的讽刺 。如果因噎废食，对影响数学领域中这样一个具体问题     素数“这种组成材料”的性质没有充分的认识，只能会成为数学今后的发展和研究史上的最大障碍。证明“ 哥德巴赫猜想”问题本身并不重要，重要的是对“素数”这种材料的了解。    大凡自然科学研究中，都与数学有关，一旦脱离数学的参与，即将失去 科学上的研究意义。这是因为数学表现出的规律与性质，实质上是反映着存在于空间事物的量化规律与性质。这是人类在对空间事物进行量化认识过程中就已存在的最基本性质所决定的。而在数论研究中，当我们不能真正或全面了解自然数的某些性质时，那么，同样在对自然科学研究中，也会遇到这样或那样的不解之迷。   二 ： 追踪“困惑”的产生根源       数学这门科学，虽说是一种抽象的科学，可以说在数学研究或应用中，它是失之毫厘差之千里的一门最精确的科学。在数学这一繁花似锦的园地中，任何人都可欣赏它的多姿多彩般的魅力，但任何人又都必须遵守它的客观规律和性质。数论作为研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，它容不得半点差错。在数学研究中，如果由于人为的一点错误或没有真正认识其性质而引起混乱时，即使河水很浅，也会觉得像深不见底的深渊一样，让人们望而生畏不敢涉及。在数学研究领域中，当人们对于整数中存在的某些性质缺乏深入地了解，总是以猜想、相似、逼近、近似、假设等这些不确定因素的概念进行定义时，这成为人们对数学产生深不可测的认识根源。然而首先使此河水变为浑浊的人不是别人，却是大名大鼎鼎的数学家毕达哥拉斯，他不仅是“数论”研究的创始人，也是对自然数进行分类的数学家。据说，早在公元前约 500 年以前的古希腊时代，数学家毕达哥拉斯就已根据 一些自然数所表现出的不同性质，把自然数分成三类，即第一类，自然数“ 1”，它不仅是自然数的一个基础数，而且它只有“1”这一个因子；第二类：一个自然数只有“1” 或它本身这两个因子能够被整除的数，叫做素数（也叫质数），如：2、3、5、7 、11 ... ；第三类数就是“合数”，也叫“复合数”，它可以被 1 和本身所整除外，还可以被其他数所整除，如：4、6、8、9 、12、15 等 ; 同时又把能够被“2”整除的数叫做“偶数”或“双数”， 如：2、4、6、8、10 、12 ... ，其余的数叫为“奇数 ”或“单数”，如：1、3、5、7、9 、 11、15 ... , 根据自然数的这些现象，把自然数按因子多少与其表现的性质分为三类，或把自然数分成奇数与偶数两类形式，从表面上看，这是一种既简单又合理的科学分类方法 。这种分类方法，在算术中有着非常特殊的性质，其应用是无法替代的。因此，几千年来我们一直沿用至今。由于计算上的需要和不可替代的作用，从古至今，也没有一个数学家对自然数表现出的这些性质再去进行过更深入的研究或探讨。因为在毕达哥拉斯时代，曾有人们把他的数学观点视为神圣不可侵犯的数学理论，直到今天也未有任何人能够对他的数学理论提出任何异议 。正是由于这种原因，当我们今天在对自然数的性质研究过程中，遇到难以解决的疑难问题时，我们不得不进行反思，重新从自然数的产生及发展过程中，来了解人们在对空间事物进行计数行为时，是否存在因人为因素对自然数本身的性质、规律所造成的“不良影响”。当人类对空间事物有了“量”的意识时，这是人类从蒙昧时期进入文明社会的标志。在人类经过数千年或上万年的发展历史中，从结绳记事到通过“數数计数”这种最基本的‘数学’形式产生自然数后，可以说，“数数”是数学这门科学形成的“鼻祖”。虽然这种计数方法最初也只能是对空间事物的数量进行加法与减法的初级计算行为，但这却是人类对空间事物进行计数时的最基本性质和方法。显然，所有计算方法和所有高深的数学知识，都是在这种基础上发展起来的。因为在结绳计事这种计数方法中，它是通过对空间事物在一一对应关系中产生的，在这种自然形成的对应关系中，它只能够表现出加法与减法这种数学计算形式。 当人类经过漫长的生产活动过程后，才有可能发现运用乘法与除法这种二级计算方法，可以减少计算时的过程。这就很容易发展为最初的四则算术运算的规律。并总结出运用“乘法口诀表”这种简单的计算方法，在对空间事物“量”的进行计算时且省事实用，这种对于用自然数进行四则计算的发展过程，虽然由于历史悠久难以进行考证，但这并不影响人类利用自然数作为计数或计算工具的性质。但是，在算术的四则计算方法中，显然乘法与除法是在人为因素的参与下，所发现 的一种间接计算方法。当数学家毕达哥拉斯在对自然数四则运算方法进行研究时发现，在运用第二级算术方法进行计算时，某些自然数之间存在着一些共同的性质，并把它们分为以上三类性质和两种形式。但在这种分类过程中，毕达哥拉斯实质上仅仅是对第二级算术运算方法中，自然数所表现出的这些表面性质进行了分类，而他却对在第二级算术运算过程中，自然数为什么会表现出这些不同的性质，却没有进行更深入地研究 。毕达哥拉斯在未了解自然数为什么会存在这种性质的前提下进行分类，人为地直接建立在乘法或除法这种运算基础上，而乘与除这两种计算方法，又源于人类在计数过程的一种简化形式，因此，在这种基础上作为分类方法，实质上同样是一种间接的分类方法，其本质上也同样存在着很大的人为因素。不能从自然数产生时的唯一途径“數数计数”这种最本质上认识算术或计算方法之间的规律及性质，显然这并不是一种科学的研究方法。当数学家毕达哥拉斯仅凭自然数列中的表面现象的人为分类方法后，他再也没有对自然数表现出的这些性质进行深入地研究。如果我们问：（1）在自然数列中为什幺有一些整数会表现出不同性质以及规律？（2）这些不同性质或规律真的是从第二级算术运算方法中产生的吗？当我们真正要同时回答这两个问题时，恐怕很难得到正确的答案。从乘法与除法这种间接计算方法，再到毕达哥拉斯的间接分类方法，这是导致我们对数学产生神秘感的最主要原因 。由于这种小小的失误，也是我们没有完全揭开自然数神秘面纱的基本原因。可以说：由于人为因素总结出的乘法、除法这种间接计算方法，以及毕达哥拉斯的间接分类方法，是造成数学研究中所有“困惑”产生的总源头！ 三 ： 第二次“困惑”的产生形式及其对数学研究的影响 人们在自然数列中看到，所定义的“合数”与“素数”，这些数在自然数列中分布的方式并没有具体的规律，因此，要从自然数列中把素数能够很方便地找出来，或者对合数进行分解，只能根据对自然数分类时因子多少的基本性质，通过除法对它们一个一个地进行运算加以识别。为了减少运算过程，随之便产生了一种简便的方法，这就是“埃氏筛法”。这种方法传说是生活在公元前二百五十年左右，著名的古希腊数学家、天文学家埃拉多斯染尼（又译为：埃拉托色奈斯）所创立的一种在自然数列内寻找素数时的一种方法，简称“埃氏筛法”或称“ 古典筛法” 。这种方法既是建立在毕达哥拉斯对自然数性质分类基础上，也是建立在乘法与除法运算时，‘因倍’关系这种基础之上的。作为筛选素数的基本方法， 其筛法的大体步骤是：对从 1 到n进行筛选：先找出不超过的全部素数，依次排列如下：2 = p1 < p 2 < ... < p r ≤ . 然后把大于1 ，而不超过 n 的自然数，按n大小顺序排列如下：2，3，4 ... ，n. 在其中留下 P1 = 2, 而把 P1 的‘倍数’全部划掉，再留下 P2 ，而把 P2 的‘倍数’都划掉，继续这一手续，最后留下 Pr ，而把 Pr 的‘倍数’都划掉，留下的就是不超过 n 的全体素数了。    从 《数论导引》中可了解到：“现在所做出之素数表，无一不由此法略加变化而得者”（《数论导引》4页）。可见今天所能够做出的素数表，都是建立在乘法与除法这种运算基础之上的，除此别无他法。在对“哥德巴赫猜想”的研究过程中，一些数学家们曾创作了多种不同“筛法”，例如 “布郎筛法”、“加权形式的西尔贝格筛法”、其它形式的“加权筛法”等不同筛法，这些筛法虽具有一定的理论价值，但万变不离其宗，都是在乘法、除法这种第二级算术运算方法中，根据它们之间存在的因倍关系这种基础上建立起来的。这些方法都未有涉及到自然数的本质，在这些寻找素数的所有“筛法”中，我们很容易了解到，这些筛法与产生自然数的基本规律“數数计数”这种形式没有任何关系。所谓“埃氏筛法”从自然数的分类到筛选素数的方法，虽然我们已经应用了数千年的历史，但却没有一个数学家对自然数所表现出的这些性质或方法去做更深刻的研究。当我们提出在自然数列内进行筛选素数方法中，是根据自然数本身的什么性质或规律为理论基础时，没有一个数学家能够做出正确的回答。对于这样的问题，最多也只能认为是在根据毕达哥拉斯对自然数分类基础上进行的。当通过对各种数学资料进行查找，是不会找到这方面的任何记载或研究中的信息。就是数论研究中有关素数分布个数定理，在华罗庚先生的《数论导引》中也只能看到在不同自然数列范围内，关于素数分布个数的研究时指出：“其中之推测及定理，类多先由经验得来”（《数论导引》87页），这种人为因素的结果。显然在这种“推测”、“经验”所得出的所谓“定理”，很难让人信服这样的“定理”就是素数分布个数的规律。“关于寻求素数定理之‘初等证明’，乃素数论中历时很久的难题之一”（《数论导引》234页），由于“素数”这种“数学材料”在数学研究中占有重要的地位，所以，对“素数”的基本性质没有得到真正认识时，在数学研究中的“困惑”也是层出不穷。甚至我们对这些不同的“困惑”产生，说不明它的具体原因。   四 ：整数分解中的“困惑” 在自然数列中，“是否存在素数判别的多项式算法？” 这应该说是继以上问题所产生的第三个“困惑”。   德国大数学家高斯在他的《算术探讨》中说：“把素数同合数鉴别开来及将合数分解成素因子乘积被认作算术中最重要最有用的问题之一”，在计算机出现以前，虽然也有许多素数判别方法，如试除法、短除法、辗转相除法、数码特征判别法，但因为用手工计算，即是对于一个十几位的数进行运算也需要好几天的时间。对于较大的整数显得更加无能为力了。在计算机科学发展的今天，对于素数的判别和大数的分解，已成为计算数论中的重要组成部分。近几十年，数论学家和计算机专家们对计算数论取得了许多新的方法，在较好的计算机上判别一个一百位的数是否素数，在不到一分钟的时间内也可以完成。 从已知的所有素数分布情况中可以看出，不论是素数还是合数，找不到任何一种分布规律。“是否存在素数判别的多项式算法？”，这已成为一个没有解决的公开问题。在这方面，吸引了古今中外的许多数学家对它的研究。在高斯时代基本上确认了简单的素数公式是不存在的。在计算机判别素数方法中，也基本上是用试除法进行的。在判别的数不大于16 位数时，（因一般计算机存放空间有限）是没有问题的。但对于70 位的数作素数判别就无能为力了。因此，数学家威廉斯在1978 年发表的文章中说：“我们认为，沿着这个方向的工作，我们已经做了尽可能的推广，要取得素数判别的更进一步的结果，或许应该朝其它发现上努力。”从努卡斯到威廉斯他们探索素数判别方法这一百多年中，虽经过许多数学家的努力使这种方法得到不断的改进，最后却由威廉斯宣告此路已走对尽头，并指出数学家们应该进一步研究新的素数判别方法。1983 年，由艾德利曼和鲁梅利提出一个近似多项式算法的新方法，这种方法在实际运用中，对1000 位以下的数而言是有效的。对于这一方法的研究，它将涉及到代数数论、乘法数论及多项式理论等多方面的专门知识。虽然这种方法对较大的数进行素数判别有效，但由于这种方法较为复杂，若对20 50 位以下的数进行判别并不合算。同时对一些特殊的数作素数判别时，并不比其它关于特殊素数判别方法（如用勒默的方法）方便。因此，在以上介绍的这些方法中，总是各有利弊，它们只能分别适用于适当的数与计算机的性能等具体情况来作素数判别。在孙琦、旷京华编着的《素数判定与大数分解》一书中，还可以了解到波门论斯的一个表，从该表中可以看到这些不同素数判定时的有关效果。              在以上这些素数判别方法中，除试除法可同时对合数因子分解外，用其它方法作为素数判定时，很难同时了解到这些大合数中，所含素数因子的结合情况。因此，在大数分解方法中，同样存在着难以克服的困难。在整数的分解中，这些“困惑”一直影响着“数论”这一数学分支的发展。可以说，这是第三次让我们对自然数的性质、规律产生“深奥感觉”认识的根源与结果。由于在专门研究自然数性质的“数论”中， 我们最多也只能了解到通过“數数”过程产生自然数的这种唯一方法，以及对自然数数码进行定义时的最初形式，但对自然数本身与“數数”之间所存在的那些最本质的性质与联系规律，却无法了解。对于我们一般不是研究数学的人来说，不仅仅感到数论知识是一种深奥的数学分支，同时也是一种非常枯燥乏味的学科。当我们对一个大数进行分解时，如果用试除法一一进行运算时，感到更是如此。    而在《數数论 》的讨论中，却让我们明显地了解到“數数”计数这种方法与自然数之间的许多性质与规律，两者之间不仅存在着不可分割的复杂关系，同时对素数的判别也有着特殊的用途。    五 ： “困惑”源头是产生“新困惑”的根源   1742年６月７日，普鲁士（今德国）驻俄罗斯公使哥德巴赫，给当时驻在俄国彼得堡的一位好友瑞士大数学家伦哈特·欧拉的通信中，提出了两个推测：（A） 每一个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和（即偶数 = p1 +p2 p 表素数 简称‘1 + 1’）   例如： 6 = 3 +3    8 = 5 + 3    10＝７＋３ １２＝５＋７１４＝３＋１１ …（B）：每一个不小于９的奇数都是三个奇素数之和 （即奇数＝ p1 ＋ p2 ＋ p3 ）    例如：９＝３＋３＋３ １１＝３＋３＋５ ２７＝３＋１１＋１３ …他在信中说：“我这个论断是不是永远正确？如果是正确的，希望你替我证明它。如果不对，希望你举出一个例子来”。同年６月３０日欧拉在复信中写到：“任何大于６的偶数都是两个奇素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑地认为这是完全正确的定理”。这就是所说的哥德巴赫猜想。一般也把命题Ａ称为偶数哥德巴赫猜想，把命题Ｂ称为奇数哥德巴赫猜想。    显然，命题Ｂ与命题Ａ是有联系的，即命题Ｂ 是命题Ａ 的直接推论，也就是说，只要命题Ａ 正确，就能推断出命题Ｂ 的正确。      这是因为，若命题Ａ 正确，设整数Ｎ≥９（Ｎ 是奇数）则                  Ｎ－３＝６              而且 Ｎ－３ 是偶数       由命题Ａ 可知，必有两个奇数Ｐ１和Ｐ２，使得                 Ｎ－３＝Ｐ１＋Ｐ２                 Ｎ＝３＋Ｐ１＋Ｐ２       因此，命题 Ｂ 也成立·这就是说，哥德巴赫猜想的本质是命题Ａ，因此，解决这一问题的关键就是在证明偶数哥德巴赫猜想。现在说到哥德巴赫猜想时，总是只指关于偶数哥德巴赫猜想。在对这一问题研究中，也把这样的偶数称为哥德巴赫数。由于这一问题叙述简明，论证艰深，因此吸引了世界上许多数学家的兴趣。在哥德巴赫猜想问题研究中，从１７４２年的１９世纪结束时这１６０多年里，并没有得到任何实质性的结果和提出有效的研究方法。虽然有人曾对这样的偶数进行了验证工作，结果验算到三千三百万以内的所有偶数，都表明这一论断是对的。在自然数中，偶数有无穷多个，对于那些更大更大的偶数，是不是也同样符合这一猜想？这是不可能都一一验证下去的，只有在科学的证明基础上，这一猜想才能够成立。    哥德巴赫猜想这一问题，虽经过近２７０年的研究历史，但现在仍然不能去证明它。这时甚至让数学家们也放弃对该问题的研究，同时不断告诫人们：不要再为研究哥德巴赫猜想这一问题付出不必要的时间和精力。甚至有些数学家认为，如果在不了解高深的数论知识时，来证明哥德巴赫猜想，可以比作是骑着自行车上月亮上一样，是不可能办到的事。从哥德巴赫猜想提出的270 年的历史中，这一问题一直困惑着人们。这让我们第四次对自然数的性质、规律产生新的“困惑”。与此同时还有孪生素数对、2 P素数对等许多与素数性质、分布规律有关的素数问题，至今人们都很难以得到一个好的解决方法。    当从“困惑的源头”产生的根源谈起，到“新困惑”的继续产生，历时两千五百多年的历史中看出，由于毕达哥拉斯在对自然数的分类中，仅仅是对具有不同性质的整数进行了一次“名词概念”上的定义，但对于这些不同整数的性质来说，他没有做出任何性质的研究。由于素数在自然数中的特殊性质，所有“困惑”的产生都与其有关。素数作为组成自然数的一种“基本材料”，但是在数论研究中，我们总是直接对“困惑”难题本身的性质，不遗余力地去证明，去推理，去研究，而对素数本身的性质，产生的原因则不去进行追根问底地探讨，这不能不说我们在不自不觉中犯了一次研究方法上的错误。在数学研究中，如果我们仍然沿着这种方法走下去，那幺还将产生新的“困惑”难题，还会让我们继续跋涉在艰难困苦的道路上。不论在数学研究领域还是在自然科学研究理论中，都将产生无法估计的损失和难以克服的困难。   六 ： “困惑”根源对数学研究领域的影响     从數数计数这种初级数学运算形式，当发展为第二级算术运算方法后，自然数为什么会产生如此多的一些不同性质，从毕达哥拉斯对自然数进行分类后的两千五百多年历史中，直到现在人们也没有对这种现象进行过更深入地探讨。由于第二级算术运算方法，它仍然是源于數数计数过程中的一种简化形式。因此，当我们对自然数本身性质与规律的研究中，未对“數数计数”这种最基本的计数规律与性质进行深入地研究时，却对第二级算术运算方法中所产生出来的那些具有不同性质的自然数，如：合数、素数、因子等它们之间的关系，直接作为研究对象时，实质上已经成为对自然数进行间接的一种研究方法。这种间接研究方法，对数学的认识或发展所产生的不利因素，是各种“困惑”产生的根源，这使人类对数学的研究走上一个艰难坎坷的探索道路。在人类同数学打交道的两千五百多年的漫长历史中，这种困惑产生的源头，又为后面对数学的研究，带来了新的及不同形式的连锁“困惑”的产生。 在毕达哥拉斯这种间接分类的基础上，人们对自然数的应用与研究虽经过两千五百多年的历史，但对这种间接分类现象并未引起重视，从来没有人去进行过追根问底地深入探讨。因此，对于自然数与數数之间存在的有那些不可分割的复杂关系的认识与了解，成为数学研究领域中的一大空白。当发现在自然数中，对某些数所存在着的不同性质与规律不能够做出圆满解释时，却被变成今天数学研究领域中的难题。例如在数学家华罗庚先生所著的《数论导引》这一著作中，作为“数论”研究的专著，第一页从第一章第一节开始，直接就进入到对“整数之分解”的讨论。在数学研究领域中，脱离了对 “數数计数”这种最基本的数学形式的认识，并把“數数计数”从数学研究领域中游离出来后，从第二级算术这种间接基础上研究数学的性质，对于研究中的某些难题得不到解决，也就不足为奇了。 现代在对自然科学的研究领域中 ，越来越趋于对其微观世界进行深层次的探讨，而所取得的成就也越来越显得十分突出或重要。但在数学研究中，正好缺少的就是对数学研究中类似“微观世界”的了解。根据毕达哥拉斯对自然数的表面现象与性质，作为对自然数的间接分类方法， 这种人为的分类方法，不能不使我们怀疑它的 合理性。因为我们无法了解自然数为什么会存在着以上性质的真正原因。在对自然数本身表现出的基本性质与规律还没有完全了解时进行分类，一开始就让人们在算术运算时，对某些性质进入到一个知其然而不知其所以然的认识中。分布在自然数列中的各个 整数存在的性质，它们所含的因子有多有少、有大有小，而且这些自然数的大小与因子的个数多少并无关系，例如：210 = 2×3×5×7 133 = 7×19 385 = 5×7×11 415 = 5×83 各个自然数中所含的这些因子，又表明它们与自然数数列之间存在着什么样的关系呢？在素数中，为什么唯有“2”这样一个偶数呢？为什幺找不到素数的分布规律？诸如这样的许多问题，我们从未有去进行过更深入地探讨 。自然数虽是一种抽象的数学运算符号，但它的产生却原于对空间事物所存在的具体形式， 通过“數数”计数这种基础方法所产生的。可以说，“數数”计数过程是客观事物与自然数这种抽象符号连接与对应的唯一途径。我们对类似“數数”计数这样简单的方法与以上因子的性质没有进行了解之前，而以人为的方法，仅仅根据自然数在算术的第二级运算法则中所表现出来的不同性质，或一个数所含因子个数的多少对它们进行分类，看似虽然这是科学的，但我们却难以了解在分类过程中，这些自然数为什么会出现不同因子个数的基本原因。以上出现的这些问题，看似虽然十分简单，它们却预示着在数学中存在着某些 “微观规律或现象”，而我们现在还并非真正认识或了解到它的存在。    在对自然数性质的研究过程中，对自然数本身所表现出来的一些性质，应该多问几个为什么。自然数中所含因子的不规则出现，素数在自然数列中无规律的分布形式，它们与“數数”计数形式之间是否有某种联系，所有这些，我们都无法给出正确的答案。在数学中对这样的“微观数学世界”进行研究 ，有必要对它进行一次追根问底的探讨。从人类对空间事物“量”的认识与数字符号的产生到它的应用，以及对数学这门学科的研究，虽已经过数千年或上万年的漫长历史，但我们人类总是囿于已有的数学知识，却看不到数学中这种“微观形式”的存在。当小学生最初学习加法、减法时，他们都要通过數自己的手指或其它物品为参照物的一种对应形式，然后作为进行计数时的主要方法。然而，当我们一旦有了一定的数学知识后，从来未有把 “數数”计数这样的“微观形式”看做是数学的一部分。数学家们在数学的研究中，几乎更不认为“數数与计数”这样的简单形式就是数学，然而在现实生活中，数学家又与不会数学知识的普通人一样，在购物过程中进行清点钱币与商品数量时，都同样是在应用“數数”这一最基本的计数方法，首先作为一种数学形式被应用着。重新认识创新数学《 數数论 》中的数学规律与性质，它将是数学研究领域中 一种重要的“微观数学”模型。不仅数论研究中的许多性质或规律都与它有关，并且对一些新发现的性质或规律，将会给我们带来出人意料地惊喜，甚至为这些妙不可言的性质与规律的存在，会让我们达到拍案叫绝的惊人地步。同时，其中某些规律的发现将会成为创新科学发展中的重要工具。   七 ： 我们今天对数学的性质知多少     当现代数字化高科技快速发展的今天，在数学研究领域中，依然对“数数计数”这种最基本的数学形式没有引起我们的注意，甚至从来没有认为这种简单的“数数”方法，它是一种数学形式。这种现象的存在，是我们一直对数学这种抽象科学感到困惑的原因。这种“困惑”的存在，不但影响着对数学研究的发展和对数学的深入了解与认识，同时也使一些人们在心理上不仅把数学视为是一种深奥的学科，同时又把它看做是一种枯燥无味的学科。当人们掌握了一些实用数学知识后，除数学家与数学爱好者外，大部分人们不再对数学研究引起关注或对数学存在着不感兴趣的心理。这种现象，不但表现在社会环境人群中，即是在学校环境中也同样可以看到这种现象。这是一种社会现象。这里不是说要让我们都来关心或学习数学、研究数学，而这种现象起码可以表明在科学研究领域内，会造成科学人才的缺乏，或影响人们对科学素质的提高。数学研究分为两大部分，即应用数学和纯粹数学。在纯数学这部分里，主要讨论数的性质的一门学科，这就是数论。我们在今天的科学研究领域内或是在日常生活中，对数学的认识或应用，大部分都是应用数学知识，而对数论知识的了解却甚少。即是在数论研究中，基本都是讨论整数的整除性问题，以及由此所产生的解析数论，代数数论，几何数论等问题。数学作为研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，早在人类文化的初期开始，在数学研究领域中，就已积累了一些数学知识，到十六世纪时，包括算术、初等代数、初等几何和三角的初等数学已大体上完备了由于生产力的不断发展，在推动自然科学发展的同时，人们获得了变量的概念，这是数学发展上的一个转折点，数学不仅研究不变量和个别图形，而且开始研究变化中的量与量之间的互相制约的关系和图形间的相互变换，从而使运动和辩证法进入了数学。随着生产力的不断发展，数学研究的范围也在不断地扩大。因此，数学广泛地被应用到自然科学和技术的各个部门，由于计算技术的不断发展，在现代数学研究中，习惯上把数学分为数理逻辑、数论、代数学、几何学、拓补学、函数论、泛函分析、微分方程、概率论、数理统计和计算数学等分支，同时也产生了一些边缘性学科，如运筹学、控制论等大量的数学理论。在纯数学研究中，从数的本质开始，一直到群论、超越数、超复数、连续统等等许多高深的数学理论，但从这些数学理论中，却找不到《数数论》     创新数学理论中的任何一种方法。            在创新数学《数数论》里，讨论的是自然数自身所存在的“数”与 数之间、数与数之间各种关系的一种理论。这种新理论的创建，将让我们重新认识自然数的性质、规律、数与数之间的关系、数与数之间的关系，自然数列中不同整数性质产生原因等，所有这些讨论和发现的具体规律，都基本上是我们从未认识的。人们在数学研究中所遇到的困惑，总是想方设法地渴望着得到解决方法。然而，由于我们对这些新发现的性质并不了解，这不能不说是在数学研究中产生“困惑”的重要因素。在数学研究领域中，不同的数学分支研究理论，无一不对自然科学的研究起着重要的作用。然而各种数学分支又无一不与自然整数发生关系，可以看出，当对自然数这一基础数学知识的认识，我们如果不能全面地进行了解时，对于其它数学分支所产生的不良影响或发展，是很难预料或想象的。尽管这种影响并不会都 像哥德巴赫猜想那种“困惑”表现的明显，但很可能当我们如果进行追根问底地不断提出为什幺时，对于某些问题来说，也很可能不会得到圆满的答案。因为我们对产生各种数学理论知识的基本要素自然数本身的性质，并没有得到全面的了解。而对组成自然数的基本材料“素数”更是显得如此。    以上所有这些数学研究中，不论是所取得的研究成果，还是存在的未解之谜的“困惑”，虽然得不到全面的了解，但是也略见一斑，这大概就是今天人们对数学了解的情况吧。八 ： 创新数学 《数数论》的研究《數数论》，是一个不同寻常的数学模型。在研究“數数计数”与自然数数列之间所存在的规律与性质时，则是根据这种数学模型进行的。在数学研究中，这种创新数学的研究方法，为填补数学研究中的空白与数论的发展，今后将会起到不可估量的作用。作者在经过数十年对自然数的性质、规律进行不断地探讨中认识到，对解决类似哥德巴赫猜想这些数学难题中所涉及到的素数之间的问题，关于不同性质的自然数之间所存在的各种关系，除重新认识和了解这种创新数学中所发现的性质与规律外，别无他法。  《数数论》是研究存在于自然数列中，对具有不同性质整数的一种创新数学研究方法。在讨论中，根据“筛法表”这样一个特殊的数学模型，对存在于自然数列中的素数、合数、因子的结合与分布、整数商的表现形式、积数与因子的关系、余数的性质（不全同于‘同余性质’、‘模数性质’）、素数与偶数的关系、素数与合数等这些数之间的不同规律。在所有讨论过程中，都是以“数数计数”这一最基本的数学方法为基础的。通过这些讨论所取得的每个结果，都会让我们认识到“数数计数”这一数学方法，对数学研究所起的作用。在四则算术运算法则中，除加法和减法这两种初级计算方法，可以用数数计数这种方法直接进行计算外，在乘法和除法第二级计算方法中，如果我们不是通过应用“乘法口诀”这种方法去进行计算，恐怕就很难快速地得到计算结果。假设我们同样不用“乘法口诀”要把自然数列某范围内的素数全部找出来，这可能让我们也是很难办到的。然而在《数数论》中，如作为一种专门筛选素数方法来说，我们完全不必考虑“三七二十一”这种“乘法口诀”的存在与否，也不必考虑乘法、除法之间的因倍关系的性质，根据数数计数和加法这种产生自然数的最基本方式，不仅可以非常快速地把素数筛选出来，同时还将使我们了解到更多的未知规律。作者正是在用这种方法把 1000 以内自然数中的全部素数筛选出来后，当与一本数学读物中的“千以内素数表”进行对照比较时，却发现该书原表中印错四处。正是由于这种偶然的发现原因或所产生的吸引力，才使得作者对这种规律进行了数十年时间的长期探讨和研究。而每发现一种规律的存在，都要对它的形成原因去不断地提出为什幺，一直得到对它形成的原因、规律、性质的全面了解为止。                                                   由于“數数计数”本身这种形式，不仅是一种计数行为，同时也是在对空间事物进行有序的一种排列形式。因此，在对“數数计数”讨论中所表现出的许多我们不曾了解的有序规律，很可能在空间事物中，也存在着我们未曾认识的相似的 规律，所以当我们在对自然科学的研究中，对空间事物与“數数计数 ”之间是否能够建立相对应的规律，这将是科学研究 领域中的一种重大突破 ，因为这将于示着在许多科学研究中，不仅是一种定量化的一种形式，也是 具有系统规律的一种研究方法。科学家钱学森曾经想建立起一套“系统理论”，如果当我们在根据“數数论”中所表现出的许多不同系统规律，形成一种新的科学研究方法后，这无疑是科学研究领域中的一种划时代的革命。由于在《數数论》的讨论中，可以从中了解到各个不同素数因子的结合规律和它的不同分布周期的形式，这为我们对许多自然规律的研究提供了数学的表达依据。例如生物的生物钟节律，天文学中的星体在宇宙中运转周期，这些一切具有周期活动的自然规律，都很有可以从中寻找出不同因子的结合与它们的分布形式，作为研究中的数学依据。人们根据自然界的生物结构与生活习性，它们表现出的各种现象，以自然为师，成功地建立了仿生学原理，创造出不同形式的仿生机械。当通过自然数表现出的各种规律与性质后，也有可能将建立起一个新的系统数学原理，以及密码学、程序设计等学科模型。在《数数论》中，通过对素数的筛选，素因子的分布、数与数之间的关系，数与数之间的关系等许多被发现的规律进行了探讨。因此，在《数数论》中表现出的所有规律，既是对它们的发现过程，也是对它们讨论的过程。可以说，对于每一种规律的产生或了解，都能让我们不仅知其然，也让我们知其所以然形成的真正原因。在这种不断地探讨、总结、反思、比较、实验、检查的研究或思索中，对数学研究中所产生的某些“困惑”原因，当追根溯源时，不得不上溯到两千五百多年前的古希腊时代。由于毕达哥拉斯对自然数进行分类时，对自然数列中的素数、合数、素数因子等这些整数的基本性质，没有去深入地研究，仅凭它们的表现出来的一些表面现象做出的分类，致使这种原因造成的“困惑”一直影响着我们对数学本身性质的了解 。对于毕达哥拉斯根据自然数的不同性质的分类形式，在前面已经了解到，这种间接的分类方法是产生各种“困惑”的总源头。在数学研究中，毕达哥拉斯的这种分类方法，当经历了两千五百多年的漫长时间的应用时，人们并未有对它产生任何怀疑或提出异议。但在《数数论》的研究中却发现，其中有许多新发现的规律，都与数学中存在的这些“困惑”及疑难问题有关。这是“数数计数”表现出的本质所决定的。作者在对《数数论》中发现的规律进行不断深入地探讨时，越发现这些规律，与数学研究中的基本性质有着密不可分的关系。当漫步在这一处女地时，对于一些规律的发现，可以说是有左右逢源之势，那些不曾了解的规律俯仰皆是。如果认为对数学的研究，是一种枯燥无味的学科，在这里却像走进一座梦幻世界一般诱人，每发现一个新的规律，都让人感到是一种惊喜。当对这些规律连续不断地被发现、被证实，并经过实际操作进行检验无误时，不能不让我们为自然数表现出的这些神奇性质的绝妙程度感到惊讶！作者当时曾感慨地写出以下楹联：         运筹帷幄 ，公理 ，公式 ，定理 ，规律 ， 纸上描绘 + — × ÷ 最新蓝图          洞察宇宙 ，星系 ，星球 ，生命 ，物质 ， 笔下推出 A B C D 尽在其中 横批： 数列上帝以上楹联虽聊博大雅一笑，但所发现的这些规律，确确实实能让我们体会到自然数列中所表现出的规律、性质，作为与空间事物唯一能够形成对应关系的数学这门科学中的魅力。同时也将让我们感到人类对自然科学的研究，用“数学”这一抽象的符号形式作为研究工具，这是人类发展史上最伟大最成功的创举！    九 《數数论》触动了数学“大厦”的根基由于《數数论》的创作，虽然从表面看是最基本不过的一种平常清点空间事物数目的一种方法，但却涉及到两千五百多年前的数学发展史。前面虽然没有对大名鼎鼎数学家毕达哥拉斯在对自然数所分类别提出异议，但却明显地指出他这种分类方法中存在着人为因素所带来的后果。因此，这种间接分类方法不仅是对“埃氏筛法”的创建，还是数学研究中在后面所产生的连锁“困惑”根源，却都是在这种间接分类基础上形成的。因此，在数论研究中，人们不但不得不直接从整数的整除性开始进行研究，而且还要对整数中表现出的一些性质必须得到数学上的证明。因为只有这样，人们才有可能够认识这些性质或规律存在的原因。可见从毕达哥拉斯对‘数论’的创建，到今天对‘数论’的研究，在这漫长悠久的历史中，有多少数学家为之付出了多少心血，这是无法统计的。但现在我们要真正去了解这些性质和规律存在的“所以然”时，恐怕从这些证明中，也还是很难得到最终圆满的解释结果。在前面文章的讨论时已经提到华罗庚先生在他的《数学的用场与发展》著作中说：“…数起源于數…所以‘数’是各种各样不同量的共性，必须通过它才能比较量的多寡，才能说明量的变化”，这里从另一个侧面告诉我们，“數”才是自然数的根基。显然，对于“數”的认识，不仅同样重要，而且对“數数计数”的研究更显得重要。从自然数的产生中可以看出，在数学研究中，一旦对某些性质进行追根问底的时候，很容易触动数学这座“大厦”根基的动摇。《數数论》中，对于“數数计数“这一不起眼规律的发现，将是引起数学研究领域的一次“地震”！在人类对自然科学的认识过程中，人们曾一度认为上帝创造了人类。并认为太阳是从东方升起落到西方，它是围绕地球转动的。人们被托勒玫的“地心说”这一理论长期地统治着对天文学的认识，直到哥白尼在《天体运行论》中提出了“日心说”时，人们才对天文学有了新的认识。而哥白尼的《天体运行论》的发表，并不是一帆风顺的，它不仅被列为禁书，就是支持这一理论的科学家布鲁诺也被宗教裁判所烧死在罗马，伽利略则遭到教会的终身监禁。这里不难看出，在人类意识形态长期受原有理论占领时，一种新理论的建立并不会一下得到认可，尤其是容易引起对原有理论产生新的认识时，更是如此。好在现在并不是哥白尼所处的时代，在信息技术发达地今天，真正的理论基础是最容易传播的，当对“數数论”中的规律了解后，人们是会做出正确判断的。《數数论》中所发现的每条规律，作者尽量做了详细地讨论，并采用了图表作为实验形式，虽然并不能保证完美无缺，但每条规律就明显地摆在那里，自然数列中所表现出的这些规律，不能不让人们感到它们的魅力。因此，这些规律并不像用抽象的数学语言证明出来那样难看。由于數数计数本身这种形式就是老幼皆会的基本计数方法，所以一般对数学爱好的每个中学文化程度的同学，从头开始进行阅读（因为其中有些概念是根据实际情况进行创新定义的）时，我相信是都能够看懂的。 十《數数论》的“微观效应”前面，把《數数论》比为“微观数学”的一种研究方法。为了说明这一问题，这里不妨先看看“微观” 这一概念指的是什么。“微观”概念是一个属性词。1指深入到分子、原子、电子等构造领域的微观世界；2指部分或较小范围的领域。在科学研究中，有许多科学分支都与研究物质世界的微观现象有关。如：数学中的“微积分”（微分和积分的合称），微分描述物体运动的局部性质，积分描述物体运动的整体性质；化学中的“微量元素”，如生物体正常生理活动所必需但需求量很少的元素，如：硼、砷、錳、铜、钴 … 等；医学中的“微循环”是指微动脉与微静脉间的血液循环。微生物则是指形体微小、构造简单的生物的统称。微生物 绝大部分个体在显微镜下才能看到，如广泛分布在自然界的细菌、立克次体、支原体衣原体病毒、原生动物等。细菌是存在于地球上任何一个角落的微生物，在人类未出现之前它们就已经大量繁殖起来了。人类生活的空间全部被这些微生物包围着。但是直到显微镜的发明后，人们才对它有了较多的认识。在科学研究活动中，显微镜和显微技术成为一种非常重要的工具或研究方法。除此之外，也把分子、原子、电子、夸克等极微小物质的领域称为“微观世界”。把以单个经济单位、个别商品作为研究对象的“微观经济学”。在电子学方面还有“微波”和利用微波加热制造的“微波炉”吹具。但在数论研究中是不存在这些“微观”理论的。可以看出，即是在数学中所存在的“微积分”这种理论，也是应用数学去研究空间事物的一种数学理论。我们从来就不会认为在数学自身中也会存在着有“微观现象”。人们的这种意识，也很难说不是造成在数学研究中，当遇到疑难问题时，不去进行追根溯源地保持着固有的思维。这种被僵化了的思维习惯，或许也可能是受历史上已被那些大数学家们证明了的定理的影响，一般不敢贸然地去进行打破砂锅问到底的不断地提出为什么，这也很难说不存在着这种思维因素。总之，在近几个世纪以来，在数论研究中再没有较大的突破性研究结果出现。提出来的除了“假设”，就是“猜想”，要不然就是“几乎”或“近似”这些模棱两可的问题。更直截了当地结论就是“现在还不是研究这类问题的时候”，但这一结论却是最正确的。《數数论》作为一种“微观数学”则是讨论作为构成自然数的材料 ——“素数”在自然数列中的分布规律；关于“素数因子”（简称：素因子、质因子）与偶数之间的关系；素因子在自然数列中的各种表现形式；两个素因子结合时，它们之间的性质是否相同，如：7×5与5×7 等许许多多的合数7×13 =91; 7×19 = 133; 5×11 = 55; 5×17 = 85; …；5×13 = 65;   7×11 = 77; 5×13 = 65; …；类似这些素因子与它们乘积之间的关系，其性质与规律有那些是相同的，有那些是不同的；再例如：一个偶数 30 = 2×3×5; 30 = 15＋15; 30 =（3×5）＋（3×5）；30 = 5＋（5×5）； 30 = 13＋17; 30 =17＋13; …；可以看出，一个偶数可用几个不同的表达式进行表示。这些表达式中的因子，究竟在与用两个素数进行表示时，互相之间又存在着什么关系，如果不是在《數数论》这种特殊模型的研究中，很难让我们去判别的。《數数论》的研究中，它对算术中的整除运算性质，同样做了详细的讨论。如整除中的商数性质、余数性质，以及这些数同因子的关系，同积数之间的关系等不同规律。在合数中，有关素因子个数多少的问题；素数平方数与素因子同它们在數数规律中的表现方式；素数与數数之间所存在的规律等。在《數数论》里所讨论的以上这些具体性质与规律，用数学语言是很难证明出来的，尤其是那些还未有被人们发现或认识到的那些规律，在应用现在其它任何一种数学方法都是难以办到的。而当我们研究自然数的性质时，在《數数论》里表现出的这些作用，被比为“微观数学”并不为过。把《數数论》比作为“微观数学”的另一层意思，还是由于在数学研究中，因为人类在同数学打交道的数千年或上万年的漫长历史中，我们从来没有注意到“數数计数”这种方法中，会存在什么规律，也从未有认为这种方法也是一种数学形式，这种现象如同“微生物”存在在我们周围一样，我们不通过“显微镜”这种工具是很难发现它们的存在。因此，我们不能不把《數数论》看做或是比为是一种具有“微观数学” 效应的数学研究理论或方法。用《數数论》里的方法研究自然数中的性质与规律，如同用“显微镜”观察微生物世界一样，有过之而无不及。    在数学研究领域内，數数计数这种方法，则是我们人类老幼皆知的最普通的数学方法或知识。數数这种方法，是人类从蒙昧时期进入文明时期的一种标志。可以说，人类同數数打交道的历史，远比真正意义上的数字符号和数学形式的产生更为悠久。然而人们对數数、计数以及它们同自然数之间的关系，仍未有得到认识和认可。如果从数学的发展历史上来看我们今天对“數数计数”的认识观点，当我们仍然还是熟视无睹地再把它看做是微不足道的理论，或仍不能引起我们对它的重视，这里不能不让我为之感到汗然！