中财网欧尼酱是什么意思日语:3.2.1几类不同增长的函数模型
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/29 22:24:43
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．
情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创
设
情
境 材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的
组
织
探
究
例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
探究：
1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
2）分析解答（略）
3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．
生：阅读题目，理解题意，思考探究问题．
师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．
生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．
师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．
环节 教学内容设计 师生双边互动
组
织
探
究
4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？
师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势．
生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据．
师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．
生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
组
织
探
究
3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答． 生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求．
师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．
生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．
探
究
与
发
现
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．
师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．
生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．
巩
固
与
反
思
尝试练习：
教材P116练习1、2；
教材P119练习．
小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．
生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．
师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
作
业
与
回
馈 教材P127
习题32（A组）第1~5题；
（B组）第1题
课
外
活
动 收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；
有时同一个实际问题可以建立多个函数模型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？
3.2.1几类不同增长的函数模型(1)
【学习目标】 学案24
1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
一例题
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
反思：
① 在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
② 根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.
例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
；；.
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
反思：
① 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？
② 根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？
例3幂函数、指数函数、对数函数在区间上的单调性如何？增长有差异吗？
计算：函数，，，试计算：
1 2 3 4 5 6 7 8
y1
y2
y3 0 1 1.58 2 2.32 2.58 2.81 3
由表中的数据，你能得到什么结论？
思考：大小关系是如何的？增长差异？
二、练习
1. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a>0且a≠1)．有以下叙述
第4个月时，剩留量就会低于；
每月减少的有害物质量都相等；
若剩留量为所经过的时间分别是，则.
其中所有正确的叙述是 .
2. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（ ）.
A． B. y=2 C. y=2 D. y=2x
3. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）.
A. 一次函数 B. 二次函数
C. 指数型函数 D. 对数型函数
4 一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（ ）.
A. y=20-2x （x≤10） B. y=20-2x （x<10） C. y=20-2x （5≤x≤10） D. y=20-2x（5
6. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有 台计算机被感染. （用式子表示）
7. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函数图象大致是（ ）.
10. 某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)
11.某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售. 这样，仍可获得25%的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.
12. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量 (万件)近似地满足关系
．
写出明年第个月这种商品需求量 (万件)与月份的函数关系式.
三、学习小结
1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；
2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；
3. 应用建模（函数模型）；
解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意
8. 下列函数中随增大而增大速度最快的是（ ）.
A． B．
C． D．
当的大小关系是 .
3.2.1几类不同增长的函数模型
一、选择题.
1．某工厂10年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后，这种产品停止生产 ④第五年后，这种产品的产量保持不变
A．②③ B．②④
C．①③ D．①④
2．如下图△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y=f（x）的图象大致为
3．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
A．3 B．4 C．6 D．12
4．已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是
A．y={0．9576} B．y={0．9576}100x
C．y=（）x D．y=1－（0．0424）
5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b
二、填空题.
6．某工厂1992年底某种产品年产量为a，若该产品的年平均增长率为x，2000年底该厂这种产品的年产量为y，那么y与x的函数关系式是______________________________．
7．周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为r），若矩形底边长为2x，此框架围成的面积为y，则y与x的函数解析式是_________________________________．
8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b元，若该船以速度v千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y与v的函数解析式为________．
9．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·（0．5）x+b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为____________________．
10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，这个人的稿费为__________元．
三、解答题.
11.一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？
12.某种商品现在定价每年p元，每月卖出n件，因而现在每月售货总金额np元，设定价上涨x成，卖出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍．（1）用x和y表示z. （2）若y=x，求使售货总金额有所增加的x值的范围．
13.茜种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税P元，因此每年销售量将减少万件。
(1) 将政府每年对该商品征收的总税金y万元表示为P的函数，并指出这个函数的定义域。
(2) 要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率P%应怎样确定？
(3) 在可收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获取最大销售金额，则如何确定P值？
14.某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件是：
(1) 建1m新墙的费用为a元；(2) 修1m旧墙的费用为元；(3) 拆去1m的旧墙，用可得的建材建1m的新墙的费用为元，经讨论有两种方案：
①利用旧墙一段x m（0＜x＜14）为矩形一边；
②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？
试比较①②两种方案哪个更好。
参考答案
一、1．A 2．C 3．A 4．A 5．C
二、6．y=a（1+x）8
7． y=－（π+2）x2+lx+r2（0＜x＜）
8．y=av3+（v＞0）
9．1．75万件 10．3800
三、
11．解：设这种货的成本费为a元，则若月初售出，到月末共获利润为：
y1=100+（a+100）×2．4%
若月末售出，可获利y2=120－5=115（元）
y2－y1=0．024a－12．6=0．024（a－525）
故当成本大于525元时，月末售出好；成本小于525元时，月初售出好．
12．解：（1）npz=p（1+）·n（1－）
∴z=
（2）当y=x时，z=
由z＞1，得＞1
x（x－5）＜0，∴0＜x＜5
13、(1) 设商品每年销售为万件，∴
且，p＞0，∴0＜p＜12
(2) y≥128，∴ ∴4≤p≤8
(3) 厂家销售收入为 （4≤p≤8）
∴当p＝4时，销售收入最大为3200（万元）
14、(1) 方案：修旧墙费用为x·元，拆旧墙造新墙费用为(4－x)·，
其余新墙费用：
∴总费用 （0＜x＜14）
∴≥35a，当x＝12时，ymin＝35a
(2) 方案，利用旧墙费用为14·＝（元）
建新墙费用为（元）
总费用为： （x≥14）
∵函数在[14, ＋∞)上为增函数，∴当x＝14，ymin＝35.5a
∴采用①方案更好些。
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