天刀时装原画:初中数学竞赛辅导之因式分解

初中数学竞赛辅导之因式分解

2010-04-10 09:51:20|  分类： 教学研究 |  标签： |字号大中小 订阅

虽然现在不鼓励数学奥赛，但培尖却是不可或缺的，特将因式分解的方法和习题整理于此，以飨读者。

一．常用的公式

1. (1)a²-b²=(a+b)(a-b)；(2)a²±2ab+b²=(a±b)²；　(3)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

(4)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)     (5)a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²；

(6)a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)；

(7)aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+…+ab^n-2+b^n-1)其中n为正整数；

(8)aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…+ab^n-2-b^n-1)，其中n为偶数；

(9)aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…-ab^n-2+b^n-1)，其中n为奇数．

二．常用的方法

1．双十字相乘法

用双十字相乘法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1：分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3

解：原式= (x+2y-3)(2x-11y+1)．

2．求根法

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

定理2 若即约分数q / p是整系数多项式f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+……+a_n-1x+a_n的根，则必有p是a₀的约数，q是a_n的约数．特别地，当a₀=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a_n的约数．

例2 分解因式：x³-4x²+6x-4

分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=2³-4×2²+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

解法  用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．

原式=(x³-2x²)-(2x²-4x)+(2x-4)　=x²(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)　=(x-2)(x²-2x+2)．

3．待定系数法

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例3分解因式：x²+3xy+2y²+4x+5y+3

分析：由于(x²+3xy+2y²)=(x+2y)(x+y)，

　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解 设   x²+3xy+2y²+4x+5y+3  =(x+2y+m)(x+y+n)   =x²+3xy+2y²+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

　　比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以  原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

4．添项、拆项法

例4因式分解：①x⁴+x²+1　②a³+b³+c³－3abc

解：x⁴+x²+1＝x⁴+2x²+1－x²=(x²+1)²－x²=(x²+1+x)(x²+1－x)
②分析：a³+b³要配成(a+b)³应添上两项3a²b+3ab²
解：a³+b³+c³－3abc＝a³+3a²b+3ab²＋b³+c³－3abc－3a²b－3ab²
＝(a+b)³+c³－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)²－(a+b)c+c²］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a²+b²+c²－ab－ac－bc)
例5因式分解：①x³－11x+20　　②　a⁵+a+1
①    分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x⁵,20组成两组，则有公因式可提。（注意16是完全平方数）
 解：x³－11x+20＝x³－16x+5x+20＝x(x²－16)+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x²－4x+5)
②   分析：添上－a² 和a²两项，分别与a⁵和a+1组成两组，正好可以用立方差公式
解：a⁵+a+1＝a⁵－a²+a²+a+1=a²(a³－1)+ a²+a+1=a²(a－1)( a²+a+1)+ a²+a+1= (a²+a+1)(a³－a²+1)
5.综合运用因式定理和待定系数法

例6因式分解：①x³－5x²+9x－6　②2x³－13x²+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x³－5x²+9x－6＝0，∴原式有一次因式x -2，∴x³－5x²+9x－6＝（x -2) (x²-3x+3）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数±1，±3得商±1，±3，±3/2 ，± 1/2，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x= 1/2 时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=1/2 时，2x³－13x²+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，　　　
设2x³－13x²+3＝（2x－1)(x²+ax－3），　（a是待定系数）
比较右边和左边x²的系数得　2a－1＝－13，　a=－6
∴2x³－13x+3＝（2x－1)(x²－6x－3）。
例7因式分解2x²+3xy－9y²+14x－3y+20
解：∵2x²+3xy－9y²＝（2x－3y）(x+3y),　用待定系数法，可设2x²+3xy－9y²+14x－3y+20＝（2x－3y＋a)(x+3y＋b），a、b是待定的系数，
比较右边和左边的x和y两项 的系数，得∴2x²+3xy－9y²+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x²+(3y+14)x－(9y²+3y－20)　这是关于x的二次三项式，常数项可分解为-（3y－4)(3y+5）,用待定系数法，可设2x²+(3y+14)x－(9y²+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比较左、右两边的x²和x项的系数，得m=2, n=1
∴2x²+3xy－9y²+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)

例8 分解因式：(1)-2x^5n-1yⁿ+4x^3n-1yⁿ⁺²-2x^n-1yⁿ⁺⁴（提公因式法）

(2)x³-8y³-z³-6xyz（公式法）

(3)a²+b²+c²-2bc+2ca-2ab（公式法或分组后运用公式法）

(4)a⁷-a⁵b²+a²b⁵-b⁷（分组后提公因式法）  

(5)x¹⁵+x¹⁴+x¹³+…+x²+x+1（构造法）   分析：x¹⁶-1=(x-1)(x¹⁵+x¹⁴+x¹³+…x²+x+1)，

(6)x³-9x+8（拆项法）

解法1 将常数项8拆成-1+9．　 原式=x³-9x-1+9=(x³-1)-9x+9=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．　原式=x³-x-8x+8=(x³-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．

解法3 将三次项x³拆成9x³-8x³． 原式=9x³-8x³-9x+8=(9x³-9x)+(-8x³+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x²+x+1)=(x-1)(x²+x-8)．

解法4 添加两项-x²+x²．　　原式=x³-9x+8=x³-x²+x²-9x+8=x²(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．

(7)a³b-ab³+a²+b²+1（添项法）

三.配套练习

练习1

1．用双十字相乘法分解因式：

(1)x²-8xy+15y²+2x-4y-3；

(2)x²-xy+2x+y-3；

(3)3x²-11xy+6y²-xz-4yz-2z²．

2．用求根法分解因式：

(1)x³+x²-10x-6；

(2)x⁴+3x³-3x²-12x-4；

(3)4x⁴+4x³-9x²-x+2．

3．用待定系数法分解因式：

(1)2x²+3xy-9y²+14x-3y+20；

(2)x⁴+5x³+15x-9．

练习2 分解因式：

(1)x⁹+x⁶+x³-3；

(2)(m²-1)(n²-1)+4mn；

(3)(x+1)⁴+(x²-1)²+(x-1)⁴；

(4)(x²+3x+2)(4x²+8x+3)-90

(5)6x⁴+7x³-36x²-7x+6．

(6)(x²+xy+y²)²-4xy(x²+y²)

(7)x¹⁰+x⁵-2；

(8)(x⁵+x⁴+x³+x²+x+1)²-x⁵

(9）x³+3x²-4；

(10)x⁴-11x²y²+y⁴；

(11)x³+9x²+26x+24；

(12)x⁴-12x+323．

(13)(2x²-3x+1)²-22x²+33x-1；

(14)x⁴+7x³+14x²+7x+1；

(15)(x+y)³+2xy(1-x-y)-1；

(16)(x+3)(x²-1)(x+5)-20．

练习3 分解因式：

1． ①x⁴+x²y²+y⁴      　　②x⁴+4    　　 ③x⁴－23x²y²+y⁴
2.   ①x³+4x²－9   　 ②x³－41x+30    ③x³+5x²－18   　④x³－39x－70
3.   ①x³+3x²y+3xy²+2y³   　　　②x³－3x²+3x+7　　　　　③x³－9ax²+27a²x－26a³ 　　　

④x³+6x²+11x+6　　　　　　　⑤a³+b³+3(a²+b²)+3(a+b)+2
4. ①3x³－7x+10　     ②x³－11x²+31x－21  ③x⁴－4x+3         ④2x³－5x²+1
5. ①2x²－xy－3y²－6x+14y－8 ②（x²－3x-3)(x²+3x+4）－8

③（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)－48　④（2x－7)(2x+5)(x²－9)－91
6．①x²y²+1－x²－y²+4xy     　②x²－y²+2x－4y－3
③x⁴+x²-2ax - a+1        ④（x+y)⁴+x⁴+y⁴          ⑤（a+b+c)³-（a³+b³+c³）