超品相师秦宇和白槿:2010全国中考数学试题汇编:压轴题(一)及答案

2010年部分省市中考数学试题分类汇编 

压轴题(一)

24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.

【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；

（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；

（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．

【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．

（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴

＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．

∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，

∴△ABC的周长为．

   【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积

【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题

25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； 

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．

【答案】（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝

若直线经过点B（3，1）时，则b＝

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

   此时E（2b，0）

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E（3，），D（2b－2，1）

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )

＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝

∴

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，

设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴

∴S四边形DNEM＝NE·DH＝

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

   【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理

【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．

26、(宁波市)如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。

（1）求的度数;

（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;

②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。

解：（1）

       （2）（2，）

       （3）①略

            ②过点E作EM⊥直线CD于点M

∵CD∥AB

∴

∴

∵

∴

∵△DHE∽△DEG

∴即

当点H在点G的右侧时，设，

∴

解：

∴点F的坐标为（，0）

当点H在点Ｇ的左侧时，设，

∴

解：，（舍）

∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ

∴

∵

∴点Ｆ的坐标为（，0）

综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）

26．(重庆市)已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

解：（1）过点作于点．（如图①）

∵，，

       ∴．

      ∵，， ∴．

   在Rt中，． （1分）

 （ⅰ）当时，,,；

过点作于点．（如图①）

     在Rt中，∵，∴，

∴．

  即 ． （3分）

   （ⅱ）当时，（如图②）

，．

∵，，∴．

∴．

即．

故当时，，当时，． （5分）

（2）或或或． （9分）

（3）的周长不发生变化．

延长至点，使，连结．（如图③）

∵，

∴≌．

∴，．…（10分）

        ∴．

        ∴．

又∵．

   ∴≌．∴． （11分）

∴．

∴的周长不变，其周长为4． （12分）

24．(义乌市卷)如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）对称轴：直线……………………………………………………..… 1分

解析式：或……………………………….2分

                  顶点坐标：M（1，）……….…………………………………………..3分

            （2）由题意得        

3……………………………………..1分

得：①…………….………………….……2分

得：  ②….………………………………………..………..3分

把②代入①并整理得：(S＞0) (事实上，更确切为S＞6)4分

当时， 解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣 

分)  把代入抛物线解析式得       ∴点A1（6，3）………5分

（3）存在………………………………………………………………….…..……1分

           解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的

交点E的坐标为

∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t

     当∥时，

                得 ………2分

    下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G

①当时，如图1-1        ∵△FQE∽△FAG  ∴∠FGA＝∠FEQ

               ∴∠DPQ＝∠DEB   易得△DPQ∽△DEB  ∴

∴   得   ∴(舍去)…………………………3分

② 当时，如图1-2

∵△FQE∽△FAG  ∴∠FAG＝∠FQE

                ∵∠DQP＝∠FQE    ∠FAG＝∠EBD

∴∠DQP＝∠DBE   易得△DPQ∽△DEB 

       ∴

     ∴，    ∴

                           ∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分

                          解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得

                                     , , 

                                    ∴

24．（湖州卷）（本小题12分）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．

  解：（1）由题意可得A(0，2)， B(2，2)， C(3，0),

       设所求抛物线的解析式为,

      则    解得  .           ………………..3分

      ∴ 抛物线的解析式为 .   ….……………………..1分

   （2）设抛物线的顶点为G，则.过点G作GH⊥AB，垂足为H，

      则AH=BH=1，GH=.

       ∵ EA⊥AB, GH⊥AB,  ∴ EA∥GH ,

       ∴ GH是△EBA的中位线， 

       ∴ .        ………………2分

       过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB.

       ∵ ∠EBF=∠ABM=90 º， ∴ ∠EBA=∠FBM=90 º-∠ABF，

       ∴ Rt△EBA≌Rt△FBM ，∴ .

       ∵ CM=OC-OM=3-2=1，∴ CF=FM+CM=.               …………….2分

       （3）设CF=a，则FM=a-1或1- a，

         ∴BF2= FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5 .

         ∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF. 

         则，                   ….1分

         又∵，                 ……….1分

           ∴，即， ….1分

∴当a=2（在0<a<3范围内）时，

           ∴ .                                      …………….1分

25．（湖州卷）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E

（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

解：（1）假设存在这样的点Q．

        ∵ PE⊥PC,    ∴ ∠APE+∠DPC=90 º,

            ∵ ∠D=90 º,  ∴ ∠DPC+∠DCP=90 º,

            ∴ ∠APE=∠DCP，又 ∵ ∠A=∠D=90 º，

∴ △APE∽△DCP，∴ ，.

同理可得.

∴ ，即,

∴ ，∴ ,

∴ ，

            ∵ ， ∴ .                   ……………2分

            ∵ ， ∴ ，即P不能是AD的中点.

            ∴ 当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．

            故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，

            此时．                                ……………1分

      （2）设AP=x， AE=y. 由可得，

           ∴  .

           ∴ 当（在0<x<3范围内）时， ,

           ∴ BE 的取值范围为≤BE＜2.                        ……………2分

24．(嘉兴市)如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．

（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；

（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

解：（1）令，得，即，

解得，，所以．令，得，所以．

设直线AB的解析式为，则，解得，

所以直线AB的解析式为．    …5分

（2）当点在直线AB上时，，解得，

当点在直线AB上时，，解得．

所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则．    …4分

（3）当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）

，解得．

①当时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，

此时，，

又，

所以，

从而，

．

因为，所以当时，．

②当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，

此时，，

又，

所以，

即．

其中当时，．

综合①②得，当时，．    …5分

24．(台州市)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

解:（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，…………………………………………………………………………3分

∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分

（2）①如图1，当时， 

ED=，QH=，

此时． …………………………………………3分

当时，最大值．

②如图2，当时，

ED=，QH=，

此时． …………………………………………2分

当时，最大值．

∴y与x之间的函数解析式为

y的最大值是．……………………………………………………………………1分

（3）①如图1，当时，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

显然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分

②如图2，当时，

若DE=DH，=，；   …………………………………………1分

若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；  ………………………1分

若ED=EH，则△EDH∽△HDA，

∴，，．   ……………………………………1分

∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.

（其他解法相应给分）http://www.czsx.com.cn

26．（临沂市 本小题满分13分）

如图：二次函数y=﹣x2 + ax + b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）根据题意，将，B（2，0）代入中，

得  解这个方程，得

∴该抛物线的解析式为 ………………………………………………(2分)当时，.

∴点的坐标为.

∴在中，

.

在中，

.

.

∵，

∴是直角三角形.…………………………………………………………………… (4分)

（2）点的坐标为……………………………………………………………… (6分)

（3）存在.……………………………………………………………………………………(7分)

由（1）知，.

①若以BC为底边，则BC∥AP，如图5所示.

可求得直线BC的解析式为.…………………………………………………(8分)

直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，

所以设直线AP的解析式为.

把点代入直线的解析式，

求得，

∴直线AP的解析式为

.……………………………………………………… (9分)

∵点既在抛物线上，又在直线上,

∴点的纵坐标相等，

即

解得(不合题意，舍去).

当时，.

∴点的坐标为.…………………………………………………………………(10分)

②若以为底边，则BP∥AC，如图6所示.

可求得直线的解析式为

.…………………………………………… (11分)

直线可以看作是由直线平移得到的，

所以直线的解析式为.

把点代入直线的解析式，求得

∴直线的解析式为

.………………………………………(12分)

∵点既在抛物线上，又在直线上.

∴点的纵坐标相等,

即.

解得 (不合题意，舍去).

当时，.

∴点的坐标为.

综上所述，满足题目条件的点为或.……………………………(13分)

24．（楚雄州 本小题13分）已知：如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交轴于点B（－4，0）．

（1）求切线BC的解析式；

（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；

（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=    

在Rt△AOC中，AC= ，OA=1 ，则OC=2

        ∴点C的坐标为（0，2）

设切线BC的解析式为，它过点C（0，2），B（−4，0），则有

                         解之得

                     ∴ ………………………………………………4分

（2）如图1所示，设点G的坐标为（a,c）,过点G作GH⊥轴，垂足为H点，

则OH=a, GH=c=a + 2 ……………………………………………………5分

连接AP, AG

因为AC=AP , AG=AG , 所以Rt△ACG≌Rt△APG (HL)

所以∠AGC=×1200=600

在Rt△ACG中 ，∠AGC= 600，AC=    

∴Sin600=  ∴AG =…………………6分

在Rt△AGH中, AH=OH－OA=a－1 ，GH=a+ 2 

+=

∴+=

解之得：= ,= −(舍去)  …………………………………………7分

点G的坐标为（,+ 2 ） …………………………………………………8分

(3) 如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形.  ………………9分

要使△AEF为直角三角形

AE=AF

∴∠AEF=∠AFE 900

∴只能是∠EAF=900

当圆心A在点B的右侧时，过点A作

AM⊥BC,垂足为点M.

在Rt△AEF中 ，AE=AF=, 

则EF=， AM=EF=

在Rt△OBC中,OC=2 , OB=4,则BC=2

∠BOC= ∠BMA=900  ，∠OBC= ∠OBM

∴△BOC∽△BMA

∴=

∴AB=

∴OA=OB－AB=4－

∴点A的坐标为（－4+，0） ………………………………………………11分

当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得

△A′M′B≌△AMB

A′B＝AB＝

∴O A′=OB+ A′B =4 +

∴点A′的坐标为（－4－，0）

综上所述，点A的坐标为（－4+，0）或（－4－，0） ……………13分

26．(眉山市)如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为  …（1分）

            ∴

            ∴     ……………………………………………………………（3分）

            ∴所求函数关系式为：  …………（4分）

       （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴

∵四边形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5    ……………………………………（5分）

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．  …………（6分）

当时，

当时，

∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）

（3）设直线CD对应的函数关系式为，则

解得：．

∴        ………（9分）

∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，

∴N点的横坐标也为t．

则，  ，……………………（10分）

∴

∵， ∴当时，，

此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）

24. (杭州市 本小题满分12分) 

（第24题）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，

点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物

线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点

P(t，0)在x轴上. 

 (1) 写出点M的坐标； 

 (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.

解：

（第24题）

(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，

∴ A，B的横坐标分别是2和– 2， 

代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，

∴M (0，2)，                                               ---2分

    (2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，

由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,

    ∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2.                          ---2分

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±,

当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2

∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数.                       ---2分

② 分两种情况讨论： 

1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，                                                             

     ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，

∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(360docimg_501_+1)，解得x = 0 ，

∴t = –360docimg_502_+ 0 –2 = –2  .                                            --- 2分

2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，

     ∵CM∥PQ，CM = 360docimg_503_PQ，

∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即360docimg_504_+1=2´2，

解得： x = ±360docimg_505_.           ---2分                                                  

当x = –360docimg_506_时，得t = –360docimg_507_–360docimg_508_–2 = –8 –360docimg_509_,                        

当x =360docimg_510_时， 得t =360docimg_511_–8.                              ---2分

28.（兰州市 本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线360docimg_512_经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）

（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD以每秒360docimg_513_1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 

① 当360docimg_514_时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

360docimg_515_

图1            第28题图          图2

      解：（1）因抛物线360docimg_516_经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）

故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为360docimg_517_…………………………………………1分

由360docimg_518_360docimg_519_

得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分

（2）① 点P不在直线ME上.                              

已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，

设直线ME的关系式为y=kx+b.

于是得360docimg_520_  ，解得360docimg_521_

所以直线ME的关系式为y=－2x+8. …………………………………………3分

由已知条件易得，当360docimg_522_时，OA=AP=360docimg_523_，360docimg_524_…………………4分

∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=－2x+8.        [来源:Zxxk.Com]

∴ 当360docimg_525_时，点P不在直线ME上.  ……………………………………5分

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5

∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， 

∴ OA=AP=t.

∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,－t 2+4t) ………………………6分

∴ AN=－t 2+4t (0≤t≤3) ,

∴ AN－AP=(－t 2+4 t)－ t=－t 2+3 t=t(3－t)≥0 ,     ∴ PN=－t 2+3 t   

………………………………………………………………………7分

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点360docimg_526_P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=360docimg_527_DC·AD=360docimg_528_×3×2=3. 

（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形

∵ PN∥CD，AD⊥CD，

∴ S=360docimg_529_(CD+PN)·AD=360docimg_530_[3+(－t 2+3 t)]×2=－t 2+3 t+3……………8分

当－t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2………………………………………9分

 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5

综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，

当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分

当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）

28．（盐城市本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．

（1）求这个函数关系式；

（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

360docimg_531_

360docimg_532_

360docimg_533_解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)

当a≠0时，△=1- 4a=0，a = 4(1)，此时，图象与x轴只有一个公共点．

∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=4(1)x2+x+1……（3分）

   （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 

轴于点C．

∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：

y=4(1)x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点

坐标为A（0，1）………（4分）

∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B  ∴PB⊥AB  则∠PBC=∠BAO

  ∴Rt△PCB∽Rt△BOA

  ∴360docimg_534_，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）

设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2

∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)

∵点P在二次函数y=4(1)x2+x+1的图象上，∴-4-2x=4(1)x2+x+1…………………（6分）

解之得：x1=-2，x2=-10

∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）

（3）点M不在抛物线上……………………………………………（8分）

由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ 

∴QE∥MD，QE=2(1)MD，QE⊥CE

∵CM⊥PB，QE⊥CE  PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB

∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =2(1)

CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=5(8)，QE=5(16)

∴Q点的坐标为(-5(18)，5(16))

可求得M点的坐标为(5(14)，5(32))…………………………………………………（11分）

∵5(14)=25(144)≠5(32)

∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）

(其它解法，仿此得分)