足彩数据:专题四：新课程理念下统计与概率教学研讨 第二讲

第二讲

 

上一场我们给老师们抛出了这么个问题，“统计与概率”你觉得最重要的核心词是什么？实际上，我们认为统计与概率中最核心有两个词：统计观念（又叫做数据分析观念）、随机观念。那么为什么把这两个词作为核心词呢？首先我们从什么是统计，统计中最核心的目标来谈起。一、统计（一）统计的内涵1.统计的定义这里引用不列颠百科全书对统计学的一个定义：统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。（1）数据数据跟数的非常重要的区别是它有背景，所以这也可以理解为什么把“统计与概率”从过去数的一个单元单独拿出来，成为一个独立的学习领域。人们往往从一堆有实际背景的数中获取信息。（2）收集和分析数据收集数据和分析数据是非常重要的。（3）科学和艺术统计既是一门科学，有自己的一些数学方法；但是它又是一个艺术，也就是说要根据实际的背景，选择不同的方法。2.统计观念（数据分析观念）这里想到了上一场张思明老师的描述：数据中是有信息的、信息是可以提取的、信息是为人们服务的。他的话实际上对我们理解什么是数据分析观念，提供了一个方面思考。《标准》中提出，统计观念主要表现在以下的这么几个方面：认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。从上面可以看到，在小学阶段对学生来说统计观念（数据分析的观念）是非常重要的，所以把它作为统计教学的一个核心词。具体来说，统计观念（数据分析）的观念包括以下几个方面：（1）数据的意识。能想到用数据来处理问题。实际上用数据来进行推断是一种重要的思维方式。（2）体会数据中是蕴含着信息的。所以我们要经历收集数据、描述数据、分析数据的过程，即数据处理的过程，把信息提取出来。（3）根据背景来选择合适的方法。就是刚才所说的艺术，它跟我们原来学到的有些数学不大一样，比如数的运算的结果就是对和错，而数据往往没有一个严格意义上对和错，不是说这堆数据中一定要用平均数刻画就对了。3.回顾“平均数”一课回顾上一场我们讨论的那个案例，在平均数的引入中学生出现了好多做法： 比较总数、一个一个比、比最高的、去掉一个增加一个、平均数等，并提出了若干问题与大家进行交流。那么，我们今天再对这个案例进行讨论。关于这个案例，我也请教了张思明老师和前面提到的史宁中校长，我觉得他们的回答也会给我们一些启发。对于张思明老师的做法，他比较开放，不但让学生把这些方法想出来，而且让孩子把各种方法的结果都求出来，并讨论这些方法分别适用哪些实际问题，也就是针对具体情境了。不是说平均数就一定是最好的，比如说，他举了这么个例子，如果孩子认为我的方法是求最大数，那在什么地方有需要。他可能说我们的比赛规则是比成绩最高的，什么叫两组好就是谁的成绩最高的话，那么他这个方法在这个时候就是有效的。史宁中校长的做法更有意思，他说开始不会让学生马上讨论到底用什么数来刻划，而是讨论“好”的标准（用什么来衡量那个组好），因为老师问的问题就是你觉得两组的成绩谁的更好一些，就首先要讨论对好的理解。然后是根据对“好”的标准，来选择不同的方法，如果大家讨论出来好就是一个组中谁的成绩，那么，第一个孩子的方法就是合理的。如果“好”的标准是大家整体的水平好，那平均数就会是一个好的方法。这两个老师给我们传递了一个共同的理念，就是刚才提到的在数据分析观念中，有一条是非常重要的，就是没有绝对意义上的对和错，而是有一个相对意义上的谁更合理一些，包括平均数，它可能在刻划某一类问题中，是比较合理的，但是，在刻划另外一种问题的时候不一定是合理的。所以还是回到我们前面提到的问题：这个时间值不值？如果您觉得我这节课就是在讲计算平均数，我想教师的直接讲授就是一个好的方法。如果您觉得我这节课在讲对平均数的理解，那么就要有实际背景，但也不需要花那节课那么长的时间。但是，如果您觉得平均数的教学是放在整个统计教学中，是培养学生们一种数据分析的观念，或者说有了一组数据以后，应该根据不同的问题去刻划它，那么这个讨论就是非常有价值的。显然我们认为首先是在学习统计，是在实现刻画数据的目标。老师可能又说了，那么，平均数的价值又是什么呢？其实，在上面的教学案例中，一个一个比的方法并不公平。仔细思考，人数现在差一个还不是很明显，假如差的很多的话，举一个极端的例子，拿一个班和一个组比较，一个班那个最高的选择的余地的就比我一个组的要大，等于是把你们班的最好的，跟我一个小组的最好的相比，当然也不公平。而平均数是把所有的信息都利用了，所以我们看到的平均数的第一个好处就是它能够利用数据的所有的信息。平均数另外一个好处是计算起来比较简单，有的老师可能觉得挺麻烦的，但是，针对于信息技术来说，算起来很容易。另外，从数学角度来说，任何一个数都可以代替一组数据，但是这个数不一定代替的好。好不好，其中一个标准就是希望所有的数据跟这个数相差的平方的和不要太大，而平均数是使所有的数据跟它的方差最小的。当然老师们可能对方差的概念不熟悉，我们不用去理会它。在数学上，从方差这个意义上来衡量平均数是好的，但是你如果不拿方差作为衡量，可能中位数就会是最好的。所以从这个意义上来说，学习平均数是非常重要的一件事情，因此张思明老师说，你看计算器上为什么都有平均数啊，就是因为它确实还是比较普遍使用的一个统计量。（二）《标准》和实验教材中对于统计部分的要求在《标准》中把统计学习，定位在重要的是让学生经历统计的过程。统计的过程就是：提出问题，有了问题以后要收集数据，有了数据以后要去整理、描述数据，描述完了要去分析数据，最后做出决策这样的一个过程。现在的实验教材在这一点上做的都是非常好的，总是使学生通过一个实际问题，来经历这样一个过程。看了几套实验教材，都是从一年级就开始渗透统计的思想、统计的过程，也说明了大家都非常重视统计的教学。1.在提出问题这一环节，在小学阶段，大部分的教材或者都采取由老师或者由教材来提出问题，比如说“咱们班要举行联欢会了，买什么水果”。学生通过讨论发现，我要统计，那么统计什么呢？一般教材就会引导学生统计，你们班同学最喜欢吃的水果是什么。随着年龄的增加，到了高年级，老师们可以让学生自己去思考，要解决什么样的问题、要收集什么样的数据。2.在收集数据中，几套教材都是从这么几个角度来做的。一个就是调查，一个就是做实验，一个就是查找资料。那么查找资料既包括自己去查找资料，也包括去询问他人。《标准》也提出，对这几个方法在小学阶段都要有所体验。3.整理并描述数据主要是两部分。一部分是分类，对于分类一般教材都是在一年级就开始引入。很多老师就提出这样的问题：分类好像是整理书包、整理房间，跟统计有什么关系？实际上分类是我们整理数据的开始。当我们面对一大堆很杂乱无章的数据的时候，很自然的想法就是分分堆，如喜欢这个的放一堆、喜欢那个的放一堆，实际上就是分类。另外一部分就是统计图表的学习。这个部分在教材处理中有所不同，但是有它的共性。比如说对于统计表的学习，有的教材出现了单式的统计表，有的出现二联（实际上就是复式统计表）。但是，都是强调鼓励学生能从统计表中获取信息。对于统计图的学习，《标准》分两段：1-3年级就是第一学段，主要是象形统计图、一格代表一个单位的条形统计图。各个教材在这里设计了很多统计活动鼓励学生学习。到了第二学段，就要学习折线统计图和扇形统计图，进行统计图的比较，另外，还要学习复式折线统计图和复式条形统计图。对于扇形统计图，《标准》只要求学生会阅读，不要求学生自己去独立制作。4.对于分析数据，实际在教学中有两部分。一部分是统计量的学习。小学阶段只要求学习刻画平均水平的统计量，就是平均数、中位数和众数。一般教材的处理就是按照《标准》，在第一学段三年级引入了平均数，到了第二学段就是五年级左右引入了中位数和众数，并且要求学生能够解释这组数据的平均数的意义是什么、中位数是什么意思、众数是什么意思。还有一部分就是分析统计图所带来的信息。《标准》和教材中并没有明确的说，从哪几个角度来分析。一般来说，对于象形和条形统计图一般教材都比较关注数据的比较、最多最少。学了倍数以后就比较倍数，高年级就比较谁是谁的百分之几、谁是谁的几分之几，讨论合计，然后，还会讨论一些通过这些数据你能获得什么。到了中年级，学了一格代表多个单位的时候，还要鼓励学生去观察纵轴上一格代表的到底是几个单位。对于折线统计图，一般对变化趋势进行分析：什么时候增加、什么时候减少，什么时候增加的快、什么时候减少的慢，通过这个变化可以进行预测。对于扇形统计图，主要是通过部分占总体的百分比来分析，另外也鼓励学生通过阅读统计图来解决一些问题。对于《标准》以及实验教材的脉络，虽然我们分析出各个学段的不同，但是老师们还会感觉到挺不容易分清楚的。对这个问题，我们是这么思考的。（1）确实需要实验教材的编写者也好、我们的教师也好，再进一步去研究这个问题。因为对这部分研究的是不多的，到底在不同年级，统计学习的侧重点有什么不同。我们共同来努力，所以，提出一个校内研究的课题，如果您对这个感兴趣的话，你们学校可以来研究。比如说对于读图，我们从低年级读图到中高年级的读图，会是什么样的一个发展。下面我们还会讨论这个问题。（2）我们可能还要思考，确实统计跟计算教学不大一样，因为统计教学的最主要的目的是培养学生的一种观念。培养学生的统计观念，就需要大量的活动，老师们能体会到一种观念的建立靠讲是不行的，你要有数据意识，你就得真的经历这个数据统计的过程。那么，活动，有的时候就很难分清楚一年级必须活动什么、二年级必须活动什么、三年级必须活动什么。所以老师们就觉得重复，一年级统计了水果，二年级统计课外活动，三年级统计的是全班的饮水量，好像没有什么区别。所以，提出这么一个想法，就是老师们总希望在这一节课中，除了一些很基本的问题，对一些问题根据学生的情况进行适当的加深理解，我觉得这是可以的。但是，我们一定要思考，对一个问题加深理解，除了知识的增加以外，可能更重要的是一种思想、一种观念的加深。就是我们不一定非要追求学生会了一个代表一个单位的统计图，就马上引入一格代表多个单位的条形统计图。而是，从数据观念的角度鼓励学生思考更进一步的问题。比如，我们可以鼓励学生进一步思考，这些数据还能帮助我们解决什么问题。除了解决刚才讨论的身高问题，是不是还可以解决其他的问题？即从思想，以及数学与生活的联系上去加深学生的理解。所以，加深，绝对不仅仅是学更多的知识，可以从统计与实际问题的联系、统计的价值、统计的思想、统计的意识去加深。（三）对统计教学的建议1.一定要把数据意识或者说是统计意识的培养，作为我们小学教学中最重要的一个目标关键要培养学生能想到用数据来处理问题。要发展学生的统计意识最主要的方式就是让学生体会到统计是有用的，数据是有信息的，也就是说统计能够帮助人们来做出决策，能够帮助人们来了解一些情况。怎么来发展学生的统计意识，我们提一些建议：（1）设计问题使学生体会到我们需要来收集数据，也就是数据是有作用的。比如前面我们看到的安华老师的教学，我觉得这点处理的挺好的。安华老师的一年级的教学，不是马上就进行统计图的教学，而是提出这样的问题，只能播放一部动画片，我们怎么办？学生就想到了，不能光靠我自己的喜好，所以我们需要来收集一些数据。这就是对学生统计意识的培养。这样的例子老师们都有很多很多，就是鼓励学生意识到需要来收集数据。（2）分析数据能帮助我们做什么。可以在数据都已经分析完了以后，有一个反思的过程，就是这些数据除了能帮助我们解决刚才提到的问题以外，还能够帮助我们解决什么问题？下面提供了一个案例。【案例1】老师组织大家调查班级同学的身高情况，把数据调查出来以后，进行了分析。最后老师问同学：看到这些身高的数据，它们能帮助我们解决什么问题。生1：我可以了解到我们班同学的身高情况。我可以知道我自己的身高在班内处于什么情况。生2：我们班有8岁的有9岁的，我今年8岁，看到9岁同学的身高我可以先预测一下我到9岁时的身高大概多高。生3：学校可以根据我们班的身高情况确定我们课桌椅的高度。我觉得这个案例是挺新颖的，就是数据收集完了以后有一个讨论，我们除了分析谁高谁矮以外，这些数据能帮我们干点什么事？所以有的学生想到，从自己角度能帮助自己预测身高，还有的同学想到我们的桌椅一年级就低一些，到了高年级就高一些，是不是会跟身高的数据有关系。（3）老师们可以指导学生积累一些统计应用的例子。无论是教材中的例子也好，还是在生活中遇到的例子也好，学生积累起来，他能看到原来统计能帮人们干这么多事。无论是买什么水果也好、看什么动画片也好、还是设计桌椅也好，都可以用统计。（4）我们必须要认识到统计意识的培养，绝对不能仅仅靠课堂教学。因为它跟实际生活联系太紧密了，课堂教学中往往很难完全的展示一个统计的过程，所以老师可以适当的开展一些实践活动，将课内外结合起来。2．在教学中一定要有意识的收集学生感兴趣的问题就像有的老师在前头所提到的，看起来统计处处有用，但是我们的教学素材很贫乏，所以学生们不感兴趣。针对这个问题，我们也想提一些建议。（1）就是要关注媒体。因为媒体中这么多人，帮助你来收集数据，比如，记者会从方方面面来收集一些大家感兴趣的问题，我们从中可以找一些适合于我们学生的。（2）现在商场各个地方都会设计一些摸奖的一些游戏，我们可以把它做一些适当的改动，进入到我们的小学教学。当然教师要引导学生对此有正确认识。（3）我觉得还有一点是非常重要的，就是适当的做一些调研。有时候我们成人认为学生感兴趣的，不一定是学生真正感兴趣的，而且，这些学生感兴趣的，不一定是那些学生感兴趣的。海淀的五一小学曾经做了一次调研，他们调查了各个年级的，下面是一年级的：案例：设计了8个统计实际活动的例子：1）统计爸爸一周开车次数；2）统计保安敬礼次数； 3）统计每天写作业时；4）统计作业本小印章数量；5）统计家里一周扔几个塑料袋；6）统计放学后户外活动时间；7）统计一年级同学掉牙情况；8）统计最爱收看的电视节目。调查了一年级的五个班和二年级的四个班一共360个学生。请找出自己最感兴趣的活动。结果最感兴趣的是收看的电视节目，360人中260人选了，相当大的数量了。第二个是统计小印章的数量。第三个是统计爸爸一周开车次数。这个调查就给我们教学带来了一些思考和启发。比如说最爱收看的电视节目，那我们就可以在这上面去做一些文章，可以统计到底最爱收看什么样的电视节目，然后还可以适当的问问学生，你为什么喜欢收看这样的电视节目。当然，老师有时候还可以再做一些引导，鼓励学生多收看一些丰富多彩的电视节目。当然，这个调查是针对五一小学的，换一个学校也许并不一样。总之，了解学生总是为我们进行教学提供了一个非常好的依据。这是对统计教学的第二个建议，就是要真正的了解学生，选择学生感兴趣的素材。3．鼓励学生讨论如何收集数据老师们要意识到数据有两部分，一部分是现成的数据，一部分是需要自己调查的数据。在小学阶段两个内容应该让孩子都有所体验。有些东西需要我们自己来调查数据，那么常用的收集数据方法有哪些呢？包括调查，包括做一个实验，包括去阅读资料，还可以去问问他人等等。学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验，并且根据问题的需要来选择合适的方式来获取数据。各种各样的研究都表明，在计划到底如何来收集数据上花时间是非常值得的。什么叫在计划如何在收集数据上花时间？在低年级可以讨论，假设我们要调查最喜欢的节目，怎么来收集数据。那么到了一定年龄，可以再讨论，我要回答这个问题，需要收集哪些数据？并不是已经告诉你需要收集这个数据。所以，对收集数据的讨论，既包括要收集什么样的数据，也包括采用什么样的方法收集。让我们回顾前面已经提到的安华老师统计图教学的这个案例。安华老师的课最大的不同，就是学生举手出错了以后，不是说把数据改改就完了，而是让学生讨论怎么办。这个问题是关键，实际上就是组织学生来讨论如何来更好的收集数据。就是刚才说的在收集数据的方法上进行讨论。所以，这个过程虽然长，但是非常值得的。为什么它值得呢？就是在信息技术发达的今天，对我们的学习提出了很多的思考，就是技术能做的，也许就没有原来那么重要了。比如说去画统计图，求很复杂的平均数。当然，不是说它现在就不重要了，但是，确实没有必要再花很长的时间，让学生去画很复杂的数据的统计图，或者是计算复杂数据的平均数了。那什么是技术不能做的呢？就是这组数据是怎么来的，怎么来合理的收集数据，以及数据来了以后，我们怎么去分析数据。这些是技术不能做的。还是那句话，我们不仅要培养技术能做的事情，更重要的是培养学生做技术不能做的事情，或者至少两者应该差不多。所以，我觉得再回答前面提到的问题，统计图的学习除了制图、识图以外，还有一个非常重要的，就是把它放在统计教学这个角度上来说，我们应该在收集数据的过程中下功夫，我们应该在统计图有了以后怎么分析数据、做出决策中下功夫。当然对于低年级，并不一定非要讨论哪个最好、哪个不好，但是，让他有个意识是非常重要的。里我再举一个大家比较熟悉的案例，是美国的数学教师杂志向全美中小学数学教师推荐的一节数学课。【案例2】题目很有意思，为什么有的人跑得快，有人跑得慢？有的孩子很有意思，说谁个子高谁就跑得快。有的孩子就产生怀疑，说不行，我们俩个子一般高，他比我快。那怎么办？有的孩子说，可能是跟步频有关。有的学生就说了，需要分是短跑还是长跑。那么，是不是跟步距、步频有关系。怎么来说明这个问题呢？学生就要收集数据，所以这个过程进入到收集数据。老师没有就组织学生收集数据，而是引起讨论，怎么来收集数据呢？要收集什么样的数据呢？假设说我们研究短跑，他们就很自然的想到了奥运会的实况，选择了1984年的洛杉矶奥运会的100米实况。那现在又有一个问题，如何收集步距和步频呢？步距是一步的距离，那怎么测量？如何记录步频？最后学生讨论，步数我通过放慢动作是能够数出来的，有了步数、时间，距离都是100米，那么平均的步长就出来了，频率也就出来了。下面，当然他们去收集了，最后发现，跑的最快那个人，既不是步频最高的那个人，就是步长最大的人，而是步长和步频都比较高的这个人。4．鼓励学生用多种手段整理和描述数据整理和分析数据主要是两个方式。一个是分类，一个是统计图表。前面已经说过，分类是整理数据的开始。当我们调查了一大堆数据以后，看起来很杂乱，很自然的想法是把它分分类。当然怎么分类，是根据你的标准了。老师们一定要重视分类的教学，除了教材上提供了很多、很好的素材以外，我觉得还可以讨论一些开放性的问题。比如说将我们班的同学分成两类，当然不要说分好同学、坏同学，比如说分男同学、女同学；戴眼镜不戴眼镜；个子高个子矮的，给个标准高于多少就算个子高了，低于的就算矮的。还有很多分类的方式，比如说离家距离100米之内的，离家距离100米之外的。这样既是对分类的一种学习，而且能帮助学生树立一个意识，将来在调查我们班同学的时候，到底怎么来分组，根据目标有的时候需要男女来分开，有的时候需要根据身高来分开。对于统计图表的学习，老师们都已经有了很多经验，就简单说一说。一个就是不要急于的引入常规的统计图表，而是鼓励学生用自己的方式来描述数据。早期经验的多样化，有助于儿童建立乐意创造常规图表的兴趣，也是一个基础。我觉得这一点是非常重要的。第二，就是让学生体会到引入统计图表的必要性。比如说要引入条形统计图了，很自然原来是一个一个实物往上贴，当然不能每次都一个一个贴，这个时候学生想到用一个符号来表示，可能自然用小方块来表示，就出现了条形统计图。还有一个就是折线统计图，就是条形统计图已经能够刻划这个大致情况了，但是描述变化情况的时候还不够明显，我们需要折线统计图等等。第三，就是在描述数据的过程中，使学生不断体会各种统计图的特点，然后，能根据实际问题选择合适的统计图来描述数据。第四，教学中能从媒体中找到一些数据，让学生去读懂媒体中的统计图。5．鼓励学生分析数据，从中获取信息我们从两个部分来讨论，一个是统计量，一个就是关于从统计图表中来分析数据。   （1）统计量在小学阶段要求的是平均数、中位数和众数三个刻划平均水平的量。平均数、中位数和众数它们三者各自的特点到底是什么？其实在前面也已经说过平均数的一个非常好的优点，就是它能够利用所有数据的特征，另外就是比较好算，在数学中所有数跟平均数的方差是最小的，在数学中它确实是一个非常常用的统计量。但是平均数有一个不太好的地方，正是因为它利用了所有数据的信息，容易受极端数据的影响，那么这个时候，人们就想到了中位数和众数。它们这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但是中位数也有它的缺点，就是它没有完全的利用数据所反映出来的信息。众数也是，众数反映的是大多数人喜欢的东西。如果大多数人选的这个东西，跟别的比有大的差异，那么众数才有意义。如果一堆数据中，众数的频数跟别的就有很少的差异的话，那么，这个大多数就没有什么太大的意义了。所以从这个意义上，各个统计量有它各自的特征，我们需要根据实际问题来选择合适的统计量。老师们可能还需要清楚，除了需要刻划平均水平，还需要来刻划数据的波动情况。同样都是5，有的可能是1、3 、5、 7、 9，有的可能是4、4.5、5、5.5、6的平均数。那么同样平均数是5，它们的波动情况是不一样的。这个时候我们怎么来刻划？除了要刻划数据的平均水平，还要刻划数据的波动情况，很自然的想法就是最大值减最小值的极差，数学中还有方差，还有标准差，还有其他的，我想老师们回去感兴趣的话，可以去看看方差、标准差的含义是什么。关于平均数、中位数和众数的教学，给老师们提三个教学建议。第一，在引入统计量的过程中，要拉长一定的时间。就像前面王杰老师那个案例似的，如果你仅仅把定位放在求平均数上了，讲可能是非常有效的方法，但是如果你把目标定位在对数据的刻划上，那么这个过程就非常重要了。在这个过程中学生体会到平均数并不是唯一合理的答案，需要根据不同的背景来选择合适的统计量。    第二，就是体会不同统计量的特点，会解释结果的实际意义。因为在小学阶段让学生自己去选择统计量是比较难的。但是，要求学生能够解释一下在这个问题上平均数是什么意思，中位数是什么意思，众数是什么意思。第三，淡化一些繁杂的计算。在第二学段鼓励学生用计算器来处理复杂的数据。第四，使学生体会统计量的实际价值。以平均数为例，现在老师们都还比较重视引入平均数的过程，但是怎么让学生去体会平均数的价值，我觉得在这个问题中，还有可以创造的空间。我们还是以王杰的那个教学片断为例，我们看一看，当学生讨论出来了平均数以后，会求了以后，他们是怎么来体会平均数的价值的。【案例3】体会平均数的意义1．利用节约用水信息深入理解平均数的意义。师：我这也有条信息，我们一起看看。（1）出示：节约用水图。师：为么要节约用水？（根据学生回答评价学生的节能意识）那我们来看看我们国家的淡水情况。（2）出示：我国淡水资源总量为28000亿立方米，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位。师：找一名同学读一读。看到这条信息你有什么感觉？（学生：水并不少，世界100多个国家，我们排第四名。）（3）我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。师：请大家静静的读一读这条信息，你发现了什么？（这里想让学生通过名次下降或贫乏再次提起对平均数的理解。“贫乏”这个词是什么意思？有那么多水，怎么用贫乏来形容我们国家了呢？）总结：言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了，光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。好，那对于我们国家来说，就更应该去节约用水了。2.出示：儿童乘车免票线“长个”了的标题。师：你知道什么叫儿童乘车免票线吗？没错，就是这条线，我们来看看。经过市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿童1.1米乘车免票线提高到了1.2米。师：为什么要提高？（学生：孩子们都长高了。）师：我们怎么去确定这个标准的呢？ （学生：我们可以调查一下。）师：调查谁？（这要明确调查六岁儿童的身高，都调查还是抽样调查，调查完了怎么办？）总结：我们同学真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能想到可操作的办法。那我们一起看看实际是怎样做的。出示：据统计，目前我市6岁男童身高的平均值为119.3厘米，女童身高平均值为118.7厘米。师：和你们想的一样，市发改委就是参照了我市6岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。总结：看来，这平均数的作用真是不小，连确定免票线的高度都可以参照它。3. 师： 那你们能利用平均数解决问题吗？帮我判断一件事情。出示据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过中关村一号桥的车辆为1756辆，需要通过西苑桥的车辆965辆。通过这条信息你可以知道什么？王老师回家要走四环路，这两条路都可以上四环，你们觉得我走哪好？那我走那一定快吗？为什么？总结：同学们理解的非常到位，平均数是可以用来作参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。看了这个片断以后，我不知道老师们有什么想法？我觉得对我挺有启发的，首先还是三个例子，但是跟一般的教学不大一样，那是不是王杰老师你谈一谈，你的这个设计时的一些想法。  王杰：那么对于平均数价值这个教学，我们也是经历了一个过程。原来，我们在进行平均数意义的教学时，一般就是让学生来谈一谈平均数的价值，或者，经常给学生一些阅读材料让学生谈体会，而学生没有经历，也就是简单说一说平均数并不是实际存在的数，他只是反映平均水平的数，学生并不能真正体会到统计量的价值。所以，我在教学中是分不同层次给出了三个不同的信息，让学生在亲身经历中理解平均数的意义，体会统计量的价值。比如：第一个信息：对于节约用水，我首先问我国为什么要节约用水，引发学生思考，然后出示我国的淡水资源情况，让学生体会我国的淡水总量很多，世界排第四位，最后出示我国的人均水资源情况。在这个过程中，学生体会到了在水资源这个问题上，我们光看总量不能说明问题，还要看人均水资源，从而体会了平均数的意义和价值。第二个信息：儿童乘车免票线问题。这个环节不但能够让学生再次体会平均数的价值，而且通过选择确定免票线高度的方法，还可以使学生体会收集数据及其方法的重要性。第三个信息：车流量问题，学生根据平均数车流量，帮助老师选择路线并且进行分析，使学生可以体会到，平均数是可以用来做参考的，但它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况，从而体会平均数的意义，体会数据的不确定性。（2）从统计图表中获取信息分析数据的第二个问题，就是能够从统计图表中来获取信息，这个也是大家普遍困惑的。有的老师提得很直白，就是说教材老是从一个统计图中你能获取哪些信息？你能提出哪些问题？老师就把握不好了，到底学生提到什么程度就算对了。下面我们提一些建议。第一，要看一些统计图中一眼能看见到的信息，或者是“表面信息”。包括：单个数据，数据的比较（多少、倍数、百分比等），数据的整体变化（最大、最小、平均情况、变化情况、偏差、极端数据）。我觉得特别可以鼓励学生看一看极端数值，去思考这个极端的数据它说明的是什么？因为极端数据往往可能会反映一种很有意思的现象。或者有时候会提醒我们这个极端数据的出现是不是在收集数据中，有什么问题导致极端数据的出现。第二，对统计图的解释。就像张思明老师说的数据是含着信息的，你光看见了还要去想它、去解释它、体会它的作用，这时候才能称之为一种信息，所以我们要对统计图进行解释，要思考这个统计图的作用。包括统计图的名字和图标，统计数据能否回答开始提出的问题，能否解决其他问题，能否进行预测，思考为什么数据会呈现这种情况。第三，选择。就是能够根据不同的问题，来选择不同的统计图。第四，更进一步的层次，就是有一个评价的意识。不仅要去阅读图，还要对统计图中的指标、收集数据的方法、统计图使用的是否合理、得出的结论是否有道理等进行一些评价。当然，在小学阶段主要是前两个方面，那么后两个方面，可以根据自己学生的情况，有意识的加以培养。为了说明以上的第四点，就是评价的意识。我们可以来看一个案例，这个案例也是老师们比较熟悉的案例，有的地方把它叫做“公说公有理，婆说婆有理”。【案例4】 某工厂有5个股东，100个工人。工人的工资总额与工厂的股东总利润见下：     年度     工人工资总额     股东总利润    1990年       10万元          5万元    1991年       12.5万元        7.5万元    1992年       15万元         10万元该工厂老板根据表中数据，作出了右图，并声称股东和工人“有福共享、有难同当”，你如何看待他的说法？ 观察上图，会发现工人工资总额91年比90年多了2.5，92年比91年也多了2.5，所以画出来按横坐标是年份，纵坐标是总额的话它是一条直线。那么股东的总利润也是每年增加2.5，也是一条直线。那么这两条直线显然倾斜程度是一样的，是两条平行线，于是，这个老板就说了，你看我们是有福共享，有难同当，咱们增加都是一样的。其实，如果又评价意识的话，学生就会意识到如果仅仅从工资总额的变化来说，可能还不能很好的刻划，还需要从各个角度，比如说，都是增加2.5，但起点不一样；再比如说，还有很自然的想法就是人均情况的比较。所以你要把这两个画出来，你就会发现差距太大了。 左边这个图就是看增长的百分比，显然股东利润比工人工资增长的百分比要高。那么，右边的画出人均的情况差别就更大了，不仅仅增长的情况差别很大，而且绝对数上也差别很大。所以我们再去体会它这个题目就公说公有理，婆说婆有理，就是要鼓励学生要从不同的角度来刻划同样一种数据。对别人刻划这个数据的方式合理不合理，要有一种质疑的意识。当然，对于小学阶段，倒不一定让学生能够那么清晰地看出来，但是他要有一种意识我觉得是非常重要的。二、概率（一）什么是概率概率是研究随机现象的一门学科。随机现象跟我们其他的现象，或者跟确定性现象有什么不同呢？第一，就是它的不确定性，也就是在相同的条件下做一件事，可能是这个结果，也可能是那个结果。举例说，掷一枚硬币，事先谁也无法预料，到底是正面朝上还是反面朝上。第二，就是要能够重复做实验，或者说近似地认为它可以重复做实验，不是说所有的不确定性都是用概率来解决的。那么重复做实验以后，人们发现每一次虽然无法确定，但是重复做实验中，它会呈现一种稳定性。那么，我们就回顾在上一节讨论中，提到的学生中提到的几个问题，现在我们来看，有一些东西我们是容易解决的，比如说有的学生提到的：我们猜想的是10个硬币中应该出现5正5反，结果却出现了9正1反这样的极端情况，这是为什么？现在就很好理解了，因为它是不确定的，既可以出现9正1反，甚至也可能会出现0正10反，当然这种可能性就比较小，这正是不确定性的一种体会。所以老师在教学中就可以往这方面引导：同样的做10次，为什么我们的结果会不一样。那么这么不确定，怎么理解正面朝上的概率是1/2呢。我们可以通过技术来模拟的一个过程，来体会频率稳定在概率的意思。首先请老师们先把频率和概率这两个概念分清楚。频率，是正面朝上的次数/实验总次数，它是不确定的，因为你每次做的情况不一样，当然正面朝上的次数可能不一样，再除以总次数，可能是不一样的，频率是可以变化的。概率是一个确定的值，有老师喜欢说概率也是不确定的，这是一种混淆，我想慢慢学习弄清楚就可以了。什么叫大量重复实验频率稳定在概率，并不是说我做了一万次以后，统计那时候的正面朝上的次数就正好是五千次，并不是这样。而是说有这么一个趋势，所以老师们在做概率实验中，有一个小的误区，就是现在也累加，但是就只看最后的结果。我也很费劲的做了三百次实验，算完了以后把最后三百次中的正面朝上和反面朝上拿出来，结果一个160多，一个130多，好像不是1/2，觉得差得还挺多。它不是一定就是1/2，而是说这个趋势，老师们看这个图，开始的时候波动可能是比较大的，到后来也有波动大的情况但是非常少了，它逐步就稳定在这样的一种情况，即正面朝上的频率稳定在1/2。而且并不是实验次数越多就一定是越接近。有一次听一节课，一个小学生说的非常有道理，他也是遇到出现的频率和概率有所差别的情况，他说要多做实验，如果要多做实验频率数跟我们原来猜想的概率相差得比较大的情况就会非常少。就是这句话，当大量重复实验时频率和概率相差比较大的可能性，它的极限是等于零的。这个孩子说的这句话，就是大数定律。以后老师们感兴趣的可以再学习学习。所以，对老师们最直接的一个建议就是：你如果要体现这个过程的话，要把它的趋势体现出来，就不能只是合计最后的次数，而是逐步累计，20、40……，看频率的趋势。这个过程很复杂了，课堂上没有那么多的时间画，那可能我们就需要用信息技术来帮助我们去解决这个问题了。还可以借助下面的图体现频率稳定在概率。首先做了10次实验，4个小组，算出频率为0.5，0.3，0.6，0.8，差距挺大的，画出来以后好像波动挺大的，不是0.5（下面的左图）。然后，又有一个小组合作以后，又做了100次实验，也是做了四个组，最后发现确实也有绝对数上的偏差，但是频率一个是0.55，一个0.51，一个0.48，一个0.52,这个时候离0.5，好像波动就没有那么大了，就开始有稳定性了。 通过这样一个例子的剖析，来帮助我们理解概率。有的老师就会说了，那你说换一个角度来说，那么10次中正好出现5次的概率到底大还是不大。我不知道老师们猜想得怎么样，反正我调查过老师们的结果，正好5次正面朝上的概率是0.5猜的老师非常非常多，他把这个1/2和那个1/2混在一起了。但是有的老师感觉很好，他说不是那么容易的，可能没有0.5那么大。其实，我们如果真正去计算的话，那么10次中正好出现5次的概率是25%左右。令为掷10次硬币正面出现的次数，那么“掷100次恰出现50次正面”的概率为 。结果并不是我们想象中的那么大，那么，怎么来理解1/2，还有什么意义呢？就是它跟别的相比它是最大的。你要把这个图画出来，就是中间那个5次（正面朝上的次数是5）是最大的，6次也不少，到0次就很好想象就非常小了。所以，它不是正好5次，但是你可以这么说，10次中在5次附近的概率确实是挺大的，就是仍然超过50%了。这样一来，就能理解这个1/2还是有意义的。换句话说，有时候偏6了，有的时候偏4了，但是平均下来是5。再强调一下，现在概率教学的过程中，老师们对不确定性的认识是有了，经常鼓励学生发现结果是不确定的。但稳定性的体验，我觉得有时候反而忽略了。在小学阶段，如果要让学生们体会，最主要的是不要马上定位稳定在到底哪个数，而是让学生体会到它首先会稳定，至于稳定到多少，以后再去学习。（二）对概率教学的建议1. 不断体会随机现象的特点如果要讲概率的话，这是最大的一个建议。靠什么方式来帮助学生体会随机现象的特点呢，是不是一定要靠做实验呢。还是那句老话，就是教无定法但是教有定规。很难说就一定要做实验，或者一定不做实验。但是，你要想做实验是为什么，不做实验是为什么，绝对不是因为要得到一个分数，而是因为要让学生体会随机现象。所以，无论你是让学生自己举例也好，还是做实验让学生体会也好，还是凭着学生的经验理性去推理也好，都要去体会随机现象的特点。随机现象的特点说白了还是两个事，一个就是不确定性，一个就是大量重复实验的时候它的稳定性。老师们可以设计一些活动帮助学生去体会。举一个例子，掷两个色子，讨论的是两个色子朝上的点数之和，实际上这是很复杂的一个事情，如果我们算出来有36种情况，和是7的可能性是最大的。但是这个问题，在小学会不会难。实际上，它不是真让你去计算，而是设计了一个游戏，给你一个横线，孩子虽然不知道哪一种可能性会大，但是他知道和最小得到2，最大能得到12，在横线下面从2标到12。给学生15张方的片，你认为谁出现的可能性会多一些你就往这个数多垒几个片。比如这两个孩子不一样，这个孩子就认为中间出现的可能性会大一点，他中间片多一点。这个小女孩就垒得比较平均，可能觉得差不多。游戏规则就是，你真的去掷，掷完以后加起来，如果得到7了，你就把7上面那个片拿走，如果得到了2，你就把2上那个片拿走，谁把所有的片最早拿走，谁就获胜。实际上，学生谁对几个结果发生的可能性预测得准确，谁获胜的概率就大。当然，这也有不确定性，但是多做实验，有的学生会逐渐地感觉到，中间出现的可能性确实会大一些，两边的可能性会小一些这样一个过程。无论怎么做，要对不确定性和稳定性进行体会，是我们概率教学的一个非常重要的方面。2．对于是否做概率实验的讨论该不该做概率实验，做概率实验的价值是什么？必须明确的一点，对这个问题，还有很大的争论，并不是说我们这一次培训就能把所有的问题都解决了，我只是想给大家一些各个方面的理由，让大家自己来做一个判断。（1）不做，或者是少做概率实验的原因第一，相信学生不用做他完全能够知道。第二，有时做了反而就混乱了。当然还有的数学家认为，概率本质上是数学的东西，是定义出来的东西，他把这个做实验归到统计的范畴。（2）做实验的价值我们是比较倾向于做概率实验的。价值主要有这么几个理由。第一，就是实验是现实生活中获得对概率或者估计概率的一个很一般的方法。就像刚才举的意外死亡率，现实生活中有大量这样的问题，需要靠统计频率来估计概率。那么，由于学生对现实世界中比较复杂的实际问题难以体会，所有孩子现在做一些摸色子的可以操作的实验。总有一天他要进入到现实生活中去，他要知道实验是可以帮助我们估计概率的，那他就会想到这样一种手段。如果你不做实验或者少做实验，他永远用理论分析的方法去解决，一旦遇到这个问题的时候，他发现没有公式，就比较麻烦。第二，很多老师也都提到了，就是不那么显然的算的结果，尤其是与经验不符的结果，学生是不能信服的。第三，实验能帮助澄清学生对随机现象的错误认识。有的孩子会出现很多错误的认识，我觉得这是非常正常的，我们可以靠实验来帮助他澄清。比如说华应龙老师的一个教学片段（二年级对于“确定、可能”的认识），在三个红球、三个黄球、三个白球的这样一个盒子中，当然球都是均匀的，随便摸出一个球。事先，华老师鼓励学生先猜会摸到什么球，然后再摸。 做完了以后，鼓励学生去反思，就是你每一次都猜得对吗？一个学生提到：“我想应该靠一种规律，黄的以后就应该是白的了。”确实学生认识起来有一定的困难，虽然描述一定可能，对孩子并不是很困难，但是孩子有误解。当然澄清这些误解，最好的方法就是亲自实验，那你就再摸一次吗。我想可能这一次实验孩子也许并不能完全的解除他的疑问，但是不断地做，他可能对这种误解会渐渐的减少，我想这也是做概率实验的一个理由。所以，现在很多优秀老师都采取一种，你先别忙着做实验，先猜一猜结果，然后我再去做实验，然后我再分析这个实验结果，这样一来不断地帮助学生去澄清一些错误。这是做概率实验的一些理由。还是那个想法，你无论是做也好，还是不做也好，都要注意对学生的随机观念的培养。3．对做概率实验的教学的建议（1）在做实验之前先猜测，然后再实验验证，帮助学生逐步地建立正确的概率直觉。同时，你先让孩子猜一猜，然后，把结果写到黑板上或让他记在心里，这样的话他在做实验的时候，他特别的有兴趣。（2）就是在做实验时，我们一定要保证随机性，不要偷看，同时还要保证球要摇匀，然后保证数据的真实。有的老师会提前提醒学生，有的老师也较灵活，学生做实验的时候出现问题及时提醒孩子，这样，孩子可能印象更深一点。（3）就是在实验中，对数据的记录。有的老师确实是注意对原始数据的积累，但是，最后出的时候，就光让孩子算总数，原始的数据记录不跟孩子展现，这样的话，就是学生一些错误的概率直觉不能及时的得到纠正.（4）紧接着，记录原始数据之后跟孩子一起讨论，就像华老师那节课及时的讨论，再做再讨论，然后看看实验当中到底出现什么样的问题。（5）老师自己做概率实验是非常重要的。我们概率的备课要不要分分组，就是每一个年级组，可以做一点这样的实验，真的去扔一扔。（6）概率实验有时候你估计的那个值，你在做实验的时候，让它频率相对往概率那个地方靠得近的话，就是做的实验的次数要比较多，但是课堂就40分钟很难保证，这样的话可以借鉴信息技术的作用，有的时候可以借助计算器来计算。（7）能够设计一些学生感兴趣的实验。比如，低年级我倒觉得可以直接让他做实验，因为对他来说很新鲜，体会了一个从来跟别的不一样的东西，还可以摸摸球，掷硬币，我觉得这倒是可以让他直接去做实验。到中年级的时候，就可以适当设计一些有任务驱动的。比如看过很多中奖游戏，谁都想中大奖，那么，我们今天就来中大奖，这个中奖是一个盒子里装的摸到黄球你就中奖，中奖以后可能就能干吗，但是呢谁来，谁有资格来摸呢，靠什么来呢？因为全班不能每人去摸，我们可能是靠一个抓阄来决定，这个时候孩子就特别有兴趣，特别想抓阄就做这个活动，所以他就有这个任务驱动，摸到了我就可以去中大奖了。这也是设计很精巧的。还有的老师就设计之前，你先预测一些结果，就像张红老师讲的，猜能够激发他的兴趣。还有的老师反过来进入统计的思想，就是我估计以下盒子里到底哪种颜色会多，那么很自然的，通过摸球来估计，摸上来以后发现确实不一样的时候，再把盒子打开，再去讲这个颜色比它多，然后摸出一种可能性它比它要大。到了高年级就可以挑战一些，我把它叫做挑战智力。比如说我们可以挑战，掷硬币正面朝上这个可能性是二分之一，这个我们认同了，换一个问题，那么两次中一定是有一次正面朝上吗？我觉得学生会有一些分歧，或者说这个可能性很大吗？那我们做这个实验相当于就是不是二分之一去进行验证。而反过来通过这个去体会它的不确定性和它的规律性，你做实验不是为了得到二分之一，二分之一不是靠做实验得到的，而且说你做实验是为了体会随机现象的特点。还有的老师提的建议挺好的，他做了很多次实验，发现确实这个频率，不是稳定在二分之一，他就由此怀疑硬币不均匀，我也有这个怀疑，那我们就来看一看吧，也许这个硬币确实是不均匀，那么我们看到底是正面重还是反面重。假设正面朝上的可能性大，，还是反面朝上的可能性大，那你要得到这个结果，只要靠实验来得到，我们做很多很多的实验，那这个时候他就很有挑战性。 当然这只是我的一些建议，总而言之，还希望老师们自己去设计一些学生感兴趣的实验。另外，我觉得有老师提到我少做实验，我觉得也未尝不可，但是，如果我们少做实验来讲概率，包括来讲定量的二分之一，还是以二分之一举例吧，也希望老师们能在体会随机性上给学生提出一些问题，让他来体会一下。可以反过来鼓励学生来说一下、谈一谈你是怎么理解二分之一的？这个时候会发现，确实有一些学生是误解二分之一的。这个时候老师们可以给他提出问题，二分之一，我掷两次就一定有一次是正面朝上，对不对？有的孩子可能会有感觉是不对的，有的孩子就有一点含糊了，这个时候，我觉得老师可以指导的做一些小实验，就是老师演示一下，或者找几个孩子来掷一下，一看确实并不是这样。来体会它的不确定性。那么以上我们就对概率教学，跟大家进行了一些讨论，我想这里头还有几点我想再强调一下，就是随机观念到底是什么？我想是不是两方面，一个认识到的它是随机的，随机性是有可能犯错误的，注意，我这个错误不是说概率上的错误，而是说你用它进行推断的话，是有可能是错的。另外还是它有一定规律性的。那么这就是研究随机现象的价值。所以就回答这样一个问题，老师说了，那确实，你说了半天二分之一也好，90%也好反正是不确定的，学习概率到底有什么用？我觉得一定认识到这样一个问题，这个谁也无法知道，确切地知道下一次的情况，这不是概率的错，这是生活中就存在的这种现象。人们通过概率是有了一个刻划了，他也没有办法告诉你下一次到底会是什么样子，否则这样的话，我们就都去中大奖了。所以它是为决策提供一些依据，比如说90% 很有可能或者不是很有可能，90%有可能它不下雨，但是你带伞，看来还是一个比较明智的决策。同样的两个产品，在两个商店的价格什么都差不多，外形也都差不多，那一个次品率高一点，一个次品率低一点。那也可能，你到那个次品率高的地方反而买到好的东西了，到次品率低的地方反而买到坏的东西了，但是在没买之前人们肯定还会到那个次品率低的地方去，这是一个决策。我国著名概率学家陈希孺先生曾经说过这样一句话：习惯于从统计规律看问题的人，在思想上不拘执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律，也承认例外。我觉得他这句话说得非常的深刻，把这个随机观念既有规律性，也有不确定性说出来了。那么，人们能够认识不确定性，而又合理利用这个规律性就是随机观念，我想，也是在小学阶段要学习概率的一个重要的一个原因。还是那个建议，不急于说我们一定要得到二分之一，更重要的是体会到不确定也有稳定。最后，以著名统计学家C. R. Rao的名言作为结束语：在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的世界里，所有的判断都是统计学。