中财网vr课程教学方法:匝道施工中中线和边桩放样坐标的计算方法
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/17 03:50:29
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（南宁市政工程有限公司 广西南宁 530011）
【摘 要】 推导匝道中线和边桩在城市坐标系中的坐标计算公式，介绍实现整条线路连续统一计算的程序设计思路。
【关键词】 匝道中线 边桩 放样坐标 计算方法
1 引言
随着我国城市交通事业的飞速发展，各种立交桥如雨后春笋般拔地而起，线形越来越优美也越来越复杂，多是由圆曲线和缓和曲线组成的全曲线交通线路。匝道的施工放样是道路施工放样中最复杂、精度要求最高的部分，放样点的密度直接影响到竣工产品的外形美观度甚至使用功能。一般地，设计文件仅提供线路曲线段主要控制点的当地城市坐标和该工程相对桩号，远远不能满足施工放样的需要，在施工中必须要大量地加密控制点。同时由于施工现场条件非常复杂，我们不可能也没有必要在室内无限计算曲线上任意一点的坐标备用，只能临时在现场根据需要确定加密点并计算其坐标，这就要求我们能有一种相对简单又能满足精度要求的计算方法。本文针对构成匝道要素的圆曲线和缓和曲线推导其坐标计算公式，简单介绍实现整条线路连续统一计算的程序设计思路。在施工放样中仅以线路上任意点桩号作为参数代入就可以计算出自己想要得到的该点任何放样数据，利用全站仪高效、准确地进行匝道施工放样。
2 匝道中线坐标及法线方位角计算公式推导
为了方便推导和简化公式的表述，我们约定
1）约定中线的法线方位角前进方向的顺时针方向为其正方向；
2）线路偏转方向函数LR（Ai，Ai+1） 并在后面的计算中用λ替代，Ai为线路转角前方位角，Ai+1为线路转角后方位角，约定线路偏转方向函数为
3）左手坐标系为计算中默认坐标系，即x为纵坐标，y为横坐标。
1、直线中线坐标、法线方位角计算
设直线的起点P（x0，y0）和直线前进方位角Ai，计算直线上与起点距离为S的点P0（x1，y1）的坐标、法线方位角N，根据一般测量原理有：
2、圆曲线中线及圆心坐标、曲线法线方位角计算
设圆曲线的起点为P0（x0，y0），相应点前进方向的切线方位角Ai，圆半径r，圆曲线终点切线方位角Ai+1，起点法线方位角为α。先计算出圆心O（xc，yc）：
依托圆心计算曲线某一点M（xm，ym）与起点中线长度为lm的坐标、法线方位角N：
3、缓和曲线中线坐标、法线方位角计算
我们将缓和曲线分完整缓和曲线和不完整缓和曲线两类来讨论。完整缓和曲线是指从无穷大半径到有限半径的缓和曲线（如图1中O点开始至终点结束段曲线），不完整缓和曲线是指从有限半径到有限半径的中插缓和曲线（如图1中P点开始至终点结束段曲线）；按照曲线前进方向法线方位角的旋转顺、逆时针方向将缓和曲线分为正向缓和曲线和反向缓和曲线。在日常工作中，只要我们能够推导出一个方向缓和曲线的计算公式，反过来反方向缓和曲线的计算就变得十分容易了，在这里，我们仅给出正向缓和曲线的计算公式。
（1）完整缓和曲线
设缓和曲线的起点为O（x0，y0），曲线的长度l，起点前进方向切线方位角Ai，求缓和曲线上点M（xm，ym）到起点的中线长度（弧长）为lm ，c为缓和曲线常数，β为M点的偏转角度，点M在图1所示坐标系中的坐标为（xs，ys）：
c =lr （4）
（5）
再从图1坐标系转换到城市坐标系，求出点M的坐标和法线方位角Nm：
（6）
（7）
在保证必须精度的情况下取有限项级数，式（5）中的多项式在大多数情况下取到第三项即可，在曲率半径r较小且l > r的情况下，数学计算误差可能会加大达到毫米级，可适当取到第四、第五项，这里就不再列举了。
（2）不完整缓和曲线
设不完整缓和曲线的起点为P0（x0，y0），曲线长度为l，起点前进方向切线方位角为Ai，起点曲率半径r1，终点曲率半径r2，正向曲线时有r1 > r2 。我们设所求缓和曲线上的点M（xm，ym）到缓和曲线起点的中线长度（弧长）为lm，则有缓和曲线常数c
如果把不完整缓和曲线补成完整缓和曲线，设需要补足的曲线长度为l0，产生的角度偏转为β0 ，完整缓和曲线的起点为P′（x0′，y0′），方位角为Ai′，点M（xm，ym）到缓和曲线起点P′（x0′，y0′）的中线长度（弧长）为lm′，有
代入式（5）计算P0（x0，y0）在图1所示坐标系中的坐标
而代入式（6）计算出P′（x0′，y0′）的城市坐标
在我们将式（9）中lm′=l0+ lm代入式（5）相应得出xs′、ys′，利用式（6）来计算点M（xm，ym）的城市坐标
M点的法线方位角Nm由式（9）中lm′=l0+ lm代入式（7）相应得出。
反向缓和曲线，同理可根据曲线段终点的坐标和方位角反方向计算出来。
3 线路边桩坐标计算
设曲线中线上任意一点P（x0，y0），其法线方位角为N，边桩至中线距离为S（左负右正），则容易得出边桩点M（xm，ym）的坐标
4 实现整条线路连续统一计算的程序设计思路
为了能够将整个路线统一起来连续计算，需要分析能够唯一确定各线型要素的必要参数，以便组织程序数据和设计算法。这里列出各类线型及其必要的参数如下：
（1）直线：起点坐标、起点方位角、直线长度；
（2）圆曲线：起点坐标、起点方位角、曲线长度、曲率半径、偏转方向；
（3）完整缓和曲线：起点坐标、起点方位角、曲线长度、曲率半径、偏转方向；
（4）不完整缓和曲线：起点坐标、起点方位角、曲线长度、曲率半径1、曲率半径2、曲率半径3 …、偏转方向。
以上各线型的参数仅仅是单段曲线或直线计算所需要的数据，为了方便连续计算整条线路，还需要用一个统一的、易于辨认的符号来连续标识每一段的线型。前面我们设定的线路偏转方向函数的值为+1和-1，习惯上我们还是用整数来标识线段的线型，用桩号来表示中线点，曲线两段点里程之差即弧长就是曲线长度可以由每一曲线起点桩号和紧接其后另一曲线的起点桩号相减得到，不完整缓和曲线的曲率半径是紧接其前后两段曲线的终、起点的半径，通过以上分析可以得出结论，在连续计算整条线路时，我们只要输入和保存线段线型、基点坐标、起点桩号、起点曲率半径、基点方位角就可以在计算工具上自动调用相应计算模块来实现连续计算整条线路任意一点的坐标，如果与坐标放样模块综合一起完全可以按照自己的放样习惯一次得出我们所需要的数据进行即时放样工作，大大提高我们野外作业效率。
【参考文献】
[1] 李青乐.工程测量学[M].北京：测绘出版社1984
[2] 张坤宜.同向缓和复曲线数学模型的探讨[J].公路1999（09）